（數(shù)量經濟學專業(yè)論文）非線性跟蹤—微分器在VaR中的應用研究.pdf

摘要 風險測量是風險管理的核心和基礎 v a r 體系因其測量的綜合 性而成為金融市場風險測量的主流方法 v a r 的概念雖然簡單 但 對它的度量卻是一個具有挑戰(zhàn)性的統(tǒng)計問題 圍繞v a r 的計算 中 西方學者進行了深入探討 計算v a r 有三種主流方法 但每一種v a r 計算方法都各有其不足之處 近年來人們對此提出了許多改進的方 法 9 0 年代中期逐漸興起的 經濟物理學 給主流經濟學研究提供 了一個新的視角 基于這一視角 復雜科學的研究方法開始進入經 濟學和金融學領域 這一自然科學方法向社會經濟領域擴散的新方 法為本文的研究提供了一個新思路 本文將利用控制論中的非線性 跟蹤一微分器對金融時間序列進行模擬和預測 試圖提出一種新的 仿真模擬方法 應用于v a r 的計算 本文首先介紹了v a r 模型框架 并對v a r 的三種主流計算方法 進行了詳細的討論 然后提出其不足之處和可以改進的地方 接著 介紹非線性跟蹤一微分器的一般理論 推導出二階最速控制系統(tǒng)跟 蹤一微分器的離散形式 并且進行了數(shù)值仿真 然后將非線性跟蹤 微分器應用于v a r 的計算 得到非線性跟蹤一微分器模擬v a r 最后 用非線性跟蹤一微分器模擬v a r 風險測量技術對中國股票市 場進行實證研究 并且對三種v a r 計算方法 m o n t ec a r l o 模擬v a r 歷史模擬v a r 非線性跟蹤一微分器模擬v a r 進行了比較分析和 評價 關鍵詞 金融市場風險測量 v a r 非線性跟蹤一微分器 模擬 a b s t r a c t t h ec o r ea n df o u n d a t i o no fr i s km a n a g e m e n ti sr i s km e a s u r e m e n t b e c a u s eo fi t s c o m p r e h e n s i v em e a s u r e m e n t v a rs y s t e mb e c o m e sa m a j o rm e t h o d f o rf i n a n c i a lm a r k e tr i s k m e a s u r e m e n t a l t h o u g ht h e c o n c e p to fv a r i s s i m p l e i t sm e a s u r e m e n ti sas t a t i s t i c a lp r o b l e mw i t h c h a l l e n g e w e s t e ma n d e a s t e r ns c h o l a r sw e n td e e pi n t od i s c u s s i o n s a r o u n dt h ec a l c u l a t i o no fv a r u s u a l l yi th a st h r e ek i n d so fm a i o r c o m p u t i n gt e c h n o l o g i e s a n de v e r yk i n do fv a rc o m p u t i n gt e c h n o l o g y h a si t sw e a k p o i n t s p e o p l eh a v ep u tf o r w a r dal o to fi m p r o v e dm e t h o d s t ot h i si nr e c e n t y e a r s e c o n o m i cp h y s i c s t h a tr o s eg r a d u a l l yi nt h em i d d l eo ft h e1 9 9 0 s h a sp r o v i d e dan e wv i s u a la n g l ef o rm a j o re c o n o m i c sr e s e a r c h i nv i e w o ft h i sv i s u a la n g l e t h ec o m p l i c a t e ds c i e n c er e s e a r c h a p p r o a c hb e g i n s t o e n t e rt h ef i e l d so fe c o n o m i c sa n df i n a n c e t h i sn e ww a yo fn a r f f a l s c i e n t i f cm e t h o d s p r e a d i n g t os o c i a le c o n o m i cf i e l do f f e r san e w t r a i no f t h o u g h tf o rt h er e s e a r c ho f t h i st e x t t h ea u t h o rw i l lu t i l i z en o n l i n e a r t r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o r a b b r e v i a t e da sn t d i nc y b e r n e t i c st os i m u l a t e a n dp r e d i c tf m a n c i a lt i m es e r i e s a n da t t e m p tt op u tf o r w a r dak i n