2013年高中數學教學論文 分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略.pdf

高中數學分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略 高中數學分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)策略 分析和解決問題的能力是指能閱讀 理解對問題進行陳述的材料 能綜合應用所學數學 知識 思想和方法解決問題 包括解決在相關學科 生產 生活中的數學問題 并能用數學語言 正確地加以表述 它是邏輯思維能力 運算能力 空間想象能力等基本數學能力的綜合體現 由 于高考數學科的命題原則是在考查基礎知識的基礎上 注重對數學思想和方法的考查 注重數學 能力的考查 強調了綜合性 這就對考生分析和解決問題的能力提出了更高的要求 也使試卷的 題型更新 更具有開放性 縱觀近幾年的高考 學生在這一方面失分的普遍存在 如 97 年的理科 24 題 98 年的理科 24 題 99 年的理科 23 24 題 2000 年的文科 21 題 這就要求我們教師在平 時教學中注重分析和解決問題能力的培養(yǎng) 以減少在這一方面的失分 筆者就分析和解決問題能 力的組成及培養(yǎng)談幾點芻見 一 分析和解決問題能力的組成 一 分析和解決問題能力的組成 1 審題能力 審題是對條件和問題進行全面認識 對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究 它 是如何分析和解決問題的前提 審題能力主要是指充分理解題意 把握住題目本質的能力 分 析 發(fā)現隱含條件以及化簡 轉化已知和所求的能力 要快捷 準確在解決問題 掌握題目的數 形特點 能對條件或所求進行轉化和發(fā)現隱含條件是至關重要的 例 1 已知 3 32 coscos 2sinsin 求 tgtg的值 分析 怎樣利用已知的二個等式 初看好象找不出條件和結論的聯系 只好從未知 tgtg入 手 當然 首先想到的是把 tg tg分別求出 然后求出它們的乘積 這是個辦法 但是不好 求 于是可考慮將 tgtg寫成 cos sin cos sin 轉向求 sinsin coscos 令 coscos x sinsin y 于是 x y tgtg 從方程的觀點看 只要有x y的二元一次方程就可求出x y 于是轉向求 cos yx cos yx 這樣把問題轉化為下列問題 已知 2sinsin 3 32 coscos 求 cos cos 的值 2 2得 3 2 cos 3 10 cos 22 2 2得 3 2 cos 22cos2cos 5 1 cos 這樣問題就可以解決 從剛才的解答過程中可以看出 解決此題的關鍵在于挖掘所求和條件之間的聯系 這需要一 定的審題能力 由此可見 審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分 2 合理應用知識 思想 方法解決問題的能力 高中數學知識包括函數 不等式 數列 三角函數 復數 立體幾何 解析幾何等內 用心 愛心 專心 1 容 數學思想包括數形結合 函數與方程思想 分類與討論和等價轉化等 數學方法包括待定系 數法 換元法 數學歸納法 反證法 配方法等基本方法 只有理解和掌握數學基本知識 思 想 方法 題 而合理選擇和應用 方法可以使問 2000 才能解決高中數學中的一些基本問知識 思想 題解決得更迅速 順暢 axf 1 其中例 2例 2 年全國高考題 設函數xx 2 求的取值范圍 使函數在 0 a 解不等式 xf1 a xf 0上是單調函數 即 1 xf解 不等式 11axx 2 由ax此得即其中常數 以 原不等式等到價于 當 11ax 0 0 a 所 2 x 2 1 1ax 0 x 即 0 1 2 a2 0 ax x 1 2 0 2 a a xx 所以10 a時 所給不等式的解集為 當1 a時 所給不等式的解集為 0 xx 區(qū)間上任取使得 0 21 xx 21 xx 在 11 21 xfxf 21 2 2 2 1 xxaxx 11 21 2 2 2 1 2 2 2 1 xxa xx xx 11 2 2 2 1 21 21 a xx xx xx 1 a 當時 1 11 2 2 2 1 21 xx xx 0 11 2 2 2 1 2 x 1 a x xx 又 即 當在區(qū) 0 21 xx 0 xfxf 21 21 xfxf 所以1時 函數f間 0 a x上是單調遞減函數 當時 在區(qū)間10 a 1 2 0 2 21 a a xx 0 上存在兩點滿足 用心 愛心 專心 2 1 21 xfxf所以函數 xf在區(qū)間 0上不是單調函數 綜上 當且僅當1 a時 函數 xf在區(qū) 0間上是單調函數 在上述的解答過程中可以看出 本題主要考查不等式的解法 函數的單調性等基本知識 分 類討論的數學思想方法的運算 推理能力 3 數學建模能力 近幾年來 在高考數學試卷中 都有幾道實際應用問題 這給學生的分析和解決問題的能力 提出了挑戰(zhàn) 而數學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心 例 3 1999 全國高考題 下圖為一臺冷軋機的示意圖 冷軋機由若干對軋輥組成 帶鋼從一 端輸入 經過各對軋輥逐步減薄后輸出 輸入帶鋼的厚度為 輸出帶鋼的厚度為 若每對軋輥的減薄率不超過 問冷軋 機至少需要安裝多少對軋輥 0 r 輸入該對的帶鋼厚度 從該對輸出的帶鋼厚度輸入該對的帶鋼厚度度 一對軋輥減薄率 已知一臺冷軋共4 對減薄率為 20 的軋輥 所有軋輥周長為 1600mm 若第k對機有軋 輥有缺陷 每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點 