煉油廠選址模型.doc

井岡山大學第五屆“井岡杯”數(shù)學建模競賽論文油田最佳選址模型 劉佳敏 10級數(shù)本（2）班 100512010 黃平華 10級數(shù)本（2）班 100512049 劉成坤 10級數(shù)本（2）班 100512055油田最佳選址模型摘要：在給定各種不同條件下求解出煉油廠選址的最優(yōu)化模型，使得總運輸費用最少，通?？梢圆捎靡?guī)劃模型、圖論模型、連續(xù)型選址模型等方法解決這類問題。全面考慮題中的各種條件和因素，在此基礎上建立的模型，合理性和實用性都比較好。針對問題1，我們從題中所給的條件出發(fā)，編寫MATLAB程序求出九種情況下的總運費，并設計了本問題求解的流程圖。比較出九種總運費的大小，取其中的最小值，建立快速算法模型，最終確定出煉油廠的最優(yōu)位置為油井1附近，求得最小總運費為萬元。 針對問題2，由于此種條件下有無數(shù)個點可作為煉油廠的候選位置，因此不能用求解問題1的方法求解本問題。綜合考慮各種因素后，我們建立了單目標非線性規(guī)劃模型并分別用LINGO軟件和MATLAB軟件進行求解，確定出煉油廠的最優(yōu)位置為，最優(yōu)總運費為萬元，通過比較可知，此方案優(yōu)于方案1。最后，由于最小總運費對煉油廠的位置比較敏感，我們還對本模型進行了靈敏度分析。針對問題3，與前面兩個問題不同的是，可在該地區(qū)建造兩個煉油廠。由于并不知道兩個煉油廠應該分別服務于哪幾口油井，前面兩種算法顯然不適合于求解本問題。而多源連續(xù)型選址模型可以將多源問題轉(zhuǎn)化為更簡單的單源問題，因此我們通過建立多源連續(xù)型選址模型求出兩個煉油廠的位置分別為A（57,30），B（14,42），A應服務于第1號、第2號、第3號、第6號、第8號油井，B應服務于第4號、第5號、第7號、第9號油井，最小總運費為108393.4萬元。關(guān)鍵字：選址問題 非線性規(guī)劃 煉油廠 靈敏度分析1、 問題的提出1.1 基本情況在商品高度市場化的當今社會，物品時時刻刻處于流動之中。資料顯示，商品的平均物流成本占總成本的36%，而其制造成本僅占總成本的13%。據(jù)2011年5月9日CCTV經(jīng)濟半小時報道，去年我國物流總費用占GDP的18%，比發(fā)達國家高出近一倍，故在市場競爭日益激烈的今天，物流管理顯得日益重要。某一油田在一平坦地區(qū)擁有九口油井，其年產(chǎn)量及位置如下表所示。所有的原油都需要運輸?shù)綗捰蛷S進行提煉?，F(xiàn)在不考慮煉油廠的建設費用，因此總的費用僅與煉油廠的位置有關(guān)。在假定的單位運費與運輸距離成正比的條件下，需對以下問題做出決策：井號位置（X，Y）(km)產(chǎn)量（噸）1（22，38）172（8，13）403（4，81）604（51，32）205（38，11）256（17，12）157（81，63）508（19，45）89（62，12）301.2 需解決的問題請分別建立以下三個問題的數(shù)學模型，并予以求解，并對你所建模型的優(yōu)劣性進行評估。 1、如果兩點間的距離以折線計算，且九個井口均可作為煉油廠的候選位置，問煉油廠建在哪個井口附近（該井口到煉油廠距離以0計）最佳，總運輸費用是多少？ 2、若兩點間距離以直線距離計算，且該區(qū)域的任一點均可作為煉油廠的候選廠址，煉油廠應建在何處，總費用是多少？ 3、若油田高層已決定在該地區(qū)建兩個煉油廠，若不考慮煉油廠的建造費用，僅考慮運費，兩個煉油廠分別建在什么位置，各應服務于哪幾個油井（假定一個油井的原油只能運往一個煉油廠），才能使總運費最低，總費用是多少？2、模型的假設1、不考慮運輸過程中的原油損耗；2、采用管道運輸方式將原油運送到煉油廠；3、將油井看作直角坐標系上的點，將輸油管道看作線段；4、假設所有的油井均在同一個平面上；5、不考慮運輸過程中的設備損耗以及維修費用；6、為了簡化計算過程，可以文中出現(xiàn)的一些計算結(jié)果進行近似處理；7、允許計算結(jié)果與真實情況之間存在一定的誤差。（以上假設在本文中均適用）3、符號約定 各種情況下的最下總運費；2、油井與煉油廠之間的距離；3、各口油井的產(chǎn)油量（）；4、單位運費；5、 單位運費與運輸距離間的比例系數(shù)；6、 各口油井的橫坐標（）；7、 各口油井的縱坐標（）；8、 油井產(chǎn)量與油井和煉油廠間的距離的乘積；9、 A,B:第三問中所求煉油廠的位置；10、 所求煉油廠的橫坐標（）；11、 所求煉油廠的縱坐標（）；12、 函數(shù)對變量的偏導數(shù)；4、問題分析 由題干可知，所有的原油都需要運輸?shù)綗捰蛷S進行提煉。