基礎(chǔ)物理實驗緒論知識點總結(jié)(北航版).pdf

1 一 誤差的基本知識 1 真值真值 被測量在其所處的確定條件下 實際具有的量值 通常記為 A 公認(rèn)值 如物理常數(shù)等 標(biāo)準(zhǔn)值 更高精度儀器測量結(jié)果 理論值 理論公式計算結(jié)果 約定真值 2 絕對誤差絕對誤差 測量值與真值之差 因此既有大小 又有方向 正負(fù) 記為 NNA 其中 N 為測量結(jié)果 A 是被測量的真值 3 相對誤差相對誤差 絕對誤差與真值之比 記為 100 NNA E AA 4 誤差的分類 系統(tǒng)誤差 隨機(jī)誤差和粗大誤差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在同一被測量的多次測量過程中 保持恒定或以可預(yù)知方式變化的那一部 分誤差分量稱為系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差的特點是 確定規(guī)律性確定規(guī)律性 已被確切掌握了其大小和符號的系統(tǒng)誤差 稱為可定系統(tǒng)誤差可定系統(tǒng)誤差 可消除或修正 對大小和符號不能確切掌握的系統(tǒng)誤差 稱為未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差 難以修正 只能估計 取值范圍 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 在同一測量條件下 多次測量同一量時 以不可預(yù)知的方式變化的那一部 分誤差稱為隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差的特點是 單個具有隨機(jī)性 總體服從統(tǒng)計規(guī)律單個具有隨機(jī)性 總體服從統(tǒng)計規(guī)律 粗大誤差粗大誤差 由于測量系統(tǒng)偶然偏離所規(guī)定的測量條件和方法或在記錄 計算數(shù)據(jù)時出 現(xiàn)失誤而產(chǎn)生的誤差稱為粗大誤差 簡稱粗差 or 過失誤差 本質(zhì) 測量錯誤 不應(yīng)當(dāng)把有某種異常的觀測值都作為粗大誤差來處理 因為它可能是數(shù)據(jù)中固有的隨 機(jī)性的極端情況 在一定的實驗條件下 三類誤差有自己的內(nèi)涵和界限 但當(dāng)條件改變時 彼此又可互相 轉(zhuǎn)化 比如 由于溫度變化造成的誤差在短時間內(nèi)可以看成是系統(tǒng)誤差 而在長時間內(nèi) 則宜作速記誤差處理 總之 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差并不存在絕對的界限 5 精密度精密度 表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度 正確度正確度 表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度 2 準(zhǔn)確度 準(zhǔn)確度 or 精確度 精確度 表示測量結(jié)果與被測量的 約定 真值之間的一致程度 二 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計處理 此部分內(nèi)容 請仔細(xì)閱讀 基礎(chǔ)物理實驗 修訂版 北京航空航天大學(xué)出版社 簡稱 教材 的 P10 P13 服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有的四個特點 單峰性 對稱性 有界性 抵償性 1 標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)差 2 lim i k xA k 因為真值 A 不可知 且測量次數(shù) k 為有限次 因此 實際 上也不可知 于是用標(biāo)準(zhǔn)偏差 S 代替標(biāo)準(zhǔn)差 單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差 2 1 i xx S x k 結(jié)果表述 i xS x 置信概率 68 3 真值的估計值 單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值 S x 的物理意義 在有限次測量中 每個測量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差 2 平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 真值的最佳估計值是平均值 故結(jié)果應(yīng)表述為 xS x 置信概率 68 3 真值的最佳估計值 平均值的標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計值 其中 2 1 i i xx S x k k 平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 例題 