概率論答案 - 李賢平版 - 第四章.doc

151 概率論計(jì)算與證明題 第四章 數(shù)字特征與特征函數(shù)1、設(shè)是事件A在n次獨(dú)立試驗(yàn)中的出現(xiàn)次數(shù)，在每次試驗(yàn)中，再設(shè)隨機(jī)變量視取偶數(shù)或奇數(shù)而取數(shù)值0及1，試求及。2、袋中有k號的球k只，從中摸出一球，求所得號碼的數(shù)學(xué)期望。3、隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的概率為，已知，試決定A與B。4、袋中有n張卡片，記號碼1,2,n,從中有放回地抽出k張卡片來，求所得號碼之和的數(shù)學(xué)期望及方差。5、試證：若取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則。6、若隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為 。試求，。7、若相互獨(dú)立，均服從，試證。8、甲袋中有只白球只黑球，乙袋中裝有只白球只黑球，現(xiàn)從甲袋中摸出只球放入乙袋中，求從乙袋中再摸一球而為白球的概率。9、現(xiàn)有n個(gè)袋子，各裝有只白球只黑球，先從第一個(gè)袋子中摸出一球，記下顏色后就把它放入第二個(gè)袋子中，再從第二個(gè)袋子中摸出一球，記下顏色后就把它放入第三個(gè)袋子中，照這樣辦法依次摸下去，最后從第n個(gè)袋子中摸出一球并記下顏色，若在這n次摸球中所摸得的白球總數(shù)為，求。10、在物理實(shí)驗(yàn)中，為測量某物體的重量，通常要重復(fù)測量多次，最后再把測量記錄的平均值作為該體質(zhì)重量，試說明這樣做的道理。11、若的密度函數(shù)是偶函數(shù)，且，試證與不相關(guān)，但它們不相互獨(dú)立。12、若的密度函數(shù)為，試證：與不相關(guān)，但它們不獨(dú)立。13、若與都是只能取兩個(gè)值的隨機(jī)變量，試證如果它們不相關(guān)，則獨(dú)立。14、若，試證的相關(guān)系數(shù)等于的相關(guān)系數(shù)。15、若是三個(gè)隨機(jī)變量，試討論（1）兩兩不相關(guān)；（2）；（3）之間的關(guān)系。16、若服從二元正態(tài)分布，。證明：與的相關(guān)系數(shù)，其中。17、設(shè)服從二元正態(tài)分布，試證：。18、設(shè)與獨(dú)立，具有相同分布，試求與的相關(guān)系數(shù)。19、若服從，試求。20、若及分別記二進(jìn)制信道的輸入及輸出，已知 ，試求輸出中含有輸入的信息量。21、在12只金屬球中混有一只假球，并且不知道它比真球輕還是重，用沒有砝碼的天平來稱這些球，試問至少需要稱多少次才能查出這個(gè)假球，并確定它比真球輕或重。22、試用母函數(shù)法求巴斯卡分布的數(shù)學(xué)期望及方差。23、在貝努里試驗(yàn)中，若試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，試證成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)這兩個(gè)變量獨(dú)立的充要條件，是服從普阿松分布。24、設(shè)是一串獨(dú)立的整值隨機(jī)變量序列，具有相同概率分布，考慮和，其中是隨機(jī)變量，它與相互獨(dú)立，試用（1）母函數(shù)法，（2）直接計(jì)算證明。25、若分布函數(shù)成立，則稱它是對稱的。試證分布函數(shù)對稱的充要條件，是它的特征函數(shù)是實(shí)的偶函數(shù)。26、試求均勻分布的特征函數(shù)。27、一般柯西分布的密度函數(shù)為。證它的特征函數(shù)為，利用這個(gè)結(jié)果證明柯西分布的再生性。28、若隨機(jī)變量服從柯西分布，而，試證關(guān)于特征函數(shù)成立著，但是與并不獨(dú)立。29、試求指數(shù)分布與分布的特征函數(shù)，并證明對于具有相同值的分布，關(guān)于參數(shù)有再生性。30、求證：對于任何實(shí)值特征函數(shù)，以下兩個(gè)不等式成立：。31、求證：如果是相應(yīng)于分布函數(shù)的特征函數(shù)，則對于任何值恒成立：。