（計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）現(xiàn)代勢(shì)論及其在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用.pdf

現(xiàn)代勢(shì)論及其在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 摘要 現(xiàn)代勢(shì)論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)的數(shù)值計(jì)算 本文回顧了現(xiàn)代勢(shì)論 與數(shù)值逼近有關(guān)的部分理論 探討了它在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 特別是在g a u s s 型求積公式中的應(yīng)用 第一章簡(jiǎn)單介紹了現(xiàn)代勢(shì)論的背景 第二章重點(diǎn)介紹了現(xiàn)代勢(shì)論中的測(cè)度 勢(shì)能 f e k e t e 點(diǎn) g a u s s l o b a t t o 點(diǎn)和積分公式等基本內(nèi)容 第三章討論現(xiàn)代 勢(shì)論在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 包括誤差估計(jì) 插值點(diǎn)的選取 測(cè)度收斂和容度收 斂等內(nèi)容 并給出例子 第四章是本文關(guān)于g a u s s 型求積公式的新工作 討論 了e s l a h c h i 等在文獻(xiàn) o nn u m e r i c a li m p r o v e m e n to fg a u s s l o b a t t oq u a d r a t u r e r u l e s 的算法 對(duì)他們的算法進(jìn)行了修正 并給出了新算法 以具體的例子說(shuō)明 新算法 第五章是總結(jié)和展望 關(guān)鍵詞 現(xiàn)代勢(shì)論逼近論誤差估計(jì)f e k e t e 點(diǎn)勢(shì)能 m o d e r np o t e n t i a lt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n si nn u m e r e a l c o m p u t i n g a b s t r a c t m o d e r np o t e n t i a lt h e o r yh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt on u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s i ns c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y t h i sp a p e rr e v i e w sp a r to ft h em o d e r n p o t e n t i a lt h e o r y w h i c hi sr e l a t e dt on u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n a n dd i s c u s s e si t s a p p l i c a t i o ni n n u m e i r c a lc o m p u t a t i o n s e s p e c i a l l yi nt h eg a u s sq u a d r a t u r ef o r m u l aa l g o r i t h m c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do fm o d e r np o t e n t i a lt h e o r v c h a p t e r2i n t r o d u c e st h ee s s e n t i a l so ft h em o d e r np o t e n t i a lt h e o r ys u c ha sm e a s u r e s p o t e n t i a le n e r g y f e k e t e p o i n t s g a u s s l o b a t t op o i n t sa n di n t e g r a lf o r m u l a c h a p t e r3d i s c u s s e si t sa p p l i c a t i o n si nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n s w h i c hc o v e r se r r o r e s t i m a t e s c o n f i g u r a t i o no fi n t e r p o l a t i o np o i n t s c o n v e r g e n c ei nm e a s u r ea n di n c a p a c i t y a n dp r e s e n t ss o m e e x a m p l e s c h a p t e r 4i st h en e ww o r ko n g a u s s q u a d r a t u r ef o r m u l a w h e r ew ed i s c u s st h ea l g o r i t h m si nt h ep a p e ro fe s l a h c h e t c o nn u m e r i c a li m p r o v e m e n to fg a u s s l o b a t t oq u a d r a t u r er u l e s w ec o r r e c t s o m ep r o b l e m si nt h e i ra l g o r i t h m sa n do f f e ran e w a l g o r i t h m a n dg i v eac o n c r e t e e x a m p l et oi l l u s t r a t et h er e a s o n a b i l i t yo fo u ra l g o r i t h m c h a p t e r5g i v e ss u m m a r y a n dp r o p o s e st h ef u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s m o d e r np o t e n t i a lt h e o r y f e k e t ep o i n t s p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o nt h e o r y e r r o re s t i m a t e s e n e r g y 插圖清單 圖3 5 1c h e b y s h e v 多項(xiàng)式零點(diǎn)的a r c s i n e 的漸進(jìn)分布 1 9 圖3 6 1 指數(shù)函數(shù)y 礦在 1 l 上兩種情況的l a g r a n g