數(shù)學建模與合理計稅問題.doc

合理計稅問題摘要本方案是解決個人年納稅額最小且年收入分配（月工資與年終獎的分配）最優(yōu)問題。其關鍵是在年收入一定的情況下，如何分配每月工資與年終一次性獎金，從而達到納稅總額最小的目的。根據(jù)問題給出的每月工資應納稅計算方案以及一次性獎金納稅計算方案，得到了一個年納稅金最小的優(yōu)化模型。結合此數(shù)學模型，運用matlab編程，得出最優(yōu)解（見表1、表2）。顯然，當我們可以自行決定每月收入和年終一次性獎金的分配數(shù)額時，表1才最佳選擇，因為當A一定時，表1中對應的納稅額比表2中對應的納額金小，有時很明顯，從而建立年納稅額最小且年收入分配最優(yōu)方案。再結合此方案充分分析該單位職工納稅的規(guī)律與特點，可以很直觀地看出當年收入一定時，工資和年終獎的最優(yōu)分配。對于問題1, 根據(jù)已建立的數(shù)學模型為表中5名職工制定合理的發(fā)放方案見正文表 3；對于問題2，通過分析該單位職工納稅的規(guī)律與特點，發(fā)放方案選擇的要點在于更具自己的實際情況合理選擇具體分析見正文。對于問題3，根據(jù)我國目前個人所得稅制度中對分級稅率和稅級距的設定，通過數(shù)字模擬的方法計算合理的個稅起征點。同時考慮到個稅起點與勞動就業(yè)率、社會公平以及社會福利水平的相互關系，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)估算出我國城鎮(zhèn)居民工薪收入分布函數(shù)，最終計算得出個稅起征點為2800元到3200元。關鍵詞：年納稅額最小 收入分配最優(yōu) 最佳選擇 稅率和稅級距 收入分布函數(shù) 個稅起征點一、 問題重述便稅收作為國家經濟杠桿之一，具有調節(jié)收入分配、促進資源配置、促進經濟增長的作用。 納稅是國家財政收入的主要來源，按照國家的稅收制度交納個人所得稅是我們每個公民應盡的職責?，F(xiàn)行的個人所得稅率如表1：表1：個人所得稅率表（工資、薪金所得適用）級數(shù)含稅級距稅率(%)速算扣除數(shù)說明1不超過500元的50本表含稅級距指以每月收入額減除費用2000元后的余額。即現(xiàn)行的個人所得稅的起征點是2000元。2超過500元至2,000元的部分10253超過2,000元至5,000元的部分151254超過5,000元至20,000元的部分203755超過20,000元至40,000元的部分2513756超過40,000元至60,000元的部分3033757超過60,000元至80,000元的部分3563758超過80,000元至100,000元的部分40103759超過100,000元的部分4515375現(xiàn)考慮某事業(yè)單位的個人所得稅的計算問題。已知該單位職工的年收入是由每月的工資、每月的崗位津貼、年末一次性獎金三部分組成。根據(jù)國家政策，每月的工資和津貼之和按照上表的稅率交稅，而年末一次性獎金則單獨計稅，按照除以12再找表中稅率最后減去速算扣除數(shù)的辦法執(zhí)行，比如某人的每月工資是1500元，每月崗位津貼2300元，年末1次性獎金是10000元，則一年中應繳納的個人所得稅累計為（因為10000/12833.3，故一次性適用稅率為10%）：（5005%+130010%）12+1000010%-25=2835元在實際的執(zhí)行過程中，每月的崗位津貼和年末一次性獎金實際上是放在一起結算給個人的，而具體每月發(fā)放多少崗位津貼和年末一次性發(fā)放多少獎金可以由職工本人在年初根據(jù)自己的需要進行選擇。顯然，不同的選擇發(fā)放方式所繳納的稅是不同的，這就產生一個合理計稅的問題。假定該事業(yè)單位一年中的津貼與獎金之和的上限是75000元，試解決下面三個問題：（1） 建立合理計稅的數(shù)學模型，并為下列5名職工制定合理的發(fā)放方案。職工編號每月應稅工資津貼與獎金總數(shù)每月崗位津貼發(fā)放數(shù)年末一次性獎金個人所得稅198439030280648340312013199041409567605150426670（2）充分分析該單位職工納稅的規(guī)律與特點，然后寫一篇不超過800字的通俗短文，談談發(fā)放方案選擇的要點以便于該單位的所有職工都能得到很好的指導。（3）2011年3月1日的國務院常務會議上，原則通過了個人所得稅法修正案草案，并確定了提高個人所得稅起征點，以及調整級次級距的改革方向。目前該草案正報全國人大常委會審議尚未正式發(fā)布?，F(xiàn)在請你結合當前我國公民的個人情況建立你認為合理的個稅起征點模型并給出結果。