第五章--多元函數(shù)微積分

第五章 多元函數(shù)微積分 學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)本章，要求讀者掌握多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的概念、偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則及利用偏導(dǎo)數(shù)討論多元函數(shù)的極值、最大值和最小值，學(xué)會(huì)使用拉格朗日乘數(shù)法研究條件極值并應(yīng)用最小二乘法等討論經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，了解二重積分的數(shù)學(xué)含義，學(xué)會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的二重積分 第一節(jié) 多元函數(shù) 1二元函數(shù) 設(shè)有3個(gè)變量 如果當(dāng)變量 在一定的范圍D內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按照一定的規(guī)律，總有確定的數(shù)值和它們對(duì)應(yīng)，則變量z叫做變量 的二元函數(shù)記作 或稱為自變量，D稱為定義域，z為因變量 類似地，可以定義三元函數(shù)及更多元函數(shù)，二元以及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù) 2二元函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)有定義， 是該鄰域內(nèi)異于 的任意一點(diǎn)如果點(diǎn) 以任何方式趨近于 時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值 趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，我們就說(shuō) 時(shí)的二重極限，記作 或 3二重極限和二次極限 對(duì)于二元函數(shù) 的極限，可得極限函數(shù) ，這個(gè)極限稱為二次極限，記為 . 4有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(不作證明) 有最大最小值定理、中間值定理、有界性定理、零點(diǎn)存在定理 第二節(jié) 偏 導(dǎo) 數(shù) 1定義 設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)有定義.當(dāng) 固定在 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 如果極限 存在，則稱此極限值為函數(shù) 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 類似地，可定義函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)。 2求導(dǎo)法則 (1)和：設(shè) (2)積：設(shè) 則 (3)商：設(shè) 3高階偏導(dǎo)數(shù) 高階偏導(dǎo)數(shù)可定義為相應(yīng)的低一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 例如： 第三節(jié) 全 微 分 二元函數(shù)全微分的定義 若二元函數(shù) 的全增量 可表示為 其中 的高階無(wú)窮小量，則稱函數(shù) 可微，并稱 在點(diǎn)(x,y)的全微分. 進(jìn)一步討論可知： 故得 關(guān)于二元函數(shù)，有如下結(jié)論：若 及其某一鄰域內(nèi)存在，且在該點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)求導(dǎo)公式 1. 設(shè)函數(shù) 的函數(shù)， .若成立條件： (1)在點(diǎn) 處存在編導(dǎo)數(shù) (2) 的相應(yīng)點(diǎn)可微，則有 2隱函數(shù)求導(dǎo)公式 設(shè)函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足條件 ,偏導(dǎo)數(shù)可由 即 來(lái)確定.第五節(jié) 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1多元函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 如果都有 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)( )有極大值 反之，若成立 ，則稱函數(shù)在點(diǎn) 有極小值 .