東北大學(xué)線性代數(shù)期末試題2009-2015及答案.pdfVIP

東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20200 09 9 20201010 學(xué)年學(xué)年 第第一一學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 一 10 分 設(shè)矩陣 43 21 A E為 2 階單位矩陣 矩陣B滿足 BA B 2E 求 B 解解 由 BA B 2E 得EEAB2 于是 4 2 EEAB 6 分 又由于6 EA 所以 3 2 B 10 分 二 10 分 設(shè)三階方陣A B滿足關(guān)系式BABA 1 6 其中 A是A 的伴隨矩陣 且 210 530 002 A 求矩陣B 解解 2 A EEAAA2 3 分 由BABA 1 6 有ABEB 12 即 1 12 AEB 6 分 3 23 10 3 53 10 001 12 840 2040 0012 10 分 三 10 分 求線性空間 3 R中由基 T 0 0 1 1 T 0 1 1 2 T 1 1 1 3 到 基 T 1 2 1 1 T 2 1 1 2 T 3 2 1 1 的過渡矩陣 并求向量 321 在 基 321 下的坐標(biāo) 解解 由C 321321 得過渡矩陣 321 1 321 C 321 212 111 100 110 111 1 321 212 111 100 110 011 321 131 121 5 分 由于 321 所以 1 1 1 1 1 1 321321 C 故向量 在基 321 下的坐標(biāo)為 0 1 2 1 1 1 321 131 121 x 10 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 七 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 10 分 設(shè) 4321 都是四維列向量 4321 A 向量 T 0 3 0 1 1 T 2 0 0 1 2 是齊次線性方程組0 xA的一個(gè)基礎(chǔ)解系 求向量 組 4321 的一個(gè)極大線性無關(guān)組 解解 由于0 xA的解空間是二維的 所以2 AR 3 分 由于 T 0 3 0 1 1 T 2 0 0 1 2 是解 所以 03 31 02 41 8 分 即 43 可由 1 線性表示 所以 21 是一個(gè)極大線性無關(guān)組 10 分 五 20 分 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足1 2 EAR 且齊次線性方程 組0 xA有非零解 T 2 1 1 求矩陣A 解解 由于1 2 EAR 所以 2 是 A 的二重特征值 4 分 由于0 xA有非零解 T 2 1 1 知 0 是 A 的特征值 是特征向量 8 分 由于 A 是實(shí)對(duì)稱矩陣 所以特征值 2 的特征向量與 正交 可取為 T 0 1 1 1 T 1 1 1 2 12 分 將 T 2 1 1 T 0 1 1 1 T 1 1 1 2 單位化 得正交矩陣 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 Q 16 分 則 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 2 2 0 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 T QQA 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 1 3 2 3 1 3 5 3 1 3 1 3 1 0 2 1 2 1 6 2 6 1 6 1 3 2 00 3 2 2 2 0 3 2 2 2 0 20 分 六 20 分 問dcba 滿足什么條件時(shí) 二次型 2 14 2 43 2 32 2 214321 dxxcxxbxxaxxxxxxf 是正定二次型 為什么 解解 顯然0 4321 xxxxf 且0 4321 xxxxf當(dāng)且僅當(dāng) 0 0 0 0 14433221 dxxcxxbxxaxx 5 分 由于 100 100 010 001 d c b a D abcd 1 10 分 故當(dāng)1 abcd時(shí) 即當(dāng)且僅當(dāng)0 4321 xxxx時(shí) 二次型0 4321 xxxxf 15 分 所以當(dāng)1 abcd時(shí) 4321 xxxxf是正定二次型 20 分 七 20 分 證明 1 n維向量組 s a 21 和 t 21 等價(jià)的充分 必要條件是 21s aR 21t R 21s aR 21t 2 設(shè)A是nm 矩陣 則 ARAAR T 證明證明 1 不妨設(shè) r a 21 與 l 21 分別是 s a 21 與 t 21 的極大 線性無關(guān)組 則 s a 21 與 t 21 等價(jià) r a 21 與 l 21 等價(jià) r a 21 與 l 21 都是 21s a t 21 的極大線性無關(guān)組 21s aR 21t R 21s aR 21t 2 若x 使0Ax 則必使0 T A Ax 又若x 使0 T A Ax 則必使0 TT x A Ax 即 0 T AxAx 0Ax 亦即 0Ax 因此 齊次線性方程組0Ax 與0 T A Ax 同解 所以 ARAAR T 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20200 09 9 20201010 學(xué)年學(xué)年 第第二二學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 15 分 設(shè)矩陣 3142 2401 2222 1043 A 求矩陣A第四行元素余子式 之和 解解 44434241 MMMM 44434241 AAAA 3 分 1111 2401 2222 1043 10 分 0 15 分 二 20 分 已知向量組 2 1 1 1 a 1 2 2 0 2 3 b 與向量組 3 2 1 1 3 1 2 2 6 7 1 3 有相同的秩 