二、 模型假設（1） 假設公司允許自行決定每月收入和年終一次性獎金的分配數(shù)額；（2） 假設每月工資一定；（3） 假設起征點調整以后，收入分布函數(shù)是固定不變的；（4） 假設收入分布的概率密度函數(shù)為 ；（5） 假設起征點調整變化前后的稅前工薪收入分布保持不變；（6） 假設有三類參與者：工人、廠商和政府；三、 符號說明（1）、A 年總收入（2）、x 每月工資；（3）、y 年終一次性獎金；（4）、f(x) 一年工資應納稅額；（5）、f(y) 年終一次性獎金應納稅額；（6）、F(x) 一年應納稅總額；（7）、起征點（8）、稅前收入（9）、工人的生產率（10）補貼額（11）、的分布密度函數(shù)（12）、類型為的就業(yè)機會成本（13）、類型為的工作崗位提供的工資（14）、工人得到的效用（15）、工人人數(shù)（16）、就業(yè)率（17）、廠商提供的職位數(shù)量（18）、應繳稅額（19）、工薪收入分布參數(shù)（20）、風險規(guī)避系數(shù)四、 數(shù)據(jù)準備根據(jù)中國城市（鎮(zhèn)）生活與價格年鑒（2005、2006、2007）中“按收入等級分城鎮(zhèn)居民家庭情況”的數(shù)據(jù)，估計了2005、2006和2007年城鎮(zhèn)居民工薪收入分布情況，如圖1所示。2005、2006、和2007年三年我國城鎮(zhèn)工薪收入分布的參數(shù)依次是五、 問題一的模型建立與求解第一步：建立模型根據(jù)每月工資應納稅計算方案，對于問題1、2，我們建立一個以每月工資x為自變量，一年工資總稅額為因變量的分段函數(shù)f(x)。同理，根據(jù)一次性獎金納稅計算方案，建立一次性年終獎稅額對年終獎y的分段函數(shù)f(y)。 要使得年納稅總額最小，即f(x)+f(y)最小，又需滿足12x+y=A. 所以可建立模型（1）： (1)式(1)為年納稅金最小優(yōu)化模型。要求式(1)的最優(yōu)值可利用模擬仿真的方法。若A為常數(shù)，每確定一個x值，則有唯一的y值與之對應來滿足條件.由于數(shù)據(jù)量龐大，難以求解，不妨取， ；據(jù)工資應納稅計算方案和年終一次性獎金納稅計算方案有： (2) (3)再由12x+y=A,式(2)和(3)可以得到：當時， (4) 當時， (5) 第二步：模型求解對于式(4)及(5)，我們可用matlab編程求解，其程序見最后附錄從兩表對比下，可以很直觀地看出當年收入一定時，工資和年終獎的最優(yōu)分配.對于問題1, 5名職工制定合理的發(fā)放方案如下表職工編號每月應稅工資津貼與獎金總數(shù)每月崗位津貼發(fā)放數(shù)年末一次性獎金個人所得稅1984390302752.56000650.252806483403527.86006.4704.17312013199021665998682.8414095676042306000934.551504266702055.82000.4227.9六、 問題二的求解 顯然，當我們可以自行決定每月收入和年終一次性獎金的分配數(shù)額時，表1才最佳選擇，因為當A一定時，表1中對應的納稅額比表1中對應的納額金小，有時很明顯。所以對表1進行分析，不難看出其中的規(guī)律：當工人年收入低于3000時，選擇在自己的月工資在2000附近，自己的年終獎金盡量少，此時工人繳納的個人所得稅最少；當工人的年收入在3000054000范圍內時，選擇自己的年終獎金為6000時，所交的個人所得稅最少；當工人的年收入在55000129000范圍內時，選擇自己的年終獎金為24000時，所交的個人所得稅最少；當工人的年收入在130000144000范圍內時，選擇自己的年終獎金為46000時，所交的個人所得稅最少；當工人的年收入在145000150000范圍內時，選擇自己的年終獎金為60000時，所交的個人所得稅最少。當工人的年收入在150000以上時，根據(jù)自己的實際情況來選擇。七、 問題三的模型建立與求解第一步：建立模型 （一）、設起征點用表示，工人的稅前收入用表示。則收入在區(qū)間內的工人所繳稅額為：，收入在區(qū)間內的工人所交個稅為：收入的分檔點分別為：5%10%15%20%25%30%35%40%45%（二）、工人類型的差異引起生產率不同,假設生產率為，分布密度為其中 ，且 ?？芍涫杖霝閤的工人得到的效用為： （1）其中為風險規(guī)避系數(shù) 廠家給出的成本與長處能力的比例關系為： （2）（三）、廠商與工人匹配關系廠商提供一個類型為的就業(yè)機會成本為，匹配成功廠商獲得利潤為： （四）、政府、工人和廠商之間的博弈過程（1）、府制定稅收政策，在本模型中就是確定的一個個稅起征點（2）、廠商提供工作職位，工人決定是否去尋找工作（3）、工人和空缺崗位的匹配開始：若匹配成功，工人工作，雙方經談判確定該工作崗位的工資水平，政府按照稅收政策對收入水平大于其正點的工人進行征稅；如果匹配失敗，該部分工人狀態(tài)為失業(yè)，將接受政府的補貼。（4）、政府用征稅的個人所得稅去對不去找工作的人和找工作沒有成功匹配的人進行補貼，并且滿足預算約束，將接受政府的補貼。我們將依照上述各個步驟分別討論政府的最優(yōu)化問題、工作崗位的匹配過程和工資率的確定。1、 政府的行為政府的目標是社會總福利最大化，當工人的類型小于補貼值時，工人不尋找工作，的到，當工人的類型大于補貼值時，工人尋找工作。如果匹配成功，工人可支配收入為工資減去應繳稅額，則社會總福利可示為： （3）政府的預算約束為： （4）所以政府的最優(yōu)化問題就是找到一個合理的計稅起點，使得在滿足（4）的預算約束時，社會福利水平（即（3）式）達到最大。