do f n e we m u l a t i o ns i m u l a t i o nm e t h o d a p p l y i n gt ot h ec a l c u l a t i o no f 強r t h em a i nr e s e a r c hw o r ko f t h i st e x ti sa sf o l l o w s t h i st e x ti n t r o d u c e sv 瓜m o d e lf r a m ea tf i r s t d i s c u s s e si nd e t a i l s t h et h r e eb a s i cc o m p u t i n g t e c h n o l o g i e so f v 報 a n dt h e n c o m p a r e st h e m a n df i n d st h e i rw e a k p o i n t sa n dp l a c e st h a tc a r lb ei m p r o v e d i nw h a t f o l l o w si t p r e s e n t s t h e g e n e r a lt h e o r y o fn t da n ds e v e r a lk i n d so f c o n c r e t e n t d s d e r i v e so u tt h e d i s p e r s e d f o r mo ft h et w oo r d e r f a s t c o n t r o l l i n gs y s t e mn t d a n dc a r r i e so nn u m e r i c a le m u l a t i o n t h e n a p p l i e si tt o 饞艉c a l c u l a t i o na n dg e t sn o n l i n e a rt r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o r s i m u l a t i o n v a r f i n a l l y i tc a r r i e s o nt h e e m p i r i c a l r e s e a r c ho ft h e 2 n o n l i n e a rt r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o rs i m u l a t i o nv a rr i s km e a s u r e m e n t t e c h n o l o g yi n c h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e t t ot h et h r e ec o n c r e t ev a r c o m p u t i n gt e c h n o l o g i e s m o n t e c a r l os i m u l a t i o n v a r h i s t o f i c n s i m u l a t i o nv a r n o n l i n e a rt r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o rs i m u l a t i o nv a r i t a l s oc a r r i e so nc o m p a r a t i v ea n a l y s i sa n da p p r a i s e k e y w o r d s r i s km e a s u r e m e n to f f i n a n c i a lm a r k e t v a r n o n l i n e a r t r a c k i n g d i f f e r e n t i a t o r s i m u l a t i o n 第一章引言 1 1 金融市場風險管理v a r 方法產生的歷史背景 2 0 世紀8 0 年代以來 國際金融市場經歷了前所未有的迅猛發(fā) 展 金融活動不斷地以超乎人們想象的方式影響著人類的整個經濟 活動 面對金融的自由化和國際化浪潮 面對不斷創(chuàng)新的金融工具 和不斷涌現(xiàn)的金融衍生品 投資者不僅需要知道投資活動的預期收 益和資產價值 更需要了解投資活動所承受的風險 19 5 2 年 m a r k o w i t z 發(fā)表了p o r t f o l i os e l e c t i o n 開創(chuàng)了嶄新的投 資組合理論 組合理論中用方差或半方差度量投資風險 特別揭示 了相關性對于投資組合風險的重要性 但組合理論對風險的量化存 在嚴重不足 主要表現(xiàn)在以下幾個方面 1 對投資收益有嚴格的假 定 即假定了收益服從正態(tài)分布 雖然也引進了半方差描述收益的 左半邊 意在放松對整個分布的假定 但仍屬于對期望值的平均偏 離程度的度量 并沒有性質上的改變 2 用方差度量風險只是一個 指標 并沒有給出風險是多少的絕對值 簡言之 沒有用貨幣表 示出風險的大小 對投資者來說并不直觀 3 用方差量化風險沒有 考慮到投資者對于風險的不同承受能力或偏好 在實踐中的應用受 到限制 隨著風險管理實踐的不斷發(fā)展 市場風險管理進一步要求金融 機構或工商企業(yè)在準確辯識和測量市場風險的基礎上 根據(jù)其競爭 優(yōu)勢和風險偏好 利用各種工具和技術對風險進行規(guī)避 防范 轉 移和保留 市場風險管理的基礎和核心是對風險的定量分析和評估 