且向量 3 可由向量組 321 線性表示 求參數(shù)ba 的值 解解 由于 3 可由向量組 321 線性表示 且 0633 712 2121 3321 b 6330 4550 2121 b 6000 2110 2121 b 5 分 所以6 b 且 321 的秩為 2 10 分 依題意 向量組 321 的秩為 2 于是 0284 02 611 221 321 a a 15 分 所以6 7 ba 20 分 三 15 分 設(shè) n 階方陣A的各行元素之和為零 A的伴隨矩陣OA 求齊次線性方程組0 xA的通解 解解 由于OA 所以存在代數(shù)余子式0 ij A 故1 nAR 5 分 由于A的各行元素之和為零 所以0 A 故 1 nAR 8 分 所以1 nAR 0 xA的解空間是一維的 10 分 A的各行元素之和為零 即0 1 1 1 T A 因此 向量 T 1 1 1 是0 xA的 一個(gè)基礎(chǔ)解系 方程組的通解為 12 分 Rkkx 15 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 20 分 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 22 xxxaxxxxxf 可以經(jīng)過正交 變換yQx 化成標(biāo)準(zhǔn)形 2 3 2 2321 22 yyxxxf 求數(shù)a和正交矩陣Q 解解 二次型的矩陣 200 01 011 aA A的特征值為2 0 321 5 分 由特征值性質(zhì) 有43 a 所以1 a 10 分 由于 200 011 011 A 000 100 011 所以屬于特征值0 1 的特征向量為 T e 0 2 1 2 1 1 13 分 由于 000 011 011 2EA 000 000 011 所以屬于特征值2 2 的特征向量為 T e 0 2 1 2 1 2 T e 1 0 0 3 18 分 所求正交矩陣為 100 02 12 1 02 12 1 321 eeeQ 20 分 五 15 分 設(shè)四階矩陣A滿足023 23 AAA 且A的秩2 AR 問矩陣A是否與對(duì)角矩陣相似 為什么 解解 由于2 AR 所以 0 是A的 2 重特征值 0 xA的解空間是二維的 即對(duì) 于特征值 0 存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 4 分 另由OEAEAAAAA 2 23 23 可知 矩陣A的另兩個(gè)特征值只能是 1 或 2 1 如果 1 和 2 都是矩陣A的特征值 則矩陣A有 4 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 因此與對(duì)角矩陣相似 8 分 2 若 2 不是矩陣A的特征值 則EA2 可逆 于是OEAA 4 EARAR 2 EAR 故 1 是矩陣A的特征值 且對(duì)于特征值 1 存 在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 于是 A有 4 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 A與對(duì)角矩陣相似 12 分 3 同理 若 1 不是A的特征值 則 2 是矩陣A的特征值 且對(duì)于特征值 2 存 在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量 于是 A有 4 個(gè)線性無關(guān)的特征向量 A與對(duì)角矩陣相似 總之 在已知條件下 矩陣A必與對(duì)角矩陣相似 15 分 六 15 分 某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為 6 歲 將其分 成三個(gè)年齡組 第一組 0 2 歲 第二組 3 4 歲 第三組 5 6 歲 動(dòng)物從第 二年齡組起開始繁殖后代 經(jīng)過長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì) 第二組和第三組的繁殖率分別為4和3只 第一年齡和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為 1 2 和 1 4 假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各 1000 只 問 6 年后農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡組的動(dòng)物各有 多少只 解解 記k2年后三個(gè)年齡組的動(dòng)物只數(shù)分別為 kkk zyx 則有 1 2 1 kk xy 1 4 1 kk yz 11 34 kkk zyx 3 2 1 k 5 分 即 1 1 1 04 10 002 1 340 k k k k k k z y x z y x 且 1000 1000 1000 0 0 0 z y x 10 分 所以 250 500 7000 1000 1000 1000 04 10 002 1 340 1 1 1 z y x 125 3500 2750 250 500 7000 04 10 002 1 340 2 2 2 z y x 875 1375 14375 125 3500 2750 04 10 002 1 340 3 3 3 z y x 即 6 年后農(nóng)場(chǎng)有 0 2 歲動(dòng)物 14375 只 3 4 歲動(dòng)物 1375 只 5 6 歲動(dòng)物 875 只 2 2 15分 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20201010 20201 11 1 學(xué)年學(xué)年 第第一一學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 15 分 設(shè)矩陣 400 023 012 A 矩陣B滿足EBAABA 1 2 其中 A 是 A的伴隨矩陣 1 A是 A的逆矩陣 E是單位矩陣 求矩陣B的行列式 B 解解 由于 A 4 所以 A A 4E 于是有 ABAB 24 即ABEA 24 5 分 4 24 ABEA 