2016_17學年高中數(shù)學第2章數(shù)列2.3.3.1等比數(shù)列的前n項和學案蘇教版.docx

第1課時等比數(shù)列的前n項和1掌握等比數(shù)列前n項和公式；能用公式解決一些簡單問題(重點)2能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題(難點)3不對q分析范圍而錯用求和公式(易錯點)基礎初探教材整理1等比數(shù)列的前n項和公式閱讀教材P55P56，完成下列問題設數(shù)列an為等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，則其前n項和S n1在等比數(shù)列an中，a12，S326，則公比q_.【解析】q1，S326，q2q120，q3或4.【答案】3或42設an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a516，則數(shù)列an的前7項和為_【解析】a5a1q4，q424.q0，q2，S7127.【答案】127教材整理2等比數(shù)列前n項和的性質閱讀教材P62第8題，完成下列問題等比數(shù)列前n項和的性質(1)等比數(shù)列an中，SmnSnqnSmSmqmSn.(2)等比數(shù)列an中，若項數(shù)為2n，則q；若項數(shù)為2n1，則q.(3)設數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和當q1且k為偶數(shù)時，Sk，S2kSk，S3kS2k不是等比數(shù)列；當q1或k為奇數(shù)時，數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2k(kN*)是等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，若Sn是其前n項和，且S43，S89，則S12_.【解析】S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列，3,6，S129成等比數(shù)列，3(S129)36，S1221.【答案】21質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型等比數(shù)列前n項和的基本運算在等比數(shù)列an中，(1)若Sn189，q2，an96，求a1和n；(2)若a1a310，a4a6，求a4和S5；(3)若q2，S41，求S8.【精彩點撥】利用公式Sn求解【自主解答】(1)由公式Sn及條件得189，解得a13，又由ana1qn1，得9632n1，解得n6.(2)設公比為q，由通項公式及已知條件得即a10,1q20，得，q3，即q，a18，a4a1q3831，S5.(3)設首項為a1，q2，S41，1，即a1，S817.1等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式中共涉及a1，an，q，n，Sn五個基本量，已知其中三個量，可以求出另外的兩個量，我們可以簡稱為“知三求二”2已知an時用Sn較簡便，而Sn在將已知量表示為最基本元素a1和q的表達式中發(fā)揮著重要作用再練一題1求下列等比數(shù)列前8項的和(1)，；(2)a127，a9，q0. 【導學號：91730041】【解】(1)因為a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，可得q.所以S8.等比數(shù)列前n項和的性質及應用在等比數(shù)列an中，若前10項的和S1010，前20項的和S2030，求前30項的和S30.【精彩點撥】法一：由列方程組求得q值，整體代換求S30；法二：利用前n項和的性質，連續(xù)10項之和成等比數(shù)列，求S30.【自主解答】法一：設數(shù)列an的首項為a1，公比為q，顯然q1，則兩式相除得1q103，q102.S30(1q10q20)10(124)70.法二：S10，S20S10，S30S20仍成等比數(shù)列，又S1010，S2030，S3030，即S3070.要注意等比數(shù)列前n項和性質的使用條件，條件不具備時，性質不一定成立，如Sm，S2mSm，S3mS2m，滿足(S2mSm)2Sm(S3mS2m)，但Sm，S2mSm，S3mS2m不一定成等比數(shù)列，只有在一定的限制條件下才成等比數(shù)列再練一題2(1)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若3，則_.(2)等比數(shù)列 an共有2n項，其和為240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q_.【解析】(1)設公比為q，則1q33，所以q32，于是.(2)S奇80，S偶160，q2.【答案】(1)(2)2探究共研型等比數(shù)列前n項和的實際應用探究1銀行儲蓄中的按“復利”計算是什么意思？并舉例說明【提示】所謂“復利”，即把上期的本利和作為下一期的本金如把a萬元現(xiàn)金存入銀行，按年息P%計算，n年后的本利和為a(1P%)n1萬元探究2“分期付款”是怎么一回事？【提示】(1)分期付款為復利計息，每期付款數(shù)相同，且在期末付款；(2)到最后一次付款時，各期所付的款額的本利之和等于商品售價的本利之和借貸10 000元，以月利率為1%，每月以復利計算借貸，王老師從借貸后第二個月開始等額還貸，分6個月付清，試問每月應支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)【精彩點撥】結合分期付款的定義求解本題【自主解答】一方面，借款10 000元，將此借款以相同的條件存儲6個月，則它的本利和為S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，設每個月還貸a元，分6個月還清，到貸款還清時，其本利和為S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a.1.0161.061，a1 739.故每月應支付1 739元解決此類問題的關鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項數(shù)，所謂復利計息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計算時每一期本金的數(shù)額是不同的，復利的計算公式為SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和再練一題3在一次人才招聘會上，A，B兩家公司分別開出的工資標準：A公司允諾第一年月工資為1 500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資為2 000元，以后每年月工資在上一年月工資基礎上遞增5%.