即風險測量 但是面對包含各式各樣復雜衍生金融工具 特別是期權 類非線性工具 的組合證券 傳統(tǒng)的線性度量如占 久期 d u r a t i o n 已不再適用 即使引入凸性 c o n v e x i t y 當標的資產價格發(fā)生巨大 變動時 也不能準確估計風險 基于期權的度量如y 等雖可以計算單 一證券的風險 但它不能概括證券組合的總體市場風險 近二十年來 由于受經濟全球化與金融自由化 現(xiàn)代金融理論 及信息技術的進步 金融創(chuàng)新等因素的影響 金融市場呈現(xiàn)出前所 未有的波動性 金融市場風險成為全球金融機構和監(jiān)管當局關注的 焦點 金融風險管理已成為金融機構和工商企業(yè)管理的核心內容 為了使高層經理及時 準確地了解各項投資所面臨的風險和依據(jù)風 險調整決策 風險管理實踐中開始強調風險報告 最早也是最著名 的風險報告是1 9 9 3 年7 月3 0 國集團發(fā)表的題為 衍生證券的實踐 和規(guī)則 的研究報告 它主要針對的是衍生金融風險管理 是監(jiān)管 組織第一次明確地贊同采用v a r 度量和控制市場風險 隨后 很多 金融機構都開發(fā)了內部使用的模型和系統(tǒng) 以支持風險報告 其中 最著名的是j p m o r g a n 集團開發(fā)的叫做r i s k m e t r i c s 的風險管理系統(tǒng) j p m o r g a n 集團總裁d e n n i sw e a t h e r s t o n e 要求他的下屬每天下午在當 天交易結束后的4 點1 5 分提交一份簡短的報告 指出整個銀行范圍 的投資組合在未來2 4 小時內的風險和潛在的損失是多少 這就是著 名的 4 1 5 報告 依據(jù)巴塞爾委員會在1 9 9 7 年9 月頒布的 有效銀行監(jiān)管的核心 原則 金融機構所面臨的金融風險主要有市場風險 信用風險 流 動性風險 操作風險和法律風險等 其中 市場風險是指由于利率 匯率 股指 商品價格等市場因素的變化而導致的金融資產收益的 不確定性 2 0 世紀7 0 年代以前 由于金融市場價格變化比較平穩(wěn) 金融風險突出地表現(xiàn)為信用風險 然而進入7 0 年代以來 全球金融 體系發(fā)生了巨大變化 以布雷頓森林體系崩潰為標志的固定價格體 系演變?yōu)槭袌鰞r格體系 導致了匯率 利率以及商品價格的波動日 益頻繁 金融市場交易速度的加快和交易量的空前增加 從而導致 了金融市場波動性日趨加劇 2 0 世紀7 0 年代以來由于現(xiàn)代金融理論 的突破 主要是b l a c k s c h o l e s 期權定價公式 計算機與通訊技術的 巨大進展及金融工程技術的出現(xiàn)與廣泛應用 所導致的以衍生工具 的爆發(fā)性增長為標志的 金融創(chuàng)新 活動在提高了金融市場有效性 的同時 也增加了金融市場的波動性與脆弱性 西方主要發(fā)達主義 國家奉行的 放松金融管制 浪潮又為金融創(chuàng)新提供了良好的環(huán)境 這三股力量及其交互作用使金融市場呈現(xiàn)出前所未有的波動性 市 場風險取代信用風險而成為金融風險的最主要的形式 近年來美國 奧倫治縣政府破產案 英國巴林銀行倒閉案 日本大和銀行巨額交 易虧損案等 無不與金融衍生工具有關 這就充分說明了市場風險 在金融機構面臨的諸多風險中的核心地位 1 2 v a r 方法的歷史沿革和國內外研究動態(tài) 1 2 1v a r 方法的歷史沿革 金融機構最關心的是他們面臨的市場風險能否以一個單一的量 化指標表示出來 而且金融監(jiān)管當局也希望能方便地了解其監(jiān)管的 金融機構所面臨的市場風險的大小 以強化市場風險的管理與監(jiān)管 v a r 方法的出現(xiàn)就迎合了這一需要 為了滿足這一要求 j p m o r g a n 的風險管理人員開發(fā)了一種能夠測量不同交易 不同業(yè)務部門市場 風險 并將這些風險集成為一個數(shù)的風險測量方法 撤 1 9 9 4 年1 0 月 j p m o r g a n 公司首先公布了它的v a r 系統(tǒng)r i s k m e t r i c s 它 能夠評價全世界3 0 個國家1 4 0 種金融工具v a r 值 v a r 已經逐漸為 眾多商業(yè)銀行 投資銀行 非金融公司 機構投資者及監(jiān)管機構所 使用和關注 目前正成為金融風險管理的國家標準 在銀行界 無論是國際銀行的巴塞爾委員會 美聯(lián)儲 國際清 算銀行 還是新近成立的歐洲中央銀行 都倡導將y a r 作為一種可 行的風險管理方法 1 9 9 5 年4 月 巴塞爾委員會公布的 有關在資 本充足率協(xié)議中納入市場風險因素的補充文件 中規(guī)定 從1 9 9 7 年 年底開始 其成員銀行在設置應付風險的資本金額時除考慮信用風 險外 還要考慮市場風險 在計算市場風險時 成員銀行可以采用 巴塞爾委員會制定的標準計算方法 也可以采用自己的內部v a r 模 型 1 9 9 6 年9 月6 日 美國三大金融管理機構 財政部貨幣監(jiān)管署 聯(lián)邦儲備系統(tǒng)和聯(lián)邦存款保險公司 聯(lián)合做出決議 從1 9 9 8 年1 月 1 日起美國所有銀行必須實施v a r 風險管理方法 并定期報告評估 結果 許多金融機構都將v a r 作為防范金融風險的第一道防線 并 且開發(fā)了利用v a r 進行風險管理的軟件 如j p m o r g a n 公司的 r i s k m e t r i c s 系統(tǒng) 麟風險管理公司開發(fā)的p o r t f o l i om a n a g e r 模型等 等 