理論力學(xué)周衍柏第三版思考題習(xí)題答案.doc

第一章思考題解答1.1答：平均速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間間隔內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿對(duì)應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)軌跡的切線方向。在的極限情況，二者一致，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中二者也一致的。1.2答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，徑向速度和橫向速度的大小、方向都改變，而中的只反映了本身大小的改變，中的只是本身大小的改變。事實(shí)上，橫向速度方向的改變會(huì)引起徑向速度大小大改變，就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度的方向改變也引起的大小改變，另一個(gè)即為反映這種改變的加速度分量，故，。這表示質(zhì)點(diǎn)的徑向與橫向運(yùn)動(dòng)在相互影響，它們一起才能完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況1.3答：內(nèi)稟方程中，是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于恒位于密切面內(nèi)，速度總是沿軌跡的切線方向，而垂直于指向曲線凹陷一方，故總是沿助法線方向。質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，z何與牛頓運(yùn)動(dòng)定律不矛盾。因質(zhì)點(diǎn)除受作用力，還受到被動(dòng)的約反作用力，二者在副法線方向的分量成平衡力，故符合牛頓運(yùn)動(dòng)率。有人會(huì)問(wèn)：約束反作用力靠誰(shuí)施加，當(dāng)然是與質(zhì)點(diǎn)接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點(diǎn)的作用而對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會(huì)問(wèn)：某時(shí)刻若大小不等，就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)受合力的方向與原來(lái)不同，質(zhì)點(diǎn)的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來(lái)所在的方位，又有了新的副法線，在新的副法線上仍滿足。這反映了牛頓定律得瞬時(shí)性和矢量性，也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變。1.4答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中只有，質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動(dòng)中只有；質(zhì)點(diǎn)作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)即有。1.5答：即反應(yīng)位矢大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的速度矢量，而只表示大小的改變。如在極坐標(biāo)系中，而。在直線運(yùn)動(dòng)中，規(guī)定了直線的正方向后，。且的正負(fù)可表示的指向，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；在曲線運(yùn)動(dòng)中，且也表示不了的指向，二者完全不同。 表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而只是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大小的改變。在直線運(yùn)動(dòng)中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度；在曲線運(yùn)動(dòng)中，二者不同，。1.6答：不論人是靜止投籃還是運(yùn)動(dòng)投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6圖所示，故人以速度向球網(wǎng)前進(jìn)時(shí)應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，（事實(shí)上要稍高一點(diǎn)，使球的運(yùn)動(dòng)有一定弧度，便于投籃）。1.7答：火車中的人看雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是雨點(diǎn)的勻速下落運(yùn)動(dòng)及向右以加速度的勻速水平直線運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)如題1.7圖所示，是固定于車的坐標(biāo)系，雨點(diǎn)相對(duì)車的加速度，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程消去的軌跡如題圖，有人會(huì)問(wèn)：車上的人看雨點(diǎn)的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內(nèi)側(cè)，垂直于方向的分量在改變著的方向，該軌跡上凹。1.8答：設(shè)人發(fā)覺(jué)干落水時(shí)，船已上行，上行時(shí)船的絕對(duì)速度，則 船反向追趕竿的速度，設(shè)從反船到追上竿共用時(shí)間，則 又竿與水同速，則 +=得1.9答：不一定一致，因?yàn)槭歉淖兾矬w運(yùn)動(dòng)速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運(yùn)動(dòng)中外力與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運(yùn)動(dòng)二者的方向一致。1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時(shí)，物體作直線運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運(yùn)動(dòng)，以后各時(shí)刻既可沿初速度方向運(yùn)動(dòng)，也可沿力的方向運(yùn)動(dòng)，如以一定初速度上拋的物體，開(kāi)始時(shí)及上升過(guò)程中初速度的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)下落過(guò)程中沿力的方向運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時(shí)刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會(huì)沿初速度的方向也不會(huì)沿外力的方向運(yùn)動(dòng)，外力不斷改變物體的運(yùn)動(dòng)方向，各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不一致，重力的方向決定了軌道的形狀開(kāi)口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。