抽屜原理論文.doc

摘 要 抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中研究存在性問題的基本原理之一 也是非常規(guī)解題方法的重 要類型之一 在數(shù)論和組合論中有著廣泛的應(yīng)用 本文簡(jiǎn)單介紹了抽屜原理的幾種形式 便于了解抽屜原理到底是什么東西 本文 主要研究抽屜原理的抽屜構(gòu)造和原理的應(yīng)用 構(gòu)造主要研究抽屜原理經(jīng)常使用的幾種 構(gòu)造方式 分割圖形構(gòu)造法 整數(shù)性質(zhì)構(gòu)造法 同余類構(gòu)造法 劃分?jǐn)?shù)組構(gòu)造法 間 接轉(zhuǎn)換構(gòu)造法 染色體構(gòu)造法 應(yīng)用主要從數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用兩大 方面進(jìn)行研究 數(shù)學(xué)領(lǐng)域方面主要應(yīng)用于數(shù)論 代數(shù) 幾何等幾方面的解題 現(xiàn)實(shí)生 活中大多數(shù)用于電腦算命 預(yù)測(cè)某些存在性的結(jié)果等等 關(guān)鍵詞 抽屜原理 抽屜 的構(gòu)造 抽屜原理的應(yīng)用 Abstract Drawer principle is a mathematical combination of problem of the existence of one of the basic principles of non conventional problem solving method is also one of the important types in number theory and combinatorics has a wide range of applications This paper briefly introduces the principle of drawer in several forms easy to understand the drawer principle is what This paper mainly studies the principle of drawer drawer structure and the application of the principle Tectonic research drawer principle often use several construction methods segmentation graph construction method construction method of integer properties congruence class construction method construction method of dividing the array indirect conversion method of construction chromosome construction method Application mainly from the mathematical field of application and the reality of life in the application of the two major aspects of research mathematical fields mainly used in number theory algebra geometry and so on several aspects of the problem solving in real life most used computer fortune telling predict some existence results etc Key words Drawer Principle drawer tectonic drawer principle application 目 錄 1 1 引引 言言 1 2 2 抽屜原理抽屜原理 1 2 1 抽屜原理概述 1 2 1 1 抽屜原理的幾種常見形式 1 2 1 2 抽屜原理的其他特殊形式 3 2 2 抽屜原理的構(gòu)造及其常用的幾種構(gòu)造方式 3 2 2 1 利用分割圖形的方法構(gòu)造抽屜 4 2 2 2 利用整數(shù)性質(zhì)來構(gòu)造抽屜 5 2 