函數(shù)連續(xù)的判別方法.doc

函數(shù)連續(xù)的判別方法姓名：呂雙雙 學(xué)號(hào)：200840510526 指導(dǎo)教師：張小小摘要：本文通過具體實(shí)例,研究函數(shù)連續(xù)的判別方法,重點(diǎn)是一元函數(shù)和二元函數(shù)連續(xù)的方法總結(jié).從函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)到函數(shù)在區(qū)間連續(xù)進(jìn)行過渡.在判斷一元函數(shù)連續(xù)性時(shí),首先從基本的定義出發(fā),判斷函數(shù)是否連續(xù),再由函數(shù)連續(xù)的等價(jià)定義對(duì)函數(shù)連續(xù)進(jìn)行判別;當(dāng)我們學(xué)習(xí)可微函數(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)與可微函數(shù)之間的關(guān)系,利用這種關(guān)系判斷函數(shù)的連續(xù)性.在研究多元函數(shù)連續(xù)性時(shí),以二元函數(shù)為例,通過一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)性之間的差別與聯(lián)系,進(jìn)而總結(jié)多元函數(shù)連續(xù)的判斷方法.關(guān)鍵詞：一元函數(shù);二元函數(shù);連續(xù)性;方法 Continuous Function Identification MethodName: Lv Shuangshuang Student number:200840510526 Advisor: Zhang XiaoxiaoAbstract: Through the concrete examples, this article studies the function of the continuous identification method, the point is the summary of continuous method of unary function and binary function. From the continuous function at some point to continuous function in the interval for transition. In judging unary function continuity, firstly we use the basic definition to judge whether the function is continuous, then study by the equivalent of continuous function definition continuous function discrimination; When we study the differentiable function ,we find the relationship between the continuous function and the differentiable function, and use this relationship to judge function continuity . In studying Multiple function continuity, the binary function as an example, through the difference the relation of continuity between unary function and binary function, we summary judgment method of continuous multiple function. Key words: unary function; binary function; continuity; method 函數(shù)的連續(xù)性的研究在函數(shù)論中占有著舉足輕重的地位,連續(xù)性是自然界中廣泛存在的一種性質(zhì),是研究函數(shù)其他性質(zhì)的前提條件,它是描述變量之間最基本的連續(xù)關(guān)系的概念.從某種意義上來說,人們對(duì)一元函數(shù)的連續(xù)性問題已經(jīng)有了相當(dāng)深入的研究，除了函數(shù)連續(xù)的基本的定義，還可以用函數(shù)的幾種等價(jià)定義來判斷一元函數(shù)的連續(xù)性.但是在多元函數(shù)的連續(xù)性研究中，由于在二元函數(shù)中的過程比的過程更為復(fù)雜,這讓我們掌握多元函數(shù)的連續(xù)性更加困難,多元函數(shù)的連續(xù)性除了定義我們尚不能找出其他行之有效的判別方法,正是因?yàn)闃O限過程的復(fù)雜性,我們能否利用單變量的連續(xù)性和多元函數(shù)連續(xù)性之間的關(guān)系來判斷多元函數(shù)連續(xù)性,也將是本文研究的重點(diǎn)之一.一 、一元函數(shù)的連續(xù)性的判別方法(一)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1 定義法 定義1.11：設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定義，若則稱在點(diǎn)連續(xù). 例15 設(shè)函數(shù),問函數(shù)在處是否為連續(xù)函數(shù). 解：依據(jù)定義1.1只需證明,即求極限 .令則當(dāng)時(shí)，；再利用等價(jià)無窮小替代,可得 原式 ,因?yàn)?，?可知函數(shù)在處連續(xù). 我們了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)與函數(shù)在某點(diǎn)左右連續(xù)之間存在某種連續(xù)，利用兩者之間的聯(lián)系我們得到以下定理. 定理1.13：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：在點(diǎn)既是右連續(xù)，又是左連續(xù). 注：在應(yīng)用定理1.1證明函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)時(shí)，絕大部分用于分段函數(shù)、的情況。 例 2 函數(shù),試問在處是否連續(xù).解 分別對(duì)函數(shù)在處求左右極限 ，因?yàn)?由定理1.1知在處連續(xù).定義1.23 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若則稱 在點(diǎn)處連續(xù). 例3 在點(diǎn)是否連續(xù). 解 ,因?yàn)?所以根據(jù)定義1.2則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).類似地，同樣我們也可以用“”語言來敘述函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義，得到如下定義，此定義對(duì)我們研究函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)極其重要. 定義1.32 若對(duì)任給的，存在，使得當(dāng)時(shí)有 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù). 2 導(dǎo)函數(shù)法 在第五章中，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的思想，進(jìn)一步的探討中得出了函數(shù)可導(dǎo)與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系. 定理1.23 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù). 