某觀察量的 n 次獨立測量的結(jié)果是 12 n x xx 試用方差合成公式證明平均值的標(biāo) 準(zhǔn)偏差是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的 1 n 即 S X S X n 解 i x x n 由題意知 i x相互獨立 則根據(jù)方差合成公式有 22 1 n uxux u x n 利用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義 可知 1 2 i U xS xin 故有 222 SxSxnSxS x u xS x nnn 3 三 儀器誤差限 1 儀器誤差 限 儀器誤差 限 由國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計量器具的允許誤差或允許基本 誤差 經(jīng)過適當(dāng)簡化稱為儀器誤差限 用以代表常規(guī)使用中儀器示值和 作用在儀器上 的 被測真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差 2 常用儀器的儀器誤差 限 詳細(xì)參見教材 P13 P18 和教材 P60 P62 長度測量儀器 游標(biāo)卡尺的儀器誤差限按其分度值估計 鋼板尺 螺旋測微計的儀器 誤差限按其最小分度的 1 2 計算 指針式儀表 a m N 儀 式中 m N是電表的量程 a是準(zhǔn)確度等級 數(shù)字式儀表 a xm NbN 儀 或 a x Nn 儀 字 式中 a 是數(shù)字式電表的準(zhǔn) 確度等級 x N是顯示的讀數(shù) b 是誤差的絕對項系數(shù) m N是儀表的滿度值 n 代表 儀器固定項誤差 相當(dāng)于最小量化單位的倍數(shù) 電阻箱 0 a ii i RR 儀 式中 0 R是殘余電阻 i R是第 i 個度盤的示值 ai是相 應(yīng)電阻度盤的準(zhǔn)確度級別 直流電位差計 0 a 10 x U U 儀 式中 a 是電位差計的準(zhǔn)確度級別 x U是標(biāo)度盤示 值 0 U是有效量程的基準(zhǔn)值 規(guī)定為該量程中最大的 10 的整數(shù)冪 直流電橋 0 a 10 x R R 儀 式中 x R是電橋標(biāo)度盤示值 a 是電橋的準(zhǔn)確度級別 0 R是有效量程的基準(zhǔn)值 意義同上 4 四 不確定度 1 不確定度不確定度 測量結(jié)果帶有的一個參數(shù) 用以表征合理賦予被測量值的分散性 一個完整的測量結(jié)果應(yīng)該包括被測量的估計和分散性參數(shù)兩部分 A A 類不確定度類不確定度 對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析而獲得的不確定度分量 B B 類不確定度類不確定度 用非統(tǒng)計方法獲得的不確定度分量 2 采用統(tǒng)計方法評定的 A 類分量 教材 P19 2 2 2 11 i i xx xx S x k kk 其中 2 2 i i x x k 3 采用其他方法評定的 B 類分量 根據(jù)實際條件估算誤差限 根據(jù)理論公式或?qū)嶒灉y定來推算誤差限 根據(jù)計量部門 制造廠或其他資料提供的檢定結(jié)論或誤差限 通常情況下 B 類分量在許多場合以誤差限 b 的形式出現(xiàn) 在不確定度的計算中 常常 需要它的標(biāo)準(zhǔn)差 b u的信息 兩者的關(guān)系為 b b u K 式中 K 是一個與該分量分布有關(guān) 的常數(shù) 稱為包含因子 對于正態(tài)分布而言 3K 誤差限對應(yīng) 0 9973 的置信概率 對于均勻分布而言 3K 兼顧保險和教學(xué)訓(xùn)練的規(guī)范 人為規(guī)定 除非另有說明 儀器誤差限和近似標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)除非另有說明 儀器誤差限和近似標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān) 系在缺乏信息的情況下 按系在缺乏信息的情況下 按均勻分布均勻分布 近似處理 即近似處理 即 3 b b u 不確定度評定是以統(tǒng)一的觀點來處理誤差的 A 類和 B 類只說明不確定度評定方法有所不 同 但并不是區(qū)分隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的反映 把 A 類方法理解為對隨機(jī)誤差的處理 而把 B 類方法理解為對系統(tǒng)誤差的處理 是不妥當(dāng)?shù)?