（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究.pdf

廊蘭筍岔趁之非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 中文摘要 本文首先運(yùn)用啟發(fā)性分析方法對(duì)大氣動(dòng)力學(xué)二疆原始非線性方程差分格式 穩(wěn)定性進(jìn)行了研究 通過理論分析與數(shù)值試驗(yàn)表明 在差分格式結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定 的情況下 差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性主要由初值及其偏導(dǎo)數(shù)的形式所決定的 得 到的穩(wěn)定性判據(jù)是保證差分格式穩(wěn)定的必要條件 類似地 研究了非線性 s c h r i d i n g e r 方程差分格式的穩(wěn)定性 得到了保證差分格式計(jì)算穩(wěn)定的必要條 件 結(jié)果表明 其差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性與原方程解的性質(zhì)有密切關(guān)系 其次 討論了耦合的非線性s c h r 6 d i n g e r 方程組數(shù)值解的存在性和穩(wěn)定性問題 給出了 一個(gè)四點(diǎn)隱式差分格式 討論得出當(dāng)滿足4 e l l l o b k i s 膨 0 田0 1 5 2 s r s l 屯 一e o 時(shí) 該格式是穩(wěn)定的 其誤差為d f 矗2 關(guān)鍵詞 二維原始方程 非線性s c h r i d i n g e r 方程 耦合s c h r i d i n g e r 方程組 差分格式 計(jì)算穩(wěn)定性 啟發(fā)性分析 愛 乒岔坦之 非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r t h ec o m p h t a f i o n a ls t a b i f i t yo ft h et w o d i m e n s i o n a lo r i g i n a l n o n l i n e a re q u a t i o nf r o ma t m o s p h e r i cd y n a m i c si s s t u d i e d b yt h eh i r th e u r i s t i c a n a l y s i s i ti sp r o v e dt h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lt e s t st h a tt h e c o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo fd i f f e r e n c es c h e m e si sn o to n l yd e p e n do nt h es t r u c t u r eo f s c h e m e b u ta l s o0 1 1t h ef o r mo fi n i t i a lv a l u e sa n dt h e i rp a r t i a ld e r i v a t i v e s a n dt h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n so f c o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t y a r e g i v e 也s i m i l a r l y t h e c o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo fn o n l i n e a r s c h k m i n g e re q u a t i o ni sa n a l y z e d a n dt h e n e c e s s a r yc o n d i t i o no fc o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yi sg i v e 也t h er e s u l ti n d i c a t e st h a tt h e c l o s er e l a t i o n s h i pb c t w e e l lt h ec o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t