在證券界 v a r 已得到了國際調換與衍生工具協(xié)會 美國標準 普爾公司 穆迪投資服務公司等權威機構的支持 美國證券和交易 委員會與華爾街六大證券公司也達成協(xié)議 用v a r 并結合其他方法 來指定資本金的最低要求 美國證券交易委員會 s e c 1 9 9 7 年1 月規(guī)定 上市公司必須及時披露其金融衍生工具所面臨的市場風險 的量化信息 指出v a r 方法是可以采用的三種方法之一 自從首次被用于測量交易性證券的市場風險后 v a r 已獲得廣 泛的應用 并逐漸被一些非金融機構所采用 1 9 9 4 年g 3 0 報告發(fā)表 后 4 3 的衍生產品交易商聲明 他們正在用v a r 測量其市場風險 3 7 的交易商表示在1 9 9 5 年底前已經使用了v a r 1 9 9 5 年w h a r t o n 商學院的一項調查表明 被調查的美國非金融企業(yè)中 使用v a r 評 估其衍生證券交易風險的占2 9 i n s t i t u t ei n v e s t o r 雜志1 9 9 5 年的調 查指出 3 2 的被調查企業(yè)使用了v a i l 而紐約大學同期的調查指出 6 0 的被調查養(yǎng)老基金使用了v a r v a r 開始只是一種風險度量方法 但不久人們就認識到它不僅 可以給風險投資者提供風險的定量數(shù)值 還可以用于通過調整預期 的風險收益來指導投資決策 行為金融學認為 投資者的情緒 心 理等諸多因素對實際投資決策有影響 投資者對待風險的態(tài)度體現(xiàn) 在投資者的預期財富低于某一確定值的概率上 用數(shù)學公式表達為 p r o b w w c 1 1 其中 p r o b 預期財富小于某一可能財富上限的概率 c 給定 的概率 w 概率c 下可能的財富上限 該式認為 如果投資者是風 險喜好的 預期財富小于某一可能財富上限的概率較小 即c 較大 相反 如果投資者是風險厭惡者 則c 較小 w 體現(xiàn)了投資者對待風 險的態(tài)度 如果投資者難以忍受較大的風險 則他會覺得某一確定 概率下可獲得的財富上限比較大 即w 值較大 反之 w 值較小則 意味著投資者敢于冒險 從這里可以看出 在行為金融理論中投資 者對風險的態(tài)度是內生于模型中的 而m a r k o w i t z 模型中則是外生 地給定投資人是風險厭惡的 因此 從行為金融理論出發(fā) 用v a r 重新定義投資者的風險偏好來指導投資者的最優(yōu)投資具有重要的理 論意義與實際價值 1 此外 v a r 方法還可以用于設定交易商市場風險的限額 測定 估值 風險模型的有效性及評估績效等方面 如b a n k e rt r u s t 在績效 評估中使用 風險調整的資本收益 指標r a r o c r i s ka d j u s t e dr e t u r n o f c a p i t a l 取代資本收益指標r o c r e t u r no f c a p i t a l 來反映交易員 的經營業(yè)績 以防止交易員的過度投機行為 r a r 0 c r o c 廠v 出 1 2 2 國內外v a r 研究動態(tài) v a r 的概念簡單 然而它的度量卻是一個具有挑戰(zhàn)性的統(tǒng)計問 題 圍繞v a r 的計算 西方學者進行了深入探討 j e r e m y b e r k o w i t z 1 9 9 9 提出了新的評價v a r 的方法 j e a n p h i l i p p eb o u c h a u d 和 m a r cp o t t e r s 1 9 9 9 提出了如何利用金融資產波動的n o n g a u s s i a n 特性簡單地計算復雜的非線性組合的v a r d a v i dl i 1 9 9 9 提出了 使用四階矩統(tǒng)計量計算v a r 的新方法 d o w d k e v i n 1 9 9 9 提出了 v a r 計算的極端值方法 我國學者對v a r 方法的研究最早始于t 9 9 7 年鄭文通的 金融風 險管理的v a r 方法及其應用 一文 其發(fā)展過程以1 9 9 9 年為界限可 以分為兩個階段 1 了解學習階段和深入研究 具體應用階段 第一 階段主要是對v a i l 方法的引入 著重予對v a r 的概念 方法的介紹 其中較有代表性的有 鄭文通 1 9 9 7 牛昂 1 9 9 7 姚剛 1 9 9 8 劉宇飛 1 9 9 9 探討了v a r 的涵義和意義 對測量v a r 的三種基本 方法 歷史模擬法 h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n 方差 協(xié)方差法和蒙特卡 羅模擬法 m o n t ec a r l os i m u l a t i o n 做了介紹 張堯庭 1 9 9 8 詹 原瑞 1 9 9 9 從理論上探討了v a r 的度量問題 第二階段的研究包括對v a r 方法的理論研究及其在我國金融市 場的實證研究 以及對v a r 方法的改進 范英 2 0 0 0 在股票價格 隨機游走的假設下計算了深圳股市在不同置信水平下的風險值 對 v a r 方法在我國股票投資中的應用進行了初步探討 陳守東 2 0 0 2 利用基于g a r c h 模型的v a r 方法對中國股市進行了分析 王春峰 萬海暉 李剛 2 0 0 0 指出了用m o n t ec a r l o 模擬法計算v a r 所存在 的缺陷 并提出了用馬爾科夫鏈m o n t ec a r l o 模擬法來計算v a r 值 2 0 0 1 年 王春峰出版了一部v a r 專著 金融市場風險管理 第一次全面系統(tǒng)地介紹了以v