10 分 又由于168 24 EA 所以 13 分 42 1 B 15 分 二 20 分 t 取何值時(shí) 向量組 2 1 1 1 0 1 2 2 與向量組 t 2 1 1 2 0 3 2 等價(jià) 等價(jià)時(shí)求出相互線性表示式 解解 由于 202 0211 3121 2121 t 2420 3330 3121 t 0200 1110 3121 t 5 分 所以 當(dāng) t 2 時(shí)兩個(gè)向量組等價(jià) 10 分 由于當(dāng) t 2 時(shí) 有 0000 1110 3121 2121 0000 1110 1101 0000 102 12 1 012 12 1 15 分 所以 211 2 1 2 1 212 2 1 2 1 211 212 20 分 三 15 分 在線性空間 3 xR中定義內(nèi)積 1 1 dxxgxfxgxf 求 3 xR的一組正交基 解解 2 321 1xx 是 3 xR的一組基 將其正交化得 1 11 4 分 x 1 11 12 22 8 分 1 11 13 33 3 1 2 2 22 23 x 12 分 321 即是 3 xR的一組正交基 15 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 20 分 已知線性方程組 1 2432 132 4321 4321 4321 xbxaxx xxxx xxxx 有三個(gè)線性無關(guān)的 解 求ba 的值和方程組的通解 解解 由于線性方程組bxA 有 3 個(gè)線性無關(guān)的解 所以齊次線性方程組0 xA 至 少有 2 個(gè)線性無關(guān)的解 因此0 xA的解空間至少是二維的 故 4 R A 2 顯然 R A 2 所以 R A 2 5 分 又由于 111 24132 13121 ba bA 02120 02110 13121 ba 0010 02110 11101 ba 所以0 1 ba 通解為 15 分 Rcccx cx ccx ccx 2124 13 212 211 2 1 20 分 五 15 分 設(shè)三階矩陣A的各行元素之和都等于 3 且向量 T 0 1 1 1 T 2 1 1 2 都是齊次方程組0 xA的解 求矩陣A 解解 由A各行元素之和都等于 3 得 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 A 所以 3 是 A 的特征值 屬 于 3 的特征向量為 T 1 1 1 3 3 分 又由于 T 0 1 1 1 T 2 1 1 2 都是齊次方程組0 xA的解 知 0 是 A 的二 重特征值 且 T 0 1 1 1 T 2 1 1 2 是屬于 0 的兩個(gè)特征向量 8 分 又由于 321 正交 單位化后得正交矩陣 3 1 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 Q 10 分 所以 T QQA 3 0 0 111 111 111 15 分 六 15 分 已知三家相互關(guān)聯(lián)的股份制公司 X Y 和 Z 其中 X 公司持 有 X 公司 70 股份 持有 Y 公司 20 股份 持有 Z 公司 30 的股份 Y 公司持有 Y 公司 60 股份 持有 Z 公司 20 股份 Z 公司持有 X 公司 30 的股份 持有 Y 公司 20 股份 持有 Z 公司 50 股份 現(xiàn)設(shè) X Y Z 公司各自的營(yíng)業(yè)凈收入分別是 22 萬元 6 萬元 9 萬元 每家公司的總收入是其凈收入加上在其他公司的股份按 比例的提成收入 試求各公司的總收入及各公司的實(shí)際收入 解解 設(shè) X Y Z 三公司的總收入分別為 x y z 則有 yxz zy zyx 2 03 09 2 06 3 02 022 或 92 03 0 62 0 223 02 0 zyx zy zyx 5 分 由于 912 03 0 62 010 223 02 01 16 17858 0 00 62 010 2 2334 0 01 20100 10010 30001 所以 x 30 萬元 y 10 萬元 z 20 萬元 10 分 X 公司的實(shí)際收入為 0 7x 21 萬元 Y 公司的實(shí)際收入為 0 6y 6 萬元 Z 公司的實(shí)際收入為 0 5z 10 萬元 15 分 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20201010 20201 11 1 學(xué)年學(xué)年 第第二二學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 15 分 設(shè)三階矩陣 321 A 332321 4 3 32 B 且A的行列式1 A 求矩陣B的行列式 B 解解 因?yàn)?332321 4 3 32 B 413 031 002 321 所以 24 413 031 002 AB 二 20 分 設(shè)向量組 2 1 1 1 1 1 2 2 a 2 1 3 線性相關(guān) 向量 b 1 3 可由向量組 321 線性表示 求ba 的值 解解 由于 ba12 1211 3121 321 6230 4330 3121 ba 2100 4330 3121 ba 所以 2 1 ba 三 15 分 證明由所有二階實(shí)對(duì)稱矩陣組成的集合 V 是 R2 2的子空間 并試在 V 上定義內(nèi)積運(yùn)算 使 V 成為歐幾里得空間 并給出 V 的一組正交基 解解 顯然 V 是 R2 2的子集 且對(duì)于任意 RkV bb bb B aa aa A 2212 1211 2212 1211 都有 22221212 12121111 V baba baba BA V kaka kaka kA 2212 1211 所以 V 是 R2 2的子空間 對(duì)于任意V bb bb B aa aa A 2212 1211 2212 1211 定義內(nèi)積 A B 222212121111 bababa 顯然滿足 A B B A A B C A C B C kA B k A B A A 0 且 A A 0 當(dāng)且僅當(dāng) A O 00 01 1 A 01 10 2 A 10 00 3 