湖南省長沙市高三數(shù)學二模試卷 文（含解析）.doc

2016年湖南省長沙市高考數(shù)學二模試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1已知集合a=x|3x3，b=x|x（x4）0，則ab=（）a（0，4） b（3，4） c（0，3） d（3，4）2已知復數(shù)z=，則對應的點在（）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限3已知=（sin，cos），=（2，1），若，則tan的值為（）a2 b2 c d4下列有關命題的說法正確的是（）a命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分條件c命題“xr使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題5雙曲線=1的焦點到漸近線的距離為（）a b c1 d6設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+3y+1的最大值為（）a11 b10 c9 d8.57某程序框圖如圖所示，該程序運行輸出的k值是（）a4 b5 c6 d78已知定義在r上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x），當0x時，f（x）=4x，則f（）=（）abc1 d9已知函數(shù)y=sinx+cosx，y=2sinxcosx，則下列結(jié)論正確的是（）a兩個函數(shù)的圖象均關于點（，0）成中心對稱b的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，再向右平移個單位即得的圖象c兩個函數(shù)在區(qū)間（，）上都是單調(diào)遞增函數(shù)d兩個函數(shù)的最小正周期相同10如圖是一個四面體的三視圖，這個三視圖均是腰長為2的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為（）a b c d211已知函數(shù)f（x）=x+，g（x）=2x+a，若x1，3，x22，3，使得f（x1）g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）aa1 ba1 ca0 da012如圖所示，直線y=m與拋物線y2=8x交與點a，與圓（x2）2+y2=16的實線部分交于點b，f為拋物線的焦點，則abf的周長的取值范圍是（）a（6，8） b（4，6） c（8，12） d（8，10）二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，那么直線bx+ay=1的斜率k的概率是14已知正項等比數(shù)列an中，a2a5a13a16=256，a7=2，則數(shù)列an的公比為15在半徑為10cm的球面上有a、b、c三點，如果ab=8，acb=60，則球心o到平面abc的距離為cm16在abc中，角a、b、c所對的邊分別a、b、c，且滿足b2+c2a2=bc， 0，a=，則邊b的取值范圍是三、解答題（共5小題，滿分60分）17等差數(shù)列an中，a2=8，s6=66（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）設bn=，tn=b1+b2+b3+bn，求tn18某學校高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數(shù)分成5組：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）從樣本中分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率；（2）若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”？p（k2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：k2=19如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上，矩形dcbe所在的平面垂直于圓o所在的平面，ab=4，be=1（1）證明：平面ade平面acd；（2）當三棱錐cade的體積最大時，求點c到平面ade的距離20已知點a（0，2），橢圓e： +=1（ab0）的離心率為，f是橢圓的焦點，直線af的斜率為，o為坐標原點（）求e的方程；（）設過點a的直線l與e相交于p，q兩點，當opq的面積最大時，求l的方程21已知關于x的函數(shù)f（x）=（1）當a=0時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；若方程f（x）=k有兩個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍；（2）若f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值選修4-1：幾何證明選講22如圖，bac的平分線與bc和abc的外接圓分別相交于d和e，延長ac交過d，e，c三點的圓于點f（1）求證：ec=ef；（2）若ed=2，ef=3，求acaf的值選修4-4：坐標系與參數(shù)方程23已知曲線c1的參數(shù)方程為曲線c2的極坐標方程為=2cos（），以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系（1）求曲線c2的直角坐標方程；（2）求曲線c2上的動點m到直線c1的距離的最大值選修4-5：不等式選講24已知函數(shù)f（x）=|x2|x+1|（1）解不等式f（x）1（2）當x0時，函數(shù)g（x）=（a0）的最小值總大于函數(shù)f（x），試求實數(shù)a的取值范圍2016年湖南省長沙市高考數(shù)學二模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1已知集合a=x|3x3，b=x|x（x4）0，則ab=（）a（0，4） b（3，4） c（0，3） d（3，4）【考點】并集及其運算【分析】利用并集的性質(zhì)求解【解答】解：集合a=x|3x3，b=x|x（x4）0=x|0x4，ab=x|3x4=（3，4）故選：b2已知復數(shù)z=，則對應的點在（）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】化簡已知復數(shù)，可得其共軛復數(shù)，由復數(shù)的幾何意義可得【解答】解：化簡可得z=2+i，=2i，對應的點為（2，1），在第三象限，故選：c3已知=（sin，cos），=（2，1），若，則tan的值為（）a2 