大學(xué)物理073.pdf

7 2 7 2 7 2 7 2 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理電勢電勢電勢電勢 前面介紹了電場前面介紹了電場 電場對電荷有作用力電場對電荷有作用力 電場對電荷電場對電荷 既然有作用力既然有作用力 那么那么 當(dāng)電荷在電場中移動(dòng)時(shí)當(dāng)電荷在電場中移動(dòng)時(shí) 電場力電場力 就要做功就要做功 根據(jù)力和能量的關(guān)系根據(jù)力和能量的關(guān)系 則能量和電場有關(guān)則能量和電場有關(guān) 從靜電力作功研究靜電場的重要性質(zhì)從靜電力作功研究靜電場的重要性質(zhì) 保守性保守性 一一一一 靜電場力的功靜電場力的功靜電場力的功靜電場力的功 一點(diǎn)電荷一點(diǎn)電荷q 在其周圍產(chǎn)生電場在其周圍產(chǎn)生電場 另有一試驗(yàn)電荷另有一試驗(yàn)電荷q0在場中運(yùn)動(dòng)在場中運(yùn)動(dòng) 電場力作元功電場力作元功 0 dAF dlq E dl 0 2 0 4 q qr dl r 0 2 0 cos 4 q q dl r 0 2 0 4 q q dr r b r E l d q dr a r r a b 0 q q0從從a點(diǎn)移到點(diǎn)移到b點(diǎn)電場力做的功為點(diǎn)電場力做的功為 11 44 0 0 2 0 0 ba r r b a ab rr qq r drqq dAA b a 在此點(diǎn)電荷在此點(diǎn)電荷q形成的靜電場中形成的靜電場中 靜電場對移動(dòng)電荷靜電場對移動(dòng)電荷 所做的功僅和移動(dòng)電荷的始所做的功僅和移動(dòng)電荷的始 末位置有關(guān)末位置有關(guān) 與具體路與具體路 徑無關(guān)徑無關(guān) 點(diǎn)電荷形成的靜電場是保守力場點(diǎn)電荷形成的靜電場是保守力場 可以得到可以得到 對任何靜電場對任何靜電場 無論是由點(diǎn)電荷無論是由點(diǎn)電荷 點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系 帶電體等帶電體等 電場對移動(dòng)電荷作功恒與路徑無關(guān)電場對移動(dòng)電荷作功恒與路徑無關(guān) 僅與僅與 移動(dòng)電荷的初移動(dòng)電荷的初 末位置有關(guān)末位置有關(guān) 這樣這樣電場力就是保守力電場力就是保守力電場力就是保守力電場力就是保守力 即做功與路徑無關(guān)即做功與路徑無關(guān) 故故靜電場是保守力場靜電場是保守力場 靜電場是保守力場靜電場是保守力場 二二二二 電勢能電勢能電勢能電勢能 靜電場是保守力場靜電場是保守力場 可以引進(jìn)一勢能可以引進(jìn)一勢能 即設(shè)在此即設(shè)在此 靜電場中的電荷具有靜電場中的電荷具有靜電勢能靜電勢能 簡稱電勢能簡稱電勢能 靜電勢能靜電勢能 簡稱電勢能簡稱電勢能 b b a aab WWldfA 點(diǎn)電點(diǎn)電 勢能勢能 a b 點(diǎn)電點(diǎn)電 勢能勢能 靜電場力作功等于相應(yīng)電勢能的減少量靜電場力作功等于相應(yīng)電勢能的減少量靜電場力作功等于相應(yīng)電勢能的減少量靜電場力作功等于相應(yīng)電勢能的減少量 a b 0 q E 0 b b abb a a WfdlWqE dlW 規(guī)定電勢能的零點(diǎn)規(guī)定電勢能的零點(diǎn) 0a a WqE dl 則 無窮遠(yuǎn)處的電勢能為零無窮遠(yuǎn)處的電勢能為零 2 場中某一點(diǎn)場中某一點(diǎn) b 的電勢能的電勢能 為零為零 W b 0 如地球的地面如地球的地面 0 b a a WqE dl 則 試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷在靜電場中某點(diǎn)的電勢能在數(shù)值上等于在靜電場中某點(diǎn)的電勢能在數(shù)值上等于在靜電場中某點(diǎn)的電勢能在數(shù)值上等于在靜電場中某點(diǎn)的電勢能在數(shù)值上等于 