2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.1.1正弦定理（第1課時）正弦定理（1）學(xué)案新人教A版.docx

第1課時正弦定理(1)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明(難點).2.能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題(重點)1.通過對正弦定理的推導(dǎo)及應(yīng)用正弦定理判斷三角形的形狀，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).2.借助利用正弦定理求解三角形的邊長或角的大小的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).1正弦定理思考：如圖所示，在RtABC中，各自等于什么？提示c.2解三角形(1)一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素(2)已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形思考：利用正弦定理可以解決哪兩類有關(guān)三角形問題？提示利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和第三個角；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而求出其他的邊和角1在ABC中，若角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列各式一定成立的是()ABCasin Bbcos ADacos Bbsin AB在ABC中，由正弦定理，得.2在ABC中，若A60，B45，BC3，則AC_2由正弦定理得：，所以AC2.3在ABC中，A45，c2，則AC邊上的高等于_AC邊上的高為ABsin Acsin A2sin 45.4在ABC中，若a3，b，A，則C_由正弦定理得：，所以sin B.又ab，所以AB，所以B，所以C.正弦定理證明【例1】在鈍角ABC中，證明正弦定理證明如圖，過C作CDAB，垂足為D，D是BA延長線上一點，根據(jù)正弦函數(shù)的定義知：sinCADsin(180A)sin A，sin B.CDbsin Aasin B.同理，.故.1本例用正弦函數(shù)定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使你理解更深刻，記憶更牢固2要證，只需證asin Bbsin A，而asin B，bsin A都對應(yīng)CD.初看是神來之筆，仔細(xì)體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力1如圖所示，銳角ABC的外接圓O半徑為R，證明2R.證明連接BO并延長，交外接圓于點A，連接AC，則圓周角AA.AB為直徑，長度為2R，ACB90，sin A，sin A，即2R.已知兩角及一邊解三角形【例2】在ABC中，已知c10，A45，C30，解這個三角形解因為A45，C30，所以B180(AC)105.由得a1010.因為sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，所以b2055.已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊2在ABC中，a5，B45，C105，求邊c.解由三角形內(nèi)角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ca555().已知兩邊及一邊的對角解三角形【例3】(1)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C60，b，c3，則A_(2)在ABC中，已知c，A45，a2，解這個三角形(1)75由題意得：，所以sin B，因為bc，所以B45，所以A180BC75.(2)解因為，所以sin C.因為0C180，所以C60或C120.當(dāng)C60時，B75，b1；當(dāng)C120時，B15，b1.所以b1，B75，C60或b1，B15，C120.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角；(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論3在ABC中，A，BC3，AB，則角C等于()A或BCDC由正弦定理，得sin C.因為BCAB，所以AC，則0C，故C.4已知ABC中，ax，b2，B45，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()Ax2Bx2C2x2D2x2C由asin Bba，得x2x，所以2x2.三角形形狀的判斷探究問題1由2R，2R，2R可以得到哪些變形形式？這些變形形式有什么功能？提示(角化邊)sin A，sin B，sin C，(邊化角)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，(邊角互化)abcsin Asin Bsin C.2三角形中常見邊角之間的關(guān)系有哪些？提示在ABC中，(1)abc，|ab|c，(2)abABsin Asin B，(3)ABCsin(AB)sin C，sincos.【例4】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，試判斷ABC的形狀思路探究：解決本題的關(guān)鍵是利用sin A，sin B，sin C把sin2Asin2Bsin2C轉(zhuǎn)化為三角形三邊的關(guān)系，從而判定出角A，然后再利用sin A2sin Bcos C求解解法一：(利用角的互余關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：(利用角的互補(bǔ)關(guān)系)根據(jù)正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形(變條件)將本例題條件“sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C”改為“bacos C”其它條件不變，試判斷ABC的形狀解bacos C，由正弦定理，得sin Bsin Acos C(*)B(AC)，sin Bsin(AC)，從而(*)式變?yōu)閟in(AC)sin Acos C.cos Asin C0.又A，C(0，)，cos A0，A，即ABC是直角三角形1判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系2注意在邊角互化過程中，正弦定理的變形使用，如等1本節(jié)課要牢記正弦定理及其常見變形(1)2R(其中R為ABC外接圓的半徑)；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)；(4)在ABC中，sin Asin BABab.2要掌握正弦定理的三個應(yīng)用(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角(3)判斷三角形的形狀3本節(jié)課的易錯點有兩處(1)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能出現(xiàn)無解或兩解的情況(2)在判斷三角形的形狀時易混淆“等腰或直角三角形”與“等腰直角三角形”1判斷正誤(1)正弦定理只適用于銳角三角形()(2)正弦定理不適用于直角三角形()(3)在某一確定的三角形中，各邊與它所對的角的正弦的比值是一定值()答案(1)(2)(3)提示正弦定理適用于任意三角形，故(1)(2)均不正確2在ABC中，若c2acos B，則ABC的形狀為()A直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D不等邊三角形B由正弦定理知c2Rsin C，a2Rsin A，故sin C2sin Acos Bsin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，所以AB.故ABC為等