專題訓練五-函數(shù)與導數(shù).doc

欽州二中2012屆高考第二輪復習資料(5)專題訓練五函數(shù)與導數(shù)一、高考【函數(shù)與導數(shù)】大題分析與預測：1、考查函數(shù)特點：由多項式、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)四則運算或復合運算所得函數(shù)，一般帶有參數(shù)。2、考查題型及解決辦法：（1）研究函數(shù)的各種性質(zhì)，如單調(diào)性、極值、最值等。包括：給出具體的函數(shù)，求其性質(zhì)，如含參數(shù)，一般需要對參數(shù)分類討論；給出含參數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，研究參數(shù)的值或范圍。（2）研究不等式恒成立或有解問題。研究含參數(shù)的函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，或直接研究含參數(shù)的不等式恒成立，可用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，結(jié)合導數(shù)求解。不等式有解問題參照求解。（3）研究函數(shù)圖像交點個數(shù)或方程的根的個數(shù)。先構(gòu)造合適的函數(shù)，用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性描繪出函數(shù)的大致圖象（有時還須結(jié)合函數(shù)極限研究圖象的極端情形或結(jié)合特殊函數(shù)值研究圖象的變化趨勢），列出不等式（組）求解。（4）證明不等式。證明不等式在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，通常經(jīng)過構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)研究單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。3、考查難度：函數(shù)與導數(shù)大題一般位于第2022題，常見為20題，難度為中檔或中檔以上。二、典型例題：例1(2011屆高考數(shù)學仿真押題卷陜西卷（理4）)設函數(shù)與的圖像分別交直線于點,且曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行。（1）求函數(shù),的表達式；（2）設函數(shù)，求函數(shù)的最小值。例1【分析】本題考查含參數(shù)的二次、對數(shù)、無理形式的函數(shù)，（1）給切線關(guān)系，求函數(shù)式；（2）求函數(shù)最值。屬中檔偏易題?！窘狻浚?）由得,由得.又由題意可得,即,故,所以,。 4分（2）由得.由可知.故當時,遞減,當時,遞增,所以函數(shù)的最小值為. 12分【點評】（1）利用切線斜率相同，即求參數(shù)的值；（2）利用導數(shù)研究單調(diào)性，從而得最值。例2設函數(shù).（1）若a=，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當0時，求a的取值范圍。例2【分析】本題考查含參數(shù)的指數(shù)、二次形式的函數(shù)，（1）給參數(shù)的值，求單調(diào)區(qū)間；（2）給不等式恒成立，求參數(shù)范圍。屬中檔題。【解】（1）時，。當時;當時，;當時，。故在，單調(diào)遞增，在（-1，0）單調(diào)遞減。 4分（2）。令，則。若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當x0時0，即0.若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當時0，即0.綜合得的取值范圍為 12分【點評】（1）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，討論參數(shù)，用導數(shù)解決。第（2）題關(guān)鍵點：.例3設函數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍。例3【分析】本題考查分式、對數(shù)形式的函數(shù)，（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）指數(shù)不等式恒成立，求參數(shù)范圍（使用（1）的結(jié)論）。屬中檔題?！窘狻浚?）,，或，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，. 5分（2）對兩邊取自然對數(shù)，得，由，知，故上式變?yōu)?由（1）知，時，故要使式對所有成立，當且僅當，即. 12分【點評】（1）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題。第（2）題關(guān)鍵點：指數(shù)不等式兩邊取自然對數(shù)。例4已知函數(shù)，. （1）求在區(qū)間上的最大值； （2）是否存在實數(shù)m，使得的圖象與的圖象有且僅有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。例4【分析】本題考查（1）二次函數(shù)“定軸動區(qū)間”上的最值；（2）含參數(shù)的對數(shù)、二次形式的函數(shù)圖像交點個數(shù)，求參數(shù)范圍。屬中檔題。【解】（1）函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，對稱軸為.當時，在上遞減，；當，即時，；當，即時，在上遞增，.綜上， 5分（2）函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有三個不同的交點，即函數(shù)1Oxy3的圖象與有且僅有三個不同的交點。，或，. 故在. 又時，此時；時，此時.從而的大致圖象如右，要使其與有且僅有三個不同的交點，只需 解得，即當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且僅有三個不同的交點。 