2019_2020學年高中數(shù)學第1章坐標系1.1直角坐標系平面上的伸縮變換講義新人教B版.docx

1.1直角坐標系，平面上的伸縮變換1.1.1直角坐標系 1.1.2平面上的伸縮變換學習目標：1.回顧在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用.2.了解在伸縮變換作用下平面圖形的變化情況，掌握平面直角坐標系中的伸縮變換(重點)1直角坐標系(1)直線上點的坐標點O，長度單位和選定的方向三者就構(gòu)成了直線上的坐標系，簡稱數(shù)軸直線上的點與全體實數(shù)之間就建立了一一對應關(guān)系(2)平面直角坐標系取定兩條互相垂直的且有方向的直線和長度單位構(gòu)成平面上的一個直角坐標系，記為xOy，有序數(shù)組(x，y)為點M的坐標在平面上建立了直角坐標系后，平面上的點就與全體有順序的實數(shù)對之間建立了一一對應關(guān)系(3)空間直角坐標系過空間中一個定點O，作三條互相垂直且有相同長度單位的數(shù)軸，就構(gòu)成了空間直角坐標系在建立了空間直角坐標系后，空間中的點和有序數(shù)組(x，y，z)之間建立了一一對應關(guān)系2平面上的伸縮變換把點P(x，y)變?yōu)槠矫嫔闲碌狞cQ(X，Y)，伸縮變換的坐標表達式為：，其中a0，b0.特別提醒：(1)在坐標伸縮變換的作用下，可以實現(xiàn)平面圖形的伸縮，因此，平面圖形的伸縮變換可以用坐標的伸縮變換來表示(2)在使用時，要注意點的對應性，即分清新舊：Q(X，Y)是變換后的點的坐標，P(x，y)是變換前的點的坐標思考1：如何根據(jù)幾何圖形的幾何特征建立恰當?shù)淖鴺讼?？提示如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標原點；如果圖形有對稱軸，可以選對稱軸為坐標軸；若題目有已知長度的線段，以線段所在的直線為x軸，以端點或中點為原點建系原則：使幾何圖形上的特殊點盡可能多地在坐標軸上思考2：如何理解點的坐標的伸縮變換？提示在平面直角坐標系中，點P(x，y)變換到點Q(X，Y)當a1時，是橫向拉伸變換，當0a1時，是縱向拉伸變換，當0b100.所以，埋設(shè)地下管線m的計劃不需修改已知伸縮變換求點的坐標和曲線方程【例3】在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換：.(1)求點A(，2)經(jīng)過變換所得的點A的坐標；(2)求雙曲線C：x21經(jīng)過變換后所得曲線C的焦點坐標思路探究(1)由伸縮變換求得X，Y.即用x，y表示X，Y.(2)將求得的x，y代入原方程得X，Y間的關(guān)系解(1)設(shè)點A(X，Y)由伸縮變換：得到又已知點A(，2)于是X31，Y(2)1.變換后點A的坐標為(1，1)(2)設(shè)曲線C上任意一點Q(X，Y)，將代入x21，得1，化簡得1，曲線C的方程為1.a29，b216，c225，因此曲線C的焦點F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)解答本題的關(guān)鍵：一是根據(jù)平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前后點的坐標關(guān)系，利用方程思想求解3若將例題中第(2)題改為：如果曲線C經(jīng)過變換后得到的曲線的方程為x218y，那么能否求出曲線C的焦點坐標和準線方程？請說明理由解設(shè)曲線C上任意一點M(x，y)，經(jīng)過變換后對應點M(X，Y)由得(*)又M(X，Y)在曲線x218y上，X218Y將(*)代入式得(3x)218(y)即x2y為曲線C的方程可見仍是拋物線，其中p，拋物線x2y的焦點為F(0，)準線方程為y.由條件求伸縮變換【例4】在同一平面直角坐標系中，求一個伸縮變換，使得圓x2y21變換為橢圓1.思路探究區(qū)分原方程和變換后的方程設(shè)伸縮變換公式代入變換后的曲線方程與原曲線方程比較系數(shù)解將變換后的橢圓的方程1改寫為1，設(shè)伸縮變換為，代入上式得1，即()2x2()2y21.與x2y21比較系數(shù)，得所以伸縮變換為因此，先使圓x2y21上的點的縱坐標不變，將圓上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，得到橢圓y21，再將該橢圓的縱坐標伸長到原來的2倍，得到橢圓1.1求滿足圖象變換的伸縮變換，實際上是讓我們求出變換公式，將新舊坐標分清，代入對應的曲線方程，然后比較系數(shù)可得2解題時，區(qū)分變換的前后方向是關(guān)鍵，必要時需要將變換后的曲線的方程改寫成加注上(或下)標的未知數(shù)的方程形式4在同一平面坐標系中，求一個伸縮變換使其將曲線y2sin變換為正弦曲線ysin x.解將變換后的曲線的方程ysin x改寫為Ysin X，設(shè)伸縮變換為代入Ysin X，bysin ax，即ysin ax.比較與原曲線方程的系數(shù)，知所以伸縮變換為即先使曲線y2sin的點的縱坐標不變，將曲線上的點的橫坐標縮短為原來的倍，得到曲線y2sin x；再將其縱坐標縮短到原來的倍，得正弦曲線ysin x.(教材P5習題11T3)伸縮變換的坐標表達式為曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓X21.求曲線C的方程在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€4Y21，求曲線C的方程并畫出圖形命題意圖本題主要考查曲線與方程，以及平面直角坐標系中的