2019屆江蘇高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題專(zhuān)項(xiàng)練3應(yīng)用題理.docx

3.應(yīng)用題1.某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場(chǎng)上豎立一形狀為等腰梯形的彩門(mén)BADC(如圖).設(shè)計(jì)要求彩門(mén)的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù)).彩門(mén)的下底BC固定在廣場(chǎng)底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架組成，設(shè)腰和下底的夾底為，不銹鋼支架的長(zhǎng)度之和記為l.(1)請(qǐng)將l表示成關(guān)于的函數(shù)lf()；(2)問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)l最小，并求最小值.解(1)過(guò)D作DHBC于點(diǎn)H，則DCB，DHh，設(shè)ADx. 則DC，CH，BCx.因?yàn)镾h，則x，則lf()2DCADh.(2)f()hh，令f()h0，得.當(dāng)變化時(shí)，f()，f()的變化情況如下表：f()0f()極小值所以lminfh.答當(dāng)時(shí)，l取最小值h(m).2.某賓館在裝修時(shí)，為了美觀，欲將客戶(hù)的窗戶(hù)設(shè)計(jì)成半徑為1 m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計(jì)劃將矩形ABCD區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD為正方形，且面積大于 m2(木條寬度忽略不計(jì))，求四根木條總長(zhǎng)的取值范圍；(2)若四根木條總長(zhǎng)為6 m，求窗口ABCD面積的最大值.解(1)設(shè)一根木條長(zhǎng)為x m，則正方形的邊長(zhǎng)為2 m.因?yàn)镾四邊形ABCD，所以4x2，即x.又因?yàn)樗母緱l將圓分成9個(gè)區(qū)域，所以x，所以44x2.答四根木條總長(zhǎng)的取值范圍為(4，2).(2)方法一設(shè)AB所在的木條長(zhǎng)為a m，則BC所在的木條長(zhǎng)為(3a)m.因?yàn)閍(0,2)，3a(0,2)，所以a(1,2).窗口ABCD的面積S4，設(shè)f(a)a46a3a224a20，則f(a)4a318a22a242(a1)(2a3)(a4)，令f(a)0，得a或a1(舍去)或a4(舍去).當(dāng)a變化時(shí)，f(a)，f(a)的變化情況如下表：af(a)0f(a)極大值所以當(dāng)a時(shí)，f(a)maxf，即Smax.答窗口ABCD面積的最大值為 m2.方法二設(shè)AB所在的木條長(zhǎng)為a m，BC所在的木條長(zhǎng)為b m.由條件知，2a2b6，即ab3.因?yàn)閍，b(0,2)，所以b3a(0,2)，從而a，b(1,2).由于AB2，BC2，S矩形ABCD4，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)ab(1,2)時(shí)，S矩形ABCD為最大值.答窗口ABCD面積的最大值為 m2.3.(2018江蘇省啟東中學(xué)模擬)為了慶祝江蘇省啟東中學(xué)九十周年校慶，展示江蘇省啟東中學(xué)九十年來(lái)的辦學(xué)成果及優(yōu)秀校友風(fēng)采，學(xué)校準(zhǔn)備校慶期間搭建一個(gè)扇形展覽區(qū)，如圖，是一個(gè)半徑為2百米，圓心角為的扇形展示區(qū)的平面示意圖.點(diǎn)C是半徑OB上一點(diǎn)(異于O，B兩點(diǎn))，點(diǎn)D是圓弧AB上一點(diǎn)，且CDOA.為了實(shí)現(xiàn)“以展養(yǎng)展”，現(xiàn)在決定：在線段OC、線段CD及圓弧DB三段所示位置設(shè)立廣告位，經(jīng)測(cè)算廣告位出租收入是：線段OC處每百米為2a元，線段CD及圓弧DB處每百米均為a元.設(shè)AODx弧度，廣告位出租的總收入為y元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)試問(wèn)x為何值時(shí)，廣告位出租的總收入最大，并求出其最大值.解(1)因?yàn)镃DOA，所以O(shè)DCAODx弧度，在OCD中，OCD，CODx，OD2百米，由正弦定理得，得OCsin x百米，CDsin百米.又圓弧DB長(zhǎng)為2百米.所以y2asin xa2a，x.