2 3 利用間接轉(zhuǎn)換的方法來構(gòu)造抽屜 6 2 2 4 利用對(duì)稱性構(gòu)造抽屜 7 3 3 抽屜原理的應(yīng)用抽屜原理的應(yīng)用 8 3 1 抽屜原理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用 8 3 1 1 應(yīng)用于數(shù)論問題 9 3 1 2 應(yīng)用于幾何問題 10 3 1 3 應(yīng)用于代數(shù)問題 10 3 1 4 應(yīng)用于組合問題 11 3 1 5 應(yīng)用于數(shù)學(xué)奧賽 11 3 2 抽屜原理在生活中的應(yīng)用 13 4 4 總總 結(jié)結(jié) 13 謝謝 辭辭 14 參參 考考 文文 獻(xiàn)獻(xiàn) 15 1 抽屜原理及其應(yīng)用 1 引 言 抽屜原理是離散數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理 在數(shù)論和組合論中有著廣泛的應(yīng)用 是 處理存在性問題的一個(gè)重要方法 抽屜原理又叫個(gè)鴿籠原理 它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克 雷 Dirichlet 1805 1859 首先發(fā)現(xiàn) 因此又叫作狄利克雷原理 抽屜原理是組合 數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本的原理 在組合數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了至關(guān)重要的作用 狄利克雷在 研究數(shù)論的問題時(shí)最早很巧妙的運(yùn)用抽屜原理去解決問題 后來德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯 基 Minkowski 1864 1909 也運(yùn)用這一原理得到一些結(jié)果 到了 20 世紀(jì)初期杜爾 A Thue 1863 1922 在不知道狄利克雷和閔夫斯基的工作情況下 很機(jī)巧的利用鴿 籠原理來解決不定方程的有理數(shù)解的問題 有 12 篇論文用到這個(gè)原理 后來西根 C L Siegel 1896 利用杜爾的結(jié)果發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)在稱為西根引理的東西 這個(gè)引理 是研究超越數(shù)時(shí)最基本的必要工具 在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)研究中 我們可以把抽屜原理看作 是一種重要的非常規(guī)的解題方法 應(yīng)用它能解決許多涉及存在性的數(shù)學(xué)問題 2 抽屜原理 2 1 抽屜原理概述 抽屜原理有時(shí)也被稱為 鴿巢原理 郵箱原理 重疊原則 狄利克雷原理 等等 它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理 2 1 1 抽屜原理的幾種常見形式 1 把 5 個(gè)蘋果放到 4 個(gè)抽屜中 必然有一個(gè)抽屜中至少有 2 個(gè)蘋果 這是抽屜原 理的通俗解釋 若有 10 個(gè)蘋果 而只有 9 個(gè)抽屜 則必然有一個(gè)抽屜中至少有 2 個(gè)蘋果 依次類 推 我們可得到抽屜原理的另一種較規(guī)范的形式 即 若把個(gè)蘋果放到個(gè)抽屜中 必然有一個(gè)抽屜中至少有 2 個(gè)蘋果 1n n 我們用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語言可以把上述原理描述為 將個(gè)物品放入個(gè)盒子中 1n n 則至少有一個(gè)盒子中裝的物品數(shù)不少于 2 個(gè) 即必存在一個(gè)盒子中裝有至少兩個(gè)或更 2 多的物品 2 若將個(gè)盒子看作是有限集合的個(gè)子集 看作是集合的元素個(gè)數(shù) nAn1n A 則我們可以把上述原理描述為以下形式 設(shè)是有限集 且 則必有正整數(shù)A niAAnA i 2 1 1 1 n i i A A 使得 nkk 12 k A 3 由以上的原理我們又可以把抽屜原理描述為下面這個(gè)形式 若把個(gè)蘋1kn 