e 插值與原函數(shù)圖 象的比較 2 2 圖3 7 1 線段 0 1 范圍內(nèi)電荷分布情況 2 3 圖4 2 2 等腰直角三角形 2 8 表格清單 表格4 2 1n 5 時(shí)的w 和毒的值 2 7 表格4 2 3求積系數(shù)w 和積分點(diǎn)的面積坐標(biāo) 厶 乞 乞 2 8 表格4 4 1 文獻(xiàn) 2 0 的表格1 3 2 表格4 4 2 文獻(xiàn) 2o 的表格2 3 3 表格4 8 1 根據(jù)文獻(xiàn) 2 0 中的口 p q 而 f 1 2 玎求得的心 f 1 2 力 和誤差e 4 3 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取 得的研究成果 據(jù)我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外 論文 中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果 也不包含為獲得金8 墾王些 盔蘭或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料 與我一同工作的同志 對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意 學(xué)位論文作者簽名 媾簽字日期 碲 6 月7 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解合肥工業(yè)大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī) 定 有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤(pán) 允許論 文被查閱和借閱 本人授權(quán)合肥工業(yè)大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索 可以采用影印 縮印或掃描等復(fù)制手段保存 匯編學(xué)位論文 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書(shū) 學(xué)位論文作者簽名 劉春 簽字日期 c 薩g 月7 日 學(xué)位論文作者畢業(yè)后去 向 工作單位 通訊地址 導(dǎo)師簽名 懿乃 簽字日期 略年6 月擴(kuò)日 電話(huà) 郵編 致謝 在此論文完成之際 謹(jǐn)向我的導(dǎo)師林京教授表示衷心的謝意 在我研究生學(xué) 習(xí)期間 無(wú)論在學(xué)習(xí)上 思想上 還是生活上 導(dǎo)師都給予了耐心細(xì)致的教導(dǎo) 和無(wú)微不至的關(guān)懷 在論文的選題 研究及撰寫(xiě)過(guò)程中 導(dǎo)師傾注了大量的心 血 導(dǎo)師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度 一絲不茍的敬業(yè)精神 誨人不倦的高尚師德 將使 我終身受益 感謝研2 0 0 5 級(jí)3 4 班全體同學(xué)對(duì)我的關(guān)心與幫助 從你們身上我學(xué)習(xí)到好 多東西 同時(shí)也認(rèn)識(shí)到自己的不足之處 你們和我一道度過(guò)了研究生的快樂(lè)時(shí) 光 我還要感謝我的家人 是他們長(zhǎng)期默默地付出和支持 才使我能夠順利完 成學(xué)業(yè) 在此表示我衷心的感謝 最后感謝論文評(píng)閱專(zhuān)家在百忙之中對(duì)我論文做出的指導(dǎo) 作者 劉春 2 0 0 8 年5 月1 5 日 第一章緒論 1 1 研究背景簡(jiǎn)介 位勢(shì)論起源于物理學(xué)的萬(wàn)有引力學(xué)說(shuō)和靜電學(xué) 遠(yuǎn)在1 8 世紀(jì) l a g r a n g e 就 注意到力場(chǎng)是一個(gè)函數(shù) 稱(chēng)為n e w t o n 位勢(shì) 的梯度 在三維歐氏空間 一個(gè)單 位質(zhì)點(diǎn)g 的引力場(chǎng)在點(diǎn)x x y 的n e w t o n 位勢(shì)等于把一個(gè)單位質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)移 1 到x 點(diǎn)所做的功 其值為 因此 一個(gè)質(zhì)量分布 的引力場(chǎng)在x 的n e w t o n l x y i 位勢(shì)是 擴(kuò) j 奇礎(chǔ) 1 1 1 l a p l a c e 進(jìn)一步證明了 在不分布質(zhì)量的地方 位勢(shì)滿(mǎn)足偏微分方程a u 0 這樣 物理問(wèn)題便化為求解偏微分方程的數(shù)學(xué)問(wèn)題 直到上個(gè)世紀(jì)末 位勢(shì)論 的三個(gè)基本理論 即極小值原理 收斂性質(zhì)以及d i r i c h l e t 問(wèn)題已經(jīng)建立 但是 一直到上世紀(jì)末 位勢(shì)論的研究限于n 維歐氏空間的n e w t o n 位勢(shì) n 3 1 和對(duì)數(shù) 位勢(shì) n 2 1 即所謂的經(jīng)典位勢(shì)論 本世紀(jì)以來(lái) 隨著測(cè)度和積分理論 泛函分析 一般拓?fù)鋵W(xué) 抽象代數(shù)以 及概率論的發(fā)展 位勢(shì)論也得到蓬勃的發(fā)展 開(kāi)辟了新的研究方向 創(chuàng)造了新 的方法 位勢(shì)論的進(jìn)一步發(fā)展使得位勢(shì)論的三個(gè)基本理論的重要性日益突出 因?yàn)闊o(wú)論是古典的還是現(xiàn)代的 位勢(shì)論中的許多其他性質(zhì)可以由這些原理導(dǎo) 出 聯(lián)系到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的公理化思想 就逐步建立起位勢(shì)論的公理化體系 也就是公理化位勢(shì)理論 也是近年來(lái)位勢(shì)論迅速發(fā)展中的顯著特點(diǎn)之一 位勢(shì)論與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系與發(fā)展可以從以下兩個(gè)方面來(lái)看 第一 由于古典理論中 位勢(shì)本身是一個(gè)奇異積分 在不分布質(zhì)量的地方 是一個(gè)調(diào)和函數(shù) 滿(mǎn)足l a p l a c e 方程 所以它與實(shí)變函數(shù) 解析函數(shù) 以及偏 微分方程密切相關(guān) 實(shí)際上 位勢(shì)論是從它們獨(dú)立以來(lái)的一個(gè)分支 一百五十 年來(lái) 位勢(shì)論的發(fā)展與上述數(shù)學(xué)分支相互滲透 現(xiàn)在仍是如此 這是位勢(shì)論研 究的主要方面 從近年來(lái)研究成果來(lái)看 絕大部分也是屬于這個(gè)方面 第二 位勢(shì)論與概率論的聯(lián)系 概率論同位勢(shì)論一樣也有長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展歷史 但是只是在最近半個(gè)世紀(jì) 它們之間的本質(zhì)聯(lián)系才被揭示出來(lái) 這對(duì)兩者的發(fā) 展都產(chǎn)生了重大的影響 值得特別注意 位勢(shì)論發(fā)展的顯著特點(diǎn)是廣泛地利用了近代拓?fù)?