yo f t h ed i f f e r e n c es c h e m e sa n d t h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o na r er e v e a l e d t h e n t h es t a b i l i t yo ft h en u m e r i c a l c a l c u l a t i o nf o rt h ec o u p l e dn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni sf u r t h e rd i s c u s s e d t h e f o r m a to ff o u r p o i n t i m p l i c i ts c h e m ef o rt h ec o u p l e dn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n s i ss t u d i e d i ti s f o u n dt h a ti ft h ec o n d i t i o n s s a t i s c y a j oe h l o 6 s b f 村 a n d0 o v x y 0 o i i 8 u x y o 0 絲 苧 塵 o 墩 砂 i i i 堂 蘭 盟2 0 o v x y o 0 出 a y 曼坐 蘭 蟲 o 曼翌垡 塵 0 西 砂 v 0 廠 0 y 薯y o 0 羼士學(xué)岔碰空非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 i i 掣她掣冬o 戚鐘 i i i 掣 o 掣她 盤卵 i v 掣s o 掣她 盤卵 v 0 m 似為一常數(shù) 2 4 數(shù)值試驗(yàn) 為了進(jìn)一步驗(yàn)證非線性發(fā)展方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性與格式結(jié)構(gòu)和初值的關(guān)系 做如 下數(shù)值試驗(yàn) 取如下三個(gè)初值 1 u x y 0 墨 x y o j 烈五y 0 g 1 一e 一 7 2 u x y o s i n 2 n x v x y o s i n 2 萬y 9 五 0 g c o s 2 n x y 3 u x y o z 1 0 0 0 一x v x y 0 1 0 0 0 一 伊 工 y o g e 扛 一1 其中0 s x s l 0 0 0 0 y s l 0 0 0 0 s f s l 0 0 0 0 h 2 0 取 x 1 a y l a t 0 1 計(jì)算結(jié)果如表1 表1 數(shù)值試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果 2 5 結(jié)論 通過理論分析與數(shù)值試驗(yàn) 可以得出如下結(jié)論 1 非線性發(fā)展方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性分析必須把初值與差分格式本身的結(jié)構(gòu) 結(jié)合起來分析才有意義 2 定理1 和定理2 所得到的穩(wěn)定性判據(jù)只是格式穩(wěn)定的必要條件 數(shù)值計(jì)算表明 1 7 愛士筍岔碰之非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 差分格式計(jì)算穩(wěn)定必須滿足判據(jù) 但滿足判據(jù)的不一定都能計(jì)算穩(wěn)定 如格式2 然而 這些判據(jù)對(duì)刪除明顯的不穩(wěn)定格式是很有用 盡管這是一個(gè)弱的必要條件 但我們認(rèn)可用 它來判斷一些極為復(fù)雜以致無法做精細(xì)的穩(wěn)定性分析的方程 以避免耗費(fèi)大量的精力去做 盲目的計(jì)算 1 8 癬士學(xué)岔麓之非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 第三章非線性s c h r u d i n g e r 方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性 3 1 引言 本章考慮非線性s c h r u d i n g e r 方程 f 罷 口魯 g i 砧1 2 甜 o 瓦 口萬 g w 甜2 u 3 1 這里 五f 是未知復(fù)值函數(shù) 口 孽是已知實(shí)常數(shù) f 一1 非線性s c h r u d i n g e r 