12分【點評】（1）按對稱軸與區(qū)間兩端點位置關(guān)系，分三類討論；（2）將原兩函數(shù)圖象交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象交點個數(shù)，用導數(shù)研究的單調(diào)性，用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)極限作出圖象。第（2）題關(guān)鍵點：轉(zhuǎn)化為與圖象交點。 第（2）題也可用代替函數(shù)極限。例5函數(shù)（1）試求的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：不等式對于恒成立例5【分析】本題考查含參數(shù)的對數(shù)、分式形式的函數(shù)，（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）證明不等式（使用（1）的結(jié)論）。屬中檔偏難題?！窘狻浚?） 當時，在上單調(diào)遞增； 當時，時，遞減，時，遞增。綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為4分（2）證明：，. 令，由（1）知，當時，在上遞增，故時，即，在上單調(diào)遞增，12分【點評】（1）結(jié)合定義域討論參數(shù)，得到導數(shù)的正負，即原函數(shù)的增減；（2）將分式不等式（特別是分母含對數(shù)）轉(zhuǎn)化為整式不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最值。第（2）題關(guān)鍵點：不等式轉(zhuǎn)化；利用第（1）題的結(jié)論證明.第（2）題另法：對求二次導數(shù)，得在遞增，故在上單調(diào)遞增。例6已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時, (其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，).（1）求的解析式；（2）設，求證：當時，.例6【分析】本題考查含參數(shù)的一次、對數(shù)、絕對值形式的函數(shù)，給出奇偶性，（1）求解析式；（2）證明不等式（轉(zhuǎn)化為不等式兩邊的最值）。屬中檔偏難題?！窘狻浚?）設，則，所以又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 故函數(shù)的解析式為 4分（2）證明：當且時，設.因為，所以當時，此時單調(diào)遞減；當時，此時單調(diào)遞增，所以 又因為，所以當時，此時單調(diào)遞減，所以，且與取得相應最值時的x值不同，所以當時，即. 12分【點評】（1）利用求解析式；（2）利用證明不等式（注：“”符號不能改為“”符號）。第（2）題關(guān)鍵點：把不等式證明轉(zhuǎn)化為不等號兩邊函數(shù)的最值。 第（2）題解題誤區(qū)：構(gòu)造函數(shù)，證明.（，無法得到導數(shù)的正負）例7已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的極值；（2）設函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若在（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍例7【分析】本題考查含參數(shù)的對數(shù)、分式形式的函數(shù)，（1）給參數(shù)的值，求函數(shù)極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）給不等式有解，求參數(shù)的范圍（利用（2）的結(jié)論）。屬難題?！窘狻浚?）當時， ，,所以在處取得極小值1 4分（2），當時，即時，在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當，即時，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增 6分 （3）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零。由（）可知：當，即時， 在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由可得，因為，所以； 當，即時， 在上單調(diào)遞增，所以最小值為，由可得；當，即時， 可得最小值為， 因為，所以，故 此時不存在使成立 11分綜上可得所求的范圍是：或 12分【點評】（1）通過導數(shù)的正負求解；（2）結(jié)合定義域討論參數(shù)，得到導數(shù)的正負，即原函數(shù)的增減；（3）構(gòu)造函數(shù)，將不等式有解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，即，利用導數(shù)求解。第（3）題關(guān)鍵點：分類討論參數(shù)，利用第（2）題的結(jié)論。 第（3）題解題誤區(qū)：存在，使得成立（或）；存在，使得成立.例8已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間及的最小值；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）試比較與，且的大小，并證明你的結(jié)論。例8【分析】本題考查含參數(shù)的絕對值、對數(shù)形式的函數(shù)，（1）給參數(shù)的值，求單調(diào)區(qū)間；（2）給參數(shù)的范圍，求單調(diào)區(qū)間；（3）比較數(shù)列代數(shù)式的大?。ㄊ褂茫?）的結(jié)論）。屬難題。【解】（1） 當時， 當時，故a=1時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為（0,1）， 4分 （2）若則在區(qū)間上是遞增的；當在區(qū)間上是遞減的若則在區(qū)間上是遞增的，在區(qū)間上是遞減的；當在區(qū)間（0，a）上是遞減的，而在處連續(xù)；則在區(qū)間上是遞增的，在區(qū)間（0，1）上是遞減的 綜上：當?shù)倪f增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（0，a）；當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是（0，1） 8分