（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專(zhuān)題 高頻考點(diǎn)分析之關(guān)于線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面垂直的問(wèn)題 新人教A版.doc

四、關(guān)于線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面垂直的問(wèn)題：典型例題：例1.已知矩形，將沿矩形的對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，【 】 a存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 b存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 c存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直 d對(duì)任意位置，三對(duì)直線(xiàn)“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】b?！究键c(diǎn)】空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系?！窘馕觥?如圖，依題意，=，。 a，若存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則，平面，從而，這與已知矛盾，排除a；b，若存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則平面，平面平面。取中點(diǎn)，連接，則，就是二面角的平面角，此角顯然存在，即當(dāng)在底面上的射影位于的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，故b正確；c，若存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則平面，從而平面平面，即在底面上的射影應(yīng)位于線(xiàn)段上，這是不可能的，排除c；d，由上所述，可排除d。故選 b。例2.如圖，三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直底面，acb=90，ac=bc=aa1，d是棱aa1的中點(diǎn)()證明：平面bdc1平面bdc（）平面bdc1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比?！敬鸢浮拷猓?)證明：由題設(shè)，三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直底面，acb=90，bccc1，bcac，cc1ac=c，bc平面acc1a1。 又dc1平面acc1a1，dc1bc。 由題設(shè)，ac=bc，=aa1，d是棱aa1的中點(diǎn)，a1dc1=adc=450，cdc=900，即dc1dc。又dcbc=c，dc1平面bdc。又dc1平面bdc1，平面bdc1平面bdc。（）設(shè)棱錐bdacc1的體積為v1，則。 又三棱柱abca1b1c1的體積， 。 平面bdc1分此棱柱為兩部分體積的比為1：1。【考點(diǎn)】直三棱柱的性質(zhì)，平面和平面的位置關(guān)系，棱柱和棱錐的體積。【解析】()要證明平面bdc1平面bdc，只要證一個(gè)平面的一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面即可。由由題設(shè)可證得dc1bc，dc1dc，由dcbc=c得dc1平面bdc，而dc1平面bdc1，因此平面bdc1平面bdc。 （）求出三棱柱abca1b1c1的體積和棱錐bdacc1的體積即可求得結(jié)果。例3.如圖1，在rtabc中，c=90，bc=3，ac=6，d，e分別是ac，ab上的點(diǎn)，且debc，de=2，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如圖2.（1）求證：a1c平面bcde；（2）若m是a1d的中點(diǎn)，求cm與平面a1be所成角的大?。唬?）線(xiàn)段bc上是否存在點(diǎn)p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說(shuō)明理由【答案】解：（1）cdde，a1ede，de平面a1cd。又a1c平面a1cd ，a1cde。又a1ccd，a1c平面bcde。（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則b（0，3，0），c（0，0，0），d（2，0，0），e（2。2。0），a1（0，0，）。設(shè)平面a1be法向量為，則，即，。又m是a1d的中點(diǎn)，m（1，0，）。設(shè)cm與平面a1be法向量所成角為，則。cm與平面a1be所成角為。（3）設(shè)線(xiàn)段bc上點(diǎn)p，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為，則。