果放入個(gè)盒子里 則必有一個(gè)盒子中至少有個(gè)蘋果 n1k 即 若將個(gè)物品放入個(gè)盒子中 則至少有一個(gè)盒子中至少有 個(gè)物 1 11 rnnr 品 設(shè)是個(gè)整數(shù) 而且 則 2 n mmm 21 n1 21 r n mmm n 中至少有一個(gè)數(shù)不小于 n mmm 21 r 即 設(shè)是有限集 且 則必有正整A niAArnA i 2 1 11 1 n i i A A 數(shù) 使得 nkk 1rAk 4 假如 有個(gè)蘋果 把它們放入個(gè)抽屜里面 則必有一個(gè)抽屜里至少有mn 個(gè)蘋果 1 1 n m 證明 反證法 如果一個(gè)抽屜里面至多放個(gè)蘋果 則個(gè)抽屜里面的蘋果 n m1 n 數(shù)不超過1 1 m n m n 與已知的個(gè)蘋果矛盾 即必有一個(gè)抽屜里面至少有個(gè)蘋果 m1 1 n m 若把看作是有限集合的元素個(gè)數(shù) 看作是集合的個(gè)子集 則我們又可以mAnAn 把上述原理表示為 設(shè)是元集 且 則必有正整A 2 mm niAAi 2 1 1 n i i A A 3 數(shù) 使得 nkk 11 1 n m Ak 5 假設(shè)有個(gè)蘋果 有標(biāo)號(hào)為的抽屜 則存在至少1 21 nqqq n n 3 2 1 一個(gè)標(biāo)號(hào)為的抽屜里面至少有個(gè)蘋果 j j pnj 3 2 1 證明 反證法 假如第一個(gè)抽屜里面最多只有個(gè)蘋果 第二個(gè)抽屜里面最多1 1 p 只有個(gè)蘋果 第個(gè)抽屜最多只有個(gè)蘋果 則個(gè)抽屜里面的蘋果總1 2 pn1 n pn 數(shù)不超過 nqqqqqq nn 1 11 2121 與原假設(shè)個(gè)蘋果矛盾 即上述原理成立 即 設(shè)是有限1 21 nqqq n A 集都是正整數(shù) 如果且 n qqq 21 niAAnqqqA in 2 1 1 21 1 n i i A 則必有正整數(shù) 使得 A nkk 1 kk qA 2 1 2 抽屜原理的其他特殊形式 1 抽屜原理還有一種特殊的表現(xiàn)形式 那就是逆向抽屜原理 把個(gè)蘋果任意放入個(gè)抽屜里面 則至少有個(gè)抽屜里面的蘋果數(shù) 1 2 1 nn kkn1 k 一樣多 即 把個(gè)元素任意分成類 則至少有類元素的個(gè)數(shù)一樣多 1 2 1 nn kkn1 k 證明 反證法 假設(shè)如果至多有類的元素一樣多 那么元素個(gè)數(shù)最少的放法是k 類放 0 個(gè)元素 類放 1 個(gè)元素 類放 2 個(gè)元素 類放個(gè)元素 這樣最kkkk1n 少需要 與已知出現(xiàn)矛盾 1 2 1 2 1 1 210 nknnkn nk 抽屜原理的形式比較多變 在具體的應(yīng)用中也會(huì)有不同的變化 但本質(zhì)上都是一 樣的 上述抽屜原理的證明均采用反證法 這種證明方法對(duì)于證明元素個(gè)數(shù)多于抽屜個(gè)數(shù) 的問題時(shí)具有普遍意義 4 2 2 抽屜 的構(gòu)造 通過了解抽屜原理的形式 我們可以利用它的特殊形式來解決不同的問題 首先 必須明確題目中應(yīng)該以什么為抽屜 什么為物品 其次 構(gòu)造合適的抽屜 需要注意 的是抽屜的數(shù)量一定要少于物品的數(shù)量 最后 運(yùn)用抽屜原理解決問題 其中 最重 要最有難度的就是如何構(gòu)造抽屜 構(gòu)造抽屜是運(yùn)用抽屜原理解題的關(guān)鍵 下面介紹幾 種常用的構(gòu)造抽屜的方法 2 2 1 利用映射的概念構(gòu)造抽屜 2 2 2 利用奇偶分類構(gòu)造抽屜 2 2 3 利用分割概念構(gòu)造抽屜 1 1 利用剖分圖形來構(gòu)造抽屜 利用剖分圖形來構(gòu)造抽屜 本方法主要用于解決點(diǎn)在幾何圖形中的位置分布和性質(zhì)問題 通常我們把一個(gè)幾何 圖形分割成幾部分 然后把每一部分當(dāng)作一個(gè) 抽屜 每個(gè)抽屜里放入相應(yīng)的元素 通常情況下 我們分割圖形構(gòu)造抽屜的最好方法是等分這個(gè)幾何圖形 例如等分圓 正方 形等 例 上述例子是通過分割圖形構(gòu)造抽屜 在一個(gè)幾何圖形內(nèi)有若干已知點(diǎn) 我們可以 根據(jù)問題的要求把圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?