32、隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，且它的階矩存在，令，稱為隨機(jī)變量的k階半不變量，試證（是常數(shù)）的階半不變量等于。33、試求出半不變量與原點(diǎn)矩之間的關(guān)系式。34、設(shè)相互獨(dú)立，具有相同分布試求的分布，并寫出它的數(shù)學(xué)期望及協(xié)方差陣，再求的分布密度。35、若服從二元正態(tài)分布，其中，試找出矩陣，使，且要求服從非退化的正態(tài)分布，并求的密度函數(shù)。36、證明：在正交變換下，多元正態(tài)分布的獨(dú)立、同方差性不變。37、若為 ，（1）求隨機(jī)變量的邊際分布；（2）求。 38、若的取值是非負(fù)數(shù)，且,又，求39、設(shè)且二者獨(dú)立，求 ,的相關(guān)系數(shù)40、某汽車站在時(shí)間t內(nèi)發(fā)車的概率為P(t)=1-，求某人等候發(fā)車的平均勻時(shí)間。41、某廠生產(chǎn)的園盤的直徑服從內(nèi)的均勻分布，求園盤面積的數(shù)學(xué)期望。42、搜索沉船， 在時(shí)間t內(nèi)發(fā)現(xiàn)沉船的概率為， 求為了發(fā)現(xiàn)沉船所需要的平均搜索時(shí)間。43、從數(shù)字中按有放回方式取數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量表示第一次選取的數(shù)字，隨機(jī)變量表示第二次選取的不小于的數(shù)字. (1)寫出的聯(lián)合分布列; (2)求.44、如果互不相關(guān),且方差分別為,求的相關(guān)系數(shù).45、將三個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)盒子中去，設(shè)隨機(jī)變量分別表示放入第一個(gè)、第二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)。1)求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列; 2)求46、設(shè)相互獨(dú)立，且，求的相關(guān)系數(shù)。47、民航機(jī)場一送客汽車載有20個(gè)旅客從機(jī)場開出，旅客可從10個(gè)站下車，如果到站沒人下車就不停車，假定乘客在每個(gè)車站下車是等可能的，求平均停車次數(shù)。48、據(jù)統(tǒng)計(jì)，一個(gè)40歲的健康者在5年內(nèi)死亡的概率為，保險(xiǎn)公司開辦五年人壽保險(xiǎn)，條件是參加者需要交保險(xiǎn)費(fèi)元，若五年內(nèi)死亡，公司賠償元，問應(yīng)如何確定才能使公司可望受益？若有個(gè)人參加保險(xiǎn)，公司可望收益多少?49、對敵人防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次命中目標(biāo)的炸彈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，其期望值是2，方差是1.69，求100次轟炸中有180220顆命中目標(biāo)的概率。50、若有把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有1把打開門上的鎖。用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖，設(shè)取得每把鑰匙是等可能的。若每把鑰匙試開后除去，求試開次數(shù)的期望。51、對球的直徑作近似測量，其值均勻分布在區(qū)間上。求球的體積的期望。52、設(shè)服從幾何分布，它的概率分布列為：，其中，求，。53、設(shè)離散隨機(jī)變量的分布列為，求的期望。54、有3只球，4只盒子，盒子的編號為。將球隨機(jī)地放入4只盒子中去。記為其中至少有1只球的盒子的最小號碼。求。55、隨機(jī)地?cái)S6個(gè)骰子，利用切比雪夫不等式估計(jì)6個(gè)骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和在15點(diǎn)到27點(diǎn)之間的概率。56、已知正常成人血液中，每亳升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，標(biāo)準(zhǔn)差是700。