2、 工人和工作崗位的匹配過程按照前人的文獻（見Blanchard and Diamond,1989或Pissarides,2001）,假設一個匹配，工人數(shù)量，職位數(shù)量，于是有： （5）若類型的人去找工作，則 ，（）對廠商來說，提供一個職位的期望回報為： 如果假設廠商為風險，且可自由進入市場和設置工作崗位，則均衡時廠商的期望利潤為0，即： ，則有推出： （6）3、 確定工資水平的討價還價過程工資的確定是一個討價還價過程，參與的雙方為廠商和工人，他們按照談判能力分配剩余：當匹配成功時雙方的剩余是：當匹配失敗時工廠一無所得，工人得到補貼：當時，雙方博弈結果取得最大 ： （7）其中表示工人的談判能力，是指廠商的談判能力。第二步：模型的分析與求解 （一）、改變起征點的影響1、起征點變化與補貼額的關系補貼額的大小取決于三方博弈的結果，求得的解應滿足： 、 政府的預算約束，即（4）式，其中 、工人與廠商談判的結果滿足： &、考慮且起征點大于的情況 當時，所以 ，可得： （8）這個最大化問題的一階條件為： ，可以得到： （9）由此可知該區(qū)間內的工資水平與起征點無關。 &、當時，在之間時有： 若則問題解決，若則考慮在區(qū)間內的解為： （10） 根據(jù)一階條件可得： （11）按照上面的方法類推有：（12） 從（12）式由可知對任意，是的增函數(shù)，再結合政府的預算約束（4）式，可以判斷與的關系，根據(jù)下面數(shù)據(jù)模擬結果，是的減函數(shù)，也就是起征點越高，補貼值就越低。2、就業(yè)率與起征點的關系 就業(yè)率為，現(xiàn)給定任意，是的增函數(shù)： 此時，起征點越高，就業(yè)率就越高。3、社會福利水平與的關系社會福利水平由（3）式給出，當時社會福利：最大此時，即，則有： （二）、數(shù)值模擬 根據(jù)前面建立的模型，通過數(shù)值計算的方法來量化調整整個稅起征點的經濟影響，尋找適合目前收入分布情況的最有個稅起征點。假定公認的工資服從Gamma分布且在工作匹配方程（5）式中令，并假定廠商和工人的談判能力相同即： 根據(jù)前面建立的模型生產能力為的工人匹配成功的概率為： 當時，匹配成功的概率可以簡化為： （13）其中，2007年我國的經濟活動人口為78645萬人，而就業(yè)人員為76990萬人，所以匹配成功率約97.9%，帶入（13）式，可以估算出。工人的效用函數(shù)為：，是我們要確定的參數(shù)，根據(jù)施建淮和珠海婷在研究我國城市居民的預防性儲存問題時的估計結果，經過處理后得到的估計值大約為0.00025。 此外克雷普斯在他的教材管理者微觀經濟學也提出了一個的估算值為:0.000019.經過計算可以發(fā)現(xiàn)取值在0.00001到0.00003范圍內變動時，計算結果沒有顯著變化。則所用參數(shù)值總結如下：數(shù)值模擬結果：1、 在預算平衡約束下，每個起征點都會對應著一個補貼點，采用迭代算法，結果如圖1所示（圖1）有計算及圖像可知的估算不會影響到就業(yè)率與補貼點的估算，但會影響到最有個稅起征點。2、根據(jù)補貼點和起征點之間的關系，進一步計算出沒種類型的工人工資水平、繳納所得稅以及找到工作的概率，于是就得到社會的就業(yè)水平和社會水平，結果如（圖2）和（圖3），兩圖的橫軸均為個稅起征點，（圖2）的縱軸表示就業(yè)率，（圖3）的縱軸表示社會福利水平。（圖2）（圖三）從（圖3）可以看出，社會福利隨著起征點的提高而增加，若將起征點由800元提高到1600元，那么社會福利或得到較大的改善。但是起征點超過2000元時，提高起征點引起的社會福利變化傾于平緩。當起征點超過3200元時，提高起征點幾乎不會增加社會福利。因此在現(xiàn)行的收入結構下，我國設定起征點在2800元至3200元比較合適。八、 模型的評價及改進對問題1和問題2模型的建立與求解過程中，運用了多種數(shù)學軟件計算,嚴格地對其求解,具有科學性。并且建模的方法和思想對其他類似的問題適用,尤其是合理還貸模型很有實用性。但是由于模型求解時數(shù)據(jù)量龐大,所以沒有把所有可能數(shù)據(jù)都求解出來,只限于對問題的求解；在模型中使用的假設較多；建模單一，沒有再建立其他模型解決問題。對問題三的模型建立與求解過程中，結合了前人的研究成果，進一步進行計算，并考慮到了各種對個稅起征點影響的主要因素。考慮的范圍全面，并且該模型是用于其他人合同類似的模型。但是該模型使用的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)庫比較古老，不能精確的反映現(xiàn)在中國的居民收入情況。九、 參考文獻1 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003；2 韓中庚，數(shù)學建模方法及其應用，北京：高等教育出版社，2005；3徐金明，MATLAB使用教程，北京：清華大學出版社 北京交通大學出版社，2005。4財經網(wǎng)：個稅起征點擬上調至2000元/月5封建強：我國職工工資收入分布函數(shù)的模擬與估計，預測，2000年第十一期。6克雷普斯【著】趙英軍【譯】，管理者微觀經濟學，中國人民出版社，2006年7月7施建淮，朱海婷，（2004），中國城市居民預防性儲蓄及預防性動機強度：19992003，經濟研究，2004年第10期 8中國統(tǒng)計年鑒，1996年2010年，中國統(tǒng)計出版社8中國城市（鎮(zhèn)）生活與價格年鑒（2006年、2007年、2008年、2009年、2010年），中國統(tǒng)計出版社2006年、2007年、2008年、2009年、2010年各版。 