從中國石油天然氣運輸公司的官網(wǎng)上查到：油氣管道運輸有高效率、低成本和安全可靠等優(yōu)勢，有數(shù)據(jù)顯示，采用鐵路油罐運輸，運輸過程中出現(xiàn)的損耗量高達0.5%，而采用管道運輸方式損耗率最高只有0.25%。因此，從長遠考慮，應采用管道運輸方式運輸原油。題干中假定單位運費與運輸距離成正比，通過查找資料并計算可求出其比例系數(shù)。由于在三個問題中均需用到九口油井分布的散點圖，因此通過MATLAB軟件繪出此圖（圖1）。 圖14.1 對問題1的分析題中要求兩點間的距離以折線計算，且煉油廠只能建在九口油井中任一口油井的附近。而總運輸費用與油井的年產(chǎn)量及油井與煉油廠之間的距離兩個因素有關(guān)，由于各口油井的年產(chǎn)量已知，要使總運輸費用最低，只需考慮使距離與產(chǎn)量的乘積之和最小。通過分析可知，建立直角坐標系后，從散點圖上可以看出，任一口油井與煉油廠直接相連作為直角三角形的斜邊，其兩條直角邊之和即為油井與煉油廠之間的最小折線距離。通過編寫程序可求出在任一口油井附近建造煉油廠的最小運輸費用。4.2 對問題2的分析與問題1類似，不同的是，兩點間的距離以直線計算將使得油井與煉油廠之間的運輸距離大大縮短，另外，該區(qū)域的任一點均可作為煉油廠的候選廠址，也在一定程度上縮短了運輸距離。因此，此種設計方案在理論上應該優(yōu)于方案1.在直角坐標系中畫出散點圖后，選定一矩形區(qū)域，使得所有的油井均包含在此區(qū)域內(nèi)，從而可使橫、縱坐標限制在一定范圍之內(nèi)，簡化了求解此問題的復雜程度。通過建立單目標非線性規(guī)劃模型并用MATLAB和LINGO軟件求解即可確定煉油廠的最優(yōu)位置，從而求出最低總運費。4.3 對問題3的分析通過比較前面兩個問題的求解過程，兩點間的距離以直線計算應優(yōu)于以折線計算。因此可考慮在該矩形區(qū)域任意兩個點建造煉油廠，且兩點間的距離以直線計算。本題中要求要求建立兩個煉油廠且不考慮建設費用，因此，在3種方案中本方案是最優(yōu)的。采用解決優(yōu)化問題中常用的多源連續(xù)型選址模型建立本問題的數(shù)學模型即可確定出兩個煉油廠的最優(yōu)位置。5、模型的建立與求解 從所要解決的問題和所做的假設出發(fā)，我們對三個問題分別建立了以下三個模型。模型I 快速算法模型本模型可以快速計算出選取任一口油井作為煉油廠的條件下所需的最小總運費，通過比較這九種情況下的最小總運費確定出選取哪口油井符合題目要求。模型II 單目標非線性規(guī)劃模型本題中涉及橫、縱坐標兩個變量，先在直角坐標系上選定一矩形區(qū)域使九個點均含于其中，通過建立雙目標非線性規(guī)劃模型求解出符合題目要求的坐標。模型III 二元連續(xù)型選址模型綜合分析題目要求并考慮題中涉及到的各種因素后，建立了二元連續(xù)型選址模型。本模型能很好地解決此類問題，最終確定出兩個煉油廠的最優(yōu)位置。5.1模型I的建立與求解根據(jù)問題分析，要想求出最小總運費，首先要求出單位運費與運輸距離之間的比例系數(shù)（通過求得）。題目中包含九口油井且每口油井的位置均已知，因此可將這九口油井在直角坐標系上用散點圖表示出來。（圖1）根據(jù)題目要求，共有九個候選點可用于建造煉油廠，因此共有九種情況。由于在不考慮其他因素影響的情況下，總運輸費用僅與各油井的產(chǎn)量和油井與煉油廠間的距離(表1)兩個因素有關(guān)，油井與煉油廠間的折線距離公式為，可編寫程序求出在任一口油井作為煉油廠的情況下各油井與煉油廠的距離與年產(chǎn)量乘積的最小值。各油井間的距離分布表（公里）12345678910396135433184106623907262321012343553617209610482955112743562960345461453154332104340229553256311082542201153545784123956195115080708104351455335800769665512731254570760 表1煉油廠位置1#油井2#油井3#油井4#油井5#油井6#油井7#油井8#油井9#油井距離性價137201531718635148351518514857201081398016970總費用223640249670303750241810247520242170327760227870276610運輸費用表（元） 表2 在求出單位運費的條件下，即可求出最小總運費。