從該點(diǎn)移到電勢能零點(diǎn)處靜電場力所做的功從該點(diǎn)移到電勢能零點(diǎn)處靜電場力所做的功 從該點(diǎn)移到電勢能零點(diǎn)處靜電場力所做的功從該點(diǎn)移到電勢能零點(diǎn)處靜電場力所做的功 0 q 0 q 1 當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí)當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時(shí) 0 bb ab aa f dlqE dlWW 00 b ab a WW Edl qq a b 0 q E 如圖示點(diǎn)電荷在場中受力如圖示點(diǎn)電荷在場中受力 0 fq E 三三三三 電勢電勢電勢電勢 00 ab WW qq 與試驗(yàn)電荷無關(guān)反映了與試驗(yàn)電荷無關(guān)反映了 電場在電場在a b兩點(diǎn)的性質(zhì)兩點(diǎn)的性質(zhì) ba b a UUldE 電勢零點(diǎn) a a ldEU 電電勢零點(diǎn)的選擇勢零點(diǎn)的選擇 參考點(diǎn)參考點(diǎn) 任意任意視分析問題方便而定視分析問題方便而定 參考點(diǎn)不同電勢不同參考點(diǎn)不同電勢不同 若選若選b b點(diǎn)的電勢為參考零點(diǎn)點(diǎn)的電勢為參考零點(diǎn) 則則a點(diǎn)的電勢由下式得到點(diǎn)的電勢由下式得到 稱稱a ba b兩點(diǎn)電勢差兩點(diǎn)電勢差 electric potential differenceelectric potential difference 討論討論 理論理論計(jì)算計(jì)算有限有限帶電體電勢時(shí)選帶電體電勢時(shí)選無限遠(yuǎn)無限遠(yuǎn)為參考點(diǎn)為參考點(diǎn) 實(shí)際實(shí)際應(yīng)用中或研究電路問題時(shí)取應(yīng)用中或研究電路問題時(shí)取大地大地 儀器儀器外殼外殼等等 電勢的單位電勢的單位 SI制制 單位單位 V 伏特伏特 在在靜電場中靜電場中 任意兩點(diǎn)間的電勢差任意兩點(diǎn)間的電勢差 abab ab UUUE dlE dl 通常通常 b a E dl 任意兩點(diǎn)任意兩點(diǎn)a b的電勢差在數(shù)值上等于單位正試驗(yàn)電荷的電勢差在數(shù)值上等于單位正試驗(yàn)電荷 從從 a 點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)經(jīng)任意路徑到任意路徑到 b 點(diǎn)電場力做的功點(diǎn)電場力做的功 00 b abab a Aq UqE dl 如果電場的電勢分布已知如果電場的電勢分布已知 則試驗(yàn)電荷則試驗(yàn)電荷在電場中在電場中 從從a 到到 b 經(jīng)任意路徑經(jīng)任意路徑 電場力作的功為電場力作的功為 0 q 1 1 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷Q Q的電場中的電勢分布的電場中的電勢分布 球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ 標(biāo)量標(biāo)量 正負(fù)正負(fù) r ldE dr r Q r 2 0 4 U Q r 4 0 四四四四 電勢的計(jì)算電勢的計(jì)算電勢的計(jì)算電勢的計(jì)算 Q Pr E l d P P l dEU rdr r Q r 2 0 4 rdl d 2 2 電勢疊加原理電勢疊加原理 i P P i i P P p ldEldEU 00 i i i i ip r q UU 0 4 1 QQ r dq dUU 0 4 1 i P P ii ldE 0 點(diǎn)電荷系所產(chǎn)生的電場點(diǎn)電荷系所產(chǎn)生的電場 i i EE 空間某點(diǎn)的電勢空間某點(diǎn)的電勢 電荷連續(xù)分電荷連續(xù)分 布的帶電體布的帶電體 計(jì)算電勢的方法計(jì)算電勢的方法 1 