A是 V 的一組正交基 注 內(nèi)積和正交基都是不唯一的 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 20 分 已知三階矩陣A的伴隨矩陣 333 222 111 A 求齊次線性 方程組0 xA的通解 解解 由于OA 且1 AR 所以 R A 2 0 xA的解空間是 1 維的 由OEAAA 可知 A 的列向量是0 xA的解 于是 1 2 3 T是 0 xA 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 通解為 Rkkx 3 2 1 五 15 分 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A滿足AA2 2 向量 T 0 1 1 是 齊次方程組0 xA的一個(gè)基礎(chǔ)解系 求矩陣 A 解解 由0 xA的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)解可知 A 的秩為 2 由AA2 2 知 A 的特征值只能為 2 或 0 所以 A 的三個(gè)特征值為 2 2 0 由0 A知 是屬于特征值 0 的特征向量 由于 A 的屬于特征值 2 的特征向量必與 正交 所以特征值 2 的特征向量 可取為 T 0 1 1 1 T 1 0 0 2 構(gòu)造正交矩陣 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 Q 則 T QQA 010 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 2 0 2 1 2 1 100 0 2 1 2 1 200 011 011 六 15 分 某倉(cāng)庫(kù)有 A B C 三種物品若干件 現(xiàn)按下述方案進(jìn)行采購(gòu) 購(gòu)進(jìn)原 B 物品件數(shù) 30 和原 C 物品件數(shù) 50 的 A 物品 購(gòu)進(jìn)原 A 物品件數(shù) 30 的 B 物品 購(gòu)進(jìn)原 B 物品件數(shù) 60 的 C 物品 試建立采購(gòu)前后倉(cāng)庫(kù) A B C 三種物 品件數(shù)間的關(guān)系式 若采購(gòu)后倉(cāng)庫(kù) A B C 三種物品件數(shù)分別為 290 330 380 求采 購(gòu)前倉(cāng)庫(kù) A B C 三種物品的件數(shù) 解解 記采購(gòu)前倉(cāng)庫(kù) A B C 三種物品件數(shù)分別為 000 zyx 采購(gòu)后倉(cāng)庫(kù) A B C 三種物 品件數(shù)分別為 111 zyx 則按題意有 001 001 0001 6 0 3 0 5 03 0 zyz yxy zyxx 即 0 0 0 1 1 1 16 00 013 0 5 03 01 z y x z y x 所以 當(dāng)380 330 290 111 zyx時(shí) 有 380 330 290 16 00 013 0 5 03 01 1 0 0 0 z y x 200 300 100 380 330 290 91 0 6 018 0 15 0 13 0 5 001 即采購(gòu)前倉(cāng)庫(kù) A B C 三種物品的件數(shù)分別為 100 300 200 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20201 11 1 20201 12 2 學(xué)年學(xué)年 第第一一學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 15 分 設(shè)三階矩陣 A的行列式4 A 求行列式 1 6 1 AA 的值 其中 A 是矩陣A的伴隨矩陣 解解 1 6 1 AA 1 1 46AA 1 2 A2 4 1 23 二 20 分 設(shè)向量 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 4 5 1 1 a 9 2 2 3 1 3 b 問 1 ba 滿足什么條件時(shí)矩陣 321 A與 321 B等價(jià) 2 ba 取何值時(shí)向量組 321 與 321 等價(jià) 解解 1 由于 211 112 121 A 000 330 121 000 110 121 所以2 AR 34 95 121 a bB 180 510 121 a b 5 8 100 510 121 ba b 所以 當(dāng) 0 5 8 1 ba 時(shí) 2 BR 矩陣BA 等價(jià) 2 由于 34211 95112 121121 a bBA 223330 253330 121121 a b 470000 253330 121121 ba b 所以 當(dāng)4 7 ba時(shí) 向量組 321 與 321 等價(jià) 三 15 分 設(shè) T 0 1 1 V 表示標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積下與向量 正交的所有三維 向量組成的集合 證明 V 是 R3的子空間 并求 V 的一組基和維數(shù) 解解 設(shè)RkV 則有0 0 于是 0 0 k 即 VkV 所以 V 是 R3的子空間 又由于與 正交的向量 T xxx 321 滿足 0 21 xx 所以 V 是 2 維向量空間 T 0 1 1 1 T 1 0 0 2 是 V 的一組基 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 15 分 設(shè) 54321 A 其中 5 4 3 2 1i i 是 n 維列向量 已知0 xA的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 TT 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 21 求 54321 的一個(gè)極大線性無關(guān)向量組 解解 由于0 xA的基礎(chǔ)解系含兩個(gè)解向量 所以3 AR 又由于 TT 