（浙江通用）高考數(shù)學一輪復習 第六章 不等式 6.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考數(shù)學一輪復習 第六章 不等式 6.3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式axbyc0在平面直角坐標系中表示直線axbyc0某一側所有點組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線當我們在坐標系中畫不等式axbyc0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線(2)由于對直線axbyc0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入axbyc，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由ax0by0c的符號即可判斷axbyc0表示的直線是axbyc0哪一側的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題【知識拓展】1畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證2利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對于axbyc0或axbyc0時，區(qū)域為直線axbyc0的上方；(2)當b(axbyc)0表示的平面區(qū)域一定在直線axbyc0的上方()(2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(3)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(4)不等式x2y20，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a_.答案解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點a時，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思維升華(1)先準確作出可行域，再借助目標函數(shù)的幾何意義求目標函數(shù)的最值(2)當目標函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有：表示點(x，y)與原點(0,0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率(3)當目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據臨界位置確定參數(shù)所滿足條件(1)(2015山東)已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a等于() a3 b2 c2 d3(2)(2014安徽)x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()a.或1 b2或c2或1 d2或1答案(1)b(2)d解析(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示易知a(2,0)，由得b(1,1)由zaxy，得yaxz.當a2或a3時，zaxy在o(0,0)處取得最大值，最大值為zmax0，不滿足題意，排除c，d選項；當a2或3時，zaxy在a(2,0)處取得最大值，2a4，a2，排除a，故選b.(2)如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當a0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.題型三線性規(guī)劃的實際應用例6某客運公司用a、b兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務，每車每天往返一次a、b兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求b型車不多于a型車7輛若每天運送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備a型車、b型車各多少輛？解設a型、b型車輛分別為x、y輛，相應營運成本為z元，則z1 600x2 400y.由題意，得x，y滿足約束條件作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標分別為p(5，12)，q(7,14)，r(15,6)由圖可知，當直線z1 600x2 400y經過可行域的點p時，直線z1 600x2 400y在y軸上的截距最小，即z取得最小值故應配備a型車5輛、b型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最小思維升華解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結合求解；(4)作答(2015陜西)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用a，b兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額a(噸)3212b(噸)128a.12萬元 b16萬元c17萬元 d18萬元答案d解析設每天甲、乙的產量分別為x噸，y噸，由已知可得目標函數(shù)z3x4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：可得目標函數(shù)在點a處取到最大值由得a(2,3)則zmax324318(萬元)7含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的易錯點典例已知實數(shù)x，y滿足如果目標函數(shù)zxy的最小值為1，則實數(shù)m_.易錯分析題目給出的區(qū)域邊界“兩靜一動”，可先畫出已知邊界表示的區(qū)域，分析動直線的位置時容易出錯，沒有抓住直線xym和直線yx平行這個特點；另外在尋找最優(yōu)點時也容易找錯區(qū)域的頂點解析顯然，當m2，此時不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，平面區(qū)域為一個三角形區(qū)域，其頂點為a(1,1)，b(m1,1)，c(，)由圖可知，當直線yxz經過點c時，z取得最小值，最小值為.由題意，得1，解得m5.