用這些分割成的圖形作為抽屜 再對(duì)已知點(diǎn) 進(jìn)行分類 集中對(duì)某一個(gè)或幾個(gè)抽屜進(jìn)行討論 使問題得到解決 2 2 利用劃分?jǐn)?shù)組來構(gòu)造抽屜 利用劃分?jǐn)?shù)組來構(gòu)造抽屜 利用此方法解題的關(guān)鍵是要明確分組的 對(duì)象 然后將這些對(duì)象分成適當(dāng)?shù)臄?shù)組 再 應(yīng)用抽屜原理 問題便得以解決 例 5 任意給定 7 個(gè)不同的整數(shù) 求證 其中必有兩數(shù)之和或差是 10 的倍數(shù) 證明 設(shè)這 7 個(gè)不同的整數(shù)分別為 它們分別除以 10 后 得到的余數(shù)是從 721 ttt 0 到 9 中的一個(gè)數(shù) 1 若這 7 個(gè)余數(shù)中有兩個(gè)數(shù)相同 設(shè) 則 為整數(shù) qpkqtkpt ji 10 10 即存在兩數(shù)之差是的倍數(shù) 的倍數(shù) 是即10 10 jiji ttqptt 10 5 2 若這 7 個(gè)余數(shù)中任何兩個(gè)都不同 由抽屜原理知 至少有一數(shù)被 10 除余數(shù)為 6 7 8 9 四個(gè)數(shù)中的一個(gè) 將余數(shù)為 6 的數(shù)與余數(shù)為 4 的數(shù)劃為一組 余數(shù)為 7 的數(shù)與余數(shù)為 3 的數(shù)劃為一組 余 數(shù)為 8 的數(shù)與余數(shù)為 2 的數(shù)劃為一組 余數(shù)為 9 的數(shù)與余數(shù)為 1 的數(shù)劃為一組 于是便 有 這 7 個(gè)不同的余數(shù) 除 0 5 外 其余的必有一組數(shù)它們做和是 10 的倍數(shù) 3 3 利用劃分集合來構(gòu)造抽屜 利用劃分集合來構(gòu)造抽屜 例 6 2 2 在 1 4 7 10 13 100 中任選出 20 個(gè)數(shù) 其中至少有不同兩組數(shù) 其和都等于 104 試證明之 證 給定的數(shù)共有 34 個(gè) 其相鄰兩數(shù)的差均為 3 我們把這些數(shù)分成如下 18 個(gè)不 相交的集合且把它們看作是個(gè)抽屜 從已知的 1524 1007 9749 55 18 34 個(gè)數(shù)中任選個(gè)數(shù) 即使把前兩個(gè)抽屜中的數(shù) 1 和 52 都取出 則剩下的個(gè)數(shù)在2018 后面的個(gè)抽屜中至少有不同的兩個(gè)抽屜中的數(shù)全部被取出 這兩個(gè)抽屜中的數(shù)互不16 相同 每個(gè)抽屜中的兩個(gè)數(shù)的和都是 104 4 4 利用等分區(qū)間來構(gòu)造抽屜 利用等分區(qū)間來構(gòu)造抽屜 2 2 4 利用余數(shù)概念構(gòu)造抽屜 把所有的整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù) m 的余數(shù)分為 m 類 叫做 m 的剩余類或同余類 在抽屜原理利用整除關(guān)系解決問題時(shí) 常常用剩余類作為抽屜 根據(jù)抽屜原理 可以 證明任意個(gè)整數(shù)中 必有兩個(gè)自然數(shù)之差是的倍數(shù) n1 n 例 3 證明任取 8 個(gè)自然數(shù) 必有兩個(gè)數(shù)的差是 7 的倍數(shù) 證明 任一個(gè)整數(shù)被 7 除后的余數(shù)只有可能是 0 到 6 這 7 個(gè)自然數(shù)中一個(gè) 把這 7 個(gè)自然數(shù)看成是 7 個(gè)抽屜 則 8 個(gè)整數(shù)中必有兩個(gè)整數(shù)被 7 除后的余數(shù)落在同一個(gè)抽 屜里面 即必有至少兩個(gè)整數(shù)除以 7 的余數(shù)相等 則這兩個(gè)數(shù)的差必然是 7 的倍數(shù) 例 4 1 1 證明任意五個(gè)整數(shù)中 必有三個(gè)整數(shù)的和是 3 的倍數(shù) 證明 任一整數(shù)被 3 除余數(shù)只可能是 0 1 2 若給定的五個(gè)整數(shù)被 3 除所得的余數(shù) 中 0 1 2 都出現(xiàn) 