b2 c d【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【分析】由向量垂直的性質(zhì)得=2sin+cos=0，從而cos=2sin，由此能求出tan=【解答】解：=（sin，cos），=（2，1），=2sin+cos=0，cos=2sin，tan=故選：c4下列有關命題的說法正確的是（）a命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x1”b“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分條件c命題“xr使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”d命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題【考點】命題的真假判斷與應用【分析】寫出命題的否定判斷a；求解方程后結(jié)合充分必要條件的判斷方法判斷b；寫出特稱命題的否定判斷c；由互為逆否命題的兩個命題共真假判斷d【解答】解：命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x21，則x1”，故a錯誤；由x25x6=0，解得x=1或x=6，“x=1”是“x25x6=0”的既不充分也不必要條件，故b錯誤；命題“xr使得x2+x+10”的否定是：“xr，均有x2+x+10”，故c錯誤；命題“若x=y，則sinx=siny”為真命題，其逆否命題為真命題，故d正確故選：d5雙曲線=1的焦點到漸近線的距離為（）a b c1 d【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】由a2=m，b2=1，利用可得右焦點f取漸近線y=x利用點到直線的距離公式即可得出【解答】解：a2=m，b2=1，=可得右焦點f取漸近線y=x，即xy=0右焦點f到漸近線的距離d=1故選：c6設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+3y+1的最大值為（）a11 b10 c9 d8.5【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域【分析】首先做出可行域，將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，求z的最大值，只需求直線l：在y軸上截距最大即可【解答】解：做出可行域如圖所示：將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，欲求z的最大值，只需求直線l：在y軸上的截距的最大值即可作出直線l0：，將直線l0平行移動，得到一系列的平行直線當直線經(jīng)過點a時在y軸上的截距最大，此時z最大由可求得a（3，1），將a點坐標代入z=2x+3y+1解得z的最大值為23+31+1=10故選b7某程序框圖如圖所示，該程序運行輸出的k值是（）a4 b5 c6 d7【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算s，k值并輸出k，模擬程序的運行過程，即可得到答案【解答】解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：s k 是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前 100 0/第一圈100201 是第二圈10020212 是第六圈1002021222324250 6 是則輸出的結(jié)果為7故選c8已知定義在r上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x），當0x時，f（x）=4x，則f（）=（）abc1 d【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【分析】根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)得f（）=f（），再根據(jù)f（x+1）=f（x），把）=f（）=f（+1）=f（），進而求解【解答】解：因為函數(shù)的奇函數(shù)，所以f（）=f（）又f（+1）=f（）=，所以f（）=故選a9已知函數(shù)y=sinx+cosx，y=2sinxcosx，則下列結(jié)論正確的是（）a兩個函數(shù)的圖象均關于點（，0）成中心對稱b的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，再向右平移個單位即得的圖象c兩個函數(shù)在區(qū)間（，）上都是單調(diào)遞增函數(shù)d兩個函數(shù)的最小正周期相同【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對稱性【分析】函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)；函數(shù)解析式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，然后分別對各項判斷即可【解答】解：y=sinx+cosx=sin（x+），y=2sinxcosx=sin2x，a、中的函數(shù)令x+=k（kz），解得：x=k（kz），故（，0）為函數(shù)對稱中心；中的函數(shù)令2x=k（kz），解得：x=（kz），故（，0）不是函數(shù)對稱中心，本選項錯誤；b、向右平移個單位，再縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的倍，即得，本選項錯誤；c、令+2kx+2k（kz），解得：+2kx+2k，故函數(shù)在區(qū)間（，）上是單調(diào)遞增函數(shù)；令+2k2x+2k（kz），解得：+kx+k，故函數(shù)在區(qū)間（，）上是單調(diào)遞增函數(shù)，本選項正確；d、=1，t=2；=2，t=，本選項錯誤，故選c10如圖是一個四面體的三視圖，這個三視圖均是腰長為2的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為（）a b c