答案5溫馨提醒(1)當約束條件含有參數(shù)時，要注意根據題目條件，畫出符合條件的可行域本題因含有變化的參數(shù)，可能導致可行域畫不出來(2)應注意直線yxz經過的特殊點方法與技巧1平面區(qū)域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線)2求最值：求二元一次函數(shù)zaxby (ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值最優(yōu)解在頂點或邊界取得3解線性規(guī)劃應用題，可先找出各變量之間的關系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉化成線性規(guī)劃問題4利用線性規(guī)劃的思想結合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題失誤與防范1畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化2在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當b0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當b0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值a組專項基礎訓練(時間：30分鐘)1直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有()a0個 b1個 c2個 d無數(shù)個答案b解析由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分)直線2xy100恰過點a(5,0)，且其斜率k2kab，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個公共點a(5,0)2若函數(shù)ylog2x的圖象上存在點(x，y)，滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為()a. b1 c. d2答案b解析如圖，作出不等式組表示的可行域，當函數(shù)ylog2x的圖象過點(2,1)時，實數(shù)m有最大值1.3設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)zx2y的最小值為()a2 b3 c4 d5答案b解析由線性約束條件畫出可行域(如圖所示)由zx2y，得yxz，z的幾何意義是直線yxz在y軸上的截距，要使z最小，需使z最小，易知當直線yxz過點a(1,1)時，z最小，最小值為3，故選b.4若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是()a. b(0,1c. d(0,1答案d解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求a，b兩點的坐標分別為和(1,0)，若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是0a1或a.5某公司生產甲、乙兩種桶裝產品已知生產甲產品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克；生產乙產品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗a、b原料都不超過12千克通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是()a1 800元 b2 400元c2 800元 d3 100元答案c解析設每天生產甲種產品x桶，乙種產品y桶，則根據題意得x、y的約束條件為設獲利z元，則z300x400y.畫出可行域如圖畫直線l：300x400y0，即3x4y0.平移直線l，從圖中可知，當直線過點m時，目標函數(shù)取得最大值由解得即m的坐標為(4,4)，zmax300440042 800(元)故選c.6若x，y滿足且zyx的最小值為4，則k的值為()a2 bc. d2答案b解析當zyx取得最小值4時，直線yx4與x軸相交于點c(4,0)，所以直線kxy20一定過點c(4,0)，所以4k020，即k.經驗證，符合題意7已知實數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值是()a2 b2 c1 d1答案d解析作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖，的幾何意義是區(qū)域內的點p(x，y)與定點a(0，1)所在直線的斜率，由圖象可知當p位于點d(1,0)時，直線ap的斜率最小，此時的最小值為1.故選d.8已知實數(shù)x，y滿足則z2x2y1的取值范圍是()a，5 b0,5c，5) d，5)答案d解析畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，可知221z222(1)1，即z的取值范圍是，5)9鐵礦石a和b的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的co2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表：ab(萬噸)c(百萬元)a50%13b70%0.56某冶煉廠至少要生產1.9(萬噸)鐵，若要求co2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為_(百萬元)答案15解析設購買鐵礦石a、b分別為x萬噸，y萬噸，購買鐵礦石的費用為z(百萬元)，則目標函數(shù)z3x6y，由得記p(1,2)，畫出可行域可知，當目標函數(shù)z3x6y過點p(1,2)時，z取到最小值15.10若點p(x，y)滿足線性約束條件則zxy的最小值是_；u的取值范圍是_答案2解析作出約束條件表示的可行域如下圖陰影部分所示：平移直線xy0，易知當目標直線zxy經過可行域內的點m(2,0)時，zxy取得最小值，且zmin2；u表示可行域內的點(x，y)與點p(1，1)組成的直線的斜率，觀察圖象可知，ukpn，kpm，又kpm，kpn7，故u的取值范圍是.b組專項能力提升(時間：15分鐘)11在平面直角坐標系中，點p是由不等式組所確定的平面區(qū)域內的動點，q是直線2xy0上任意一點，o為坐標原點，則|的最小值為()a. b.c. d1答案a解析在直線2xy0上取一點q，使得，則|，其中p，b分別為點p，a在直線2xy0上的投影，如圖因為|，因此|min，故選a.12設平面點集a(x，y)|(yx)(y)0，b(x，y)|(x1)2(y1)21，則ab所表示的平面圖形的面積為()a. b. c. d.答案d解析平面點集a表示的平面區(qū)域就是不等式組與表示的兩塊平面區(qū)域，而平面點集b表示的平面區(qū)域為以點(1,1)為圓心，以1為半徑的圓及圓的內部，作出它們表示的平面區(qū)域如圖所示，圖中的陰影部分就是ab所表示的平面圖形由于圓和曲線y關于直線yx對稱，因此，陰影部分所表示的圖形面積為圓面積的，即為，故選d.13設實數(shù)x，y滿足則zy4|x|的取值范圍是()a8，6 b8,4c8,0 d6,0答案b解析滿足不等式組的可行域如圖所示，由題意可知a(2,2)，b(4,8)，o(0，0)，由直線xy4與y軸交點坐標為(0,4)，當x0時，zy4x，顯然經過點(0,4)時z取最大值4，經過點a時z取最小值6；當x0)僅在點(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是_答案解析畫出x、y滿足約束條件的可行域如圖所示，要使目標函數(shù)zaxy僅在點(3,0