方程的研究已經(jīng)得到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注 這是因?yàn)樵擃惙蔷€性方 程可以用來描述許多物理現(xiàn)象 例如描述脈沖穩(wěn)態(tài)波的自聚焦現(xiàn)象 非線性光學(xué)系統(tǒng)的自 陷現(xiàn)象 以及描述具有色散緩變及多光子吸收的光導(dǎo)纖維的波傳播 我國(guó)高守亭 楊惠君 1 8 1 在研究多維約化攝動(dòng)法時(shí) 對(duì)非線性波推導(dǎo)了s e h r o c l i n g e r 方程 羅德海1 1 9 1 在研究旋 轉(zhuǎn)芷壓大氣中的非線性s c h r o d i n g e r 方程和大氣阻塞中也推到了s c h r o d i n g e r 方程 但 由于方程本身的復(fù)雜性 很難求得解析解 因此 研究差分格式計(jì)算穩(wěn)定性是一個(gè)關(guān)鍵性 的問題 h i r t 啟發(fā)性分析方法最早是由h i r t 在分析線性發(fā)展方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性時(shí)提出 的 林萬濤 季仲貞 王斌將其應(yīng)用于一維非線性平流方程 給出計(jì)算穩(wěn)定的必要條件 系統(tǒng)的研究了非線性發(fā)展方程差分格式的計(jì)算不穩(wěn)定問題 楊曉忠等又將此方法應(yīng)用于判 定k d v 方程以及b u r g e r s 方程差分格式計(jì)算的穩(wěn)定性 之后 林萬濤又將其應(yīng)用于二維淺 水波方程 均得到了計(jì)算穩(wěn)定的必要條件 本章繼續(xù)將此方法運(yùn)用到非線性s e h r u d i n g e r 方程上去 對(duì)其差分格式計(jì)算穩(wěn)定性進(jìn)行了討論 給出了計(jì)算穩(wěn)定的必要條件 3 2 差分格式的構(gòu)造 下面 我們采用文獻(xiàn) 4 i 中的h i r t 啟發(fā)性分析方法來研究非線性 蛹r 比f f 曙盯方 程 3 1 的差分格式計(jì)算穩(wěn)定性 對(duì)問題 3 1 常用差分格式如下 格式i f u j n 矽 1 口嘉 z 幺 一2 矽 z 乒 g i 彬1 2 矽 3 2 格式 j 竺 口嘉 吼 一2 彬 吐 黿i 彬1 2 矽 3 3 1 9 質(zhì)量學(xué)岔趁立 非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 到 令 x t 口 墨f 6 工 t i 其中a x f 6 x 為實(shí)函數(shù) 將其代入 3 1 式 得 喀 警訃口謦 爭(zhēng)州a 2 b 2 崩瑚 3 4 帥舢一一 得 肛口爭(zhēng)q n a 礦蚓 i 口l d 妒 u 對(duì) 3 4 式分離出實(shí)部 虛部得 量一口薹一q aoto x 礦 口 3 5 i 一一口 r l 一十d j 口 u 令u 7 掣 可f 其中 可為實(shí)函數(shù) 將其分別帶入格式i i i 得 z 芋a n 礦 1 華咖咕 打2 可嵋 古 吼 一2 可 絲 婦 留 2 夠 2 矽 夠f o z 上a n f la 華n ln 卅口去 蟊一2 矽 吼 嘉 紛 一2 可 啦 1 1 g 夠 2 睇 2 可 b o o 對(duì) 3 6 3 7 分別分離出實(shí)部 虛部 即得 j 華 口擬 i 蚓刪糾 b i n 了b t i 一口嘉 啄 一2 町 吐 一 矽 2 彤 2 哼 華們扣毛料1 抓州嗍 0 華n ln 一口嘉 吼一2 可 蚰刊 刪 2 芎 3 8 3 9 參照文獻(xiàn) 1 4 我們將對(duì)格式i 進(jìn)行計(jì)算穩(wěn)定性分析 以格式i 為例 將 3 8 式 做t a y l o r 展開 略去上 下標(biāo)可得 癬士學(xué)岔越空非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研塞 百o a 口麗0 2 b 6 2 6 j 1 孑a 2 a f o r 2 h 2 3 1 百o b 一盯薩0 2 a 刊a 2 b 2 口 圭窘刖 f 2 h 2 3 由 3 1 0 3 1 1 式可以看出 魯 噸霧刊a 2 b 2 6 帆礦 3 1 2 面o b 口薩0 2 a g a 2 b 2 口 d v h 2 3 1 3 3 1 2 式對(duì)f 微分 可得 窘 叫裊一z g 曲害一g c 口2 確詈 烈2 h 2 c s h 3 1 3 式對(duì)x 微分 可得 塞 口霧腳嗉州3 a 2 b 2 妻嘶 3 1 5 式對(duì)x 