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 21 是0 xA的基礎(chǔ)解系 即解 所以 02 31 0 41 表明 43 可由 1 線性表示 因此 521 線性無關(guān) 即是 54321 的一個(gè) 極大線性無關(guān)向量組 五 20 分 已 知 3 元 二 次 型xAxf T 可 經(jīng) 過 正 交 變 換 化 為 2 3 2 2 2 1 2yyyf 又知 A 其中 A是A的伴隨矩陣 T 1 1 1 求二次 型xAxf T 解解 已知條件表明矩陣A的特征值為 1 2 32 1 于是2 A 由EEAAA2 A 得 2 A 即 是矩陣A屬于特征值 2 的特 征向量 由于矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣 所以矩陣A屬于特征值1 32 的特征向量與 正交 可取屬于 1 的特征向量為 T 1 0 1 T 1 2 1 將 單位化 得正交矩陣 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 Q 且有 011 101 110 T QQA 所以二次型為 2 323121 xxxxxxxAxf T 六 15 分 一個(gè)混凝土生產(chǎn)企業(yè)可以生產(chǎn)出三種不同型號(hào)的混凝土 它 們的具體配方比例如下表所示 型號(hào) 1 混凝土 型號(hào) 2 混凝土 型號(hào) 3 混凝土 水 10 10 10 水泥 20 18 12 砂 20 25 15 石子 10 5 15 灰 0 2 8 現(xiàn)在有二個(gè)用戶要求混凝土中含水 水泥 砂 石子及灰的比例分別為 10 16 21 9 4 和 12 16 19 9 4 那么 能否用這三種型號(hào)的混凝土配出滿足用戶要求的混凝土 如能配出 需要這種混凝土 50 噸 問三種混凝土各需要多少噸 解解 由于 44820 9915510 1921152520 1616121820 1210101010 44820 31550 51550 84820 1210101010 00000 80000 2592500 42410 1210101010 所以可以配出滿足用戶一要求的混凝土 但配不出滿足用戶二要求的混凝土 又由于 00000 10000 125 9100 42410 8 21301 00000 10000 025 9100 025 14010 025 2001 所以 若用戶一需要混凝土 50 噸 則三種混凝土分別需要 4 噸 28 噸 18 噸 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷答案 20201 11 1 20201 12 2 學(xué)年學(xué)年 第第二二學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 15 分 設(shè)矩陣 322 222 221 A 求 1 A 其中 A是矩陣A的伴隨矩陣 解 解解 由于02 A 所以A可逆 于是 5 分 11 2 AAAA 10 分 所以 2 311 111 112 1 2 1 1 AA 15 分 二 15 分 設(shè)向量 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 a 9 2 問 a取 何值時(shí)向量 可由向量組 321 線性表示 表示式是否唯一 并求表示式 解解 由于 a211 9112 2121 321 2330 5330 2121 a 7000 3 5110 3 16101 a 5 分 所以 當(dāng)7 a時(shí) 向量 可由向量組 321 線性表示 且表示式不唯一 10 分 表示式為 Rkkkk 3 5 3 16 321 15 分 三 15 分 證明 Rcba c bcbaa V 00 是 32 R的子空間 求 V 的一組基和維數(shù) 并在V上定義內(nèi)積運(yùn)算 使V成為歐幾里得空間 不用證明 解解 顯然 V 是 32 R的子集 且對(duì) 00 1 11111 c bcbaa A RkV c bcbaa B 00 2 22222 都有 V cc bbccbbaaaa BA 00 21 2121212121 V kc kbkckbkaka kA 00 1 11111 所以V是 32 R的子空間 而 5 分 000 011 000 110 010 010 是 V 的一組基 維數(shù)是 3 10 分 定義內(nèi)積 212121 ccbbaaBA 則V是歐幾里得空間 15 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 20 分 設(shè) 3 階非零矩陣A滿足OAB 其中 413 112 121 B 求齊次線性方程組0 xA的通解 解解 由OAB 得3 BRAR 且B 的列向量都是0 xA的解 5 分 由于 413 112 121 B 770 330 121 000 330 121 所以2 BR 10 分 由于 A是非零矩陣 所以1 AR 齊次線性方程組0 xA的解空間是 2 維 的 15 分 因此 齊次線性方程組0 xA的通解為 1 1 2 3 2 1 2121 Rccccx 20 分 五 20 分 設(shè)n階方陣A B滿足BAAB 且矩陣A有n個(gè)互異的特 征值 證明 1 矩陣A的特征向量都是矩陣B的特征向量 2 矩陣B與對(duì)角矩陣相似 證明證明 1 記A的特征值和特征向量分別為 n1 和 n1 則 n1 線性無關(guān) 且niA iii 2 1 5 分 若0 i B 則 i 是B屬于特征值 0 的特征向量 10 分 若 0 i B 則有 i AB iii BAB 所以 ii B 也是A屬于 i 的特征向量 于是 i B ii k 即 i 是B屬于特征值 i k的特征向量 所以 1 2 i in 也是B的特征向量 15 分 2 由于矩陣B有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 所以B與對(duì)角矩陣相似 20 分 六 15 分 下圖是某一地區(qū)的公路交通網(wǎng)絡(luò)圖 所有道路都是單行路 且 道路上不能停車 通行方向用箭頭標(biāo)明 標(biāo)示的數(shù)據(jù)為每小時(shí)進(jìn)出網(wǎng)絡(luò)的車輛數(shù) 