教材 P20 4 不確定度的方差合成 教材 P20 21 直接測量量的不確定度合成 5 不確定度的綜合是以方差合成為基礎(chǔ)的 在盡可能地削減或修正了可定系統(tǒng)誤差后 把 余下的全部誤差估計按照 A B 分類 為表示方便 此處寫成向量形式 A 類不確定度 12 aaaai uuuu B 類不確定度 12 bbbbj uuuu 如果他們相互獨立 則合成的不確定度由下式給出 22TT aabbaibj ij uuuuuuu 間接測量量的不確定度合成 此法最為常用 設(shè)間接觀測量F是n個獨立輸入量 直接觀測量 1 2 n x xx的函數(shù) 記為 12 n Ff x xx 則合成不確定度 u F可以寫成 2 22 ii ii i f u Fuux x 關(guān)于上式的幾點說明 ii i f uu x x i u x是輸入量 i x的標(biāo)準(zhǔn)差 它代表 i x的不確定度 若它包含若干 個 A B 類分量 則 i u x可先合成 i f x 是被測量 F 對輸入量 i x的偏導(dǎo)數(shù) 稱為不確定度的傳播系數(shù) 請注意 i u和 i u x的區(qū)別 i u表示輸出量 F 的一個不確定度分量 而 i u x則是輸 入量 i x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 一個特殊情況下的計算公式 當(dāng) 12 n Ff x xx 為乘除或方冪的函數(shù)關(guān)系時 采用相對不確定度可以簡化合成 不確定度的運算 方法是 取對數(shù) 再合成 則有 2 ln i i i u Ff u x Fx 例如 pqr FAx y z 其中 A 是常數(shù) 則有 6 222 u Fpu xqu yru z Fxyz 5 最終結(jié)果表達(dá)形式 Xu X 單位 注意注意 不確定度 u X只保留一位有效數(shù)字 測量結(jié)果X與不確定度 u X的小數(shù)位數(shù)對齊 例題 用分光儀測棱鏡材料的折射率公式為 sin 2 sin 2 A n A 已測得60 02 o A 黃光 汞 燈光源 對應(yīng)的50 583 o 則黃光對應(yīng)的折射率 nu n 解 依題意 有 60 050 58 sinsin 22 1 6479 50 58 sin sin 2 2 oo o A n A 對折射率公式取對數(shù) ln lnsinlnsin 22 AA n 對上式微分 11 1 cos cos 11222 2 2 cotcotcot 22222 sinsin 22 A A dAd dA dnAAA dAd AA n 于是有 2222 11 cotcot cot 42242 u nAAA uAu n 2222 160 050 5860 02180160 050 583180 cotcot cot 422604260 0 0 0 0 4 2 6 故有 1 6479 0 0004260 0007 u n u nn n 最終結(jié)果為 1 64790 0007nu n 更多不確定度的計算 參見教材 P70 P71 P74 P75 P76 6 測量結(jié)果的加權(quán)平均 教材 P328 7 設(shè)進(jìn)行了 n 次不等精度測量 觀測量 X 的 n 次測量結(jié)果為 11 xu x 22 xu x nn xu x 則最佳觀測值x應(yīng)由 2 0 i i i xx xu x 導(dǎo)出 由此可得 2 2 1 i i i i i x ux x ux 2 1 1 i i u x ux 8 五 有效數(shù)字及其運算法則 1 由若干位可靠數(shù)字和一位可疑數(shù)字合起來就構(gòu)成了測量的有效數(shù)字有效數(shù)字 區(qū)別于計量學(xué)中的 有效數(shù)字 2 測量結(jié)果第一位 最高位 非零數(shù)字前的 0 不屬于有效數(shù)字 而非零數(shù)字后面的 0 都是 有效數(shù)字 3 儀器示值有效數(shù)字的讀取 對于直接觀測量 直接讀取儀器示值時 規(guī)定 通?？砂?估讀誤差 來決定數(shù)據(jù)的有 效數(shù)字 即一般可讀至標(biāo)尺最小分度的 1 10 或 1 5 4 有效數(shù)字的運算法則 加減法 以參加運算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準(zhǔn)并與之對齊 記NABCD 則 2222 u NuAuBuCuD 因此取決于 u A u B u C u D中位數(shù)最高者 最后結(jié)果與之對齊 例 5472 3 0 8 12147 36694N 結(jié)果與 1214 對齊 乘除法 以參加運算各量中有效數(shù)字最少的為準(zhǔn) 結(jié)果的有效數(shù)字個數(shù)與該量相同 記 A B C N D 則 2222 u Nu Au Bu Cu D NABCD 因此取決于其中 相對不確定度最大者 即有效數(shù)字個數(shù)最少者 例 80 5 0 0014 3 08326 0 00045 764 9 N 結(jié)果與 0 0014 對齊 混合四則運算 按照前述原則 按部就班進(jìn)行運算 并獲得最后結(jié)果 例 3 7 032 31 54100531 541 10 5 7095 702 A ND BC 特殊函數(shù)的有效數(shù)字 根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原則 在自變量有效數(shù)字末位設(shè) 置一個單位的不確定度 