通過編程求得符合條件的油井為1號井，代入數(shù)據(jù)可得最小總運費為萬元。（運輸費用表如表2所示）附：流程圖（圖2）。開 始輸入數(shù)據(jù)計算各油井到第i號油井的總距離di比較di大小輸出最短距離結(jié)束YN 圖25.2模型II的建立與求解在第2問中，要求以直線計算油井與煉油廠之間的距離且煉油廠的候選位置無條件限制。通過分析可知，最優(yōu)位置應該位于九個點首尾相連形成的區(qū)域內(nèi)。因此，為了簡化求解過程，可取定一矩形區(qū)域，使得九口油井均在此區(qū)域內(nèi)，如圖1所示。從圖中可以看出，橫、縱坐標均在一個固定范圍內(nèi)。針對此問題，建立單目標非線性規(guī)劃模型，取橫、縱坐標的范圍作為約束條件，各油井與煉油廠間的距離與油井年產(chǎn)油量的乘積的最小值之和作為目標函數(shù)，（其中），可列出以下表達式： 分別用LINGO和MATLAB軟件求解上述非線性規(guī)劃問題得到相同的計算結(jié)果：為32.42262 ，為35.05966 ，為10212.67。由于總運費公式為，將所求得的值代入可得萬元。（附：煉油廠位置分布圖） 煉油廠位置分布圖（ 圖3） 5.3模型III的建立與求解在不考慮煉油廠的建設費用的情況下，建立的煉油廠越多，運輸總費用就越低。若在該地區(qū)建立兩個煉油廠，問題就轉(zhuǎn)換成了每個煉油廠應各服務于幾個油井，使得總運輸費用最低。這類問題屬于二元連續(xù)型選址問題，我們可通過建立二元選址模型將其轉(zhuǎn)化為兩個單源選址問題。第一步：由假設，一個油井的原油只能運往一個煉油廠，因此可列出以下方程： 第二步：對于滿足上述約束條件的一組固定值，我們總可得到一組迭代方程，它在形式上與單源選址問題一樣，此時有如下迭代公式： （） （） 第三步：通過MATLAB編寫程序可分別求出各口油井對應的C（1）和C（2）（）和C（2）分別為油井原油運往兩個煉油廠，B時油井與煉油廠間的距離與油井年產(chǎn)量的乘積）,若C（1）C（2），則油井的原油應運往煉油廠A，若C（1）C（2），則油井的原油應運往煉油廠。（附：表3）序號C（1）C（2）45796.8557827.070940.631918.642938.2555339.274770.039056.59601236836.144452.115173.716444.107441.07978.917629.821040.113930.32175.6289 表3 從表3可知： 中：c（1） c（2），所以油井1,2,3,6,8的原油應運往煉油廠A； 中：c（2） c（1），所以油井4,5,7,9的原油應運往煉油廠B。 計算終止，得到近似最優(yōu)解：，對計算結(jié)果進行取整處理得A(57,30),B(14,42),A ,B即為所求得的兩個煉油廠的坐標。綜上可知，兩個煉油廠的坐標分別為A（57,30），B（14,42），分別服務于油井1、2、3、6、8，和油井4、5、7、9，最小總運輸費用為萬元。附：煉油廠位置分布圖（圖4）。 圖4 6、靈敏度分析由題目要求和假設可知，在問題2中煉油廠可建在平面直角坐標系上的任意位置，而在建立第二個模型中，我們假定煉油廠只能建在一個指定的矩形區(qū)域內(nèi)，這是本模型的缺陷所在。為了驗證本模型的準確性，我們對本模型進行了靈敏度分析。先在所求得的煉油廠的位置（32,35）附近選取8個點，為了方便計算，假設所取的點均為整點，通過MATLAB編寫程序求出在這些點處建造煉油廠的情況下的最小總運費并分別與所得結(jié)果做比較（見表4）。為了使本模型有更強的說服力，我們還另外隨機選取了8個點，也分別求出了這些情況下的最小總運費（表5）。通過表4和表5可知，在這兩種情況下的最優(yōu)結(jié)果均是將煉油廠的位置定在點（32,35）。所以通過對本模型進行靈敏度分析，我們可以認定所建的模型是合理可行的，從而可以將該模型用于生產(chǎn)實踐并進行推廣。煉油廠位置距離性價總費用（47 55）11548188240（45 64）12347201250（12 35）11365185250（45 13 ）11744191420（58 84）16058261740（24 68）12527204190（67 98）19513318070（78 454 54）11908194100（47 368 36）12857209570（77 6）16659271550（32 35）10213166470煉油廠位置距離性價總費用（30 35）10223166640（31 34）10220166590（31 35）10216166530（31 36）10218166550（32 33）10224166660（32 34）10216166520（32 36）10215166500（32 37）10222166620（33 34）10216166520（33 35）10214166480(33 36)10216166520(34 35)10217166540(32 35)10213166470 7、模型的優(yōu)缺點分析7.1模型的優(yōu)點 模型I方便快捷，可以快速地算出所有情況下的最小總運輸費用， 還可以用該種算法解決一些與此類似的簡單問題。