已知電場強(qiáng)度已知電場強(qiáng)度的分布的分布 利用電勢的定義利用電勢的定義 E 電勢零點(diǎn) a a ldEU 可可計(jì)算電勢的分布計(jì)算電勢的分布 2 已知已知q i或 或分布分布 利用點(diǎn)電荷的電勢和利用點(diǎn)電荷的電勢和 電勢疊加原理電勢疊加原理 可求得帶電體在周圍產(chǎn)生的可求得帶電體在周圍產(chǎn)生的 電勢電勢 i i i p r q U 0 4 1 Q r dq U 0 4 1 例例 書例書例7 8 求電偶極子電場中任一點(diǎn)求電偶極子電場中任一點(diǎn)P的電勢的電勢 210 12 2010 21 4 44rr rrq r q r q UUU P 解解 由疊加原理由疊加原理 lr cos 12 lrr 2 21 rrr 2 0 cos 4r lq U p 2 0 0 2 0 4 cos 4 1 r rp r p Up r 其中其中為為和和之間的夾角之間的夾角 l r r r 0 為單位向量為單位向量 l O q q X Y r 1 r 2 r yxP 例例 計(jì)算均勻帶電球面的電勢計(jì)算均勻帶電球面的電勢如圖如圖 P ldEU dr r Q odl R R r 2 0 4 R Q o 解解 均勻帶電球面電場的分布為均勻帶電球面電場的分布為 r r Q ERr ERr 4 0 2 0 Rr Rr P R Q 0 4 R Q U 0 4 Rr Rr 與電量集中在球心的與電量集中在球心的 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷的電勢分布相同的電勢分布相同 圖示圖示 U r 0 R 等勢體等勢體 例例計(jì)算電量為計(jì)算電量為的帶電球面球心的電勢的帶電球面球心的電勢 Q dU dq R 4 0 UdU dq R QQ 4 0 Q R4 0 R Q o 解解 在球面上任取一電荷元在球面上任取一電荷元 dq dq 則電荷元在球心的電勢為則電荷元在球心的電勢為 由電勢疊加原理由電勢疊加原理 球面上電荷在球心的總電勢球面上電荷在球心的總電勢 思考思考 電量分布電量分布 均勻均勻 圓環(huán)圓環(huán) 圓圓 弧弧 例例長為長為均勻帶電細(xì)桿均勻帶電細(xì)桿 電荷線密度為電荷線密度為 如圖如圖 計(jì)算計(jì)算P點(diǎn)的電勢點(diǎn)的電勢 l l xoP a xdx 解解 取一電荷元取一電荷元dq dxdq 4 4 1 00 xal dx xal dq dU 00 ln 4 4 dxla UdU laxa 例例 平行板電容器兩板間的電勢差平行板電容器兩板間的電勢差 d 0 E ldEU dlE 解解 平行板電容器內(nèi)部的場強(qiáng)為平行板電容器內(nèi)部的場強(qiáng)為 兩板間的電勢差兩板間的電勢差 E l d Edl 方向一致方向一致 l dE 均勻場均勻場 EdU 例例 求電荷線密度為求電荷線密度為 的無限長帶電直線的電勢分布的無限長帶電直線的電勢分布 r E 0 2 解解 由由 r rEU d 分析分析 如果仍選擇無限遠(yuǎn)為電勢如果仍選擇無限遠(yuǎn)為電勢0點(diǎn)點(diǎn) 積分將趨積分將趨 于無限大于無限大 必須選擇某一定點(diǎn)為電勢必須選擇某一定點(diǎn)為電勢0點(diǎn)點(diǎn) 現(xiàn)在選現(xiàn)在選 距離帶電直線為距離帶電直線為a的的P0點(diǎn)為電勢點(diǎn)為電勢0點(diǎn)點(diǎn) a P0 0 P r rEU d a r r r Ud 0 2 r a ln 2 0 為正時(shí)電勢沿為正時(shí)電勢沿r降落降落 例例 均勻帶電球體均勻帶電球體 帶電荷為帶電荷為Q 半徑為半徑為R 計(jì)算其球內(nèi)計(jì)算其球內(nèi) 外的電勢分布外的電勢分布 解解 先計(jì)算先計(jì)算的分布的分布E 4 4 3 0 2 3 0 1 Rr r rQ E Rr R rQ E 球外球外一點(diǎn)一點(diǎn) P2 的電勢的電勢 20 2 0 2 44 22 2 r Q r drQ ldEU rP P P1 P2 r2 r1 3 3 4 R Q 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 