a r 為核心的風險測量方法 并且反映 了國際上金融市場風險管理領域的最新理論發(fā)展和應用動態(tài) 比如 國際上的最新研究成果 基于人工智能的v a r 計算 m c m c 方法 雜合主成分路徑生成法等等 將國內v a r 的研究推向了一個新的高 度 v a r 的產生與發(fā)展使人們的投資觀念 經營觀念以及管理觀念 都發(fā)生了巨大的變化 杜海濤 2 0 0 0 將v a r 方法運用于市場指數(shù) 風險度量 單個證券的風險度量 基金管理人員績效評估及確定配 股價格等方面 趙睿 趙陵 2 0 0 2 引入了考察投資績效對資產組 合影響的v a r 方法 求解了v a r 約束下的資產組合問題 屠新曙 2 0 0 2 將v a r 與最佳投資組合的概念結合起來 開發(fā)了一種新的 理論 一種類似于m a r k o w i t z 均值一方差選擇最優(yōu)投資組合的理論 即滿足v a r 約束條件的最優(yōu)均值一v a r 投資組合理論 1 3 本文所做的主要研究工作 研究v a r 可以有兩個角度 一是提出另一種v a r 的定義 使之 對現(xiàn)有定義下的v a r 的局限性有所突破 二是提出新的v a r 計算方 法 對主流v a r 計算方法進行改進 取長補短 本研究僅從第二個 角度出發(fā) 采用控制論中的非線性跟蹤一微分器原理 試圖提出一 種新的仿真模擬方法 應用于v a r 的計算 這是前人從來沒有做過 的工作 是本文的創(chuàng)新所在 主要研究工作如下 首先介紹了v a r 模型框架 對v a r 的概念及基本原理進行總結 并對v a r 的幾種基本計算方法 方差一協(xié)方差v a r 歷史模擬v a r m o n t e c a r l o 模擬v a r 進行了詳細的討論 然后對不同計算方法通過 比較發(fā)現(xiàn)其不足之處和可以改進的地方 接著介紹非線性跟蹤一微 分器的一般概念和幾種具體的非線性跟蹤一微分器 推導出二階最 速控制系統(tǒng)跟蹤一微分器的離散形式 并且進行了數(shù)值仿真 然后 將非線性跟蹤一微分器應用于v a r 的計算 得到非線性跟蹤一微分 器模擬v a r 最后 用非線性跟蹤一微分器模擬v a r 風險測量技術 在中國股票市場進行實證研究 對三種具體的v a r 計算方法 m o n t e c a r l o 模擬v a r 歷史模擬v a r 非線性跟蹤一微分器模擬v a r 利 用檢驗樣本作了k u p i e c 失敗檢驗 并在此基礎上進行了比較分析和 評價 第二章金融市場風險測量v a r 模型 2 1v a r 的基本內涵 v a r v a l u ea tr i s k 按字面解釋就是 風險價值 其含義是 在市場正常波動下 某一金融資產或證券組合的最大可能損失 具 體而言 v a r 是指在一定概率水平 置信度 下 某一金融資產或 證券組合價值在未來特定時期內的最大潛在損失 喬瑞恩 j o r i o n 1 9 9 7 給出了v a r 的 個比較權威的定義 可以表述為 在正常的 市場條件下 給定置信水平的一個持有期內某種風險資產的最壞損 失 作為一種測定方法 v a r 方法就是使用合理的金融理論和數(shù)理 統(tǒng)計理論 定量地對給定的資產 組合 所面臨的市場風險作出全 面的度量 用數(shù)學公式表示為 p r o b a p 0 有系統(tǒng) x l f x f r 2 一p n x r j b 且系統(tǒng) 3 5 的解而伍 0 滿足 恕m f 一p o 枷 0 式中 x 弛 f 跟蹤p o x 2 陋 f 收斂于 廣義函數(shù) p o 的 廣義導數(shù) 系統(tǒng) 3 5 n n 系n 3 4 派生的 跟蹤微分器 系統(tǒng) 3 3 稱為 快 速跟蹤微分器 對于高階系統(tǒng) 有如下定理 定理3 2 晗伽若系統(tǒng) 量 g x 3 6 i f x l x 2 工 的解滿足 蛩 f o f l 2 則v 有界可測信號p f 0 佃 v t 0 系統(tǒng) 孟 r x n r 3 7 姒咖r 礦加 等 萬x n 的解滿足 1 炮f i x l t 一p t l d t 0 2 x i f 2 i 弱收斂于p f 的i 一1 階廣義導數(shù) 可見 上述定理對函數(shù)f x x 或f x x h 的要求不高 只要 保證系統(tǒng) 3 4 或 3 6 的任意解滿足l i m x f 0 o 1 2 即可 考慮到本研究所取的函數(shù)形式 用適當?shù)闹笖?shù)函數(shù)取代開關函 數(shù) 下面僅研究指數(shù)函數(shù)形式的二階非線性跟蹤 微分器 引理3 1 李亞普諾夫漸近穩(wěn)定性 若系統(tǒng)存在純量函數(shù) 礦 礦 f 0 且礦 r 卅i o n 2 m 2 0 q o 口2 0 則系統(tǒng) 3 8 在 o o 點是漸近穩(wěn)定的 目p l i m x o o l i m x f o 證明 選取李亞普諾夫函數(shù)為 v x o z o 三 l 一甜 m l i n lo 石 z o 注意到引理3 2 中所給的條件 則有 y f z f 0 日 v x n z 籌拿d t 豢拿c l t0 x 出 m i i q l 月i 1 西 2 2 d 礎x l l 即生墮置尋墮 2 a l 葺i z 2 2 x 2 卜a i x l 茁一口2 x 2 蓋i l l岫hi 2 x 百m lx 2 2 q 置百e n tx 2 2 a 2 x 2 警 一2 a 2 2 0 有系統(tǒng) f 南 f 氈 p 劃卜 h 洲飛 屯 l q 1 0 且系統(tǒng) 3 1 0 