對應問題2建立的單目標非線性規(guī)劃模型，直接用數(shù)學建模中的常用軟件可以很方便地求解，對比解決此類問題常用的迭代法和模擬法，該模型省去了不少瑣碎繁雜的步棸。最后還對本模型運用了靈敏度分析，說明了該模型有很高的精確度。為求解問題3建立的多源連續(xù)選址模型均能很好地解決此類問題，對于指導生產(chǎn)實踐有很大的參考價值。這種模型能很好地收斂到全局最優(yōu)解，因此算法具有較高的計算精度和適應性。所建立的模型可以很好地應用到現(xiàn)實生活中，有很強的推廣價值。7.2模型的缺點任何一個模型都有或多或少的缺點，模型I也不例外，模型I雖然可以比較快速地求出結(jié)果，但是這種算法沒有很完備的理論依據(jù)，從而降低了本模型的說服力。模型II僅從規(guī)劃方面進行考慮，沒有從多方面對問題進行討論和求解。建立的多源連續(xù)型選址模型屬于近似算法，與真實情況之間有一定的誤差。8、模型的推廣與應用1、本案例建立的四個模型都可以用于解決最優(yōu)化問題且都有較高的精確度和可信度，能很好地指導社會生產(chǎn)和實踐。2、如模擬退火算法結(jié)合啟發(fā)性算法，能更好的解決連續(xù)空間的最優(yōu)搜索并提高優(yōu)化性能，加快優(yōu)化搜索的速度。3、單目標可非線性規(guī)劃問題可以推廣到規(guī)模更大的非線性規(guī)劃問題。4、該題屬于煉油廠選址問題，在現(xiàn)實生活中有很廣泛的應用。如：倉庫選址、加油站選址、橋梁選址、消防站選址等問題。5、本案例涉及多源選址，對于指定在某個區(qū)域內(nèi)要確立多個目標位置的問題可以套用本文中的模型或是對本文中的模型修改后再加以應用。9、參考文獻1、 卓金吾，魏永生等.MATLAB在數(shù)學建模中的應.北京：北京航空航天大學出版社， 20112、 傅鸝，何中市等.數(shù)學實驗.北京：科學出版社，20003、 趙廷剛，王素云等.建模的數(shù)學方法與數(shù)學模型.北京：科學出版社，20114、 李海濤，鄧櫻等.MATLAB程序設計教程.北京：高等教育出版社，20025、 李大潛.中國大學生數(shù)學建模競賽.北京：高等教育出版社,19986、 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王樹禾.數(shù)學模型基礎.北京：中國科學技術(shù)大學出版社，1996附件附：原油運輸價格表（2003年開始執(zhí)行）執(zhí)行統(tǒng)一運價率管道運輸油定價調(diào)整表單位：元/噸720-529529-427426-378377273273以下運距（公里）現(xiàn)行價調(diào)后價現(xiàn)行價調(diào)后價現(xiàn)行價調(diào)后價現(xiàn)行價調(diào)后價現(xiàn)行價調(diào)后價50以下3.54.55.36.86.98.97.910.28.611.150-805.36.87.910.210.213.211.61512.616.381-1106.98.910.213.213.417.314.919.216.321111-1408.310.712.4161620.61823.219.825.5141-1701012.914.919.219.224.821.627.923.630.4171-20011.514.81721.92228.424.73.192734.8201-23012.916.619.224.824.83227.835.930.439.2231-26014.218.320.626.627.235.130.439.233.343261-29016.32124.231.240.23545.245.238.349.4291-32017.522.626.133.733.643.337.748.641.253.1321-35019.224.828.536.836.847.541.253.145.158.2351-38019.224.828.536.836