泛函分析 概率論等的 思想和方法 同時(shí)反過(guò)來(lái) 它也影響了其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展 它越來(lái)越廣泛地 深入地與相鄰分支 如復(fù)分析 拓?fù)鋵W(xué) 幾何測(cè)度論 微分幾何 微分方程 調(diào)和分析等相互結(jié)合與滲透 從位勢(shì)論的發(fā)展史可以看到 位勢(shì)論是在r i e m a n n 的函數(shù)論的推動(dòng)下發(fā)展壯大的 而現(xiàn)在 位勢(shì)論反過(guò)來(lái)用現(xiàn)代化的分析工具從 各方面來(lái)加強(qiáng)函數(shù)論 這可以說(shuō)是一個(gè)反哺的過(guò)程 張鳴鏞在 1 中對(duì)位勢(shì)論 與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系及發(fā)展做了詳細(xì)的說(shuō)明和介紹 所以研究位勢(shì)論就顯的 非常有必要 隨著位勢(shì)論的不斷發(fā)展 逐漸形成了現(xiàn)代勢(shì)論的概況 現(xiàn)代勢(shì)論的發(fā)展在 國(guó)內(nèi)來(lái)說(shuō)是非常緩慢 到目前來(lái)說(shuō) 可能沒(méi)有哪一門(mén)教材來(lái)詳細(xì)介紹勢(shì)論的內(nèi) 容 但是在國(guó)外的發(fā)展已經(jīng)相當(dāng)成熟和完善 有一大批學(xué)者和工作人員對(duì)現(xiàn)代 勢(shì)論的研究做出了很大的貢獻(xiàn) 以e b s a f f 等代表對(duì)勢(shì)論的主要內(nèi)容像勢(shì)能 能量 測(cè)度等內(nèi)容做出了一系列的結(jié)果 并形成了完整的體系 現(xiàn)代勢(shì)論作為一門(mén)應(yīng)用廣泛的學(xué)科 在物理和數(shù)學(xué)中的應(yīng)用更是廣泛 尤 其是在物理中的能量問(wèn)題 最小能量點(diǎn)的分布 勢(shì)能 及其數(shù)學(xué)中的測(cè)度 逼 近論等內(nèi)容的應(yīng)用更是廣泛 本文回顧了現(xiàn)代勢(shì)論與數(shù)值逼近有關(guān)的部分理 論 探討了它在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 特別是在g a u s s 型求積公式中的應(yīng)用 1 2 文章章節(jié)分布和研究結(jié)果 本文的章節(jié)分布如下 第二章主要介紹現(xiàn)代勢(shì)論的有關(guān)內(nèi)容 其中以f e k e t e 點(diǎn) 勢(shì)能 容度 g a u s s l o b a t t o 點(diǎn)及與f e k e t e 點(diǎn)有關(guān)的定理 第三章重點(diǎn)介紹現(xiàn)代勢(shì)論在逼近中的應(yīng)用等有關(guān)內(nèi)容 其中包括f e k e t e 點(diǎn)在有關(guān)插值點(diǎn)的選取 利用現(xiàn)代勢(shì)論對(duì)誤差估計(jì)等方面的應(yīng)用 并給出例子 第四章介紹g a u s s 型求積公式 主要介紹g a u s s l o b a t t o 積分公式的相關(guān) 問(wèn)題 第五章對(duì)本文做一個(gè)總結(jié)和展望及下一步的工作 研究結(jié)果 1 f e k e t e 點(diǎn)對(duì)于誤差估計(jì)的作用 2 f e k e t e 點(diǎn)對(duì)于插值點(diǎn)的選取問(wèn)題的影響 3 對(duì)于一類(lèi)特殊圖形上的f e k e t e 點(diǎn)的分布給出了探討 4 g a u s s l o b a t t o 積分公式的改進(jìn)和誤差估計(jì) 并給出一系列算法和最小 二乘的結(jié)論 并給出實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明 2 第二章現(xiàn)代勢(shì)論 隨著位勢(shì)論的不斷發(fā)展 逐漸形成了現(xiàn)代勢(shì)論的概況 現(xiàn)代勢(shì)論中經(jīng)典的 內(nèi)容包括容度 勢(shì)能 能量 測(cè)度 f e k e t e 點(diǎn)等方面 本章我們主要介紹一下 與逼近論有關(guān)的現(xiàn)代勢(shì)論的內(nèi)容 2 1 容度 p a d e 逼近式的某一序列的收斂性問(wèn)題 一般而言是非常困難的 一個(gè)p a d o 逼近式序列的收斂與否 不僅依賴(lài)于函數(shù)f z 的特性 也和這些序列的具體取 法密切相關(guān) 試想 要從一個(gè)二維的p a d o 表中選取一個(gè)序列 顯然可有任意多 的方式 這便決定了收斂性問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性 對(duì)于p a d 6 表的列序列 d e m o n t e s s u s 定理對(duì)于半純函數(shù)給出其在圓盤(pán)上的收斂性 該定理是目前所知最 精致的收斂結(jié)果 對(duì)角序列是另外一種自然的選擇 盡管在 2 中對(duì)s tie l t j e s 級(jí)數(shù)證明了對(duì)角序列的收斂性 但對(duì)于一般的函數(shù) 只能在測(cè)度意義下或某些 條件下獲得收斂性 較廣泛一些的序列 諸如射線序列 m n 1 m i n 或拋 物線序列乃至更一般的序列也值得考慮 然而這些序列的收斂性一般也只能在 測(cè)度或容度意義下方可建立 即代替在某一區(qū)域上的收斂性 這里要除掉該區(qū) 域中一個(gè)任意小的集合 后來(lái)人們發(fā)現(xiàn) 測(cè)量該區(qū)域最合適的量就是容度 在經(jīng)典的d em o n t e s s u s 定理中 如果p a d 6 逼近式的分母的次數(shù)n 不是恰 好與 廠 z 的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)k 相同 而是大于極點(diǎn)的個(gè)數(shù) 那么相應(yīng)的結(jié)論不能成 立 從該定理的證明可以看出 可以看出的問(wèn)題是 r e n z 的極點(diǎn)除有k 個(gè) 收斂于f z 的極點(diǎn)外 其余的極點(diǎn)的位置是不確定的 所以?xún)H僅除掉f z 的領(lǐng) 域 不能保證 m n 1 z 的收斂性 m o o 以固定 特別是由于這些極點(diǎn)的位置 不確定 我們甚至得不出在某一區(qū)域上的收斂結(jié)論 而只能考慮 依測(cè)度 收 斂 粗略的說(shuō) 廠 z 與 m z 在某區(qū)域中除掉一個(gè)測(cè)度很小的 破壞 區(qū) 域可以很接近 為了說(shuō)明依測(cè)度收斂的某些結(jié)果可改造成依容度收斂 而且這 種改造確實(shí)有本質(zhì)上的改進(jìn) 