4 R Qr r R QrQ 3 0 1 4 r rQ E 球內(nèi)球內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn) P1 的電勢的電勢 3 8 4 2 1 4 44 2 2 1 0 0 2 1 2 3 0 2 0 3 0 21 1 11 1 R r R Q R Q rR R Q r drQ rdr R Q ldEldEldEU R R r R R rP P 20 4 2 r Q U P 外 3 8 2 2 1 0 1 R r R Q U P 內(nèi) 五五 五五 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 表述表述靜電場中場強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于零靜電場中場強(qiáng)沿任意閉合環(huán)路的線積分恒等于零 即即 Edl L 0 場強(qiáng)環(huán)路定理場強(qiáng)環(huán)路定理場強(qiáng)環(huán)路定理場強(qiáng)環(huán)路定理 討論討論 靜電場的基本方程靜電場的基本方程 保守場保守場 微分形式微分形式 0 E 有有源源 無旋無旋 Stokes 公式公式 SdAl dA SL S是以是以L為邊界的曲面為邊界的曲面 LS SdEl dE0 z k y j x i 對任意對任意S曲面成立曲面成立 0 E 只能有只能有旋度旋度 六六 六六 等勢面等勢面等勢面等勢面電勢梯度電勢梯度電勢梯度電勢梯度 一一 等勢面等勢面 由電勢相等的點(diǎn)組成的面叫等勢面由電勢相等的點(diǎn)組成的面叫等勢面 滿足方程滿足方程 1 U 2312 UU n CzyxU 可以得到一系列的等勢面可以得到一系列的等勢面 2 U 3 U 等勢面的疏密反映了等勢面的疏密反映了 場的強(qiáng)弱場的強(qiáng)弱 d EdU 2312 CCCCC 當(dāng)常量當(dāng)常量C取等間隔數(shù)值時(shí)取等間隔數(shù)值時(shí) 二二 電力線與等勢面的關(guān)系電力線與等勢面的關(guān)系 1 1 電力線處處垂直等勢面電力線處處垂直等勢面 在等勢面上任取兩點(diǎn)在等勢面上任取兩點(diǎn) a a b b 則則 ba b a UUldE 2 2 電力線指向電勢降的方向電力線指向電勢降的方向 等勢等勢 0 0 a a b b 任取任取 處處有處處有 E U2 U1 U2 U1 Edl a b E dl 電場力作正功可得電場力作正功可得 點(diǎn)電荷的電場線與等勢面點(diǎn)電荷的電場線與等勢面 電偶極子的電場線與等勢面電偶極子的電場線與等勢面 平行板電容器的電場線與等勢面平行板電容器的電場線與等勢面 三三 電勢梯度電勢梯度 U1 U2 E P1 P2 P1 P2是距離很近的兩等勢面上兩點(diǎn) 是距離很近的兩等勢面上兩點(diǎn) dl dU cosE 場強(qiáng)沿場強(qiáng)沿l方向的分量等于電勢方向的分量等于電勢 沿沿l方向變化率方向變化率 的負(fù)值的負(fù)值 l d dn dU E nd cosdl dU dn dU cos dn dU dl dU cosdldn 說明電勢沿法線說明電勢沿法線 方向變化率最大方向變化率最大 定義定義電勢梯度電勢梯度 n dn dU gradU 電勢沿電勢沿l方向的變方向的變 化率等于電勢梯化率等于電勢梯 度在度在l方向的投影方向的投影 l dEUUdU 12 l dEUU 21 cosEdl gradUE P1和和P2兩點(diǎn)間的電勢差為兩點(diǎn)間的電勢差為 U2 U1 l E x U E x y U E y z U Ez EkEjEiE zyx ijk UU xyz 電勢梯度電勢梯度 UE z k y j x i UUU Eijk xyz dl dU E cos dn dU E gradUE El U1 U2 E P1 P2 l d nd 例例 書例書例7 9 計(jì)算電偶極子電場中任一點(diǎn)的場強(qiáng)計(jì)算電偶極子電場中任一點(diǎn)的場強(qiáng) 解解 2 3 22 0 4 1 yx px yxUU xx U Ex 4