利用切比雪夫不等式估計(jì)每亳升男性成人血液中含白細(xì)胞數(shù)在5200至9400之間的概率。57、一部件包括10部分，每部分的長度是一個(gè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立且服從同一分布、其期望是2，標(biāo)準(zhǔn)差是0.05。規(guī)定總長度為時(shí)產(chǎn)品合格，求產(chǎn)品合格的概率。58、根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的，求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率。59、證明Cuchy-Swchz不等式，若 存在 ,則60、設(shè)r0，則當(dāng) E 存在時(shí)， ,有。61、若 則。62、設(shè)與都只取兩個(gè)數(shù)值，且與不相關(guān)，則與獨(dú)立。63、敘述并證明契比雪夫大數(shù)定律。64、若是取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，均存在，則。65、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)是，求證: 66、證明：對取值于區(qū)間中的隨機(jī)變量恒成立，。67、設(shè)隨機(jī)變量的方差存在，為任一實(shí)數(shù)，證明：68、設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為： ， 其中為正整數(shù)， 證明：69、若相互獨(dú)立且同分布，試證： 對任意的有70、如果隨機(jī)變量序列，當(dāng)時(shí)有，證明：服從大數(shù)定律.71、設(shè)的密度函數(shù)是 ，證明與不相關(guān)，且不獨(dú)立。72、設(shè)連續(xù)型的密度函數(shù)為 (其中為正整數(shù))，試?yán)闷踟悤苑虿坏仁阶C明.73、設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，的分布列為X 0 =1,2, 證明：74、若的密度函數(shù)是偶函數(shù)，且，試證與不相關(guān)，但它們不相互獨(dú)立。75、若的密度函數(shù)為，試證：與不相關(guān)，但它們不獨(dú)立。76、若與都是只能取兩個(gè)值的隨機(jī)變量，試證如果它們不相關(guān)，則獨(dú)立。77、若，試證的相關(guān)系數(shù)等于的相關(guān)系數(shù)。78、Pareto分布的為密度函數(shù)為，這里，試指出這分布具有階矩，當(dāng)且僅當(dāng)。79、若的密度函數(shù)為，試證對于任何，。80、記，若，試證， 。81、試用母函數(shù)法證明二項(xiàng)分布及普阿松分布的再生性。82、若分布函數(shù)成立，則稱它是對稱的。試證分布函數(shù)對稱的充要條件，是它的特征函數(shù)是實(shí)的偶函數(shù)。83、若隨機(jī)變量服從柯西分布，而，試證關(guān)于特征函數(shù)成立著，但是與并不獨(dú)立。84、若相互獨(dú)立且服從相同分布，試證服從參數(shù)為的分布，并說明分布也有再生性。85、求證：對于任何實(shí)值特征函數(shù)，以下兩個(gè)不等式成立：。86、隨機(jī)變量的特征函數(shù)為，且它的階矩存在，令，稱為隨機(jī)變量的k階半不變量，試證（是常數(shù)）的階半不變量等于。87、求證，在時(shí)有不等式。88、若具有有限方差，服從同一分布，但各間，和有相關(guān)，而是獨(dú)立的，證明這時(shí)對大數(shù)定律成立。第四章 解答1、解：服從兩占分布，由第二章第29題得，事件A出現(xiàn)奇數(shù)次=P事件A出現(xiàn)偶數(shù)次，所以，.2、解：設(shè)表取一球的號碼數(shù)。袋中球的總數(shù)為，所以.3、解：由于是分布，所以應(yīng)有，即。又由已知，即，, 。4、解：設(shè)表示抽出k張卡片的號碼和，表示第i次抽到卡片的號碼，則，因?yàn)槭欠呕爻槿?，所以諸獨(dú)立。由此得，對。，；，。5、證： .6、解：. .7、證：的聯(lián)合密度為， （利用密度函數(shù)的積分值為1，減a再加a）（在前一積分中交換積分次序，在后一積分中交換x與y的記號） .8、解：令B表“從乙袋摸一球?yàn)榘浊颉?