微分 可得 器 口麗0 4 a 卵 瓦o a 瓦a b 均口 等2 s 卵 蚤2 2 q 曲窘州3 a 2 b 2 磐四 十0 0 h 2 3 1 6 將 3 1 2 3 1 3 3 1 6 式代入 3 1 4 式 可得 窘 川2 參一4 彬 口2 a 2 薩0 2 a 嘞啦嗉罷 口售 2 s 口c 塞 2 一q 2 a a 2 6 2 2 d f h 2 3 1 7 類似地 可得 譬 彳霧一4 私c 6 2 窘嘲啦a 塞蕓碳 2 棚c 蕓 2 一口2 b a 2 b 2 2 d f f h 2 3 1 8 2 1 堡查堂絲i 全苧堊堡絲墨星查垂笪壅垡萎坌塹壅塑整宣堡塹壅 將 3 1 7 3 1 8 式代入 3 1 0 3 i i 式 司得差分格式時(shí)器正骰分萬程 百c 3 a 口薩a 2 b 州 確a 扣叫2 參咄 2 彬 霧一2 耐z 嗉罷 口售 2 3 口 警 2 一q 2 a 口2 十6 2 2 d f 2 h 2 3 1 9 戧 面a b 一口磊0 2 a g 4 2 確4 圭r 嵋2 石8 4 了b 一4 彬 口2 功霧一2 q 口豳謇蕓 a 白2 3 6 芻2 q 2 b a 2 b 2 2 d f 2 矗2 3 2 0 班 同樣可求出格式 的修正微分方程為 魯 口霧 可c 口2 6 2 a 三r 霧 4 9 口c 口2 6 2 警 z g 口 塞罷 口c 罷 2 3 口 曇 2 9 2 口 4 2 6 2 2 d f 2 h 2 3 2 l 戚 面o b 一口i 0 萬2 a g 口2 十確口 圭r 口2 霧 4 彬 口2 扔器 2 9 口m 罷蕓 6 白2 3 6 洋 2 q 2 b a 2 b 2 2 o r 2 h 2 3 2 2 廢 由文獻(xiàn) 1 4 1 我們知道要使得差分格式計(jì)算穩(wěn)定 必須要求相應(yīng)的修正微分方程中的二 階耗散系數(shù)為正 即 3 1 9 一 3 2 2 式右端的二階耗散系數(shù)必須為正 于是有以下定理 定理1 l 非線性s c h r d d i n g e r 方程差分格式i 計(jì)算穩(wěn)定的必要條件為 g 口 0 3 4v o nn e u m a n n 分析方法 下面我們對(duì)格式1 分別采用線性化分析方法 設(shè)解的形式為砰 a n e 嘲 這里 i i 代入差分格式i 得 瘼王學(xué)岔翅賈非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 f 2 第 c 蝴 1 妒 1 2 小扣 因此有 a j 一 j 2 矛 c s 勛一1 q f l 4 1 2 由 c o n n e u m a n n 穩(wěn)定性必要條件我們知道 若1 4 悟l 則差分格式i 是穩(wěn)定的 由于 彳l l 因此差分格式i 是無條件穩(wěn)定的 3 5 結(jié)果與討論 1 啟發(fā)性分析方法與線性化分析方法所得的穩(wěn)定性判據(jù)不一致 并不矛盾 因?yàn)?v o nn e u m a n n 分析方法是將方程線性化后得到的判據(jù) 對(duì)于非線性問題的非線性計(jì)算穩(wěn)定 性是不準(zhǔn)確的 2 一個(gè)具體的非線性問題的非線性計(jì)算穩(wěn)定性與方程的解的性質(zhì)有密切關(guān)系 當(dāng) a 玀 0 時(shí) 且1 2 蘭芝a 2 其中a 是振幅 解才 口 是穩(wěn)定的 l 3 啟發(fā)性分析方法對(duì)非線 s c h r 6 d i n g e r 方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性分析是實(shí)用和 有效的 4 啟發(fā)性分析方法所得到的穩(wěn)定性判據(jù)只是差分格式計(jì)算穩(wěn)定的必要條件 說明差 分格式計(jì)算穩(wěn)定必須滿足判據(jù) 但滿足判據(jù)的不一定都能計(jì)算穩(wěn)定 然而 在具體計(jì)算中 刪除明顯的計(jì)算不穩(wěn)定問題 避免盲目計(jì)算 這個(gè)計(jì)算穩(wěn)定的必要條件是很有用的 硬芏字纜越巖非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 第四章耦合非線性s c h r 6 d i n g e 方程組數(shù)值解 的存在性和穩(wěn)定性 4 1 引言 大氣中尺度重力波的相互作用可導(dǎo)致局部大氣環(huán)流的異常 從而形成災(zāi)害性天氣 文 2 0 研究了非線性重力波相互作用的演化過程 并得到演化方程 耦合的非線性 s c h r 6 d i n g e r 方程組 與過去所研究的方程不同的是該方程中含有相對(duì)群速度項(xiàng) 