十、 附錄附錄一：對于1題(4)程序附錄二：對于1題(5)程序附錄三：對（4）程序與（5）程序用Excel處理得到的表格附錄四：分布估計圖像附錄一：對于1題(4)程序如下：for A=30000:1000:150000; /A從30000每隔1000到150000循環(huán) x=0:0.1:2000; /x的范圍 y1=zeros(size(x); y2=zeros(size(x); y3=zeros(size(x); y4=zeros(size(x); N=length(x); for k=1:N if x(k)=(A-152000)/11&x(k)=(A-62000)/11&x(k)=(A-26000)/11&x(k)=(A-8000)/11&x(k)=A/11 y4(k)=-0.55*x(k)+0.05*A-100; end endy=y1+y2+y3+y4; /y表示F(x) Ymin,t=min(y); /求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置 Ymin x(t) /每月工資最優(yōu)分配額end附錄二，對于1題(5)程序如下：for A=30000:1000:150000; /A從30000每隔1000到150000循環(huán)x=2000:0.1:A/12; /x的范圍y1=zeros(size(x);y2=zeros(size(x);y3=zeros(size(x); y4=zeros(size(x);y5=zeros(size(x);y6=zeros(size(x); y7=zeros(size(x);y8=zeros(size(x);N=length(x); for k=1:N if x(k)=2000 y1(k)=0.6*x(k)-1200; elseif x(k)2500 y2(k)=1.2*x(k)-2700; elseif x(k)4000 y3(k)=1.8*x(k)-4100; elseif x(k)7000 y4(k)=2.4*x(k)-8500; endendhold on;for k=1:N if x(k)A/12-12500 y5(k)=-2.4*x(k)+0.2*A-375; elseif x(k)=A/12-5000 y6(k)=-1.8*x(k)+0.15*A-125; elseif x(k)=A/12-2000 y7(k)=-1.2*x(k)+0.1*A-25; elseif x(k)=A/12-500 y8(k)=-0.6*x(k)+0.05*A; endy=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8; /y表示F(x)plot(x,y,g) /畫出F(x)關于x的圖像Ymin,t=min(y); /求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置Yminx(t) /每月工資最優(yōu)分配額end 附錄三對（4）程序與（5）程序求得結果經Excel處理后如下表： 最優(yōu)分配 最優(yōu)分配年收入（元）最小稅額（元）月工資（元）年終獎（元）最小稅額（元）月工資（元）年終獎（元）300003002000600030020006000310003502083.45999.267520007000320004002166.75999.677520008000330004502250600087520009000340005002333.45999.2975200010000350005502416.75999.6107520001100036000600250060001175200012000370007002583.45999.21275200013000380008002666.75999.61375200014000390009002750600014752000150004000010002833.45999.215752000160004100011002916.75999.616752000170004200012003000600017752000180004300013003083.45999.218752000190004400014003166.75999.619752000200004500015003250600020752000210004600016003333.45999.221752000220004700017003416.75999.622752000230004800018003500600023752000240004900019003583.45999.236252000250005000020003666.75999.637752000260005100021003750600039252000270005200022003833.45999.240752000280005300023003916.75999.642252000290005400024004000600043752000300005500027752583.423999.245252000310005600028752666.723999.6467520003200057000297527502400048252000330