，表從甲袋所摸個(gè)球中白球數(shù)，則取值，服從超幾何分布，且，考慮到若，則當(dāng)時(shí)；若，則當(dāng)時(shí)；而在條件概率定義中要求 由此得 .9、解：令，則，。由此類推得， 。又，。10、解：以表第i次測量值，由于受測量過程中許多隨機(jī)因素的影響，測量值和物體真實(shí)重量之間有偏差，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并有。測量記錄的平均值記為，則， 。平均值的均值仍為，但方差只有方差的，而方差是描述隨機(jī)變量對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度，所以以作為物體的重量，則更近于真值。11、證：設(shè)是的密度函數(shù)，則。由是奇函數(shù)可得，從而。又由于是奇函數(shù)，得故與不相關(guān)。由于的密度函數(shù)是偶函數(shù)，故可選使，亦有，其中等式成立是由于。由此得與不獨(dú)立。12、證：，同理。即與不相關(guān)。但與不獨(dú)立，事實(shí)上可求得，而當(dāng)且時(shí)，。13、證：設(shè)。作兩個(gè)隨機(jī)變量。由與不相關(guān)即得，而， ，由上兩式值相等，再由得此即。同理可證，從而與獨(dú)立。14、證：，。欲，題中需補(bǔ)設(shè)與同號。15、解：（一）證(1)a(2)，設(shè)（1）成立，即兩兩不相關(guān)，則 ，（2）成立。（二）(1)(3)。設(shè)，并設(shè)與獨(dú)立，則（記）：，由第三章25題知，兩兩獨(dú)立，從而兩兩不相關(guān)，滿足（1）。而，這時(shí)，（3）不成立。（三）(2)(1)。設(shè)，則。，滿足（2）。但顯然兩兩相關(guān)，事實(shí)上由得與相關(guān)，（1）不成立。（四）(2)(3)。事實(shí)上，由(1)a(2)，(1)(3)得必有(2)(3)。（五）(3)(2)。設(shè)則再設(shè)與獨(dú)立，從而的函數(shù)與也獨(dú)立，我們有，滿足（3）。但。（2）成立。（六）(3)(1)。事實(shí)上，由(1)a(2)，(3)(2)得必有(3)(1)。（七）當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，(1)，(2)，(3)同時(shí)成立。16、證：由題設(shè)得（令）令，則由，而得，即，變形得， 或，所以 。注意到，且與同號，即與同號，故得（其中）。17、證：由題設(shè)得用部分積分法，令，余下部分為，得。18、解：記，則， ， ，。19、解：。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)。20、解：。，所以輸出中含有輸入的信息量H（入）H出（入）為H（入）H出（入）H（出）H入（出）。21、解：需要確定其結(jié)局的實(shí)驗(yàn)有24個(gè)可能結(jié)局，即12個(gè)是假球，且它比真的輕或重。若認(rèn)為全部結(jié)局是等概的，則實(shí)驗(yàn)的熵，即需要得到個(gè)單位信息。由稱一次（隨便怎樣的）所構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)，可以有3個(gè)結(jié)局（即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡），進(jìn)行次復(fù)合試驗(yàn)后，可得到不大于的信息，而，所以至少得稱三次才可以稱出假球，且判明它比真球輕或重。具體稱法共有十幾種，詳見雅格洛姆著：“概率與信息”，這里僅取一法敘述如下：第一次稱：天平兩端分放1、2、3、4和5、6、7、8，下余I、II、III、IV。（A）若第一次稱時(shí)平衡，則假球在I、II、III、IV中。第二次稱：天平兩端分放I、II和III、1，注意1是真球。（AA）若第二次稱時(shí)平衡，則IV是假球；再把1和IV分放天平兩端稱第三次，可判別假球IV比真球1輕或重。（AB）若第二次稱進(jìn)I、II較重（或輕），第三次稱：天平兩端分放I和II。（ABA）若第三次稱時(shí)平衡，則II是假球，且比真球較輕（或重）。（ABB）若第三次稱時(shí)不平衡，則與（AB）中同重（或輕）的那球是假球，且它比真球較重（或輕）。