實(shí)際上 相對(duì)群速度項(xiàng)是有很重要的物理意義的 該項(xiàng)在大尺度中8 0 s s b y 的相互作用方程中也出 現(xiàn)過 有人對(duì)它進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算 并且用得到的結(jié)果可以很好的解釋阻塞動(dòng)力學(xué) 但是沒 有人對(duì)這種類型的方程組的解作過理論研究 4 2 耦合s c h r d d i n g e r 方程組解的存在性 研究表明 非線性重力波相互作用方程可以歸結(jié)為一類耦合的非線性s c h r i j d i n g e r 方 程 f 等 爭(zhēng) 西阻 1 2 疋 4 1 2 m o t 1 z 靜 缸 釜慨 以 蚶 以 4 1 2 鼢 他z 其中c 2 巧 西 乞 尤 為實(shí)數(shù) 2 為相對(duì)群速度 i 二1 為虛數(shù)單位 4 為所求的 復(fù)函數(shù) 為了討論的方便 將 1 2 改寫成下面的形式 并且給出了初邊界條件 o 配 4 哆4 腳 局田 陋1 1 2 i 彳2 1 2 x o 4 3 4 r l o 4 0 1 2 0 s z h t 0 4 4 4 l x 卸 o 4 5 不妨令巧 0 劬 屯 o o d 為實(shí)值函數(shù) 而 i o 4 0 為已知復(fù) 函數(shù) 則對(duì)耦合方程 4 3 4 5 的解存在有以下條件 引理1 若滿足如下條件 1 1 毋 s 2 e c 2 一 o 0 0 為實(shí)值函數(shù) 且協(xié) 焉 屯 i 0 2 4 0 h 2 則方程組解存在 4 3 耦合s c h r 6 d i n g e r 方程組差分格式的構(gòu)造 1 望z 令4 e 砷巧 t 先考慮如下一類耦合非線性s c h r s d i n g e r 方程的定解問 磺士學(xué)岔礁之非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 f q 局田 i 嘲呢n 巧 譬巧 4 6 立 巧l 瑚 p 砷4 0 巧o 1 2 o z 蔓日 t 0 4 7 巧i x 卸且 o 4 8 其中 吁 局為實(shí)數(shù) 且q 0 田 s l j 2 i o a 為實(shí)值函數(shù) 4o 為已知復(fù)函數(shù) 設(shè)q o h x 0 正 為矩形區(qū)域 直線r 歷l z 砌分區(qū)域q 為許多 小網(wǎng)格 其中m 行為整數(shù) 研 o 互 押 o 旱 設(shè)內(nèi)點(diǎn)網(wǎng)格的全體為q 其余邊 界點(diǎn)的網(wǎng)格為s h 則有q q 甌 用q d 表示口 c o r z s t n q 記 i v 玄 馬 i v 一馬 丁 d 馬 哆j r 2 蕾弓 d 一日 一矗 r 刃2 玄 弓 d 一馬 一 r 同樣定義弓r 巴f 另外定義離散模 憐峨2 砷2 嘉髟 i i w 圳 2 破萎巧 i i b 圳 2n b n 薔0 島嘎n i 防岐 眥 s 缸u(yù) p 阿c z i l d 目憶 一 2 苫s d u p 矗 p 弓 x i 考慮下面的四點(diǎn)隱式差分格式方程定解問題為 吩 吁孕腰 厚毋 且1 2 i 島f 島 專簪弓 9 其中系數(shù)同上 島i s 2 0 i 三l z 易i 蕾 e2 唧4 巧 4 4 耦合s c h r 6 d i n g e r 方程組差分方程解的估計(jì) 4 1 0 4 1 1 對(duì)于 4 9 4 1 1 的解 有如下估計(jì) 引理2 對(duì)于問題 4 9 4 1 1 如果滿足條件4 三2 則有 哆嘎 03 常數(shù)c 依賴于反行 使得 m d 弓k 6 1 1 弓1 1 露 c u 弓l l 蚪 1 1 1 馬1 1 塒5 9 叫 c i l 弓l l 以 引理5 若滿足引理3 的條件 則對(duì)定解問題 4 9 4 1 i 的解弓有估 計(jì) s u p 馮 硎 局 其中局為與 無關(guān)的常數(shù) o r 矗 o 證明由引理2 3 4 即得 引理6 離散的g r o n w a l l 不等式 若對(duì)函數(shù)4 d 占 丁 0 s b 丁 彳 存在正常數(shù)c 0 亙 有4 r s c o 柚a z b 啪 o s 丁 正 脯彳 d s c 0 8 嘲 c 4 o 丁s 五 靠考慮下面羊分宦解問顧 哆f q 島毋 i b n 占 1 2 弓 廠 t 弓 g d 0 馬l 島 o 豆 弓i o e2 吩4 巧 對(duì)于 4 1 4 4 1 6 的解 有以下估計(jì) 引理7 對(duì)于問題 4 1 4 4 