后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)容度是度量該 破壞 區(qū)域更合適 的量 所以我們有必要介紹一下容度的概念 我們首先介紹有關(guān)容度的內(nèi)容 定義2 1 1 心1c h e b y s h e v 多項(xiàng)式的定義 設(shè)e 為復(fù)平面上的有界閉集 只是所有首項(xiàng)系數(shù)為一的以次多項(xiàng)式的全體 如果e 中存在多項(xiàng)式 z 滿(mǎn)足 m z e a el z i r a 礎(chǔ)i n m 酣a x p z i 2 l 1 那么 則稱(chēng)瓦 z 1 為e 上的c h e b y s h e v 多項(xiàng)式 如果取e 一1 1 1 那么由經(jīng)典的逼近理論知 瓦即為c h e b y s h e v 多項(xiàng)式 即 z z 2 1 一 c o s 胛a c c o s z l 2 1 2 且m 警l 瓦 z l 0 瓦0 2 卜 對(duì)于一般的區(qū)間f 口 b 上的c h e b y s h e v 多項(xiàng)式 可由線性變換 一x k 去 6 一口 吒 6 口 2 1 3 廠11 打一i 而得到 且 l 去 6 一口 l l tj 定義2 1 2 乜1 雙紐線 雙紐線區(qū)域 設(shè)見(jiàn) z 是一咒次多項(xiàng)式 那么曲線i 見(jiàn) z i c c 0 稱(chēng)之為雙紐線 而區(qū)域 l 見(jiàn) z i c 稱(chēng)為雙紐線區(qū)域 引理2 1 3 乜1 設(shè)p 只 e 是雙紐線區(qū)域i p z 卜c 則有 瓦 z e p z 2 1 4 我們不加證明的引用幾個(gè)定理 定理2 1 4 乜1 如果e 是一個(gè)無(wú)窮有界閉集 那么e 包含在雙紐線區(qū)域 厶 k z e l 0 換言之 一個(gè)零容度集不包含連續(xù)統(tǒng) 例2 1 1 乜1 圓周l z i r 的容度為r 但其測(cè)度為零 4 這說(shuō)明 將依測(cè)度收斂的結(jié)果改進(jìn)成依容度收斂是有本質(zhì)上的改進(jìn)的 定理2 1 9 乜1 容度具有以下的性質(zhì) f 單調(diào)性一一若巨ce 2 則c 印 巨 c 印 島 i i 齊次性一一在變換t z a z b l f 有 c 印 丁 e h 卻 e 例2 1 2 為了方便說(shuō)明問(wèn)題 我們給出幾種特殊集合的容度 1 e 1 1 則c a p e 去 2 e 口 6 則印 e 竿 3 e z h r 則c a p e r 4 e z l z l 0 在空間r 中的n 個(gè)點(diǎn)的相異點(diǎn)集w x i 定 義r i e s zj 一能量如下 巨 廣 2 2 2 叫i t x j l 其中i i 為毆幾里得空間距離 當(dāng)s 0 時(shí)的定義就是 昂 否l o g 網(wǎng)1 一 篆 1 g 同1 他 2 3 對(duì)于參數(shù)s 和空間維數(shù)d 之間的關(guān)系以及相應(yīng)的點(diǎn)的分布文獻(xiàn) 2 3 2 4 3 3 3 4 都做了詳細(xì)的分析和說(shuō)明 同時(shí)對(duì)于曲線上 高維流形上 d 維 空間 單位立方體等特殊圖形的最小能量點(diǎn)都做了詳細(xì)的分析 尤其是在參數(shù)s 和空間維數(shù)d 的關(guān)系不相等時(shí) 對(duì)于毆幾里德空間球面上的r i e s zs 一能量分布 在 2 4 中做了深入的研究 設(shè)a 是毆幾里德空間的r d 的流形 如何尋找能夠很好地表示a 的離散點(diǎn) 這一問(wèn)題就自然的被研究 最常見(jiàn)的是當(dāng)流形a 是區(qū)間 一1 1 時(shí) 我們可以選 擇 2 2 1 的n 個(gè)等距點(diǎn) 使得a 能夠更好的離散化 這些點(diǎn)在 1 1 上具 有 b e s t p a c k i n g 問(wèn)題的很好性質(zhì) 通常情況下 我們稱(chēng)一個(gè)不同點(diǎn)集 二 五 ca 能夠解決緊集a 的n 個(gè)點(diǎn)的 b e s t p a c k i n g 問(wèn)題 如果 下面的式子成立 m 鷺i n l i 一巧l 罌琶卿p l 葺一 i 2 2 4 悖 l 而一 i5 焉筆巧弩l 葺一 i lz z 4 其中國(guó) 薯并是集合a 的n 個(gè)點(diǎn)的子集 但是當(dāng)我們?yōu)?1 1 上的積分公式或光滑函數(shù)的多項(xiàng)式插值時(shí) 上述方法 是不可取的 這就會(huì)出現(xiàn)典型的r u n g e 現(xiàn)象 同時(shí)我們也知道多項(xiàng)式歷來(lái)被認(rèn) 為是最好的逼近工具之一 用多項(xiàng)式作插值函數(shù)即代數(shù)插值 對(duì)于這類(lèi)插值 插值多項(xiàng)式的次數(shù)隨著節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而升高 然而 高次插值的逼近效果往 往是不理想的 隨著節(jié)點(diǎn)的加密采用高次插值 雖然插值函數(shù)會(huì)在更多的點(diǎn)上 與所逼近的函數(shù)取相同的值 但是從整體上看 這樣做不一定能改善逼近的效 果 事實(shí)上 當(dāng)n 增大時(shí) 就會(huì)發(fā)生上述所說(shuō)的r u n g e 現(xiàn)象 如果選擇上述的等距點(diǎn)結(jié)果就很糟糕 那是因?yàn)槎囗?xiàng)式的插值算子隨著n 的增大而呈幾何的增長(zhǎng) 當(dāng) 專(zhuān) 時(shí) 選擇 一1 1 上的n 個(gè)點(diǎn)具有a r c s i n e 的分布 車(chē)竺號(hào) 這些點(diǎn)就是所謂的古典的c h e b y s h e v 多項(xiàng)式 萬(wàn) 1 一x 2 巧 x e o s n a r c c o s x 的零點(diǎn) 相應(yīng)的多項(xiàng)式插值算子的形式是o 1 0 9n 于是 很自然的就把一維的多項(xiàng)式插值 或g a u s s 積分公式 與a r c s i t i e 分布聯(lián)系在 一起了 文獻(xiàn) 2 3 中指出 對(duì)于任意一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為一的多項(xiàng)式 p 石 兀 x 一薯 滿(mǎn)足 專(zhuān)1 0 8 網(wǎng)1 l o g 加 f 2 2 5 其中v 是正規(guī)的測(cè)度h 寺 毛表示在點(diǎn)x 處的單位點(diǎn)質(zhì)量 撕酬 扣南脯黝帔黼黼能一蛐姍黼吼能量 積分可以定義為 厶時(shí) l g 寺 x 礎(chǔ) r 2 2 6 其中 為 一1 1 上的任意的概率測(cè)度 當(dāng)能量達(dá)到最小時(shí) 此時(shí)的測(cè)度就是 a r c s i n e 分布 也稱(chēng)為a 卜1 1 1 上的平衡測(cè)度或r o b i n 測(cè)度 m f e k e t