那么余數(shù)分別為 0 1 2 的三個(gè)數(shù)的和一定能被 3 整除 如果余數(shù)中至 多只出現(xiàn) 0 1 2 中的兩個(gè) 那么由抽屜原理 其中必有一個(gè)余數(shù)至少出現(xiàn)三次 而這余 數(shù)相同的三個(gè)數(shù)的和一定能被 3 整除 注 對(duì)于如何解決有關(guān)整除的存在性問題 通常情況下 我們對(duì)模 n 進(jìn)行同余分 類 繼而造 n 個(gè)抽屜 即以 n 為模 可將整數(shù)集分為 余 0 類 余 1 類 余 n 1 類 共 n 只抽屜 然后應(yīng)用抽屜原理 原問題便得以解決 6 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A6 A5 A4 A3 A2 A1 2 2 4 利用不大于 n 的正整數(shù)構(gòu)造抽屜 2 2 4 利用間接轉(zhuǎn)換關(guān)系構(gòu)造抽屜 即通過間接轉(zhuǎn)換的方式 把原問題轉(zhuǎn)換為一類容易解決的新問題 繼而通過對(duì)新問 題的求解 間接的來解決原問題 例 8 17 個(gè)科學(xué)家中每個(gè)人與其余 16 個(gè)人通信 他們通信所討論的僅有三個(gè)問題 而任兩個(gè)科學(xué)家之間通信討論的是同一個(gè)問題 證明 至少有三個(gè)科學(xué)家通信時(shí)討論 的是同一個(gè)問題 解 不妨設(shè) A 是其中一位科學(xué)家 他與其余 16 位討論的問題只有三個(gè) 把三個(gè)問 題看作三個(gè)抽屜 16 位科學(xué)家看作 16 個(gè)蘋果 則由抽屜原理知 16 位科學(xué)家中至少 有 6 位科學(xué)家與科學(xué)家 A 討論同一問題 設(shè)這 6 位科學(xué)家為 討論的是甲問題 123456 A A A A A A 若這 6 位中有兩位之間也討論甲問題 則結(jié)論成立 否則他們 6 位只討論乙 丙兩問題 這個(gè)問題就是相當(dāng)于 六人集會(huì)問題 從而 我們可以設(shè)為 6 個(gè)點(diǎn) 兩者只討論乙問題 他們之間用紅色線段表 123456 A A A A A A 示 兩兩討論丙問題 他們之間用藍(lán)色線段表示 那么把從出發(fā)的 5 條線段 1 A 12 A A 放入紅 藍(lán)兩個(gè)抽屜中 根據(jù)抽屜原理知 一定至少有 3 條 13 A A 14 A A 15 A A 16 A A 線段同色 不妨設(shè)線段 都為紅色 考慮線段 12 A A 13 A A 14 A A 23 A A 24 A A 34 A A 分以下兩種情況 1 若 都是藍(lán)色 則三角形的三邊同為藍(lán)色 如圖 23 A A 24 A A 34 A A 234 A A A 3 這就是說三者互不認(rèn)識(shí) 234 A A A 2 若 中至少有一條為紅色 不妨設(shè)為 如圖 4 則 23 A A 24 A A 34 A A 23 A A 三角形的三邊同為紅色 即三者互相不認(rèn)識(shí) 123 A A A 123 A A A 7 3 實(shí)線表示紅色 虛線表示藍(lán)色 4 我們可以得到證明的結(jié)果 即至少有三個(gè)科學(xué)家通信時(shí)討論的是同一個(gè)問題 上述例子也屬于利用染色制造抽屜 染色問題的實(shí)質(zhì)是分類 只不過題目以涂色 形式出現(xiàn) 顯得直觀而已 抽屜原理的應(yīng)用非常廣泛 本文只介紹了抽屜原理幾種常見的構(gòu)造方法 其實(shí)還有 一些其他的構(gòu)造方法 例如奇偶性構(gòu)造法 等分區(qū)間構(gòu)造法等等 在解決同一道抽屜 原理的題時(shí) 并不是只有一種構(gòu)造抽屜原理的方法 只有接觸更多的不同形式的問題并 加以解決才能學(xué)好抽屜原理 總而言之 應(yīng)用抽屜原理解題需要很強(qiáng)的靈活性 不過也有其解題的步驟 步驟 如下 第一步 分析題意 分清什么是 東西 什么是 抽屜 也就是什么作 東西 什么可作 抽屜 第二步 構(gòu)造抽屜 這個(gè)是關(guān)鍵的一步 這一步就是 如何設(shè)計(jì)抽屜 根據(jù)題目條件和結(jié)論 結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí) 