例4 現(xiàn)在運(yùn)用定義1.3和定理1.2證明函數(shù)的連續(xù)性. 證明 方法1 當(dāng)時(shí)，,而當(dāng)時(shí)，故，對(duì)任給的，取即可，當(dāng)時(shí),不妨設(shè)，由于,（最后一個(gè)不等于是因?yàn)椋?，所以?則當(dāng)時(shí)，有，因此在內(nèi)連續(xù). 方法2 對(duì)函數(shù)求導(dǎo),因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)在上有定義，由定理1.2知函數(shù)在上連續(xù).在以上判斷函數(shù)連續(xù)性的方法中，我們應(yīng)用定理1.2判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)將是最為方便，也是應(yīng)用最多的一種方法.(二)函數(shù)在某區(qū)間上的連續(xù)定義1.41 若在區(qū)間上每點(diǎn)處連續(xù)，則稱在上連續(xù)（若包括端點(diǎn)則在端點(diǎn)的連續(xù)指單側(cè)連續(xù)）. 在證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)時(shí)，我們可以適用證明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的方法來證明函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).在這里值得我們注意的是某些方法中，只需要將具體的一點(diǎn)改為任意一點(diǎn).例5 求證和在都連續(xù). 證明 對(duì)，我們有，對(duì)于，取，于是當(dāng)時(shí)，就有，按照定義1.3知和都在點(diǎn)處都連續(xù)，再由的任意性和定義1.4知和在都連續(xù). 綜上所述，我們知道掌握函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的證明方法是證明函數(shù)連續(xù)的基礎(chǔ)，只有學(xué)會(huì)熟練上述方法才是我們進(jìn)一步了解函數(shù)的基礎(chǔ).二、多元函數(shù)的連續(xù)性的判別方法 在以上敘述中簡要地介紹了一元函數(shù)連續(xù)的判別方法,可以看出判別一元函數(shù)連續(xù)我們有很多選擇，但是對(duì)于判別多元函數(shù)連續(xù)性方法時(shí)，除了定義法我們尚不能找出其他形式的有效的方法，而能否根據(jù)一元函數(shù)連續(xù)性判別方法和多元函數(shù)連續(xù)與一元函數(shù)連續(xù)之間的聯(lián)系進(jìn)而找出證明多元函數(shù)連續(xù)的其他方法.在研究多元函數(shù)連續(xù)性時(shí),我們重點(diǎn)在研究二元函數(shù)，以二元函數(shù)為例，總結(jié)多元函數(shù)連續(xù)的證明方法.（1）定義法定義2.14 設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，（它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)）.對(duì)于任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，只要，就有，則稱關(guān)于集合在點(diǎn)連續(xù). 由一元函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的定義可以推出二元函數(shù)在集合上連續(xù)的定義，即若在上的任何點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱為上的連續(xù)函數(shù). 和一元函數(shù)一樣，可以用增量形式來描述連續(xù)性，我們得出函數(shù)關(guān)于集合在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義. 定義2.24 設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，（它或者是的聚點(diǎn)，或是的孤立點(diǎn)）.設(shè)、，函數(shù)在點(diǎn)的全增量 ,若時(shí)，則稱在點(diǎn)連續(xù).(2)導(dǎo)函數(shù)法9在研究二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)可微性,可偏導(dǎo)性與函數(shù)連續(xù)性之間的聯(lián)系和差別時(shí),發(fā)現(xiàn)函數(shù)在某點(diǎn)可微則函數(shù)在此點(diǎn)一定連續(xù),而函數(shù)在此點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)必可微.例6 設(shè)函數(shù)討論在處的連續(xù)性. 解 方法1 ，所以在處的連續(xù)性. 方法2 當(dāng)時(shí)，所以；同理當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；因?yàn)?，于是?因?yàn)椋谑牵?,.即，在點(diǎn)處連續(xù)，因此在點(diǎn)處可微. 即在點(diǎn)處連續(xù).（3）多元函數(shù)的連續(xù)與關(guān)于單變量連續(xù)的關(guān)系 定理2.37 設(shè)在上分別對(duì)每一個(gè)自變量和是連續(xù)的，并且每當(dāng)固定時(shí)對(duì)是單調(diào)的，證明是上的二元連續(xù)函數(shù). 證明 ，由于關(guān)于連續(xù)，從而在連續(xù)，于是，當(dāng)，有.對(duì)于點(diǎn)及，由于關(guān)于連續(xù)，從而在連續(xù)，故對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)，時(shí)，由于關(guān)于單調(diào)，所以有,但是，故，當(dāng)時(shí)，有 .因此在點(diǎn)出連續(xù)，由于的任意性可知，是上的二元函數(shù)6. 三、小結(jié) 在以上證明函數(shù)連續(xù)的方法中，我們總結(jié)了證明函數(shù)連續(xù)的基本方法和常見的方法，這些對(duì)于以后我們?cè)诤瘮?shù)論中證明函數(shù)的連續(xù)性和掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)性解決函數(shù)問題、研究函數(shù)連續(xù)與函數(shù)可微性之間的關(guān)系、多元函數(shù)的連續(xù)與關(guān)于單變量連續(xù)的關(guān)系都有一定的幫助.參考文獻(xiàn)：1 李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）M.北京：科學(xué)出版社，1999.5.2 周性偉，劉立民.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）M.天津：南開大學(xué)出版社，1986.9.3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）M.北京：高等教育出版社，2001.4 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）M.北京：高等教育出版社，2001.5 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，武漢科技學(xué)院數(shù)理系.微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M.北京：高等教育出版社，2001.7.6 任親謀.數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析（下冊(cè)）M.陜西師范大學(xué)出版社.7