試 求每小時(shí)通過各干道的車流量 例如 表示每小時(shí)通過干道 AB 的車輛數(shù)等 并 簡(jiǎn)單解釋你得到的結(jié)果 解解 由已知得 vu zu zy yx vx 500 300 400 200 400 即 500 300 400 200 400 vu uz zy yx vx 5 分 其通解為 Rc cv cu cz cy cx 500 200 600 400 10 分 由于車流量不能取負(fù)值 所以參數(shù)c應(yīng)滿足 600500 c 顯然 如果500 c 說明由 A 口入的 400 輛車全部由 E 口出 由 B 口入 C 口 出的 100 輛車全部走的 B C 通道 如果500 c 說明由 A 口入的 400 輛車有一部分 是從 C 口出的 也有可能 B 口入的車有一部分走 B A E D C 繞行的 15 分 2 2 v u z y x 400 400 200 300 500 A B C D E 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20201 12 2 20201 13 3 學(xué)年學(xué)年 第第一一學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 5 分 已知 5 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A滿足AA 2 且秩3 AR 求矩陣AE 2的行列式 2det AE 解解 因?yàn)锳A 2 所以 A 的特征值只能是 0 和 1 另因3 AR 所以矩陣 A 的 特征值為 1 1 1 0 0 3 分 于是 矩陣 2E A 的特征值為 1 1 1 2 2 4 分 所以 422111 2det AE 5 分 二 5 分 設(shè)向量組 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 和向量組 1 3 2 1 1 3 2 b a 3 1 3 秩相等 且 3 可由 321 線性表示 求ba 的值 解解 因?yàn)?3 可由 321 線性表示 且 a211 3112 1121 3321 2000 1330 1121 a 所以2 a 3 分 由于 211 33 132 321 b b600 110 211 且2 321321 RR 所以6 b 故6 2 ba 5 分 三 5 分 設(shè) 321 是 3 R的一組基 求由基 321 3 1 2 1 到基 133221 的過渡矩陣 解解 由于 31 21 1 3 1 2 1 321321 1 分 133221 110 011 101 321 2 分 所以 122331123 101 110 011 123 1101 11 2110 23 3011 3 分 所求過渡矩陣為 3 2 1 C 110 011 101 330 022 101 5 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 5 分 為何值時(shí) 線性方程組 22 12 4321 4321 xxxx xxxx 和 421 4321 122 xxx xxxx 有公共解 并求出所有公共解 解解 公共解既是聯(lián)合方程組的解 于是由 1 分 1011 11122 21121 12111 0000 13100 11210 12111 0000 13100 35010 36001 可知 當(dāng) 0 時(shí) 兩個(gè)方程組有公共解 且全部的公共解為 3 分 Rk kx kx kx kx 31 53 63 4 3 2 1 5 分 或?qū)懗?1 3 5 6 0 1 3 3 Rkkx 5 分 五 5 分 問a為何值時(shí)矩陣 aa A 22 132 003 與對(duì)角矩陣相似 解解 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 2 300 231 3 3 22 3 2 1 22 EAaaa aa 所以矩陣 A 的 3 個(gè)特征值為 3 2 1 a 2 分 當(dāng)1 a且2 a時(shí) A 有 3 個(gè)不同的特征值 故 A 必與對(duì)角矩陣相似 3 分 當(dāng)1 a時(shí) 矩陣 A 有二重特征值 2 由于 112 112 001 2AE 000 110 001 所以 R 2E A 2 屬于特征值 2 的線性無關(guān)特征向量只有 1 個(gè) 故 A 不能與對(duì)角 矩陣相似 4 分 當(dāng)2 a時(shí) 矩陣 A 有二重特征值 3 由于 102 102 000 3AE 000 000 102 則 R 3E A 1 屬于特征值 3 有 2 個(gè)線性無關(guān)特征向量 故 A 與對(duì)角矩陣相似 因此 只要1 a 矩陣 A 必與對(duì)角矩陣相似 5 分 六 5 分 某人將 10 萬元投給甲 乙 丙 3 個(gè)公司 共獲利潤(rùn) 1 79 萬元 已知投給甲的錢等于投給乙和丙的錢數(shù)之和 且甲 乙 丙 3 個(gè)公司的利潤(rùn)率分別為 22 15 12 問此人分別投給甲 乙 丙 3 個(gè)公司多少錢 解解 設(shè)此人投給甲 乙 丙三個(gè)公司分別zyx 萬元 則 79 1 12 0 15 0 22 0 0 10 zyx zyx zyx 3 分 由于 79 112 015 022 0 0111 10111 06 003 0 00 5110 5001 2100 3010 5001 所以2 3 5 zyx 即 此人投給甲公司 5 萬元 投給乙公司 3 萬元 投給丙公司 2 萬元 5 分 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20201 12 2 20201 13 3 學(xué)年學(xué)年 第第二二學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 5 分 已知 3 階非零矩陣A滿足 T AA 其中 A為矩陣A的伴隨矩 陣 T A為矩陣A的轉(zhuǎn)置 求矩陣A的第一行元素的平方和 2 13 2 12 2 11 aaa 解解 由EAAAAA T 得 32 