1 6 如果滿足條件 1 廠 丁 島 巧l c 5 阿 2 g 為正常數(shù) 2 彳 o d 上2 g t 厶 q 4 1 4 4 1 5 1 6 質(zhì)壬學(xué)笸礁丈 非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 則有舊哦 2 i h 眨 i l g l l 0 e 口即 5 易 證明 4 1 4 乘以罵 得到 哆f 虧 q 虧 局田 i 置1 2 i 島j 2 舊1 2 c z r 弓 互 g c z r 虧 o 4 1 7 同引理l 有r e 孕 虧 舊e 吾舊 1 2 q 色訝罵 一吁 1 1 2 f g x d 互忙吉吖 舊i 2 又由條件 2 取 4 1 7 的虛部并在q 求和 再乘以h r 得到 三a r 薈bi s c 5 尹1 廳r 薈舊1 2 丟廳r 丟k 1 2 吾 烈馬1 2 g 爭(zhēng)窆 善p 乃 f 2 十i b 眨 g f 0 j 0 n r o n 一 利用引理6 得到i i 弓嘎 2 4 k 眨 l l g l l 2 鋤 e 2 島 1 埔 易 4 5 數(shù)值計(jì)算格式的收斂與穩(wěn)定性 問題 4 6 4 8 的解在區(qū)域q 0 日 o 五 上存在 下面考慮相應(yīng)的差分 方程 4 9 4 i i 定解問題 定理l 若滿足引理3 的條件 且設(shè)巧c r 丁 e 2 分別為問題 4 6 4 8 和 問題 4 9 4 1 1 的解 則有 巧一馬 i 口 n o r h 2 證明因?yàn)榍蒫 r r 為 4 6 4 8 的解 則t a y l o r 展開有 2 f 巧r 哆匕庸 毋 i 巧f 2 i 巧1 2 巧 筆芒 巧 d r 2 1 令占 乃 巧 一曰 d 則有 咿吁鈕圳田 m 巧吲m 郵孫警弓壩m 2 弓k 0 弓l r o o q j b b j 2 b j e j q 以1 2 i v 2 1 2 十b j q j i v 1 2 m 2 2 8 u為啊因嗎 硬蘭學(xué)岔越之 非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 一q j i b l 2 i b 1 2 s e r c l v 1 2 m 2 b r 窆e 4 v f i b 1 j 如果假定問題 6 8 的解巧有界 又由引理5 有 局 毋 巧1 2 i 砭1 2 巧一田d 置1 2 i 島f 2 島 弓i c i 勺f 2 其中c s 矗阱馳2 2 k 2 剄2 咀 己 利用引理7 于是有 i i d o 2 幟什h 2 睜 一 定理2 差分方程 4 9 4 1 1 的解8 弓0 關(guān)于模 口依初始值是穩(wěn)定的 4 6 結(jié)論 對(duì)于描述兩個(gè)非線性重力波相互作用的耦合非線性s c h r i d i n g e r 方程組進(jìn)行數(shù)值求 解 給出了四點(diǎn)隱式格式 啄 吩 厚國(guó)刪 塒 鳥 警弓 o 日k o 毋 瑚 e 2 a 4 當(dāng)滿足4 0 日 0 6 j 哆i m 0 s 乃瓴 屯 五 蜀 j 2 弓e 0 時(shí) 該數(shù) 值格式穩(wěn)定 且誤差為o r h 2 1 2 9 癬士筍岔趁之非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 第五章總結(jié) 對(duì)非線性發(fā)展方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性研究有著重要的意義 只有當(dāng)計(jì)算穩(wěn)定時(shí)才 談得上計(jì)算的準(zhǔn)確性 所以計(jì)算穩(wěn)定性 特別是非線性計(jì)算穩(wěn)定性問題顯得突出的重要 因?yàn)椴唤鉀Q它就沒有可能做大量計(jì)算 更談不上準(zhǔn)確度了 本文主要運(yùn)用啟發(fā)性分析方法對(duì)非線性發(fā)展方程 二維原始方程以及非線性 s c h r 6 d i n g e r 方程的差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性進(jìn)行分析 得到的穩(wěn)定性判據(jù)是保證差分格式 穩(wěn)定的必要條件 對(duì)于二維原始方程通過理論分析與數(shù)值試驗(yàn)表明 在差分格式結(jié)構(gòu)已經(jīng) 確定的情況下 差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性主要由初值及其偏導(dǎo)數(shù)的形式所決定的 對(duì)于非線 性s c h r i d i n g e r 方程 