的解一 r f 滿足 恕m 伍 r 一p o 枷 o 式中 而 r f 跟蹤p o x 2 陋 收斂于 廣義函數(shù) p o 的 廣義導數(shù) 證明 系統(tǒng) 3 9 在原點漸近穩(wěn)定 即 i m o 0 f 1 2 恰 好滿足定理3 1 的條件 故由定理3 1 得證 3 2 幾種具體的菲線性跟蹤一微分器 1 對于非線性系統(tǒng) i 童1 p x 2 r k 階飛 s 和 鼬飛 s 劬 蹦 a l a 2 刈 l o 3 1 1 構造它的一個李亞普諾夫函數(shù)為 礦 x 1 x 2 2 熹t x 卜x 甜 l 一 所以由引理3 2 系統(tǒng) 3 1 1 的零解是漸近穩(wěn)定的 即系統(tǒng) 3 1 1 的解滿足定理3 3 的條件 這樣 由定理3 3 可得到如下形式的非線 性跟蹤微分器 f 量 0 x 2 f 卜卜小k 刊 蜘刊鴝第毗 1 2 對o a 占 倒 一萬卜 h 占 1 4 2 對于二階快速系統(tǒng) x 2 r 裂幕 托吲 3 1 5 1 f s 劬g o x o x o l q r u j 馴 為避免原點附近的顫振 將符號函數(shù)s i g n 改成帶線性區(qū)間d 的飽和 函數(shù)s a t 得如下形式 酬 毒臻瑞x o 2 r 糾 3 1 6 1 t o 一r s 講0 f x f x 占 q i a i 占 j 0 3 1 7 l a l j 由類似的證明可知系統(tǒng) 3 1 6 的零解是漸近穩(wěn)定的 即系統(tǒng) 3 1 6 的解滿足定理3 3 的條件 這樣 由定理3 3 可得到如下形 式的非線性跟蹤一微分器 r 刪g 掣群x 2 啡 t t z r 8 3 1 8 1 量 o 刪k r 一p o 糾x u 州 3 對于三階快速系統(tǒng) 由類似于2 的證明 可以得到相應的三 階非線性跟蹤一微分器 其中 南 f x 2 t i 2 f r 3 1 9 也一脅r c x i 1 2 蕭 爿嚕 s 掙回 s 瑙 掣 一 蔓 2 r 3 2 0 3 2 1 一般來說 用有限個跟蹤微分器串聯(lián)的辦法 可得n 階 三 階甚至更高階的微分信號 可以看到 二階跟蹤一微分器獲得了 廣 義函數(shù) p o 的 廣義導數(shù) 而三階跟蹤 微分器不僅能夠獲得 廣 義函數(shù) p o 的 廣義導數(shù) 同時還能得到 廣義函數(shù) p f 的凹 凸性方面的信息 這就體現(xiàn)了非線性跟蹤一微分器的幾何意義 理 爿 肼 警 l i 占4 中其 論上 更高階的微分信號將進一步揭示出有關 廣義函數(shù) p o 的性 質方面的信息 3 3 二階離散系統(tǒng)最速控制跟蹤一微分器及其數(shù)值仿真 3 3 1 二階快速跟蹤一微分器的離散形式 對二階連續(xù)系統(tǒng) 進行離散化得 或者 f量 o 置o 1 膏 h s r z c 七 z l x k 尼 h x 2 k x k x d 1 k 訓1 x 1 k h x x 2 h u 2 胃 r 3 2 3 i x 2 t 1 j 川 7 其中h 為采樣步長 x i 尼 x 2 女 為第k 步t k h 時的狀態(tài) 工 膏 也 女 7 當霞 h 給定時 在g 一 點上的最速控制綜合函數(shù) 可按如下公式計算 占 h r a h g o i z l h x 2 z 9 0 礦 塑 盟2 s i g n z 翌2 艙最 3 2 4 2 一 3 一 z i l 占1 g x rs 講q 占 按照文獻 2 的方法 由離散最速控制綜合函數(shù) 3 2 4 可構造 出關于輸入信號p o 的跟蹤一微分器的如下離散形式 z l 忙 1 j x 1 女 2 j h r d h s g x 幻一p t 2 女 e t h t g o 一 煎 墮 i毛 m 點 3 25 2x2 s i g n z 一 i t 立 一 i z l 女m 點 蹦卅墨學 舊 n 2 女 1 x 女 一h r 5 a 皓 女 占 或者 j 川 確 七 觸z p 3 2 6 l x 2 是 1 x 2 盤 一h r t 戤對蝤 是 占 可見系統(tǒng) 3 2 5 或 3 2 6 有兩個可調參數(shù)r 和矗 其中h 是積 分步長 r 是決定跟蹤快慢的參數(shù) r 越大 七 跟蹤越好 從而x 越近似于輸入信號p f 的微分 于是在數(shù)值仿真過程中 我們可以根 據(jù)需要設置 修改參數(shù)r 和h 達到較高的跟蹤精度 3 3 2 二階離散快速跟蹤一微分器的數(shù)值仿真 下面給出一些利用二階離散快速跟蹤一微分器進行數(shù)值仿真的 結果 由文獻 2 對非線性跟蹤一微分器的穩(wěn)定性的分析知 當r 拇 時 系統(tǒng) 3 1 0 是穩(wěn)定的 即定理3 3 是r 在極限狀態(tài)下成立的 但 是在具體仿真過程中 r 必須取某個確定的值 要達到較高的跟蹤精 度 r 到底應該取值多大 因為要使跟蹤效果好 r 要取得比較大 但r 的過大會給微分信號增加高頻噪音 文獻 2 給出一個折中的辦 法是 在保證跟蹤效果的前提下 r 盡可能取值小些 文獻 2 的研究也表明 參數(shù)艿對微分信號有很大的影響 但我 們所給出的二階離散跟蹤一微分器明確地解決了連續(xù)跟蹤一微分器 的純開關函數(shù)換成線性飽和函數(shù)時的線性區(qū)間占的大小問題 即明確 給出關系式 艿 h r 一 數(shù)值仿真實例l 積分步長取為h o o l 仿真2 0 0 0 步 即k 1 2 2 0 0 0 設輸入 信號為 啦 s i n 嘗 仿真結果如圖3 1 至圖3 3 所示 從數(shù)值仿真可以看出 二階離 散跟蹤一微分器具有如下優(yōu)點 