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) (1)極值存在的必要條件 設(shè)函數(shù) 可微分(或存在偏導(dǎo)數(shù) )處有極值，則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即 (2)極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù) 的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 記 則 處取極值，且當(dāng)AO時(shí)取極小值； 時(shí)無(wú)極值； 時(shí)待定 2條件極值、拉格朗日乘數(shù)法 在討論極值問(wèn)題中，除對(duì)自變量給出定義域外，并無(wú)其他條件，則稱為無(wú)條件極值，而若對(duì)自變量還附有其他條件的極值問(wèn)題稱為條件極值 拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù) 下的極值可疑點(diǎn)，可以先構(gòu)造函數(shù) 其中為某一常數(shù)，求 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來(lái)： 由上述方程組解出 即為極值可疑點(diǎn) 3最小二乘法 在經(jīng)濟(jì)分析中，我們經(jīng)常要研究一些經(jīng)濟(jì)變量間的相互關(guān)系，其中最簡(jiǎn)單最常見的則為線性關(guān)系 我們希望利用一組已有的資料 來(lái)尋找這一線性關(guān)系，使找到的 能很好地吻合已有數(shù)據(jù)記 稱為計(jì)算誤差或殘差. 我們希望找到這樣的 取到最小值，這種根據(jù)殘差的平方和為最小的條件來(lái)選擇常數(shù) 的方法叫做最小二乘法 由極值存在的必要條件，使 必須滿足 從而可解得 若記 則又可得下面比較簡(jiǎn)單的表達(dá)式： 4應(yīng)用舉例 (1)生產(chǎn)函數(shù) 考察一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)能力常常涉及各種因素，但就其根本來(lái)說(shuō)，決定企業(yè)內(nèi)部生產(chǎn)能力的主要因素是勞動(dòng)力 ，因而可記生產(chǎn)函數(shù)為 在經(jīng)濟(jì)分析中，有所謂要素報(bào)酬遞減定律，也就是邊際收益會(huì)遞減例如我們假定資金保持不變，則隨著勞動(dòng)力的增加，產(chǎn)量也將隨著增加，但勞動(dòng)力的邊際產(chǎn)量將會(huì)下降，如圖71所示 如果資金和勞動(dòng)力是可以相互替代的，則為得一不變產(chǎn)量水平可以有各種不同的勞動(dòng)力和資金投入，而且若擁有資金越來(lái)越少，此時(shí)勞動(dòng)力就要大量增加同樣，如果只有極少的勞動(dòng)力，此時(shí)若再減少一些勞動(dòng)力，則資金增量就要大得多，這樣我們就可得到一族等量線KK(L)，且等量線為單調(diào)下降的下凸曲線(兩階導(dǎo)數(shù)大于零)，如圖72所示在等量線上，Q為常數(shù)，所以 故得 定義為技術(shù)替代率，或要素的邊際替代率 (2)CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù) 20世紀(jì)30年代，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)界提出如下形式: 的生產(chǎn)函數(shù)，稱為CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù),這類函數(shù)有如下一些優(yōu)點(diǎn),因而得到較廣泛的應(yīng)用: 它是 次齊次函數(shù)； 等量線為單調(diào)下降和下凸的； 常彈性，資金彈性為,勞力彈性為； 系數(shù)A表示技術(shù)進(jìn)步。 (3)齊次函數(shù)和歐拉定理 若 次齊次函數(shù)，則 特別地，當(dāng) 時(shí)，有 它表示：資本投入量乘以邊際產(chǎn)量加上勞力投入量乘以勞動(dòng)力邊際產(chǎn)量等于總產(chǎn)量。第六節(jié) 二重積分 2二重積分的概念 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域 D上連續(xù)，將區(qū)域D任意分成 n個(gè)小區(qū)域 在每個(gè)小區(qū)域 ，作乘積 (i=1,2,n) ，并作和 如果各小區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù) ，即 ， 其中 叫做被積函數(shù)， 為積分區(qū)域. 2二重積分的性質(zhì) (1) . (2) (3) 這里假定將區(qū)域 D分成兩個(gè)區(qū)域 D1與 D2. (4)若在 D上，成立 ，則有不等式： 特別地有： (5)設(shè) 上的最大值和最小值, 的面積，則有 (6)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)域 上連續(xù)， 的面積，則在 上至少存在一點(diǎn) ，成立 3二重積分的計(jì)算 (1)化二重積分為二次積分 (a)先對(duì)y后對(duì)x積分 (b)先對(duì)x后對(duì)y積分 (2)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 令 則 若 第五章 多元函數(shù)微積分 例1下列平面方程中，過(guò)點(diǎn)（1，1，-1）的方程是（ ） （A） x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0解：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在平面上，只需將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，看看是否滿足相應(yīng)的平面方程即可。