（B）若長一資助稱時(shí)1、2、3、4較重，則假球在天平上。第二次稱：天平兩端分放1、2、5和3、4、6。（BA）若第二次稱時(shí)平衡，則7、8中之一為假球，由第一次稱的結(jié)果知假球較輕，再把7和8分放天平兩端稱第三次，即可假球。（BB）若第二次稱時(shí)1、2、5較重，則或1、2中之一為假球，且它比真球較重，或6是假球且它比真球較輕。第三次稱：天平兩端分放1和2。（BBA）若第三次稱進(jìn)平衡，則6是假球且比真球輕。（BBB）若第三次稱時(shí)不平衡，則較重的一球是假球，且它比真球重。（C）若第一次稱時(shí)5、6、7、8較重，則只需把（B）中編號1、2、3、4與5、6、7、8依次互換，即得稱法。22、解：巴斯卡分布為。其母函數(shù)為。，。23、證：設(shè)，。則的母函數(shù)為。同理可得的母函數(shù)為，的母函數(shù)記為。以表示成功次數(shù)，則，本題認(rèn)為與獨(dú)立，得的母函數(shù)為。同理，以表示失敗次數(shù)，則，其母函數(shù)為。必要性。設(shè)與獨(dú)立，則由得。因?yàn)椋匀粲浬鲜阶筮叺淖兞糠謩e為，可得。令，則上式變成。利用教本P97引理可得。即的母函數(shù)，這是普阿松分布的母函數(shù)。由于母函數(shù)與分布列之間是相互唯一確定的，所以得是服從普阿松分布的隨機(jī)變量。充分性。設(shè)服從普阿松分布，參數(shù)為，則。同理可得 。又有。再由的任意性即得證與獨(dú)立。24、證：（1）設(shè)的母函數(shù)為，的母函數(shù)為。而，所。由此得其中。（2）直接計(jì)算。由題設(shè)得利用得 。記，利用及得最后，再利用得。25、證：必要性。由得，此即，所以對特征函數(shù)有，由此知是實(shí)函數(shù)。又有，所以又是偶函數(shù)。充分性。由于，又由題設(shè)知是實(shí)函數(shù)，所以。由唯一性定理知，與的分布函數(shù)相同，即，從而。26、解：。當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。27、證： （1） 考慮復(fù)變函數(shù)的積分，當(dāng)，取為上 y 半圓周和實(shí)軸上從到 c的圍道（如圖），若位于上半圓周上，則 x，有 -R 0 R （2）對有 。由及題設(shè)得，所以對有 （當(dāng)時(shí)） （3）在上半平面上，僅有是被積函數(shù)的一階極點(diǎn)，由復(fù)變函數(shù)中留數(shù)定理得，對任何有 （4）其中把（2），（3），（4）代入（1）式得 （5）由于 ，是的奇函數(shù)，它在上積分值為0；是的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其積分值應(yīng)與時(shí)積分值相等；再注意到（5）中右端，所以當(dāng)時(shí)有 （6）當(dāng)時(shí)有 （7）把（5）（7）代入（1）式得，對任意有?，F(xiàn)證柯西分布具有再生性。設(shè)的特征函數(shù)為，再設(shè)與獨(dú)立，則，所以仍服從柯西分布，且參數(shù)為。28、證：由上題得，所以由得。但與并不獨(dú)立，事實(shí)上，可取使，則，這說明由與獨(dú)立可推得，但反之不真。29、解：（1）指數(shù)分布。當(dāng)時(shí)，其密度函數(shù)為，所以它的特征函數(shù)為，其中。（2）分布。當(dāng)時(shí)，其密度函數(shù)為，為求其特征函數(shù)，我們指出，對復(fù)數(shù)，只要，就有如下等式成立：。利用此式可求得分布的特征函數(shù)為?，F(xiàn)證分布具有再生性。設(shè)，則它們的特征函數(shù)分別為，再設(shè)與獨(dú)立，則有，所以服從分布，分布具有獻(xiàn)策性。30、證：是實(shí)值函數(shù)，復(fù)數(shù)部分為0，只需對實(shí)部計(jì)算。，其中利用柯西許瓦茲不等式（置）。31、證：。由于，所以關(guān)于乘積測度絕對可積，由富比尼定理知可交換上式中積分次序，得。記，則當(dāng)時(shí)有 ，當(dāng)時(shí)有 。由此得，且。由控制收斂定理得。32、證：由得，亦有。當(dāng)時(shí)，等式兩邊同對求階導(dǎo)數(shù)，一項(xiàng)導(dǎo)數(shù)為0所以由定義得的等于的。