e發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式插值和離散形式的能量積分 厶 艫o g i 辛 x d f 之間的關(guān)系 對(duì)于給定n 我們想找到n 個(gè)點(diǎn)集 ca 使得對(duì)數(shù)能量 毛 計(jì)5 吾l o g 南 磊 1 0 9 同1 2 7 6 達(dá)到最小 其中n 個(gè)點(diǎn)的集合 一 是a 的子集 注意 上述使得能量達(dá)到最小的那些點(diǎn)就是下面要介紹的f e k e t e 點(diǎn) 2 3f e k e t e 點(diǎn) f e k e t e 點(diǎn)是勢(shì)論中的一個(gè)重要內(nèi)容 之所以稱(chēng)為f e k e t e 點(diǎn)是為了紀(jì)念m f e k e t e 在古典的帶權(quán)能量問(wèn)題的離散性方面所做的貢獻(xiàn)而命名的 相關(guān)的內(nèi)容 還有帶權(quán)的f e k e t e 點(diǎn) 超限直徑及f e k e t e 多項(xiàng)式 我們首先介紹有關(guān)f e k e t e 點(diǎn) f e k e t e 多項(xiàng)式的定義 定義2 3 1n 陽(yáng)在復(fù)平面c 的緊子集 上定義無(wú)限多個(gè)不同的點(diǎn)而 z 乙 使得它們之間的距離盡可能的遠(yuǎn) f e k e t e 的主要思想就是在一個(gè)緊集e 上找到一些點(diǎn) 使得它們之間的距離盡可能的遠(yuǎn) 于是考慮v a n d e r m o n d e 行列式 礦 工 x 2 吒 i 砰 i 五 h x 霹 群 1 一 1 兀 x i 弘 e 2 3 1 l g s j s n 其中任意一個(gè)點(diǎn)鼉 e 則v 有以下的形式 y 而 而 矗 兀 x j 一一 2 3 2 i g 0 以一琺帶權(quán)的f e k e t e 點(diǎn)就是以參數(shù) 口 2 a n 一1 一l 2 b n 一1 一1 的j a c o b i 多項(xiàng)式的零點(diǎn) 對(duì)于線段上心刀的和d 維立方體上他們的f e k e t e 點(diǎn)就是g a u s s l o b a t t o 點(diǎn) 所以對(duì) 于三角形區(qū)域上的凡婦紀(jì)點(diǎn)也有這種可能 眾所周知 根據(jù)高階多項(xiàng)式插值和積分的性質(zhì) g a u s s l o b a t t o 積分點(diǎn)已經(jīng) 普遍應(yīng)用到數(shù)值理論中 但是g a u s s l o b a t t o 積分點(diǎn)僅僅對(duì)于像線段和正方形這 樣的張量型區(qū)域是明確的 怎樣把g a u s s l o b a t t o 數(shù)值理論擴(kuò)展到像三角形等非 張量型區(qū)域就很不明確了 m a t a y l o r b a w i n g a t e r e v i n c e n t 做出了關(guān)于計(jì)算三角形區(qū)域的f e k e t e 點(diǎn)的 新算法心釘 并且給出了對(duì)于次數(shù)超過(guò)1 9 次的三角形區(qū)域的一些結(jié)果 對(duì)于次 數(shù)d 1 0 的這些f e k e t e 點(diǎn)就是非常出名的具有最小l e b e s g u e 常數(shù)的點(diǎn) 同時(shí)這一 算法也穩(wěn)固了b o s 在 3 9 中的關(guān)于三角形邊界的f e k e t e 點(diǎn)是一維的 g a u s s l o b a t t o 點(diǎn)的假設(shè) 2 6 有關(guān)f e k e t e 點(diǎn)之間距離的定理 為了說(shuō)明問(wèn)題 我們定義一些記號(hào) 令k 為復(fù)平面c 上的連續(xù)統(tǒng) k 在c cu o 1 上的無(wú)界補(bǔ)集為e 記f o e k 上的n 個(gè)點(diǎn)的集合 點(diǎn) 受 靠 cx n 2 2 6 1 稱(chēng)為 一t h f e k e t e 點(diǎn) 如果下式成立 a n x 衛(wèi) 睜彘r 燃 馴乃 z k l 2 6 2 k 上的 一t hf e k e t e 點(diǎn)位于i 飽上 連續(xù)統(tǒng)k 和r 具有相同的n t h 9 f e k e t e 點(diǎn) k 的外部區(qū)域e 有一個(gè)以 處為極點(diǎn)的格林函數(shù)g z g z 1 在e 上除 外都解析且在r 上值為0 在e 上可以定義 比問(wèn) g 貉 根據(jù)定義知 2 6 3 其中c a p k 為k 的容度 z 為一映射函數(shù) 于是可以把g z 擴(kuò)展到c 上的連 續(xù)函數(shù) 定義如下 g z v u 廖 z 2 6 4 其中v 為r o b i n 常數(shù) u 腳 z 為與測(cè)度彩和f e k e t e 有關(guān)的勢(shì)能 k i v a r i 和p o m m e r e n k e 在文獻(xiàn) 3 3 3 4 中得到 1 n t hf e k e t e 點(diǎn)在有界連續(xù)統(tǒng)中兩點(diǎn)之間的距離 d 薯 x j l 五一 l 號(hào) 2 6 5 2 在c 1 光滑的若當(dāng)曲線上n t hf e k e t e 點(diǎn)之間的距離為 d 薯 卜 i 熹 2 6 6 3 對(duì)于光滑和凸的情況下 任意兩相鄰 一t h f e k e t e 點(diǎn)之間的距離 d 卜x t i 警 2 6 7 下面給出與格林函數(shù)有關(guān)的 一t hf e k e t e 點(diǎn)兩點(diǎn)之間的距離關(guān)系 命題2 6 1 口力設(shè)g 在f 的鄰域內(nèi)滿(mǎn)足l i p 無(wú)條件且去 允 1 則存在一個(gè)常數(shù) 艿 0 使得對(duì)所有的n 和每個(gè)k 鄰域上的n t hf e k e t e 點(diǎn)集 缶 磊 知 有 嘧鏟彘i 南 2 6 8 成立 證明 根據(jù)f e k e t e 點(diǎn)的最大值性質(zhì)可得n 1 次多項(xiàng)式 p z 兀 號(hào) 2 6 9 j j j k k 1 j 在r 上滿(mǎn)足 lj l p z 兀 i 扣l 七 1 i 玉iy oi p k z l n 1 g z 在e 上解析且i 仇 z i 一1 g z o 所以在e 上也 有i 見(jiàn) z l n a g z o 于是當(dāng)g 彘 o 則由g 的三驢五條件知 對(duì)于某一常數(shù) a 當(dāng)i z 一彘i n 1 m 有 l o g p z i 一1 g z 一g 色 圭 1 h 則結(jié)果很顯然 另一方面 如果 彭一郇i 2 n 刈 則有 1 i 仇 白 一p k 6 k 舊戤 w 刮 防一磊 4 9 n m 從而我們可以得到 i 白一彘l 瓦而1 得證 注 此命題給出了任意兩個(gè)f e k e t e 點(diǎn)之間的最小距離 利用這一結(jié)果我們 可以用來(lái)解決逼近論中有關(guān)誤差估計(jì)的問(wèn)題 