則設(shè)平面a1dp法向量為則 。假設(shè)平面a1dp與平面a1be垂直，則，即，解得。與不符。線(xiàn)段bc上不存在點(diǎn)p，使平面a1dp與平面a1be垂直?！究键c(diǎn)】線(xiàn)面垂直的判定，線(xiàn)面角的計(jì)算，兩平面垂直的條件?！窘馕觥浚?）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定進(jìn)行判定。 （2）建立空間直角坐標(biāo)系可易解決。 （3）用反證法，假設(shè)平面a1dp與平面a1be垂直，得出與已知相矛盾的結(jié)論即可。例4.如圖1，在rtabc中，c=90，d，e分別為ac，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f為線(xiàn)段cd上的一點(diǎn)，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖2。（1） 求證：de平面a1cb；（2） 求證：a1fbe；（3） 線(xiàn)段a1b上是否存在點(diǎn)q，使a1c平面deq？說(shuō)明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：在圖1 rtabc中，c=90，d，e分別為ac，ab的中點(diǎn)， debc。 在圖2中，de平面a1cb，de平面a1cb。 （2）證明：dea1d，decd，a1dcd=d，de平面a1cd。a1f平面a1cb，dea1f。 又a1fcd，cdde=d，cd平面bedc，de平面bedc，a1f平面bedc。 又be平面bedc，a1fbe， （3）線(xiàn)段a1b上存在點(diǎn)q，使a1c平面deq，點(diǎn)q為a1b的中點(diǎn)。理由如下： 取a1c中點(diǎn)p，連接dp，qp。 pdcb，decb ，pdde。 deqp是平行四邊形，d、e、q、p四點(diǎn)共面。 由（2）知，de平面a1cd，又a1c平面a1cd，dea1c。 p，q是a1b和a1c的中點(diǎn)，pqcbde。pq a1c。又ad=cd，a1p=cp，pda1c 。又pqpd=p， a1c平面pqd，即a1c平面deq?！究键c(diǎn)】線(xiàn)面平行，線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面垂直的判定，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！窘馕觥浚?）由線(xiàn)面平行的判定理直接證出。 （2）要證兩異面直線(xiàn)垂直，就要證一條直線(xiàn)垂直于另一條直線(xiàn)所在的平面。因此考慮證明a1f平面bedc即可。 （3）在線(xiàn)段a1b上找出使a1c平面deq的點(diǎn)q，進(jìn)行證明。例5. 如圖，長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn)。（）證明： ；（）如果=2,=, , 求 的長(zhǎng)?！敬鸢浮拷?；（i）連接。，共面。長(zhǎng)方體中，底面是正方形，。面。（）連接。在矩形中，。 。，解得?！究键c(diǎn)】?jī)芍本€(xiàn)的位置，相似三角形的判定和性質(zhì)。【解析】（i）要證，只要面即可。一方面，由正方形的性質(zhì)有，另一方面由長(zhǎng)方體的性質(zhì)有，且和是相交的，從而面。 （）由，根據(jù)角的轉(zhuǎn)換可知，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可由對(duì)應(yīng)邊比求出 的長(zhǎng)。例6.如圖所示，在四棱錐p-abcd中，ab平面pad，abcd，pd=ad，e是pb的中點(diǎn)，f是dc上的點(diǎn)且df=ab，ph為pad中ad邊上的高（1）證明：ph平面abcd；（2）若ph=1，ad=，fc=1，求三棱錐e-bcf的體積；（3）證明：ef平面pab 【答案】解：（1）證明：平面，平面，。為中邊上的高，。 ，平面。（2）連接，取中點(diǎn)，連接。是的中點(diǎn)，。 平面 ，平面。 。（3）證明：取中點(diǎn)，連接，。 是的中點(diǎn)，。，。四邊形是平行四邊形。，。平面，平面， 。 ， 平面。平面?！究键c(diǎn)】空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面的平行和垂直，三棱錐的體積。【解析】（1）證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)和即可。 （2）連接，取中點(diǎn)，連接，則由三角形中位線(xiàn)定理和（1）平面，可得三棱錐e-bcf底面上的高，從而三棱錐e-bcf的體積可求。 （3）取中點(diǎn)，連接，。一方面由三角形中位線(xiàn)定理可得四邊形是平行四邊形，即；另一方面，由垂直于平面的兩條相交直線(xiàn)和可證明平面，從而可得平面。例7.如圖，在梯形abcd中，abcd，e，f是線(xiàn)段ab上的兩點(diǎn)，且deab，cfab，ab=12，ad=5，bc=4，de=4.