33、解：利用特征函數(shù)的原點(diǎn)矩之間的關(guān)系式，可把展成冪級數(shù) （1）又利用上題中定義的，可把展成冪級數(shù)。 （2）再把（2）中的展成冪級數(shù)得。 （3）比較（1）與（3）式中的系數(shù)，可得半不變量與原點(diǎn)矩之間的關(guān)系式34、解：由諸獨(dú)立得的密度函數(shù)為，數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣為， 。由上題知，所以的分布密度為。35、解：取。令，其中，則與的特征函數(shù)分別為，且有，即。矩陣不唯一，取可解得，從而，這時(shí)滿足題中的要求，由得非退化，且的密度函數(shù)為。36、證：設(shè)，獨(dú)立同方差，其協(xié)方差矩陣和特征函數(shù)分別為，。再設(shè)，其中是正交矩陣，即滿足， 。由此得，其特征函數(shù)為，即的協(xié)方差矩陣為，利用C的正交性計(jì)算得矩陣中都是對從1到求和的。由協(xié)方差矩陣知，的各分量間兩兩不相關(guān)且同方差，再由正態(tài)分布間相互獨(dú)立的充要條件是它們兩兩不相關(guān)得，相互獨(dú)立且同方差。37、解： (1) 的邊際分布是: (2)同理 給定的條件密度 38、解: 由x 的取值特征有: ， 又 聯(lián)立解得 39、.解: 獨(dú)立 40、解：設(shè)旅客等車的時(shí)間為，它是隨機(jī)變量 故服從參數(shù)是8的指數(shù)分布，即的密度為 平均等車時(shí)間為 41、解： 設(shè)園盤直徑為 則 園盤面積 由于 42、解：設(shè)為所需時(shí)間，則，于是的密度函數(shù) , 所以 , 所以發(fā)現(xiàn)沉船所需的平均搜索時(shí)間為 43、解:1) x12341203004000 2) 44、解： 互不相關(guān) 故 45、解： 1) x012301020030002） 46、解： (獨(dú)立) ， 故 47、解：設(shè)表示送客汽車在站是否停車，則其分布為01p 故總停車次數(shù)為 48、解：設(shè) 為公司從一個(gè)參加者身上獲得利益則 為一個(gè)分布列為 公司期望獲益有 對個(gè)人公司獲益為 49、解：設(shè)第次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為則100次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù) 為 50、解：設(shè)第次打開門，。的可能的取值為。，依次下去，有X1 2 3 因此，的分布列為 故 。51、解：設(shè)球的直徑為，其概率密度為，球的體積，它的期望為52、解：53、解：的可能值為：，； ； 故.54、解：的可能值為1，2，3，4。，。又因，。故，。故知。55、解：設(shè)為第個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它們相互獨(dú)立。為6個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，即。則故 。由切比雪夫不等式 56、解：設(shè)每亳升正常男性成人血液中含白細(xì)胞數(shù)為，由題設(shè)知。由切比雪夫不等式57、解：設(shè)第第部分長度為。相互獨(dú)立且服從同一分布。，故由中心極限定理，產(chǎn)品合格的概率為58、解：設(shè)第只元件的壽命為，則獨(dú)立且服從指數(shù)分布，且故59、證明: 令，對于一切； 所以, 故即： 至多只有一個(gè)實(shí)根 從而 證畢 60、證: 設(shè) 的分布函數(shù)為，因?yàn)椋?存在 故 61、證： 62、證： 設(shè) 由于不相關(guān) 即得 即 ，故獨(dú)立。 63、證： 切比雪夫大數(shù)定律是: 若是兩兩互不相關(guān)的隨機(jī)交量序列，且存在常數(shù)，使 ，則 證明: 由切比雪夫不等式知： (用到了 互不相關(guān)性) 證畢64、證： 設(shè)的分布列: 而 65、證： 66、證：設(shè)是的分布函數(shù)， 即: 67、證： 68、證： 因 故 69、證：因 ， 故 70、證：取 則 即 故服從大數(shù)定律 71、證：先求邊際分布。 類似 再求 由于均為偶函數(shù) 與不相關(guān) 最后，由于 72、證： 73、證：，故。從而，由切