設某人年初被A，B兩家公司同時錄取，試問：(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？(2)該人打算在一家公司連續(xù)工作10年，僅從工資收入總量作為應聘標準(不計其他因素)，該人應該選擇哪家公司？為什么？【解】(1)設該人在A，B兩家公司第n年的月工資分別為an，bn.由已知，得an構成等差數(shù)列，以1 500為首項，230為公差，an230n1 270.bn構成等比數(shù)列，以2 000為首項，以(15%)為公比，bn2 000(15%)n1.(2)若該人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總額為S1012(a1a2a10)12304 200(元)；若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總額為S1012(b1b2b10)12301 869(元)由于在A公司總收入多，因此該人應選擇A公司構建體系1已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，a52，a816，則S6等于_. 【導學號：91730042】【解析】q3(2)3，q2，a1(2)(2)4(2)3，S6.【答案】2等比數(shù)列的公比為2，前4項之和等于10，則前8項之和等于_【解析】(S8S4)S42416，(S810)1016，S8170.【答案】1703一彈性球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程和為_米(結果保留到個位)【解析】小球10次著地共經(jīng)過的路程為100100501008299300(米)【答案】3004(2015安徽高考)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_【解析】設等比數(shù)列的公比為q，則有解得或又an為遞增數(shù)列，Sn2n1.【答案】2n15設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q.【解】當q1時，Snna1，S3S63a16a19a1S92S9；當q1時，2，得2q3q622q9，2q9q6q30，解得q3，或q31(舍去)，q.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學業(yè)分層測評(十二)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1已知數(shù)列an滿足3an1an0，a2，則an的前10項和S10_.【解析】因為3an1an0，所以，所以數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列因為a2，所以a14，所以S103(1310)【答案】3(1310)2已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項和若a1，a3是方程x25x40的兩個根，則S6_. 【導學號：91730043】【解析】因為a1，a3是方程x25x40的兩個根，且數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，所以a11，a34，q2，所以S663.【答案】633已知an是首項為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項和為_【解析】易知公比q1.由9S3S6，得9，解得q2.是首項為1，公比為的等比數(shù)列，其前5項和為.【答案】4已知等比數(shù)列的前n項和Sn4na，則a_.【解析】SnAqnA，a1.【答案】15等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1_.【解析】設等比數(shù)列an的公比為q，因為S3a210a1，a59，所以解得所以a1.【答案】6在等比數(shù)列an中，若a1a2a3a4a5，a3，則_.【解析】設數(shù)列an的公比為q，則a31qq2，31.【答案】317某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_【解析】每天植樹的棵樹構成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，其前n項和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，則n17，即n6.【答案】68設等比數(shù)列an的公比為q，前n項和為Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，則q的值為_【解析】由題意可知，q1，Sn.又Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，2SnSn1Sn2，即22qn2qn1qn2，即2qq2，q2(q1不合題意舍去)【答案】2二、解答題9已知等比數(shù)列an中，a1，公比q.(1)Sn為an的前n項和，證明：Sn；(2)設bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列bn的通項公式【解】(1)證明：因為ann1，Sn，所以Sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通項公式為bn.10從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜问杖牍烙嫗?00萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增長.設n年內(本年度為第1年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式【解】第1年投入800萬元，第2年投入800萬元，第n年投入800n1萬元，所以，總投入an800800800n14 000(萬元)同理，第1年收入400萬元，第2年收入400萬元，第n年收入400n1萬元所以，總收入bn400400400n11 600.能力提升1在等比數(shù)列an中，a1a2a3an2n1, 則aaaa等于_【解析】Sn，an為等比數(shù)列，a也為等比數(shù)列，aaaa(4n1)【答案】(4n1)2等比數(shù)列1，a，a2，a3，(a0)的前n項和Sn_. 【導學號：91730044】【解析】當a1時，Snn；當a1時，Sn.即Sn【答案】3等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則an的公比為_【解析】由已知4S2S13S3，即4(a1a2)a13(a1a2a3)，a23a3，an的公比q.【答案】4