(2)記f(x)2a，則f(x)2a(cosxsin x1)2a，x.令f(x)0，得x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化如下表：xf(x)0f(x)極大值所以f(x)在x處取得極大值，這個(gè)極大值就是最大值，即f2a.所以當(dāng)x時(shí)廣告位出租的總收入最大，最大值為2a元.4.(2018連云港質(zhì)檢)如圖(1)是一直角墻角，AOB90，墻角的兩堵墻面和地面兩兩互相垂直.ABCD是一塊長(zhǎng)AB為6米，寬BC為2米的板材，現(xiàn)欲用板材與墻角圍成一個(gè)直棱柱空間堆放谷物. (1)若按如圖(1)放置，如何放置板材才能使這個(gè)直棱柱空間最大？(2)由于墻面使用受限，OA面只能使用2米，OB面只能使用4米.此矩形板材可以折疊圍成一個(gè)直四棱柱空間，如圖(2)，如何折疊板材才能使這個(gè)空間最大？解(1)設(shè)OAx，OBy，x，y(0,6)，且x2y236，因?yàn)橹比庵母邽槎ㄖ?，故底面面積最大時(shí)體積最大.AOB90，SAOBxy9，當(dāng)且僅當(dāng)xy3時(shí)取到等號(hào).即板材放置時(shí)，使得板材與墻面OA成45角.(2)因?yàn)橹彼睦庵母邽槎ㄖ担实酌婷娣e最大時(shí)體積最大，又SAOB為定值，只需尋找SAPB的最大值.又在APB中，AB2，只需尋找AB邊上高的最大值即可.如圖，作PHAB于點(diǎn)H，設(shè)PAx，x(0,6)，AHy，y(0,2)，則PB6x，HB2y，PH2x2y2(6x)2(2y)2，3xy4，PH，當(dāng)y時(shí)，PH最大，此時(shí)x3，即板材放置時(shí)，沿中間折疊，使得PAPB.5.在我國(guó)某海域O處有一海警執(zhí)法艦發(fā)現(xiàn)位于北偏西60的A處有一艘走私船，并測(cè)得O，A兩點(diǎn)相距12海里，且走私船行駛速度是海警執(zhí)法艦行駛速度的一半.現(xiàn)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)若兩者均沿直線勻速行駛，求走私船能被海警執(zhí)法艦截獲的路徑的曲線方程；(2)若滿(mǎn)足xy400的點(diǎn)(x，y)組成的區(qū)域是公海，試問(wèn)海警執(zhí)法艦是否一定能在我國(guó)領(lǐng)海內(nèi)截獲走私船？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不能，則需要使用巡邏艇進(jìn)行快速追擊，請(qǐng)問(wèn)巡邏艇的速度至少應(yīng)為走私船速度的幾倍才能在我國(guó)領(lǐng)海內(nèi)截獲走私船？解(1)由條件可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6，6)，設(shè)走私船在點(diǎn)P(x，y)處被海警執(zhí)法艦截獲，則PO2PA，從而2，化簡(jiǎn)整理得(x8)2(y8)264，所以所求路徑是以點(diǎn)(8，8)為圓心，8為半徑的圓，其方程為(x8)2(y8)264.(2)由(1)得，點(diǎn)(8，8)到直線xy400的距離為42)倍，此時(shí)有t，化簡(jiǎn)得(t21)x2(t21)y212t2x12t2y144t20，其圓心坐標(biāo)為，半徑為.由和t2，得2t23t50，所以t，故巡邏艇的速度至少應(yīng)為走私船速度的2.5倍才能在我國(guó)領(lǐng)海內(nèi)截獲走私船.6.(2018常熟調(diào)研)如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB為2米，梯形的高為1米，CD為3米，上部是個(gè)半圓，固定點(diǎn)E為CD的中點(diǎn). MN是由電腦控制可以上下滑動(dòng)的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計(jì))，且滑動(dòng)過(guò)程中始終保持和CD平行.當(dāng)MN位于CD下方和上方時(shí)，通風(fēng)窗的形狀均為矩形MNGH(陰影部分均不通風(fēng)).(1)設(shè)MN與AB之間的距離為x米，試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù)yS(x)；(2)當(dāng)MN與AB之間的距離為多少米時(shí)，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積S取得最大值？解(1)當(dāng)0x1時(shí)，過(guò)A作AKCD于K(如圖)，則AK1, DK，HM1x，由2，得DH，HG32DH2x，S(x)H