d2【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由四面體的三視圖得該四面體為棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中的三棱錐c1bde，其中e是cd中點，由此能求出該四面體的體積【解答】解：由四面體的三視圖得該四面體為棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中的三棱錐c1bde，其中e是cd中點，bde面積，三棱錐c1bde的高h=cc1=2，該四面體的體積：v=故選：a11已知函數(shù)f（x）=x+，g（x）=2x+a，若x1，3，x22，3，使得f（x1）g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）aa1 ba1 ca0 da0【考點】全稱命題【分析】由x1，3，都x22，3，使得f（x1）g（x2），可得f（x）在x1，3的最小值不小于g（x）在x22，3的最小值，構(gòu)造關于a的不等式，可得結(jié)論【解答】解：當x1，3時，由f（x）=x+得，f（x）=，令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，f（x）在，2單調(diào)遞減，在（2，3遞增，f（2）=4是函數(shù)的最小值，當x22，3時，g（x）=2x+a為增函數(shù)，g（2）=a+4是函數(shù)的最小值，又x1，3，都x22，3，使得f（x1）g（x2），可得f（x）在x1，3的最小值不小于g（x）在x22，3的最小值，即4a+4，解得：a0，故選：c12如圖所示，直線y=m與拋物線y2=8x交與點a，與圓（x2）2+y2=16的實線部分交于點b，f為拋物線的焦點，則abf的周長的取值范圍是（）a（6，8） b（4，6） c（8，12） d（8，10）【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】由拋物線定義可得|af|=xa+2，由已知條件推導出fab的周長=6+xb，由此能求出三角形abf的周長的取值范圍【解答】解：拋物線的準線l：x=2，焦點f（2，0），由拋物線定義可得|af|=xa+2，fab的周長=|af|+|ab|+|bf|=xa+2+（xbxa）+4=6+xb，由拋物線y2=8x及圓（x2）2+y2=16，得交點的橫坐標為2，xb（2，6）6+xb（8，12）三角形abf的周長的取值范圍是（8，12）故選：c二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，那么直線bx+ay=1的斜率k的概率是【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【分析】先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足直線bx+ay=1的斜率k的基本事件個數(shù)，由此能求出直線bx+ay=1的斜率k的概率【解答】解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，基本事件總數(shù)n=66=36，直線bx+ay=1的斜率k=，滿足直線bx+ay=1的斜率k的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6個，直線bx+ay=1的斜率k的概率p=故答案為：14已知正項等比數(shù)列an中，a2a5a13a16=256，a7=2，則數(shù)列an的公比為【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)【分析】由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得a94=256，解得a9由通項公式可得公比【解答】解：正項等比數(shù)列an中，a2a5a13a16=256，a94=a2a5a13a16=256，解得a9=4，又a7=2，數(shù)列an的公比q=故答案為：15在半徑為10cm的球面上有a、b、c三點，如果ab=8，acb=60，則球心o到平面abc的距離為6cm【考點】點、線、面間的距離計算【分析】設a、b、c三點所在圓的半徑為r，圓心為o，從而可解得r=8；從而求答案【解答】解：設a、b、c三點所在圓的半徑為r，圓心為o，則acb=60，aob=120；則在等腰三角形abo中，ao=8；即r=8；故球心o到平面abc的距離為=6（cm）；故答案為：616在abc中，角a、b、c所對的邊分別a、b、c，且滿足b2+c2a2=bc， 0，a=，則邊b的取值范圍是（，1）【考點】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運算【分析】利用已知代入到余弦定理中求得cosa的值，進而求得a，利用平面向量的運算可得b的范圍，利用正弦定理即可得解b的取值范圍【解答】解：在abc中，b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosa=，a是三角形內(nèi)角，a=60，=|cos（b）0，b是鈍角90b120，可得：sinb（，1）又a=，由正弦定理可得b=sinb（，1）故答案為：（，1）三、解答題（共5小題，滿分60分）17等差數(shù)列an中，a2=8，s6=66（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）設bn=，tn=b1+b2+b3+bn，求tn【考點】等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式【分析】設等差數(shù)列an的公差為d，則有，解之可得a1=6，d=2，進而可得通項公式；（2）把（1）的結(jié)果代入可得bn的通項，由列項相消法可得答案【解答】解：（1）設等差數(shù)列an的公差為d，則有解得：a1=6，d=2，an=a1+d（n1）=6+2（n1）=2n+4 （2）bn=tn=b1+b2+b3+bn=+=18某學校高三年級有學生500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學生的數(shù)學成績是否與性別有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，先統(tǒng)計了他們期中考試的數(shù)學分數(shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學生的分數(shù)分成5組：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）從樣本中分數(shù)小于110分的學生中隨機抽取2人，求兩人恰好為一男一女的概率；（2）若規(guī)定分數(shù)不小于130分的學生為“數(shù)學尖子生”，請你根據(jù)已知條件完成22列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”？