.847.541.253.145.158.2381-41022.428.933.142.142.254.447.861.752.367.5411-44023.930.835.545.845.75951.26656.372.6441-47025.633384948.86354.870.759.877471-50027.13540.151.751.766.757.974.463.381.7501-55029.137.5551-60034.344.2601-65035.944.6651-70036.947.6701-75039.350.7751-80041.653.7801-85043.556.1851-90045.759901-95047.761.5951-10005064.5附：源程序問題1油井分布散點圖的matlab程序r=22 8 4 51 38 17 81 19 62;t=38 13 81 32 11 12 63 45 12;plot(r,t,b+)xlabel(x/km)ylabel(y/km)title(油井分布散點圖)text(22.5,38.5,1# 油井)text(8.5,13.5,2# 油井)text(4.5,81.5,3# 油井)text(51.5,32.5,4# 油井)text(38.5,11.5,5# 油井)text(17.5,12.5,6# 油井)text(81.5,63.5,7# 油井)text(19.5,45.5,8# 油井)text(62.5,12.5,9# 油井)grid ongtext(17)gtext(40)gtext(60)gtext(20)gtext(25)gtext(15)gtext(50)gtext(8)gtext(30)油井與油井間距離的matlab源程序d1,d2=long(p);t=17 40 60 20 25 15 50 8 30;t*d1ans =13720 15317 18635 14835 15185 14857 20108 13980 16970d1 = 0 39 61 35 43 31 84 10 66 39 0 72 62 32 10 123 43 55 61 72 0 96 104 82 95 51 127 35 62 96 0 34 54 61 45 31 43 32 104 34 0 22 95 53 25 31 10 82 54 22 0 115 35 45 84 123 95 61 95 115 0 80 70 10 43 51 45 53 35 80 0 7666 55 127 31 25 45 70 76 0問題2煉油廠位置的matlab源程序r=22 8 4 51 38 17 81 19 62;t=38 13 81 32 11 12 63 45 12;plot(r,t,b+)xlabel(x/km)ylabel(y/km)title(油井分布散點圖)hold ontext(22.5,38.5,1# 油井)text(8.5,13.5,2# 油井)text(4.5,81.5,3# 油井)text(51.5,32.5,4# 油井)text(38.5,11.5,5# 油井)text(17.5,12.5,6# 油井)text(81.5,63.5,7# 油井)text(19.5,45.5,8# 油井)text(62.5,12.5,9# 油井)grid ongtext(17)gtext(40)gtext(60)gtext(20)gtext(25)gtext(15)gtext(50)gtext(8)gtext(30)hold onx1=32;y1=35;plot(x1,y1,rp)title(煉油廠位置分布圖)lingo程序model:min=17*(x-22)2+(y-38)2)(0.5)+40*(x-8)2+(y-13)2)(0.5)+60*(x-4)2+(y-81)2)(0.5)+20*(x-51)2+(y-32)2)(0.5)+25*(x-38)2+(y-11)2)(0.5)+15*(x-17)2+(y-12)2)(0.5)+50*(x-81)2+(y-63)2)(0.5)+8*(x-19)2+(y-45)2)(0.5)+30*(x-62)2+(y-12)2)(0.5);End Local optimal solution found. Objective value: 10212.67 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 138 Variable Value Reduced Cost X 32.42262 0.000000 Y 35.05966 0.2913556E-08 Row Slack or Surplus Dual Price 1 10212.67 -1.000000matlab程序function x,y=f(p,q,w)x=zeros(100,1);y=zeros(100,1);k=1;x(1,1)=sum(w.