第三章現(xiàn)代勢(shì)論在逼近中的應(yīng)用 在古典的逼近論中其實(shí)很多方面都體現(xiàn)了現(xiàn)代勢(shì)論的內(nèi)容 但是我們不在 意這些常見(jiàn)的問(wèn)題形式 本章我們主要介紹一些我們經(jīng)常用到的現(xiàn)代勢(shì)論的有 關(guān)內(nèi)容 并舉例 3 1 有關(guān)誤差估計(jì) 逼近論中關(guān)于誤差估計(jì)的理論已經(jīng)形成了完整的系統(tǒng) 因?yàn)檎`差估計(jì)是用 來(lái)判斷逼近效果的標(biāo)準(zhǔn) 所以對(duì)于誤差情況的理論顯得非常重要 對(duì)于不同的 計(jì)算公式 逼近公式 都會(huì)有不同的誤差估計(jì)式 3 1 1 有理逼近的誤差估計(jì)公式 有理逼近的誤差估計(jì)公式很多 我們主要介紹幾個(gè)有關(guān)的p a d 6 逼近的引 理 對(duì)于任一固定的n 當(dāng)m 時(shí) m n s a 的收斂性和誤差估計(jì)比較簡(jiǎn) 單 而對(duì)于固定的k 當(dāng)?shù)?時(shí) n k n r 以入 的收斂性與 n 1 n r s a 的收 斂性一致 因此主要考慮 n 1 n s 入 的收斂性及誤差估計(jì) 任意給定一個(gè)無(wú)窮三角陣 z l 1 z l 2 一 乙加 i 令 k z n z 一缸 v o 1 3 1 1 或 z 押 z 1 r i 1 一z z 3 1 2 為研究廠 z 的以圪 z 為生成多項(xiàng)式的p a d 6 型逼近 r e n s 入 的收斂性問(wèn)題 我們不加證明的引用幾個(gè)定理 引理3 1 1 邸 設(shè)函數(shù) z 在區(qū)域d 內(nèi)解析 缸 則i z 的以 k z 兀 z 為生成多項(xiàng)式的p a d 6 型逼近 n 一1i n z 在 z p 一氣l 潞iy 一w i 乙 艫1 2 的任一緊子集上一致地以幾何速度收斂于i z 并且對(duì)任意的z d 有 1 2 凰l 廠 z 一 n l n z 卜南s u p i y 1 刮 文獻(xiàn) 3 2 j 給出了積分形式的誤差公式如下 引理3 1 2 3 2 l 設(shè)函數(shù)廠 z 在區(qū)域d 內(nèi)解析 m n z 是 z 的以圪 z 為生 成多項(xiàng)式p a d 6 型逼近 則 他 脅 z 意 去 端咖 其中7 一是區(qū)域d 內(nèi)的任一包圍原點(diǎn)o 與點(diǎn)z 的簡(jiǎn)單閉曲線 引理3 1 3 口2 1 若廠在 z l z l 1 內(nèi)可析 如果 m n p q 則有誤差公式 掣 南z 捌焉 1 2 耐甚l 1 卜z j 叫一 h 引理3 1 3 在文獻(xiàn) 1 7 中指出 誤差公式其實(shí)質(zhì)上就是估計(jì) m 問(wèn)引a xf m n z 卜鞘凈i d 其中c 是與m 甩 無(wú)關(guān)的常數(shù) 但是一般地情況下對(duì)于q 的零點(diǎn)知道不多 那么 就要估計(jì) 問(wèn)題就是 多大時(shí)使得卜 最小 當(dāng) 多大時(shí) 使得 m n 為h 提供最好的逼近 故必須計(jì)算 十 o 小帥鞘 其中 r z l 為線性l e b e s g u e 測(cè)度 為充分小的數(shù) 而我們利用勢(shì)論可以得到確卜 1 的上界 詳見(jiàn) 17 而且依測(cè)度收斂的某些結(jié)果可以改造成依容度收斂且有本 質(zhì)上的改進(jìn) c a r t o n 引理中所除掉的集合就是雙紐線區(qū)域l q 晰 z l 叩棚 而容度 是測(cè)量該區(qū)域大小的更合適的量 利用f e k e t e 多項(xiàng)式代替相應(yīng)的多項(xiàng)式 且使得區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn)滿(mǎn)足 l z 一氣l 傭m a x z 一乙i 蕁 3 1 9 其中6 為充分小的數(shù) 利用c a p q m z l 7 求出的值可以達(dá)到充分小 則剩余的區(qū)域部分仍滿(mǎn)足 逼近的結(jié)果 但是這一方法具有一定的限制性 因?yàn)槿荻群蜏y(cè)度有時(shí)相差很多 故本文對(duì)上述問(wèn)題對(duì)這一方法不做太多探討 3 2 利用現(xiàn)代勢(shì)理論進(jìn)行的誤差估計(jì) 本小節(jié)我們主要是利用現(xiàn)代勢(shì)論的有關(guān)知識(shí)求相應(yīng)的誤差公式 3 2 1 一類(lèi) z 一1 n 型誤差公式 有關(guān)第二類(lèi)f r e d h o l m 積分方程具有以下形式 x s y s aj 七 s t x t d ta s t b 3 2 1 其中k s t y s 分別為定義在 a b 內(nèi)的連續(xù)函數(shù) 方程 3 2 1 的解x s 可以展成為函數(shù)值系數(shù)的冪級(jí)數(shù) x s f s 入 y o s y t s a y 2 s 入2 以入 3 2 2 其中y o s y s 乃 j 七 s f y o a t 七 s 為第玎個(gè)核f 1 見(jiàn)文獻(xiàn) 3 1 在多項(xiàng)式空間p 定義線性泛函西 p c 妒 x s 甩 0 1 3 2 3 令l x a 1 表示等值線 g z l o g o 乓為f 盯的內(nèi)部 再設(shè)尾在e 的外部沒(méi)有極限點(diǎn)且關(guān)系式 l 1 1 細(xì) l i m r f i i z 一叫 卻 e e x p c z 3 3 2 對(duì)于k 的每一個(gè)有界閉子集一致地成立 若 z 在e 上解析 在乞 對(duì)于某一p 1 內(nèi)半純且恰有k 個(gè)極點(diǎn) 計(jì)及重 數(shù) q 則當(dāng)m 充分大時(shí) r e n z 存在且 r e k z 恰有七個(gè)極點(diǎn) 當(dāng) m 專(zhuān)o 時(shí)它們分別收斂于諸 而且序列 肌 七 z 在髟 q 的每一個(gè)緊子 集上一致地收斂于廠f z l 定理3 3 1 是d em o n t e s s u s 定理到多點(diǎn)p a d 6 逼近的推廣 3 4 有關(guān)測(cè)度的誤差估計(jì)公式 3 4 1 依測(cè)度收斂 一般來(lái)說(shuō) p a d 6 逼近的對(duì)角序列和一般序列沒(méi)有好的結(jié)果 在這個(gè)方向的工 作有按較弱意義的收斂定理和在一致有界區(qū)域的收斂定理 在p a d 6 逼近序列按 測(cè)度收斂的研究方面 j n u t t a l l 1 9 7 0 年 首先取得了突破 之后 陸續(xù)有一 些推廣j n u t t a l l 的結(jié)果的工作 1 9 7 3 年 c h p o m m e r e n k e 把j n u t t a l l 的結(jié)果推廣 成按容度收斂的定理 1 9 7 9 年 h w a l l i n 進(jìn)一步把c h p o m m e r e n k e 的定理推廣到 多點(diǎn)的p a d 6 逼近序列中 在d em o n t e s s u s 定理中 如果p a d 6 