抓住最基本的數(shù)量關(guān)系 設(shè)計(jì)和確定解決問題所需的抽屜及其個(gè)數(shù) 為使用抽屜原理鋪平道路 第三步 運(yùn)用 抽屜原理 觀察題設(shè)條件 結(jié)合第二步 恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用幾個(gè)原則 達(dá) 到問題的解決 3 抽屜原理的應(yīng)用 抽屜原理在各個(gè)領(lǐng)域都有一定的應(yīng)用 這里簡(jiǎn)單介紹一下在數(shù)學(xué)領(lǐng)域及在生活中 的應(yīng)用 3 1 抽屜原理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用 一般地說 用抽屜原理來解決的數(shù)學(xué)問題有如下特征 新給的元素具有任意性 如八個(gè)蘋果放入七個(gè)抽屜 可以隨意的一個(gè)抽屜放幾個(gè) 也可以讓抽屜空著 問題的 結(jié)論是存在性命題 題中常含有 至少有 一定有 不少于 存在 必然有 等詞語 其結(jié)論只要存在 不必確定 前面的內(nèi)容已 經(jīng)介紹了一些常用的構(gòu)造抽屜的方法 這對(duì)我們的解題有很大的幫助 下面介紹幾種 應(yīng)用抽屜原理的情況 8 3 1 1 利用抽屜原理證明不等式 1 證明代數(shù)不等式 2 證明三角不等式 3 1 2 利用抽屜原理解決邏輯問題利用抽屜原理解決邏輯問題 例 12 在對(duì)角線為 50 米的長(zhǎng)方形草坪上 有 10 個(gè)同學(xué)在踢足球 無論他們?cè)趺?跑動(dòng) 求至少會(huì)有兩個(gè)同學(xué)之間的距離不會(huì)超過多少米 解 我們把大的長(zhǎng)方形按長(zhǎng)和寬同時(shí)等 分的方式分割成 9 個(gè)小長(zhǎng)方形 如圖所示由 抽屜原理可知 把這 9 個(gè)小長(zhǎng)方形看作是 9 個(gè)抽屜 則至少有兩個(gè)同學(xué)在一個(gè)小長(zhǎng)方 形里面 即他們之間最大的距離不超過小長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度米 即無論這十個(gè)同 50 3 學(xué)怎么跑 其中至少有兩個(gè)同學(xué)的距離不會(huì)超過米 50 3 3 1 3 利用抽屜原理解答數(shù)學(xué)奧賽題 1 1 連續(xù)多次運(yùn)用抽屜原理 連續(xù)多次運(yùn)用抽屜原理 例 16 2 一個(gè)國(guó)際社團(tuán)的成員來自六個(gè)國(guó)家共 1978 人 用 1 2 1977 1978 來編號(hào) 試證明 該社團(tuán)至少有一個(gè)成員的編號(hào)或者與他的兩 個(gè)同胞的編號(hào)之和相等 或者是其中一個(gè)同胞的編號(hào)的兩倍 第 20 屆 IMO 證 可以用反證法來證明與本題完全相當(dāng)?shù)南铝袉栴} 把數(shù)列 1 2 1977 1978 按任一方式分成六組 則至少有一組具有這樣的性質(zhì) 其中有 一個(gè)數(shù)或等于同組中其他兩數(shù)之和 或等于其中某一個(gè)數(shù)的兩倍 假設(shè)這六組中的每一組數(shù)都不具備上述性質(zhì) 也就是說每一組數(shù)都具備下列性質(zhì) 記作性質(zhì) P 同組中任何兩個(gè)數(shù)的差必不在此組中 因?yàn)槿绻B同都在同一組中 那么由可知 這組已具備題 a bba baba 目所要求的性質(zhì) 因 所以由抽屜原理可以肯定有一個(gè)組 A 其中至少有 330 個(gè)正整32961978 9 數(shù) 現(xiàn)在從 A 中任意取出 330 個(gè)數(shù)來 記其中最大的那個(gè)數(shù)為 把分別減去其余 1 a 1 a 329 個(gè)數(shù)而得到 329 個(gè)差 它們互不相等且均小于 1978 由性質(zhì) P 它們不會(huì)再在 組 A 中 即應(yīng)屬于其余五個(gè)數(shù)組 又因 再由抽屜原理可以肯定有一組655329 B 其中至少含有上述 329 個(gè)數(shù)中的 66 個(gè)數(shù) 從 B 中任取 66 個(gè)數(shù)且記其中的最大的那 個(gè)數(shù)為 再把減去其余的 65 個(gè)數(shù) 