AA 故0 A或1 A 2 分 另由EAAAT 又得3 2 1 2 3 2 2 2 1 iAaaa iii 所以 由OA 必有0 A 故1 A 于是 4 分 1 2 13 2 12 2 11 aaa 5 分 二 5 分 問ba 為何值時(shí) 向量 b a 1 1 和 ba 0 3 2 都能由向量組 1 2 1 1 1 1 2 2 線性表示 并求出線性表示式 解解 由于 bab a 11 012 3121 2121 3100 6230 3121 baba a 所以當(dāng)21 ba時(shí) 向量 1 和 2 都能由向量組 1 2 線性表示 3 分 又由于 2121 3100 6230 3121 baba a 0000 2110 1101 所以 1 21 2 21 2 5 分 三 5 分 設(shè) 5662 4331 4152 3221 A 求齊次線性方程組0 xA的通解 其中 A是矩陣A的伴隨矩陣 解解 由于 5662 4331 4152 3221 A 11020 1510 2510 3221 0000 3000 2510 3221 1 分 所以3 AR 0 A 2 分 于是 由OAA 得1 AR 3 分 因此 0 xA的基礎(chǔ)解系有 3 個(gè)解 4 分 由于A的列向量都是0 xA的解 所以0 xA的通解為 5 4 4 3 6 3 5 2 2 1 2 1 321321 Rccccccx 5 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 5 分 已知 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A不可逆 且滿足 10 12 12 10 11 11 A 求矩陣 A 解解 已知條件表明 0 1 1 2 0 1 1 A 1 1 1 1 1 1 A 1 分 所以2 1 1 2 是A的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量為 0 1 1 和 1 1 1 2 分 由A不可逆 知0 3 是A的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量則為 2 1 1 3 分 取正交矩陣 6 23 10 6 13 12 1 6 13 12 1 Q 得 4 分 3 13 13 1 3 13 43 2 3 13 23 4 T QQA 111 142 124 3 1 5 分 五 5 分 給出線性空間 Rcba c ba V 0 的維數(shù)和一組基 并寫出V上線性變換 A A AT在這組基下的矩陣 解解 線性空間 Rcba c ba V 0 的維數(shù)是 3 1 分 一組基為 00 01 00 10 01 00 3 分 線性變換 A A AT在這組基下的矩陣為 010 100 001 5 分 六 5 分 密碼是一種保密通信技術(shù) 矩陣秘密法是一種常用編碼技巧 其中 一種方法是將明文矩陣 A 前面乘以一個(gè)加密矩陣 P 使其變成密文矩陣 PA 現(xiàn)取加密矩 陣 32 2 31 1 12 PPPP 得到密文矩陣 2433 10141410 61397 求明文矩陣 A 注 32 2 31 1 12 PPP 都是 3 階初等矩陣 解解 已知條件表明 2433 10141410 61397 PA 所以 2433 10141410 61397 1 PA 2 分 于是 2433 10141410 61397 1 12 2 31 32 PPPA 3 分 2433 4153 61397 2 31 32 PP 2433 4153 2531 32 P 4153 2433 2531 5 分 即明文矩陣為 4153 2433 2531 A 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷答案 20201 13 3 20201 14 4 學(xué)年學(xué)年 第第一一學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 5 分 已知 3 階矩陣A滿足0 52 EA 且1 2 EAR 其中E 為矩陣A的伴隨矩 為 3 階單位矩陣 求矩陣A的行列式 A 解解 由0 52 EA知 A 的 1 個(gè)特征值 2 5 1 2 分 由1 2 EAR知 A 的 2 個(gè)特征值2 32 4 分 所以 A10 321 5 分 二 5 分 問ba 為何值時(shí) 向量 1 1 1 a 和 3 0 2 2 與向量組 1 1 3 1 b 1 2 2 等價(jià) 并將 21 用 21 線性表示 解解 由于 b a 131 110 2321 2121 2410 213120 2321 b aaa aaba b b 62111100 2410 261101 1 分 所以當(dāng) 2 5 11 1 ba時(shí) 21 與 21 等價(jià) 且有 3 分 211 411 212 2 9 11 5 分 三 5 分 設(shè) 3 階矩陣A第一行元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為1 11 a 3 12 a 3 1 3 2 13121113 AAAa 求齊次線性方程組0 xA的通解 解解 0 131312121111 AaAaAaA 1 分 又由于0 11 A 所以2 AR 2 分 于是 0 xA的解空間是 1 維的 3 分 由OEAAA 知 T 3 1 3 是0 xA的非零解 4 分 所以0 xA的通解為 Rccx 3 1 3 5 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 5 分 設(shè)二次型 321 xxxf可經(jīng)過正交變換Qyx 化成標(biāo)準(zhǔn)形 2 3 2 2 2 1321 yyyxxxf 且Q的第三列元素為 2 1 2 1 0 求正交矩陣Q和二次 型 321 xxxf 解解 由已知條件可知 A 的 3 個(gè)特征值分別為1 1 321 1 分 且屬于特征值1 3 的特征向量為 T 0 2 1 2 1 3 而屬于特征值1 21 的特征向量與 T 0 2 1 2 1 3 正交 可取為 T 1 0 0 1 T 0 2 1 2 1 2 2 分 故所求正交矩陣為 321 Q 二次型 321 xxxf的矩陣為 