現(xiàn)將ade，cfb分別沿de，cf折起，使a，b兩點(diǎn)重合與點(diǎn)g，得到多面體cdefg.（1）求證：平面deg平面cfg；（2）求多面體cdefg的體積?！敬鸢浮拷猓海?）證明：在平面圖中，abcd，deef，cfef，四邊形cdef為矩形。deab，ad=5，de=4，bc=4，ae=3，bf=4。ab=12，ef=5。將ade，cfb分別沿de，cf折起，使a，b兩點(diǎn)重合與點(diǎn)g，得到多面體cdefg，ge=ae=3，gf=bf=4。在efg中，有，eggf。又cfef，cffg，effg=f，cf平面efg。又eg平面efg，cfeg。eg平面cfg，即平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，過(guò)點(diǎn)g作ghef于h，則。平面cdef平面efg，gh平面cdef，.。【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定，棱錐的體積?！窘馕觥浚?）判斷四邊形cdef為矩形，然后證明eggf，推出cfeg，然后證明平面deg平面cfg。（2）在平面egf中，過(guò)點(diǎn)g作ghef于h，求出gh，說(shuō)明gh平面cdef，利用求出體積。例8.如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐abcd-a1b1c1d1中，adbc，adab，ab=。ad=2，bc=4，aa1=2，e是dd1的中點(diǎn)，f是平面b1c1e與直線(xiàn)aa1的交點(diǎn)。（1）證明：（i）efa1d1；（ii）ba1平面b1c1ef；（2）求bc1與平面b1c1ef所成的角的正弦值?！敬鸢浮浚?）證明：（i），平面add1 a1，平面add1 a1.。又平面平面add1 a1=，。又，。（ii），。又，。又，。由（i），e是dd1的中點(diǎn)，f是aa1的中點(diǎn)，即。又，平面。(2) 設(shè)與交點(diǎn)為h，連結(jié)。由（1）知，是與平面所成的角。如圖，在矩形中，由勾股定理得，。又，由rtrt，得，即。又由，得。在rt中，。所以bc與平面所成角的正弦值是。【考點(diǎn)】四棱錐中線(xiàn)線(xiàn)平行，線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面角證明和的計(jì)算，平面幾何知識(shí)。【解析】（1）（i）根據(jù)一直線(xiàn)平行于兩相交平面，則這條直線(xiàn)平行于兩平面的交線(xiàn)即可得。 （ii）證明ba1垂直于平面b1c1ef中的兩條相交直線(xiàn)和即可。（2）設(shè)與交點(diǎn)為h，連結(jié)，則是與平面所成的角，應(yīng)用平面幾何勾股定理、相似三角形的知識(shí)即可求出，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得，即bc與平面所成角的正弦值。例9.某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)a1b1c1d1abcd，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱abcda2b2c2d2.（）證明：直線(xiàn)b1d1平面acc2a2；（）現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理已知ab10，a1b120，aa230，aa113(單位：cm)，每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？【答案】解：（）四棱柱abcda2b2c2d2的側(cè)面是全等的矩形，aa2ab，aa2ad。又abada，aa2平面abcd。連接bd，bd平面abcd，aa2bd。底面abcd是正方形，acbd。根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，bd與b1d1共面，又已知平面abcd平面a1b1c1d1，且平面bb1d1d平面abcdbd，平面bb1d1d平面a1b1c1d1b1d1，b1d1bd。由aa2bd，acbd，b1d1bd，可得aa2b1d1，acb1d1。又aa2aca，b1d1平面acc2a2。（）四棱柱abcda2b2c2d2的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，s1s四棱柱上底面s四棱柱側(cè)面(a2b2)24abaa2102410301 300(cm2)。又四棱臺(tái)a1b1c1d1abcd的上下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，s2s四棱臺(tái)下底面s四棱臺(tái)側(cè)面(a1b1)24(aba1b1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)該實(shí)心零部件的表面積為ss1s21 3001 1202 420(cm2)。