*p)/sum(w);y(1,1)=sum(w.*q)/sum(w);while k100 U=(x(k,1)-p).2;V=(y(k,1)-q).2; D=sqrt(U+V); a=sum(w.*p)./D); b=sum(w./D); c=sum(w.*q)./D); d=sum(w./D); x(k+1,1)=a/b; y(k+1,1)=c/d; k=k+1;endp=22;8;4;51;38;17;81;19;62;q=38;13;81;32;11;12;63;45;12;w=17;40;60;20;25;15;50;8;30;x,y=f(p,q,w)靈敏度分析程序：x=30 31 31 31 32 32 32 32 33 33 33 34 32;y=35 34 35 36 33 34 36 37 34 35 36 35 35;for i=1:length(x)zuiyoujie(i)=17*(x(i)-22)2+(y(i)-38)2)(0.5)+40*(x(i)-8)2+(y(i)-13)2)(0.5)+60*(x(i)-4)2+(y(i)-81)2)(0.5)+20*(x(i)-51)2+(y(i)-32)2)(0.5)+25*(x(i)-38)2+(y(i)-11)2)(0.5)+15*(x(i)-17)2+(y(i)-12)2)(0.5)+50*(x(i)-81)2+(y(i)-63)2)(0.5)+8*(x(i)-19)2+(y(i)-45)2)(0.5)+30*(x(i)-62)2+(y(i)-12)2)(0.5);endzuiyoujiem,n=min(zuiyoujie)問題3煉油廠位置的matlab源程序r=22 8 4 51 38 17 81 19 62;t=38 13 81 32 11 12 63 45 12;plot(r,t,b+)xlabel(x/km)ylabel(y/km)title(油井分布散點圖)hold ontext(22.5,38.5,1# 油井)text(8.5,13.5,2# 油井)text(4.5,81.5,3# 油井)text(51.5,32.5,4# 油井)text(38.5,11.5,5# 油井)text(17.5,12.5,6# 油井)text(81.5,63.5,7# 油井)text(19.5,45.5,8# 油井)text(62.5,12.5,9# 油井)grid ongtext(17)gtext(40)gtext(60)gtext(20)gtext(25)gtext(15)gtext(50)gtext(8)gtext(30)hold onx1=57 14;y1=30 42;plot(x1,y1,rp)title(煉油廠位置分布圖)function d1,d2=long(p)for i=1:9 for j=1:9 d1(i,j)=abs(p(i,1)-p(j,1)+abs(p(i,2)-p(j,2); d2(i,j)=sqrt(p(i,1)-p(j,1)2+(p(i,2)-p(j,2)2); endendfunction x,y=f(p,q,w)x=zeros(100,1);y=zeros(100,1);k=1;x(1,1)=sum(w.*p)/sum(w);y(1,1)=sum(w.*q)/sum(w);while k100 U=(x(k,1)-p).2;V=(y(k,1)-q).2; D=sqrt(U+V); a=sum(w.*p)./D); b=sum(w./D); c=sum(w.*q)./D); d=sum(w./D); x(k+1,1)=a/b; y(k+1,1)=c/d; k=k+1;end x=47 45 12 45 58 24 67 78 54 47 68 77 84 32;y=55 64 35 13 84 68 98 4 54 3 36 6 84 35;for i=1:length(x)zouyoujie(i)=17*(x(i)-22)2+(y(i)-38)2)(0.5)+40*(x(i)-8)2+(y(i)-13)2)(0.5)+60*(x(i)-4)2+(y(i)-81)2)(0.5)+20*(x(i)-51)2+(y(i)-32)2)(0.5)+25*(x(i)-38)2+(y(i)-11)2)(0.5)+15*(x(i)-17)2+(y(i)-12)