1 本文給出的二階離散跟蹤一微分器跟蹤性能很好 能達到較 高的跟蹤精度 在圖3 1 中 跟蹤數(shù)據(jù)與正弦輸入信號數(shù)據(jù)幾乎在一 條曲線上 而從經過局部放大的圖3 2 中可見 跟蹤數(shù)據(jù)與正弦輸入 信號數(shù)據(jù)幾乎重合 2 二階離散跟蹤一微分器給出了合理提取微分信號的有效方 法 在微分品質方面具有很好的效果 從圖3 1 可以看出 由輸入的 正弦信號獲得的微分數(shù)據(jù)具有余弦函數(shù)的形狀 與實際符合得很好 而從微分數(shù)據(jù)的散點圖 圖3 3 可見 微分數(shù)據(jù)起初有個別的 異常 點 在圖3 3 中用黑圈標記 遠不在余弦函數(shù)圖像上 這僅僅只是 由于技術調整所帶來的問題 一般來說異常點數(shù)目非常少 不會影 響跟蹤的效果 也不會影響微分數(shù)據(jù)的品質 通?？梢院雎圆挥?3 二階離散跟蹤一微分器的線性區(qū)間的大小可以由關系式 占 柚直接確定 從而減少了模型的可調參數(shù)個數(shù) 又仿真結果表明 在此例中h 0 0 1 是一個合理的取值 而且參數(shù)r 的值是可調整的 這樣一方面操作起來很簡單 另一方面又可以通過調整r 提高精度 圖3 l 輸入為正弦信號時的跟蹤與微分曲線 l a b 圖3 2 輸入為正弦信號時的跟蹤數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)的對比曲線圖和對比散點圖 圖3 3 輸入為正弦信號時的微分數(shù)據(jù)散點圖 二 數(shù)值仿真實例2 積分步長取為h 1 設輸入數(shù)據(jù)為上證綜合指數(shù)的日收盤價 樣 本區(qū)間為1 9 9 5 年1 月3 日 2 0 0 1 年4 月5 日 共1 5 2 1 個交易數(shù)據(jù) 仿真結果如圖3 4 至圖3 7 所示 在圖3 4 中 跟蹤數(shù)據(jù)與上證 綜指歷史數(shù)據(jù)幾乎在一條曲線上 而從經過局部放大的對比散點圖 圖3 5 a 中可見 即使一些 異常 點 在圖3 5 中用黑國標記 也都跟蹤上了 進一步地 從跟蹤數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)的局部放大的對 比曲線圖 圖3 5 b 中可以看到 這不僅體現(xiàn)在正常的趨勢跟蹤上 就是在尖峰的情形下也跟蹤得很好 即無超調 即所有的趨勢都跟 蹤到了 而且從誤差曲線圖 圖3 6 可以清楚地看出 誤差集中在 零點附近 誤差絕對值超過1 0 0 的只有很少 部分 從圖3 7 微分數(shù)據(jù)的散點圖可見 微分數(shù)據(jù)存在少量 異常 點 結合證券市場股票價格的實際意義來說 中間部分的 異常 應該 可以用一些突發(fā)事件 比如 政府的金融政策的改變 證券市場權 威人物的講話 證券黑幕的暴露 等等 來解釋 圖3 4 上證綜合指數(shù)的跟蹤與微分曲線 圖3 5 上證綜合指數(shù)的跟蹤數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)的局部放大的對比散點圖與對比曲線圖 囤3 6 上證綜合指數(shù)的跟蹤數(shù)據(jù)的誤差曲線圖 圖3 7 上證綜合指數(shù)的微分數(shù)據(jù)敖點圖 綜上所述 對利用二階離散最速控制綜合函數(shù)構造出來的離散 形式的跟蹤一微分器所做的數(shù)值仿真表明 這種跟蹤一微分器跟蹤 輸入信號既快速 無超調 又無震蕩 且能給出較好的微分信號 在跟蹤性能 微分品質等方面都有很好的效果 3 4 利用二階離散快速跟蹤一微分器進行股價的預測 我們利用已有的股票歷史價格數(shù)據(jù)掃 f 出 n 為樣本容量 用二 階離散快速跟蹤一微分器跟蹤預測1 0 日的股票價格 得到1 0 日的 股票價格預測值乜 其外推公式為 j z i 尼 1 x l i x 2 i oq 呷 i x 2 七 1 x 2 一h r s a t g k j 7 其中r 為可調參數(shù) 9 0 一 穗鐘 煎 j 1 2 墮 堋 華 d 力 3 0 s i g n a i a 占 3 4 巧 2 1 要 i 爿1 d j o l 艿 h 一 用外推公式 3 2 7 計算出五 1 作為價格p n 1 的預測值 同時也可以得到微分信號x 1 x 2 1 將p 1 補充到股票價 格歷史數(shù)據(jù)中去 再利用 3 2 7 式預測下一個股票價格 依次 類推 即可得到1 0 日的股票價格預測值和相應的微分信號 我們取上證綜合指數(shù)1 9 9 5 年1 月3 日 2 0 0 1 年3 月2 2 日的日 收盤價 共1 5 1 1 個交易數(shù)據(jù) 利用 3 2 7 式來做事后預測 預測 2 0 0 1 年3 月2 3 日 2 0 0 1 年4 月5 日共1 0 個日收盤價 并與歷史數(shù) 據(jù)進行對比 預測值與預測誤差見表3 2 仿真及預測誤差圖見圖 3 1 預測曲線與原始數(shù)據(jù)曲線對照圖見圖3 2 仿真預測的結果表 明 誤差相對較小 且短期預測數(shù)據(jù)在預測股票價格趨勢上效果很 好 基本上所有的未來變化趨勢都跟上了 表3 2 預測值與預測誤差 圖3 1仿真及預測誤差曲線圖圖3 2預測曲線與原始數(shù)據(jù)曲線對照圖 3 5非線性跟蹤一微分器在v a r 測量技術中的應用 金融市場風險管理的一個難點就是損益分布的確定 參數(shù)方法 假設收益率服從一定的分布 計算相對來說比較簡單 但結果很大 程度上依賴于假設的正確與否 m o n t ec a r l o 模擬法是計算v a r 最有 效的一種方法 