005800030752833.423999.249752000340005900031752916.723999.6512520003500060000327530002400052752000360006100033753083.423999.254252000370006200034753166.723999.6557520003800063000357532502400057252000390006400036753333.423999.258752000400006500037753416.723999.6602520004100066000387535002400061752000420006700039753583.423999.263252000430006800040753666.723999.6647520004400069000417537502400066252000450007000042753833.423999.267752000460007100043753916.723999.6692520004700072000447540002400070752000480007300056254083.423999.2722520004900074000577542502300073752000500007500059254166.724999.675252000510007600060754333.423999.2767520005200077000622544167-453004782520005300078000637545002400079752000540007900065254583.423999.281252000550008000066754666.723999.6827520005600081000682547502400084252000570008200069754833.423999.285752000580008300071254916.723999.6872520005900084000727550002400088752000600008500074255083.423999.2118252000610008600075755166.723999.612025200062000870007725525024000122252000630008800078755333.423999.2124252000640008900080255416.723999.612625200065000900008175550024000128252000660009100083255583.423999.2130252000670009200084755666.723999.613225200068000930008625575024000134252000690009400087755833.423999.2136252000700009500089255916.723999.613825200071000960009075600024000140252000720009700092256083.423999.2142252000730009800093756166.723999.6144252000740009900095256250240001462520007500010000096756333.423999.21482520007600010100098256416.723999.615025200077000102000997565002400015225200078000103000101256583.423999.215425200079000104000102756666.723999.615625200080000105000103757000.120998.815825200081000106000104757000.121998.816025200082000107000105757000.122998.816225200083000108000106757000.123998.816425200084000109000108757083.423999.216625200085000110000110757166.723999.6168252000860001110001127572502400017025200087000112000114757333.423999.217225200088000113000116757416.723999.6174252000890001140001187575002400017625200090000115000120757583.423999.217825200091000116000122757666.723999.6180252000920001170001247577502400018225200093000118000126757833.423999.218425200094000119000128757916.723999.6186252000950001200001307580002400018825200096000121000132758083.423999.219025200097000122000134758166.723999.619225200098000123000136758250240001942520