所需加工處理費(fèi)為0.2s0.22 420484(元)?！究键c(diǎn)】直線(xiàn)與平面垂直的判定，棱柱、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積?！窘馕觥浚ǎ┮李}意易證acb1d1，aa2b1d1，由線(xiàn)面垂直的判定定理可證直線(xiàn)b1d1平面acc2a2。（）需計(jì)算上面四棱柱abcd-a2b2c2d2的表面積（除去下底面的面積）s1，四棱臺(tái)a1b1c1d1-abcd的表面積（除去下底面的面積）s2即可。例10. 如圖，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn).（）證明：平面；（）若直線(xiàn)pb與平面所成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積.【答案】解：（）如圖（1），連接ac，ab=4，根據(jù)勾股定理得。 又 ，是的中點(diǎn)，。平面，平面 ，。，平面。 （）過(guò)點(diǎn)作，分別與相交于點(diǎn)，連接。由（）平面知，平面。為直線(xiàn)與平面所成的角，且，由平面知，為直線(xiàn)與平面所成的角。由題意，知。，。又，四邊形是平行四邊形。又在中， 。又梯形的面積為四棱錐的體積為?！究键c(diǎn)】空間角的應(yīng)用，幾何體體積計(jì)算。【解析】（）證明垂直于平面兩條相交直線(xiàn)和即可。（）算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積。另解，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解： 如圖，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：。（）易知，。是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，平面。()由題設(shè)和（）知，分別是，的法向量，而pb與所成的角和pb與所成的角相等，。由（）知，由 ，解得。又梯形abcd的面積為，四棱錐的體積為。例11. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，（）證明： ；（）若，直線(xiàn)pd與平面pac所成的角為30，求四棱錐的體積.【答案】解：（）平面，平面，。又是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，平面。又平面，。（）設(shè)ac和bd相交于點(diǎn)o，連接po，由（）知，平面，是直線(xiàn)pd和平面所成的角。直線(xiàn)pd與平面pac所成的角為30，。由平面，平面，得。在中，由，得pd=2od。四邊形為等腰梯形，均為等腰直角三角形。梯形的高為。梯形面積。在等腰中，。四棱錐的體積為?！究键c(diǎn)】空間直線(xiàn)垂直關(guān)系的證明，空間角的應(yīng)用，幾何體體積計(jì)算?！窘馕觥浚ǎ┲灰勺C明垂直于平面內(nèi)和兩條相交直線(xiàn)得到平面，而 平面，從而。 （）由（）知，平面，所以是直線(xiàn)pd和平面所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積。例12. 如圖所示，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m為棱dd1上的一點(diǎn)（i）求三棱錐amcc1的體積；（ii）當(dāng)a1mmc取得最小值時(shí)，求證：b1m平面mac. 【答案】解：（i）由長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1知，ad平面cdd1c1，點(diǎn)a到平面cdd1c1的距離等于ad1。又=21=1， 。（ii）將側(cè)面cdd1c1繞dd1逆時(shí)針轉(zhuǎn)90展開(kāi)，與側(cè)面add1a1共面(如圖)，當(dāng)a1，m，c共線(xiàn)時(shí)，a1mmc取得最小值。由adcd1，aa12，得m為dd1中點(diǎn)連接c1m，在c1mc中，mc1，mc，cc12，ccmcmc2，得cmc190，即cmmc1。又由長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1知，b1c1平面cdd1c1，b1c1cm。又b1c1c1mc1，cm平面b1c1m，得cmb1m。同理可證，b1mam。又ammcm，b1m平面mac。【考點(diǎn)】棱錐的體積，直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系。【解析】（i）由題意可知，a到平面cdd1c1的距離等于ad=1，易求=1，從而可求。（ii）側(cè)面cdd1c1繞dd1逆時(shí)針轉(zhuǎn)90展開(kāi)，與側(cè)面add1a1共面，當(dāng)a1，m，c共線(xiàn)時(shí)，a1mmc取得最小值易證cm平面b1c1m，從而cmb1m，同理可證，b1mam，問(wèn)題得到解決。例13.直三棱柱abc- a1b1c1