在冷軋機輸出的帶鋼上 疵點的間距為 為了 便于檢修 入下 軋鋼過中 帶鋼度為變 且 軋輥序號 1 2 3 4 k L 耗 請計算 2 L 3 L并填 1 L表程寬不考慮損 k 疵點間距 k L 單位 mm 1600 解 厚度為 的帶鋼經過減薄率均為的對軋輥后厚度為 為使輸出帶鋼的厚度不超過 0 rn n r 1 0 冷軋機的軋輥數 以對為單位 應滿足 n r 1 0 n r 1 0 即 由于0 0 1 0 n r式兩端取對數 對上得 lg 1lg 0 rn 由于0 1lg 0 r 所以 1lg lglg 0 r n 因此 至少需要安裝不小于 lglg 的整數對軋輥 1g 0 r l 第k對軋輥出口處疵點間距離為軋輥兩疵周長 在此處出口的點間帶鋼的體積為 寬度 k r 1 1600 其中r20 軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為 無損耗 由體積得 而在冷 1 寬度 4 rLk 因寬度相等 且相等 1 1 1600 4 rrLr k k 20 4 8 01600 k k L即 用心 愛心 專心 3 由此得 200 3 mmL mm3125 1 L 0 2 mmL2500 填表 軋輥序號 1 2 3 4 如下 k 疵點間距 k L 單位 mm 3125 2500 2000 1600 評述 題 是一個常見的等比數列模型問題 即平均變化率類型 要解決該問題關鍵是 理解題中 若每對軋輥的減薄率不超過 0 r 的含義 題若通過合理聯想 帶鋼從第對軋 輥出口處兩疵點間的距離和冷軋機出口處兩疵點間的距離的關系 由于在此過程中 兩疵點間的 鋼板 能力 正確解決此題實屬不易 因此 建模能 力是 操作性的特征 可以作為解題的具體手段 只有對數學 思想 技巧 使學生認 k 體積相等 故是一等體積幾何模型問題 可列式 寬度寬度 4 1 1 1600rLr k k 在該題的解答中 學生若沒有一定的數學建模 分析和解決問題能力不可或缺的一個組成部分 二 培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略 二 培養(yǎng)和提高分析和解決問題能力的策略 1 重視通性通法教學 引導學生概括 領悟常見的數學思想與方法 數學思想較之數學基礎知識 有更高的層次和地位 它蘊涵在數學知識發(fā)生 發(fā)展和應用的 過程中 它是一種數學意識 屬于思維的范疇 用以對數學問題的認識 處理和解決 數學方法 是數學思想的具體體現 具有模式化與可 與方法概括了 才能在分析和解決問題時得心應手 只有領悟了數學思想與方法 書本的 別人的知識技巧才會變成自已的能力 每一種數學思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據的基本理論 如分類討論思想可以分 成 1 由于概念本身需要分類的 象等比數列的求和公式中對公比q的分類和直線方程中對斜 率k的分類等 2 同解變形中需要分類的 如含參問題中對參數的討論 解不等式組中解集的 討論等 又如數學方法的選擇 二次函數問題常用配方法 含參問題常用待定系數法等 因此 在數學課堂教學中應重視通性通法 淡化特殊識一種 思想 或 方法 的個 性 有效 從而培養(yǎng)和提高學即認識一種數學思想或方法對于解決什么樣的問題生合理 正確地 應用 題就著重考查這方面的能力 這從新課程版的 考試說明 與原來 的 數學思想與方法分析和解決問題的能力 2 加強應用題的教學 提高學生的模式識別能力 高考是注重能力的考試 特別是學生運用數學知識和方法分析問題和解決問題的能力 更是 考查的重點 而高考中的應用 考試說明 中對能力的要求的區(qū)別可見一斑 新課程版將 分析和解決問題的能力 改為 解決實際問題的能力 數學是充滿模式的 就解應用題而言 對其數學模式的識別是解決它的前提 由于高考考查 的都不是原始的實際問題 命題者對生產 生活中的原始問題的設計加工使每個應用題都有其數 學模型 如 1997 年的 運輸成本問題 為函數與均值不等式 1998 年的 污水池問題 為函數 立幾與均值不等式 1999 年的 減薄率問題 是數列 不等式與方程 2000 年的 西紅柿問題 是分段式的一次函數與二次函數等等 在高中數學教學中 不但要重視應用題的教學 同時要對 模型 這樣學生才能有的放矢 合 理運 應用題進行專題訓練 引導學生總結 歸納各種應用題的數學 用數學思想和方法分析和解決實際問題 3 適當進行開放題和新型題的訓練 拓寬學生的知識面 要分析和解決問題 必先理解題意 才能進一步運用數學思想和方法解決問題 近年來 隨 著新技術革命的飛速發(fā)展 要求數學教育培養(yǎng)出更高數學素質 具有更強的創(chuàng)造能力的人才 這 一點體現在高考上就是一些新背景題 開放題的出現 更加注重了能力的考查 由于開放題的特 征是題目的條件不充分 或沒有確定的結論 題的背景新 這樣給學生在題意的理解和而新背景 解題方法的選擇上制造了不少的麻煩 導致失分率較高 如 1999 年理科的第 16 題和第 22 題 很多 用心 愛心 專心 4 學生由于對 壟 和 減薄率不超過 0 r 不理解而不知所措 又如 2000 年文科第 16 題和第 21 題 2001 年春季高考的第 11 題 只有在讀懂所給的圖形的前提下 才能正確作出解答 因此 在 高中數學教學中適當 進行開放題和新型題的訓練 拓寬學生的知識面是提高學生分析和解決問題 能力的必要的補充 重視解題的回顧 在數學解題過程中 解決問題以后 再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討 分析與 研究 題的 要思想 關鍵因素 是非常必要的一個重要環(huán)節(jié) 這是數學解題過程的最后階段 也