逼近式的分母的次數(shù)n 不是恰好與f z 1 的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)k 相同 而是大于極點(diǎn)的個(gè)數(shù) 那么相應(yīng)的結(jié)論不能成立 從該 定理的證明可以看出 可能看出的問(wèn)題是 r e n z 的極點(diǎn)除有k 個(gè)收斂于 廠 z 的極點(diǎn)外 其余的極點(diǎn)的位置是不確定的 所以?xún)H僅除掉 廠 z 的領(lǐng)域 不 能保證 m n 1 z 的收斂性 肌 o o n 固定 特別是由于這些極點(diǎn)的位置不確 定 我們甚至得不出來(lái)在某一區(qū)域上的收斂結(jié)論 而只能考慮 依測(cè)度 收斂 粗略的說(shuō) f z 與 m n z 在某區(qū)域中除掉一個(gè)測(cè)度很小的 破壞 區(qū)域可 以很接近 雖然這個(gè) 破壞 區(qū)域的測(cè)度可任意小 但其分布位置隨r t l 變化 3 4 2 依容度收斂 容度是現(xiàn)代勢(shì)論中的一個(gè)非常重要的量 由前面的介紹可以知道 引入容 度的概念并說(shuō)明依測(cè)度收斂的某些結(jié)果可改造成依容度收斂 而且這種改造確 有本質(zhì)上的改進(jìn) 依測(cè)度收斂的結(jié)果都是以c a r t a n 引理為基礎(chǔ)的 所以我們 首先引入c a r t a n 引理 c a r t a n 引理心3 如果q 是一個(gè)首一的代數(shù)多項(xiàng)式 那么不等式l q z l 礦對(duì) 于復(fù)平面上除去一個(gè)測(cè)度不超過(guò)研2 的集合之外的所有z 均成立 但是只有當(dāng)q 的玎個(gè)零點(diǎn)都重合時(shí) 所除掉的集合f 的測(cè)度恰為聊2 在其 他的情況下 f 的測(cè)度都小于聊2 換言之 前面所說(shuō)的除掉的那個(gè) 破壞 集 合的測(cè)度可能遠(yuǎn)小于萬(wàn) 我們將用容度來(lái)代替測(cè)度 事實(shí)上 c a r t a n 引理中所 除掉的集合就是雙紐線區(qū)域i q z i 2 扣0 1 一 1 3 6 1 的等距結(jié)點(diǎn)作為插值點(diǎn) 據(jù)r u n g e 證明 上述等距點(diǎn)不是最理想的插值點(diǎn) 這 是因?yàn)槎囗?xiàng)式插值算子的形式隨著n 的增大而呈現(xiàn)幾何的變化 最后證明了在 一l 1 上 當(dāng) 專(zhuān)o o 時(shí) n 個(gè)點(diǎn)具有漸進(jìn)的反正弦分布見(jiàn) 2 3 即這n 個(gè)點(diǎn)為 c h e b y s h e v 多項(xiàng)式巧 x c o s n a r c c o s x 在 一1 1 的零點(diǎn) 古典的勢(shì)理論表明 能量積分 x o u 2j l o g 由p y d p f 3 6 2 其中p 為支撐在 一1 1 上任意的概率測(cè)度 當(dāng)厶 加達(dá)到最小時(shí) d p 為a r e s i n e 分 布 此時(shí)的f e k e t e 點(diǎn)為c h e b y s h e v 多項(xiàng)式乙 x c o s a r c c o s x 在 一l 1 的零點(diǎn) 即 i 2k雨 1 tr kxk c o s k l 2 擰 3 6 3 i f 下 l 擰 0 3 b 3 l 療十1 當(dāng)然 對(duì)于任意區(qū)間 a b 可以通過(guò)坐標(biāo)變化 瓦 告 6 一日 吒 6 口 3 6 4 歸一化到區(qū)間 一1 1 求得其上的f e k e t e 點(diǎn)的分布 3 6 2f e k e t e 點(diǎn)與l a g r a n g e 插值的聯(lián)系 關(guān)于f e k e t e 點(diǎn)在插值理論有很多文獻(xiàn)都提到過(guò)相關(guān)的知識(shí) 如在多項(xiàng)式插 值的誤差估計(jì)的情況下就有說(shuō)到此方面的內(nèi)容 我們知道有很多種插值方法 在這些插值多項(xiàng)式中 我們可以看到在給定的插值點(diǎn)薯 j o l 2 刀 上 n 廠 x 而我們關(guān)心的當(dāng)然就是在非插值節(jié)點(diǎn)x 上p z 逼近廠 x 的精度 1 9 如何 因此我們非常有必要研究插值余項(xiàng)兄 x x 一見(jiàn) x 的大小 非常著名 的l a g r a n g e 形式的插值余項(xiàng)有下面的定理 定理3 6 1 n 3 1 設(shè) 工 在 口 6 上有 l 1 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) x o 而 而e a 6 是互異 的插值節(jié)點(diǎn) 作s x 的 z 次三咿口僻形式的插值多項(xiàng)式見(jiàn) x 則有 嘶m 刮小需冉卜拈 6 3 6 5 從上面的定理我們可以得到 i r x l 群i 工一而l l x 一五l i x 一而i i x 一矗i 3 6 6 顯然它可看作是由兩部分組成的 第一部分m a 1 劃取決于被插值函 j i 口 口 x o o 數(shù) 而與采取何種插值方法及插值節(jié)點(diǎn)的選取無(wú)關(guān) 第二部分 石 幣x x o i i x 工 i i x 而i i x 一矗i 與廠 x 無(wú)關(guān) 而與插值點(diǎn)的位置有關(guān) 當(dāng) 廠 斛1 x 在區(qū)間 口 6 上有界 并令鴆 卅m a 叫x 1 1 一肘1 x l 有上述的結(jié)果 但是 除整函數(shù)以外 一般來(lái)說(shuō) 高階導(dǎo)數(shù)增長(zhǎng)甚快 而且在使用插值公式時(shí) 忍不 能取得太大 在大多數(shù)的情況下 由上式計(jì)算出的誤差遠(yuǎn)大于實(shí)際誤差 由于第一部分可以說(shuō)是我們無(wú)法控制的 這里我們主要研究第二部分 減 小第二部分同樣可以縮減誤差 這樣問(wèn)題就歸結(jié)為求函數(shù) f x o w z 毛 2 黝渺一稚i 3 6 7 的極小值 其中x o 而 x 2 x n 口 b 對(duì)于 口 6 卜1 1 由前面我們介紹有關(guān)f e k e t e 點(diǎn)的知識(shí)知道 當(dāng)且僅當(dāng) 兀卜一魄i 是與零的最小偏差值為2 的c h e b y s h e v 多項(xiàng)式2 c o s n 1 a r c c o s x 時(shí) 也就是當(dāng)且僅當(dāng) 砟 c s i 2 k 雨 1 t r 尼 o 1 2 z 3 6 8 砟2 c o s 芝麗 七2 u 1 z 療 j b 5 f 達(dá)到最小值 由上面的定理我們直接的就可以得到下面的結(jié)論 定理3 6 2 1 對(duì)于 口 6 一1 1 當(dāng)所取的插值點(diǎn)為x k c o s 等篙半導(dǎo) k 0 i 2 n 時(shí) 定理3 6 1 中的誤差為 i j 2 x i j i i i j i i i i m 一a x l l 廠 1 x l 3 6 9 并且因子杰不能通過(guò)變動(dòng)孔再做改進(jìn) 