通過微分關(guān)系作傳播處理 具體做法為 先在直接觀測量的最后一位有效數(shù)字位上取 1 個單位作為測量值的不確 定度 再用函數(shù)的微分 公式求出簡介量不確定度所在的位置 最后由它確定有效數(shù)字 的位數(shù) 例 203 25 y 其中 20 是準(zhǔn)確數(shù)字 解 記3 25x 20n 則原式 11 20 3 251 060739 n yx 9 取0 01x 則有 1 4 20 110 01 3 251 63 10 203 25 x yy nx 說明y 的可疑數(shù)字發(fā)生在小數(shù)點后第 4 位 故 1 0607y 有 5 位有效數(shù)字 5 補(bǔ)充例題 例 1 某物理量的計算公式為 k 1 1 6 Y d H 其中 k 為常數(shù) 1 6 為準(zhǔn)確數(shù) 16Hcm 0 1500dcm 若使 Y 的表示式中分母的值具有 4 位有效數(shù)字 正確測 H 的方法是 D A 用游標(biāo)卡尺估讀到 cm 千分位 B 用米尺估讀到 cm 百分位 C 用米尺只讀到 mm 位 D 用米尺只讀到 cm 位 解 1 61 6 0 1500 0 015 16 d H 分母 1 6 11 015 d H 為 4 位有效數(shù)字 即H只需 2 位有效 數(shù)字即可 故應(yīng)選 D 例 2 tan45 21 00116423 o 最多可以有幾位有效數(shù)字 解 令tanyx 其中45 2 o x 取 1 10 00029 60 180 x rad 則 22 11 0 000290 00058 coscos 45 2 yx x 即小數(shù)點后第 4 位產(chǎn)生誤差 t a n 4 5 21 0 0 1 2 o 有 5 位有效數(shù)字 例 3 雙棱鏡測波長的計算公式為 x bb SS 對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的計算結(jié)果如下表所 示 x 0 28144mm b 5 9325mm b 0 7855mm S 27 65cm S 75 90cm u x 2 010 10 4mm b b 0 025 b b 0 025 S 0 5cm S 0 5cm b 0 005mm b 0 005mm S 0 05cm S 0 05cm 注 下標(biāo) 1 代表來自方法誤差 下標(biāo) 2 代表來自儀器誤差 要求 1 給出測量結(jié)果的正確表述 包括必要的計算公式 10 2 定量討論各不確定度的分量中 哪些是主要的 哪些是次要的 哪些是可以忽略 的 如果略去次要因素和可以忽略項的貢獻(xiàn) 不確定度的計算將怎樣簡化 結(jié)果如 何 解 1 4 0 281445 93250 7855 5 86716 10mm 276 5759 0 x bb SS 11 lnlnlnlnln 22 xbbSS d d dddd 22 xbbSS xbbSSSS 22222 0 0111 22 uuxu bu bu Su S xbbSSSS 其中 4 2 010 10 0 000714 0 28144 ux x 111 22 3 10 025 0 00722 222 32 3 30 005 0 000243 222 5 9325 3 u bbb bbb u bb bb 222 12 222 u bu bu b bbb 111 22 3 10 025 0 00722 222 32 3 30 005 0 00184 222 0 7855 3 u bbb bbb u bb bb 222 12 222 u bu bu b bbb 11 22 30 5 0 00279 27 6575 90 3 30 05 0 000279 27 6575 90 3 u SS SSSS u SS SSSS 222 12 u Su Su S SSSSSS 11 22 30 5 0 00279 27 6575 90 3 30 05 0 000279 27 6575 90 3 u SS SSSS uSS SSSS 222 12 u Su Su S SSSSSS 于是得 46 5 86716 100 01116 53 10 u umm 即 5877unm 2 由前面的計算可知 不確定度主要來自 1 2 u b b 和 1 2 u b b 次要因素是 1 u S S S 1 u S S S 和 1 u S SS 可以忽略的因素是 ux x 2 2 u b b 2 u S S S 和 2 u S SS 若只考慮主要項的貢獻(xiàn) 22 111 0 0102 226 u bu bbu bbb 11 則 6unm 因此 5876unm 比嚴(yán)格計算結(jié)果稍小但相差無幾 12 六 實驗數(shù)據(jù)的基本處理方法 1 列表法列表法 按照一定規(guī)律把數(shù)據(jù)列成表格 列表原則 表格的標(biāo)題欄中注明物理量的名稱 符號和單位 記錄原始數(shù)據(jù) 如記錄刻度數(shù) 而不是記錄長度 簡單處理結(jié)果 如算出長度 或函數(shù)關(guān)系 參數(shù)和說明 如表格名稱 儀器規(guī)格 環(huán)境參數(shù) 