得出的差顯然不再屬于 B 當(dāng)然也不會(huì)屬于 1 b 1 b A 假如其中的某一個(gè)數(shù)屬于 A 由于與分別可以寫成 bb 11 bb 111 aabaab 其中與都屬于 A 于是a a aaaaaabb 111 這就同 A 具備的性質(zhì) P 的假設(shè)相違背 這就是說上述 65 個(gè)數(shù)必屬于其余四個(gè) 數(shù)組 由于 所以至少有一組 稱為 C 至少會(huì)有上述 65 個(gè)整數(shù)中的 17 個(gè) 16465 反復(fù)進(jìn)行上述推理 最后可得一數(shù)組 F 其中至少會(huì)有兩個(gè)數(shù) 大數(shù)與小數(shù)之差是一個(gè) 小于 1978 的自然數(shù) 可是它不在 A B C D E F 的任何一組中 這顯然是一個(gè)矛盾 這 矛盾說明至少有一組數(shù)不具備性質(zhì) 即題目的結(jié)論是正確的 P 我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn) 如果把題目中的 1978 改成任何一個(gè)不小于 1957 的正整數(shù)后其結(jié) 論仍是成立的 此例的解答過程說明了對(duì)有的數(shù)學(xué)問題需要我們連續(xù)運(yùn)用抽屜原理 而且每構(gòu)造一次抽屜都把范圍縮小一些 2 2 逆向運(yùn)用抽屜原理 逆向運(yùn)用抽屜原理 例 17 從 1 2 3 4 12 這 12 個(gè)自然數(shù)中 至少任選幾個(gè) 就可以保證其 中一定包括兩個(gè)數(shù) 他們的差是 7 解 在這 12 個(gè)自然數(shù)中 差是 7 的自然數(shù)有以下 5 對(duì) 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 另外 還有 2 個(gè)不能配對(duì)的數(shù)是 6 7 只要有兩個(gè)數(shù) 是取自同一個(gè)集合 那么它們的差就等于 7 把這 7 個(gè)集合看成 7 個(gè)抽屜 則由抽屜原理知 任取 8 個(gè)數(shù) 就可以保證其中有 兩個(gè)數(shù)的差是 7 即使把 6 跟 7 全部選出 由抽屜原理可知 從其余的 5 個(gè)抽屜中取 6 個(gè)元素 則 一定可以使有兩個(gè)元素來源于同一個(gè)抽屜 即至少任取 8 個(gè)數(shù) 可以保證其中一定有 兩個(gè)數(shù)的差為 7 綜上所述 從這 12 個(gè)自然數(shù)中 至少任選 8 個(gè)數(shù) 就可以保證其中一定包括兩 個(gè)數(shù) 他們的差是 7 10 3 2 抽屜原理在生活中的應(yīng)用 招生錄取問題 其實(shí) 抽屜原理不僅在數(shù)學(xué)中有用 在現(xiàn)實(shí)生活中也到處在起作用 如招生錄取 就業(yè)安排 資源分配 職稱評(píng)定等等 都不難看到抽屜原理的作用 下面簡(jiǎn)單的舉幾 個(gè)例子 370 個(gè)同學(xué)中必有至少 2 個(gè)人的生日是同一天 4 雙不同顏色的筷子中必須取 出 5 枝筷子才能保證其中至少有一雙筷子是同顏色的 13 個(gè)人中必有兩個(gè)人的生肖是 一樣的等等 4 總 結(jié) 抽屜原理敘述起來比較簡(jiǎn)單 因此本文將重點(diǎn)放在了抽屜原理的應(yīng)用 尤其是構(gòu) 造抽屜的幾種方法 這是靈活應(yīng)用抽屜原理的關(guān)鍵 總而言之 應(yīng)用抽屜原理也有其解題的步驟 步驟如下 第一步 分析題意 分清什么是 東西 什么是 抽屜 也就是什么作 東西 什么可作 抽屜 第二步 制造抽屜 這個(gè)是關(guān)鍵的一步 這一步就是如何設(shè)計(jì)抽屜 根據(jù)題目條件和 結(jié)論 結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí) 抓住最基本的數(shù)量關(guān)系 設(shè)計(jì)和確定解決問題所需的抽 屜及其個(gè)數(shù) 為使用抽屜鋪平道路 第三步 運(yùn)用抽屜原理 觀察題設(shè)條件 結(jié)合第二步 恰當(dāng)應(yīng)用各個(gè)原則或綜合運(yùn)用 幾個(gè)原則 以求問題之解決 應(yīng)用抽屜原理解題要注意以下幾點(diǎn) 1 題目中給出的