同理 我們可以利用簡(jiǎn)單的線性變換不難得到相應(yīng)于一般區(qū)間 a b 的結(jié)果 2 0 也就是說(shuō) 關(guān)于在整個(gè)插值區(qū)間上的余項(xiàng)極小化問(wèn)題 與前面所說(shuō)的 c h e b y s h e v 最小零偏差多項(xiàng)式直接相關(guān) 即為使插值余項(xiàng)在整個(gè)區(qū)間上盡可能的 小的 最佳 插值節(jié)點(diǎn)組 應(yīng)該取該區(qū)間上最小零偏差多項(xiàng)式的零點(diǎn) 由上面的知識(shí)介紹及f e k e t e 點(diǎn)的定義 我們知道f e k e t e 點(diǎn)是l a g r a n g e 插 值的理想點(diǎn)集 事實(shí)上 兀 z 一 厶吐 z 巖竽 一 兀 札一 滿(mǎn)足 f l z f 1 對(duì)于vz 但是選擇了f e k e t e 點(diǎn) 則l e b e s g u e 常數(shù)最多為擰 即 l s u p z i l w z 甩 z e 岸 1 特別地 當(dāng)p 為次數(shù)不超過(guò)刀一1 次的多項(xiàng)式 則有 恍i p l l p l l h 如 下面我們考慮最常見(jiàn)區(qū)間 l 1 上的l a g r a n g e 插值與f e k e t e 點(diǎn)的關(guān)系 l a g r a n g e 插值基函數(shù) x 可以利用v a n d e r m o n d e 行列式來(lái)表示 m 盥琵掣 其中礦 q 是以f e k e t e 點(diǎn)a i i 0 1 刀為元素的v a n d e r m o n d e 行列式 利用f e k e t e 點(diǎn)的極大值性質(zhì)很容易證明 驤i x i l o f 聹 3 6 1 4 而且我們可以得到另外一個(gè)結(jié)論 定理3 6 3 乜8 1 l a g r a n g e 插值基函數(shù) x 滿(mǎn)足 一m a x z i x 1 當(dāng)且僅當(dāng)在其上的f e k e t e 點(diǎn)a j i 0 1 挖上 證明 令f z 蘭乎 x 9 f lf x 是2 刀次的多項(xiàng)式 我們?cè)O(shè) q 毛 則 i o f 哆 菇 1 o j n i o 由定義知在點(diǎn)口j i o 1 力上的確能達(dá)到最大值l 但是在除去端點(diǎn)一1 1 外的內(nèi)部點(diǎn)上 f 工 o 于是 x 一1 在任意內(nèi)部點(diǎn)q 均有雙重零點(diǎn) 這就意 味著f 在每個(gè)刀一1 個(gè)內(nèi)部點(diǎn)處都是兩次達(dá)到最大值1 即在內(nèi)部點(diǎn)會(huì)有2 n 1 次 端點(diǎn)處2 次 一共會(huì)出現(xiàn)2 1 2 2 n 次 又因?yàn)閥 x 是2 n 次的多項(xiàng)式 2 l 故在 1 1 上只有在f e k e t e 點(diǎn)a j 上達(dá)到最大值 得證 定理3 6 3 說(shuō)明了f e k e t e 點(diǎn)的特殊作用 上面我們也提到f e k e t e 點(diǎn)和插 值點(diǎn)的關(guān)系 下面我們就舉出具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明問(wèn)題 例3 6 1 我們做指數(shù)函數(shù)y e 在 1 1 上兩種情況的l a g r a n g e 插值與 原函數(shù)圖象的比較 1 任意選擇三個(gè) 一1 1 上的插值點(diǎn) 一1 p 1 i 一專(zhuān) p ii o 1 2 1 1 上的f e k e t e x k c o s 篙旱導(dǎo) 七 1 2 3 以 3 相應(yīng)的 坐 生 y k e8 k 1 2 3o 上面兩種插值點(diǎn)所做的l a g r a n g e 插值圖象如圖3 6 1 較 函數(shù)圖象的比 從上面的實(shí)例可以看出f e k e t e 點(diǎn)比任意選取的插值點(diǎn)效果要好 3 6 3 本節(jié)總結(jié) 本節(jié)通過(guò)對(duì)f e k e t e 點(diǎn)的性質(zhì)分析 可以看出它對(duì)于最優(yōu)插值點(diǎn)的選擇 插 值余項(xiàng)的進(jìn)一步估計(jì)都有很好的結(jié)果 從而說(shuō)明了f e k e t e 點(diǎn)在逼近論中的作 用 3 7 一類(lèi)不規(guī)則圖形的f e k e t e 點(diǎn)的分布 由前面的介紹我們知道 對(duì)于區(qū)間 圓和球上的f e k e t e 點(diǎn)的分布e b s a f f 等做了詳細(xì)的分析和證明 在現(xiàn)代勢(shì)論中 求能量極小值時(shí) f e k e t e 點(diǎn)起了很 2 2 大的作用 但對(duì)于一些不規(guī)則的非凸圖形的f e k e t e 點(diǎn)的分布未做分析 而這 類(lèi)模型在生產(chǎn)實(shí)踐中有很重要的意義 本節(jié)我們就對(duì)一類(lèi)特殊的圖形做出了分 析 為了簡(jiǎn)單說(shuō)明問(wèn)題 我們就取三點(diǎn)做為代表 我們首先要解決的問(wèn)題就是在什么情況下由區(qū)間上三點(diǎn)過(guò)渡到線段上一點(diǎn) 和圓上兩點(diǎn) 也就說(shuō) 線段上的點(diǎn)怎么由線段過(guò)渡到線段上和圓上的點(diǎn)的結(jié) 合 由e b s a f f 等做的工作我們可以知道 容易確定一線段上的三點(diǎn)電荷位 置 現(xiàn)在我們讓一個(gè)端點(diǎn)變成一個(gè)小圓 開(kāi)始時(shí)三點(diǎn)位置保持不變 但逐漸增 加半徑 時(shí) 我們觀察點(diǎn)在什么情況下會(huì)離開(kāi)線段到圓上 在半徑多大時(shí) 會(huì) 出現(xiàn)點(diǎn)的重新分布 我們知道 只有能量比原來(lái)增大時(shí) 電荷才會(huì)移動(dòng) 不失一般性 在線段 o 1 范圍內(nèi)考慮 如圖3 7 1 所示 一 c靡 翼 r o 0 弋歲 紅0 圖3 7 1 線段 0 1 范圍內(nèi)電荷分布情況 點(diǎn)0 f a q 的坐標(biāo)分別如圖所示 其中p h 垂直于0 q 0 p q 代表初 始的三個(gè)點(diǎn) 假設(shè)0 f 三 1 三 3 7 2 2 24 令t c o s 0 則 3 7 2 式變形為 2 r t x l 4 r 1 r t 2 了1 3 7 3 令廠 f 2 r t x 1 4 r 1 一r t 2 若t 為f r t 的極點(diǎn) 則有 魯功乒而習(xí)物r 8 r 1 r t 解 3 7 4 式得 8 r t 2 s t 2 t 2 1 2 3 0 3 7 4 3 7 5 由 3 7 3 和 3 7 5 解得 旦 1 1 一 3 7 6 即 1 1 由題設(shè)條件知 要使電荷由線段上過(guò)渡到圓上 半徑尸必須滿(mǎn)足 3 7 7 一 一 l3 52 也就是說(shuō)當(dāng)半徑0 1 時(shí) 線段上的電荷分布不發(fā)生改