3 分 100 001 010 T QQA 4 分 于是二次型 21 2 3321 2 xxxxxxf 5 分 五 5 分 設(shè) 321 和 321 是向量空間 3 R的兩組基 且滿足 11 212 3213 若向量 在基 321 下的坐標(biāo)為 T 3 2 1 求向量 在基 321 下的坐標(biāo) 解解 由于 321211321 100 110 111 321 1 分 所以 由基 321 到基 321 的過渡矩陣為 100 110 111 C 3 分 向量 在基 321 下的坐標(biāo)為 xCy 1 3 1 1 3 2 1 100 110 111 1 5 分 六 5 分 現(xiàn)有電工 木工 油漆工各一人 按等價(jià)交換原則達(dá)成如下 工作協(xié)議 電工到木工家工作 2 天 到油漆工家工作 4 天 木工到電工家工作 3 天 到油漆工家工作 2 天 油漆工到電工家工作 4 天 到木工家工作 3 天 他們 各自的總收入和總支出恰好相等 求他們的日工資各是多少 假設(shè)他們的日工 資都是介于 70 90 之間的整數(shù) 單位 元 解解 設(shè)電工 木工 油漆工的日工資分別為zyx 元 則有 yxz zxy zyx 247 325 436 即 0724 0352 0436 zyx zyx zyx 2 分 由于 724 352 436 000 13120 352 000 12 13 10 24 29 01 3 分 所以 方程組的通解為 kz ky kx 24 26 29 Rk 4 分 由于zyx 是介于 70 90 之間的整數(shù) 所以 元72 元78 元87 zyx 5 分 2 2 東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷 A 卷 20201 13 3 20201 14 4 學(xué)年學(xué)年 第第二二學(xué)期學(xué)期 課程名稱 課程名稱 線性代數(shù)線性代數(shù) 共 共 2 2 頁(yè) 頁(yè) 一 5 分 設(shè) 200 053 021 A 矩陣B滿足EBAABA 1 求矩陣B的 行列式 B 其中 A是 A的伴隨矩陣 1 A 是 A的逆矩陣 解解 因?yàn)? A EBAABA 1 所以 ABAB 2 即ABEA 2 2 分 于是 2 ABEA 而 60 2 EA 所以 30 1 B 5 分 二 5 分 設(shè) 2 1 1 a 1 1 1 2 b 2 2 3 1 2 1 1 2 5 1 2 1 1 2 3 若矩陣 321 A與 321 B等價(jià) 且 3 可由 321 線性表示 求ba 的值 解解 b121 2152 2211 3321 b000 6330 2211 因 3 可由 321 線性表示 所以2 ARAR 0 b 2 分 又 012 21 211 321 a 410 2210 211 aa a2200 410 211 由 321 A與 321 B等價(jià) 知2 ARBR 所以1 a 5 分 三 5 分 設(shè) 312 111 A 31 21 C 1 求齊次線性方程組0 xA的一個(gè)基礎(chǔ)解系 2 求滿足CAB 的所有矩陣B 解解 1 312 111 A 110 201 所以2 AR 且 T 1 1 2 是0 xA 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 2 分 2 31312 21111 CA 13110 12201 所以CA 00 13 12 即 2 3 0 T 1 1 0 T是特解 滿足CAB 的所有矩陣B為 B即為矩陣方程 AX C 的通解 Rkk kk kk kk B 21 21 21 21 13 2122 5 分 2 1 總分 一 二 三 四 五 六 學(xué) 院 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓 名 密 封 線 四 5 分 設(shè) 300 02 021 A 00 000 003 問 取何值時(shí)A與 相似 滿足何條件時(shí)A與 合同 解解 矩陣 的三個(gè)特征值為 0 3 若 A與 相似 或 A與 合同 則 0 一定是A的特征值 由 0 4 3 A 得4 1 分 當(dāng)4 時(shí) 矩陣A的三個(gè)特征值為5 0 3 所以 當(dāng)5 4 時(shí) A與 相似 3 分 當(dāng)0 4 時(shí) A與 合同 5 分 五 5 分 求線性空間 3 xR中由基x21 x31 2 x 到基2 x 1 2 21xx 的過渡矩陣 解解 由 100 032 011 1 31 21 22 xxxxx 有 1 22 100 032 011 31 21 1 xxxxx 2 分 100 210 112 1 21 1 2 22 xxxxx 1 2 100 032 011 31 21 xxx 100 210 112 100 034 146 31 21 2 xxx 4 分 由基x21 x31 2 x到基2 x 1 2 21xx 的過渡矩陣為 100 034 146 C 5 分 六 5 分 某動(dòng)物園飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為 2 歲 動(dòng)物 從 1 歲起開始繁殖后代 且每歲動(dòng)物最多只繁殖一只動(dòng)物 經(jīng)過長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì) 一歲 動(dòng)物有 4 3 可以繁殖一只動(dòng)物 二歲動(dòng)物有 2 1 可以繁殖一只動(dòng)物 0 歲動(dòng)物有 4 3 可 以存活至一歲 一歲動(dòng)物有 2 1 可以存活至二歲 假設(shè)動(dòng)物園現(xiàn)有 0 歲動(dòng)物 8 只 一歲動(dòng)物 12 只 二歲動(dòng)物 4 只 問一年后和一年前動(dòng)物園這三個(gè)年齡組的動(dòng)物 各有多少只 解解 設(shè)k年后三個(gè)年齡組的動(dòng)物只數(shù)分別為 kkk zyx 由已知條件則有 1 4 3 kk xy 1 2 1 kk yz 11 2 1 4 3 kkk zyx Zk 1 分 即 1 1 1 0