易見應(yīng)選（B）。例2指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1； （2）x-2y=0； （3）x-2y+3z=0； （4）z-5=0.解：設(shè)平面方程為 Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系數(shù)為B=0，故該平面平行于oy軸（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系數(shù)C=0且D=0，故平面過(guò)oz軸； （3）方程中常數(shù)D=0，故該平面過(guò)原點(diǎn)； （4）方程中x的系數(shù)A=0 且y的系數(shù)B=0，故該平面垂直于oz軸（平行于xoy平面）。 例3求過(guò)點(diǎn)（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。解：平行于yoz平面即垂直于ox軸，故可設(shè)所求平面方程為Ax+D=0，將已知點(diǎn)（3，2，1）的坐標(biāo)代入上式，得D=-3A，從而所求方程為x-3=0。注意：在求平面方程時(shí)，Ax+By+Cz+D=0中的四個(gè)待定常數(shù)不是完全獨(dú)立的，計(jì)算時(shí)可用其中的一個(gè)表示其余的三個(gè)，然后通過(guò)化簡(jiǎn)得出所求結(jié)果。例4求點(diǎn)M（2，-3，1）分別關(guān)于xOy平面、Oy軸和原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。解：點(diǎn)M關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)是第三個(gè)分量變號(hào)，即（2，-3，-1），關(guān)于Oy軸的對(duì)稱點(diǎn)是第一，第三分量變號(hào)，即（-2，-3，-1），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是三個(gè)分量都變號(hào)即（-2，3，-1）。例5求平面3x+2y-z-6=0分別在三條坐標(biāo)軸上的截距。解：將平面方程化為截距式方程，得 因此該平面在Ox軸、Oy軸和Oz軸上的截距依次為2、3、和-6。例6求球面 的球心坐標(biāo)和半徑。解：對(duì)方程進(jìn)行配方，化為一般形式的球面方程 從而球心坐標(biāo)為（3，-1，0），半徑為 。例7下列方程在空間直角坐標(biāo)系中，表示施轉(zhuǎn)拋物面的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 解： 只能x=y=z=0，它表示空間直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)。是一次方程，D=0表示過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面。即 表示繞z軸旋轉(zhuǎn)張口朝z軸負(fù)方向的旋轉(zhuǎn)拋物面。表示雙曲拋物面（馬鞍面）故應(yīng)選（C）例8函數(shù) 的定義域是（ ）。（A） （B） （C） （D） 解:由函數(shù)的表達(dá)式知函數(shù)的定義域?yàn)?即 ，故應(yīng)選（C）。例9設(shè) （A） （B） （C） （D） 解：由題設(shè),故應(yīng)選（A）。例10設(shè) 在點(diǎn) 處偏導(dǎo)數(shù)存在，則（A） （B） （C） （D） 解：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，有 故應(yīng)選（C）。例11設(shè) 證明 證明： 于是 左 注意，本例還可以利用二元函數(shù)隱函數(shù)來(lái)解偏導(dǎo)數(shù)： 兩邊取對(duì)數(shù)代入左端即可得結(jié)論。例12設(shè) 其中f為可微函數(shù)，則 (A) (B) (C) (D) 故應(yīng)選（D）。例13設(shè) 因此， 例14設(shè) 例15設(shè)z=z(x,y)是由方程 確定的函數(shù)，求 注意：在求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，其結(jié)果中可以有變量度z的出現(xiàn)，結(jié)果表達(dá)式也常常不是惟一的，如本例用 代入兩個(gè)偏導(dǎo)還可以表示成 例16設(shè) （A） （B） （C） （D） 解1：變量之間的關(guān)系圖為 故應(yīng)選（A）注意：這里解法2經(jīng)過(guò)代入后變成了一個(gè)一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，簡(jiǎn)潔明了。例17 證明：設(shè) 變量之間的關(guān)系為例18求函數(shù) 的極值。解：函數(shù) 的定義域?yàn)?