常量以及公用單位等 2 作圖法作圖法 把實驗數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系作成曲線 以便反映它們之間的變化規(guī)律 或函數(shù)關(guān)系 作圖要點 原始數(shù)據(jù)列表表示 見列表法 用坐標(biāo)紙坐標(biāo)紙作圖 圖紙大小以不損失有效數(shù)字和能包括所有點為最低要求 因此至少應(yīng)至少應(yīng) 保證坐標(biāo)紙的最小分格 通常為保證坐標(biāo)紙的最小分格 通常為 1mm 1mm 以下的估計位與實驗數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應(yīng) 以下的估計位與實驗數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應(yīng) 選好坐標(biāo)軸并標(biāo)明有關(guān)物理量的名稱 或符號 單位和坐標(biāo)分度值 其中分度比例 一般取 1 2 5 10 較好 以便于換算和描點 實驗數(shù)據(jù)點以 等符號標(biāo)出 一般不用細(xì)圓點 標(biāo)示實驗點 光滑連接曲線并使實驗點勻稱地分布于曲線兩側(cè) 起平均的作用 注意 光滑處理的原則不適用于繪制校準(zhǔn)曲線 圖解法求直線斜率和截距時 應(yīng)在線上取點 不能使用實驗點 所取兩點要相距足 夠遠(yuǎn) 以提高精度 在圖上要注明所取點的坐標(biāo) 3 一元線性回歸法一元線性回歸法 見后 4 逐差法逐差法 見后 13 七 最小二乘法與一元線性回歸 教材 P48 P50 1 最小二乘法的判據(jù) 對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線 那么各測量值與這條對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線 那么各測量值與這條 曲線上對應(yīng)點之差 殘差 的平方和應(yīng)取極小值 曲線上對應(yīng)點之差 殘差 的平方和應(yīng)取極小值 2 采用最小二乘法來處理直線擬合 或可化為直線擬合 問題 要求只有因變量 y 有誤差 自變量 x 作為準(zhǔn)確值處理 實際上 只要 x 的測量誤差遠(yuǎn)小于 y 的測量誤差即可 3 一元線性回歸 設(shè)直線的函數(shù)形式為 yabx 實驗測得的數(shù)據(jù)為 1122 kk x yxyxy 則有 2 22 22 22 i iiii ii iiii x ii xykx y x yxy b xkx xx x yxy y aybx xkx 這里 a b 稱為回歸系數(shù) 其中 22 1111 iiiii iiii xx yy xxxyxy kkkk 相關(guān)系數(shù) r 用于檢驗 x 和 y 之間是否存在線性關(guān)系 2222 xyx y r xxyy 其物 理意義如下 1r ya bx 通過全部實驗點 1r ii x y之間線性關(guān)系相當(dāng)強(qiáng)烈 0r i y 隨 i x 增加而增加 0r i y 隨 i x 增加而減小 0r ii x y之間無線性關(guān)系 擬合直線為與 x 軸平行的直線 i y的不確定度估計 i y為等精度測量 所有的 i y應(yīng)有相同的標(biāo)準(zhǔn)差 y 若 y 未知 可用 y 的標(biāo)準(zhǔn)差 S y作為其估計值 14 2 2 ii i yabx S y k 回歸系數(shù)的不確定度估計 ab 的標(biāo)準(zhǔn)差 A 類不確定度 由下式給出 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 1 i i a ii ii a ii ii x x uas as ys y k xx kxx k ubs bs ys y k xx kxx 若回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)已經(jīng)算出 則ab 的標(biāo)準(zhǔn)差還可由下式給出 2 2 11 1 2 aa a uas axub ubs bb kr 4 回歸法使用要點 自變量 x 測量誤差可略 即應(yīng)選擇測量精度較高的物理量作自變量 因變量 y 為等精度測量或近似等精度測量 即 u yi 近似相等 作線性關(guān)系的檢驗 利用物理規(guī)律或作圖等其它方法確認(rèn)線性關(guān)系的存在 或檢驗相 關(guān)系數(shù)是否滿足 r 1 15 八 逐差法 設(shè)自變量和因變量之間存在線性關(guān)系 yabx 已測得一組相關(guān)實驗數(shù)據(jù) 1122 kk x yxyxy 1 測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法 不妨取2kn 把數(shù)據(jù)分組 用 隔開 1 12 n nn xx xx 1 12 k nn yy yy 用每組下面一排的測量值和該組上面