能說明大量風險 還考慮了波動率的時變性 厚尾 和極端事件等 但其計算復雜性高 且要求風險管理者設定金融變 量服從的隨機過程 選擇定價模型計算組合價值及其變化 這是 m o n t ec a r l o 模擬法不容忽視的一個弱點 難于向高層管理者解釋 另外還存在偽隨機數(shù)的問題 歷史模擬法使用真實的價格 不需要 對市場的隨機結構做任何假設 它允許非正態(tài)分布 能說明厚尾問 題 d o w d1 9 9 8 j o r i o n1 9 9 7 避免模型風險 同其他方法相比較 歷史模擬還是很好的n 正因為其穩(wěn)健性和直觀性 巴塞爾協(xié)議1 9 9 3 年條款采用歷史模擬法作為市場風險的基本度量方法 b a s l e c o m m i t t e eo nb a n k i n g s u p e r v i s i o n 19 9 5 o 但是 歷史模擬法也遭到很多批評 其中最主要有兩點 1 它的基本假設是過去能反映不遠的將來 e n g l e 1 9 8 2 指出 波動 率有著顯著而且可以預測的時變性 則如果利用性質良好的預測模 型得到金融時間序列的預測值 計算出來的v a r 值將較為準確 2 歷史模擬法的準確性取決于決定歷史結果的各種因素 條件 形勢 等仍在發(fā)揮主要作用 否則就需要做出相應的調整 對歷史數(shù)據(jù)加 以適當修正 非線性跟蹤一微分器在跟蹤預測方面的優(yōu)勢 即在給定歷史 數(shù)據(jù)的前提下 快速跟蹤且做出對未來的短期預測 恰好可捕獲上 文所提及的 可以預測的時變性 如果同歷史模擬法結合起來就可 以彌補以上所提出來的不足之處 而且非線性跟蹤一微分器通過過 去發(fā)生的真實數(shù)據(jù)的反饋 鍆來模擬預測變量隨時間的互動情況 正 好是對歷史數(shù)據(jù)的恰當調整 我們將非線性跟蹤一微分器應用v a r 計算中去 則會提高整個模型的擬合精度 本文把這種方法稱為非線性跟蹤一微分器仿真模擬v a r 它屬 于一種模擬模型 具有模擬分析模型的優(yōu)點 非線性跟蹤一微分器模擬v a r 核心在于根據(jù)歷史樣本數(shù)據(jù)并利 用控制論中的非線性跟蹤一微分器技術進行模擬預測 得到未來的 損益分布 然后由給定置信度下的分位數(shù)得出其v a r 值 它不同于 m o n t ec a r l o 模擬法的是 不需要選擇分布參數(shù) 不存在偽隨機數(shù)問 題 且模擬預測過程顯示了較強的幾何意義 比m o n t ec a r l o 模擬法 更容易為高層管理者接受 第四章非線性跟蹤 微分器v a r 模型的實證效果評價 4 1數(shù)據(jù)選取 本研究采用上證綜合指數(shù)作為研究對象瞳 由于上證指數(shù)本身 已經包含了除權信息 投資工具的收益率可采用如下公式乜 置曲喙 4 1 考慮到1 9 9 3 年以前我國股票市場處于發(fā)展的初級階段 市場容 量小 價格波動劇烈 制度不健全 市場不規(guī)范 將這一時期的數(shù) 據(jù)加入分析變量數(shù)列會造成風險特征的扭曲 同時 我國股市制度 變化對收益率變化有很大影響 特別是股市漲跌停板制度的實施對 控制風險起到了一定作用 在制度實施后市場風險明顯降 f l o t 2 7 1 所 以 樣本數(shù)據(jù)采用1 9 9 7 年 副以后的上證綜合指數(shù) 原始樣本 即用 來生成模型參數(shù)的母樣本 取上證綜合指數(shù)1 9 9 7 年1 月2 日 2 0 0 1 年3 月5 日的日收盤價 樣本數(shù)n 1 0 0 1 檢驗樣本 即用來比較各 種模型準確性的樣本 取上證綜合指數(shù)2 0 0 1 年3 月6 日 2 0 0 3 年4 月1 4 日的日收盤價 樣本數(shù)t 5 1 0 4 2 模型評價方法 本文采用庫皮克 k u p i e c 1 9 5 5 提出的似然比檢驗法來驗證模 型的準確性 v a r 模型的準確性是指v a r 模型的測量結果對實際損 失的覆蓋程度 例如 給定了9 5 的置信度下的v a r 則v a r 模型 的準確性是指實際損益結果超過v a r 的概率是否小于或等于5 在 k u p i e e 檢驗中 設f 為樣本中損失高于v a r 值的次數(shù) r 為檢驗樣 本中總的數(shù)據(jù)個數(shù) 損失超過v a r 值的次數(shù)服從二項分布 即 f b t 蘆 其中p 1 一口 口為模型所采用的置信水平 由二項式 過程可得特定f 次失敗在丁個樣本中發(fā)生的概率為 1 一p p k u p i e c 檢驗的原假設和備選假設為 h ph p 對應的似然比統(tǒng)計量為 l r 2 i n 1 一尹f7 1 扣一l n 1 p t f p f 該似然比統(tǒng)計量在原假設下服從自由度為1 的z 2 分布 k u p i e c 1 9 5 5 針對不同的左尾概率和樣本容量的大小 構造 出相應的失敗次數(shù)f 的接受域 見表4 1 以t 2 5 5 p 5 即 口 9 5 為例 只要損失偏離天數(shù)落在 6 2 1 之間 則認為v a r 模型 預測有效 若f 2 1 則表明v a r 模型低估了損失發(fā)生的可能性 若 f 6 則表明v a r 模型估計過于保守 表4 1 k u p i e e 檢驗的非拒絕區(qū)間 概率水平失敗次數(shù)f 的非拒絕區(qū)間 p t 2 5 5 天t 5 1 0 天t 1 0 0 0 天 0 0 1 71 f 1 l4 f 1 7 0 0 2 52 f 1 26 f 2 l1 5 f 3 6 0 0 56 2 11 6 f 3 6 3 7 f 6 5 0 0 7 51 l f 2