全平面 ， 得駐點(diǎn) 例19某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單位分別為10萬(wàn)元和9萬(wàn)元，若生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本 ，又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤(rùn)時(shí)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？例20計(jì)算二重積分 解：作積分區(qū)域D的草圖，如圖7-1 (圖7-1)例21. 求 解：作積分區(qū)域D的草圖，如圖7-2(圖7-2)例22. 計(jì)算二重積分 解： 積分區(qū)域D是一個(gè)圓環(huán):內(nèi)半徑為 用極坐標(biāo)系計(jì)算。注意：當(dāng)積分區(qū)域是圓及其部分，被積函數(shù)又比較容易化成極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)考慮使用在極坐標(biāo)系之下積分。本例關(guān)于 和關(guān)于r的積分上下限均是常數(shù)，同時(shí)被積函數(shù)可以分離，這時(shí)二重積分可化成兩個(gè)定積分的乘積。例23. 計(jì)算 其中 解法1： 即圓心在（0,a）半徑為a的圓。又 ,因此是右半半圓（如圖7-3）。(圖7-3)用極坐標(biāo)系計(jì)算。解法2：用直角坐標(biāo)系計(jì)算，先對(duì)x后對(duì)y積分右半圓的方程為 第五章 多元函數(shù)微積分單元測(cè)試一、選擇題1、 點(diǎn) ，則 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A、（0，2，-2） B、（1，-2，1） C、（0，4，-4） D、（2，4，2）2、點(diǎn) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是 （）A、（-2，3，-1） B、（-2，-3，-1） C、（2，-3，-1） D、（-2，3，1）3、點(diǎn) 關(guān)于XOY平面的對(duì)稱點(diǎn)是 （ ）A、（-2，3，-1） B、（-2，-3，-1） C、（2，-3，-1） D、（-2，3，1）4、過(guò)Y軸上的點(diǎn)（0，1，0）且平行與XOZ平面的平面方程是（ ）5、下列方程中，其圖形是下半球的是 （）6、設(shè) ，則 （ ）7、函數(shù) 的定義域是（）8、設(shè) 在（0，0）點(diǎn)連續(xù)，則 K= （）A、1 B、0 C、1/2 D、不存在9、設(shè) （ ）10、若 （）11、設(shè) 則 =（）A、0 B、1/2 C、-1 D、112、設(shè) ，則 =（）13、設(shè) ，則 （）14、若 ，則 （）A、10 B、-10 C、15 D、-1515、設(shè) 則 （）16、若 ，則 （）17、設(shè) （ ）18、若 （）19、設(shè) （）20、設(shè)函數(shù) （）21、設(shè) （）22、函數(shù) z=f(x，y) 在點(diǎn) 處具有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 是函數(shù)在該點(diǎn)存在全微分的（ ）A、充分條件 B、充要條件 C、必要條件 D、既不是充分條件，又不是必要條件23、若函數(shù) ，則 （）24、設(shè) 是由方程 確定的隱函數(shù)，則 =（）25、若 則 =（）26、二元函數(shù) 的駐點(diǎn)為（）27、若 ，則 在 處 （）A 、一定連續(xù) B 、一定偏導(dǎo)數(shù)存在 C、一定可微 D、一定有極值28、設(shè)二元函數(shù) 有極大值且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則必有（）29、設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且 是它的駐點(diǎn)， 則 是極大值的充分條件是（）A、 B、 C 、 D、 30、設(shè) 是函數(shù) 的駐點(diǎn)且有 若 ，則 一定（）A、是極大值 B、是極小值 C、不是極值 D 、是極值31、函數(shù) 在點(diǎn)（0，0）處（）A、有極大值 B、有極小值 C、無(wú)極值 D 、不是駐點(diǎn)32、對(duì)于函數(shù) ，原點(diǎn)（0，0）（）A、不是駐點(diǎn) B、是駐點(diǎn)但非極值點(diǎn) C、是駐點(diǎn)且為極大值點(diǎn) D、是駐點(diǎn)且為極小值點(diǎn)33、若D是由 所圍成的平面區(qū)域，則 （）34、若D是平面區(qū)域 ，則二重積分 （）35、設(shè)D： ，則 （）36、設(shè)二重積分的積分區(qū)域D是 ，則 （）37、若D是平面區(qū)域 ，y0則 （ ）二、計(jì)算題(一）1、設(shè) 。解：設(shè) 則 2、設(shè) 解： 3、計(jì)算二重積分 ，其中區(qū)域D是由 所圍成的第一象限的圖形。解：區(qū)域D在極坐標(biāo)下可表示為 于是 = 三、計(jì)算題(二）1、 設(shè) 解： 2、已知 解： 3、設(shè) 。解法一：在 兩邊分別對(duì) 和 求偏導(dǎo)數(shù)，得整理得 解法二： 4、設(shè) 確