p（k2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：k2=【考點】獨立性檢驗；頻率分布直方圖【分析】（1）根據(jù)分層抽樣原理計算抽取的男、女生人數(shù)，利用列舉法計算基本事件數(shù)，求出對應的概率值；（2）由頻率分布直方圖計算對應的數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表，計算k2值，對照數(shù)表即可得出概率結(jié)論【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名學生中，男生60名，女生40名，分數(shù)小于等于110分的學生中，男生人有600.05=3（人），記為a1，a2，a3；女生有400.05=2（人），記為b1，b2；從中隨機抽取2名學生，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）；其中，兩名學生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種，它們是：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2）；故所求的概率為p=（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名學生中，男生 600.25=15（人），女生400.375=15（人）；據(jù)此可得22列聯(lián)表如下：數(shù)學尖子生非數(shù)學尖子生合計男生154560女生152540合計3070100所以得k2=1.79；因為1.792.706，所以沒有90%的把握認為“數(shù)學尖子生與性別有關”19如圖，ab是圓o的直徑，點c在圓o上，矩形dcbe所在的平面垂直于圓o所在的平面，ab=4，be=1（1）證明：平面ade平面acd；（2）當三棱錐cade的體積最大時，求點c到平面ade的距離【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定；點、線、面間的距離計算【分析】（1）bcac，cdbc推出de平面acd，然后證明平面ade平面acd（2）通過vcade=veacd，求出棱錐的體積的最大值，求解底面面積，設點c到平面ade的距離為h，利用體積公式求出距離即可，【解答】（1）ab是直徑，bcac，又四邊形dcbe為矩形，cdde，bcde，cdbccdac=c，bc平面acd，de平面acd 又de平面ade，平面ade平面acd （2）解：由（1）知vcade=veacd=，當且僅當ac=bc=2時等號成立 ，當ac=bc=2三棱錐cade體積最大為：，此時，ad=，設點c到平面ade的距離為h，則h=20已知點a（0，2），橢圓e： +=1（ab0）的離心率為，f是橢圓的焦點，直線af的斜率為，o為坐標原點（）求e的方程；（）設過點a的直線l與e相交于p，q兩點，當opq的面積最大時，求l的方程【考點】直線與圓錐曲線的關系；橢圓的簡單性質(zhì)【分析】（）通過離心率得到a、c關系，通過a求出a，即可求e的方程；（）設直線l：y=kx2，設p（x1，y1），q（x2，y2）將y=kx2代入，利用0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|pq|，然后求出opq的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程【解答】解：（） 設f（c，0），由條件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故e的方程（）依題意當lx軸不合題意，故設直線l：y=kx2，設p（x1，y1），q（x2，y2）將y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，當=16（4k23）0，即時，從而=+又點o到直線pq的距離，所以opq的面積=，設，則t0，當且僅當t=2，k=等號成立，且滿足0，所以當opq的面積最大時，l的方程為：y=x2或y=x221已知關于x的函數(shù)f（x）=（1）當a=0時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；若方程f（x）=k有兩個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍；（2）若f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間，根函數(shù)單調(diào)性和最值分類討論即可求出k的范圍；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可求出a的值【解答】解：（1）當a=0時，f（x）=，其定義域為（0，1）（1，+）f（x）=，當f（x）0時，解得xe，函數(shù)單調(diào)遞增，當f（x）0時，解得0x1或1xe，函數(shù)單調(diào)遞減，f（x）在（0，1），（1，e）單調(diào)遞減，在（e，+）上單調(diào)遞增，當x1時，由知，f（x）min=f（e）=e，方程f（x）=k有兩個不同的根，ke，當0x1時，函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，此時方程f（x）=k不可能有兩個不同的根，綜上所述k的取值范圍為（e，+）；（2）f（x）恒成立，f（x）=恒成立，當0x1時，axlnx，令=t，則0t1，at22tlnt設g（t）=t22tlnt，g（t）=2t22lnt，令h（t）=2t22lnt，h（t）=2（1）0，h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，h（t）minh（1）=0，g（t）0，在（0，1）上恒成立，g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，g（t）g（1）=1，a1，當x1時，axlnx，令=t，則t1，at22tlnt，同理g（t）在（1，+）上單調(diào)遞增，g（t）g（1）=1，a1，綜上所述a=