說明其差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性與原方程解的性質(zhì)有密切關(guān)系 并且 進(jìn)一步討論了耦合的非線性s c h r i d i n g e r 方程數(shù)值解的存在性和穩(wěn)定性問題 給出了一個(gè) 四點(diǎn)隱式差分格式 討論得出當(dāng)滿足4 e 日1 o b l a s i 膨 0 毋 毛 s 2 r j l 5 2 o o o 時(shí) 該格式是穩(wěn)定的 其誤差為0 0 j 1 2 本文所做的是非線性發(fā)展方程差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性問題 對(duì)于非線性發(fā)展方程數(shù)值 解的工作還有很多要做 在今后的工作中 我們進(jìn)一步將在一定條件下穩(wěn)定的差分格式應(yīng) 用于實(shí)際問題中 傲數(shù)值計(jì)算 另外 對(duì)于耦合的非線性s c h r i i d i n g e r 方程將考慮發(fā)展更 高精度的 守恒的便于計(jì)算的差分格式 非線性發(fā)展方程的數(shù)值差分格式和穩(wěn)定性研究 參考文獻(xiàn) 1 p h i l i p s na t h e a t m o s p e r e a n dt h es e ai n m o t i o n 叨 n e w y o r k r o c k e f e l l e r i n s t i t u t e 1 9 5 9 5 0 1 5 0 4 2 l i l l yd k o nt h ec o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t y o fn u m e r i c a ls o l u t i o n so f t i m e d e p e n d e n tn o n i i n e a r g e o p h y s i c a l f l u i d d y n a m i c s p r o b l e m s 陰 m o n w e a r c v 1 9 6 5 9 3 1 1 1 2 6 3 a r a k a w a a c o m p u t a t i o n a ld e s i g nf o rl o n g t e r m n u m e r i c a li n t e g r a t i o n so f t h ee q u a t i o n so f a t m o s p h e r i cm o t i o n j c o m p p h y s 1 9 6 6 1 1 1 9 1 4 3 4 h i l tcw h e u r i s t i cs t a b i l 蚵t h e o r yf o rf i n i t ed i f f e r e n c ee q u a t i o n j j c o m p u p h y s 1 9 6 8 1 2 1 2 3 3 9 3 5 5 5 j e s p e r s e np c a r a k a w a sm e t h o di saf i n i t ee l e m e n tm e t h o d j c o m p p h y s 1 9 7 4 1 6 3 8 3 3 9 0 6 曾慶存 計(jì)算穩(wěn)定性的若干問題叨 大氣科學(xué) 1 9 7 8 2 3 1 8 1 1 9 1 陰季仲貞 非線性計(jì)算穩(wěn)定性的比較分析 j 大氣科學(xué) 1 9 8 1 4 4 3 4 4 3 5 4 8 曾慶存 季仲貞 發(fā)展方程的計(jì)算穩(wěn)定性問題 j 計(jì)算數(shù)學(xué) 1 9 8 2 3 1 7 9 8 6 9 季仲貞 二維l i l l y 格式非線性計(jì)算不穩(wěn)定性的例子叨 科學(xué)通報(bào) 1 9 8 0 2 5 1 9 8 9 0 8 9 2 1 0 季仲貞 王斌 再論發(fā)展方程差分格式的構(gòu)造和應(yīng)用 j 大氣科學(xué) 1 9 9 1 1 5 2 0 7 2 7 8 1 l 季仲貞 王斌 曾慶存 計(jì)算地球流體力學(xué)若干新進(jìn)展明 空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào) 1 9 9 8 1 6 1 1 0 8 一1 1 4 1 2 季仲貞 楊曉忠 林萬濤 非線性計(jì)算不穩(wěn)定問題的迸一步研究明 中國(guó)科學(xué)院研究生 院學(xué)報(bào) 2 0 0 1 1 8 1 5 9 6 5