1.11答：質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意點(diǎn)的速度只和初末時(shí)刻的高度差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點(diǎn)的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論假如曲線不是光滑的，質(zhì)點(diǎn)還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。1.12答：質(zhì)點(diǎn)被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，故約束力不做功，動(dòng)能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動(dòng)能定理或能量積分可求出質(zhì)點(diǎn)在某位置的速度，從而得出，有牛頓運(yùn)動(dòng)方程便可求出，即為約束力1.13答：動(dòng)量 動(dòng)能1.14答：故1.15答：動(dòng)量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動(dòng)量矩守恒并不意味著動(dòng)量也守恒。如質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩守恒是由于力過(guò)力心，力對(duì)力心的矩為零，但這質(zhì)點(diǎn)受的力并不為零，故動(dòng)量不守恒，速度的大小和方向每時(shí)每刻都在改變。1.16答：若,在球坐標(biāo)系中有由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場(chǎng)的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中仍有的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中故 事實(shí)上據(jù)“”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡(jiǎn)寫(xiě)為這表明有心力場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)記保守立場(chǎng)1.17答平方反比力場(chǎng)中系統(tǒng)的勢(shì)能，其勢(shì)能曲線如題圖1.17圖所示，由。 若，其勢(shì)能曲線對(duì)應(yīng)于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)之間的一段。近日點(diǎn)處即為進(jìn)入軌道需要的初動(dòng)能若則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)無(wú)界，對(duì)應(yīng)于雙曲線軌道的運(yùn)動(dòng)；若位于有界和無(wú)界之間，對(duì)應(yīng)于拋物線軌道的運(yùn)動(dòng)；這兩種軌道的運(yùn)動(dòng)都沒(méi)有近日點(diǎn)，即對(duì)大的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是無(wú)界的，當(dāng)很大時(shí)，還是選無(wú)限遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn)的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運(yùn)動(dòng)比拋物軌道和橢圓軌道需要的進(jìn)入軌道需要的動(dòng)能要大。事實(shí)及理論都證明，平方反比引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的軌道正是取決于進(jìn)入軌道時(shí)初動(dòng)能的大小由 得 即速度的大小就決定了軌道的形狀，圖中對(duì)應(yīng)于進(jìn)入軌道時(shí)的達(dá)到第一二三宇宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故有一極小值，既相互作用的二質(zhì)點(diǎn)不可能無(wú)限接近，對(duì)于人造衛(wèi)星的發(fā)射其為地球半徑。為地面上發(fā)射時(shí)所需的初動(dòng)能，圖示分別為使衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)達(dá)到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動(dòng)能。 .為進(jìn)入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的家教越大，運(yùn)動(dòng)中受的影響也越大，對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對(duì)地球的直接探測(cè)面積越大，其科學(xué)使用價(jià)值越高。1.19答：對(duì)庫(kù)侖引力場(chǎng)有，軌道是雙曲線的一點(diǎn)，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內(nèi)側(cè)；若，軌道橢圓或拋物線，盧瑟福公式不適用，仿照課本上的推證方法，在入射速度的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正，負(fù)粒子的對(duì)撞試驗(yàn)可驗(yàn)證這一結(jié)論的近似正確性。第一章習(xí)題解答1.1 由題可知示意圖如題1.1.1圖:設(shè)開(kāi)始計(jì)時(shí)的時(shí)刻速度為,由題可知槍彈作勻減速運(yùn)動(dòng)設(shè)減速度大小為.則有:由以上兩式得再由此式得 證明完畢.1.2 解 由題可知,以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)如題1.2.1圖.設(shè)船經(jīng)過(guò)小時(shí)向東經(jīng)過(guò)燈塔,則向北行駛的船經(jīng)過(guò)小時(shí)經(jīng)過(guò)燈塔任意時(shí)刻船的坐標(biāo)，船坐標(biāo)，則船間距離的平方即對(duì)時(shí)間求導(dǎo)船相距最近，即，所以即午后45分鐘時(shí)兩船相距最近最近距離km1.3 解 如題1.3.2圖由題分析可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為又由于在中，有（正弦定理）所以聯(lián)立以上各式運(yùn)用由此可得得得化簡(jiǎn)整理可得此即為點(diǎn)的軌道方程.（2）要求點(diǎn)的速度，分別求導(dǎo)其中又因?yàn)閷?duì)兩邊分別求導(dǎo)故有所以1.4 解 如題1.4.1圖所示，繞點(diǎn)以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在上滑動(dòng)，因此點(diǎn)有一個(gè)垂直桿的速度分量點(diǎn)速度又因?yàn)樗渣c(diǎn)加 速度1.5 解 由題可知，變加速度表示為由加速度的微分形式我們可知代入得對(duì)等式兩邊同時(shí)積分可得 ：（為常數(shù)）代入初始條件：時(shí)，故即又因?yàn)樗詫?duì)等式兩邊同時(shí)積分，可得：1.6 解 由題可知質(zhì)點(diǎn)的位矢速度偶看過(guò)鹿航空工具和奎看來(lái)；+-O0.6沿垂直于位矢速度又因?yàn)?， 即即（取位矢方向，垂直位矢方向）所以 故 即 沿位矢方向加速度 垂直位矢方向加速度 對(duì)求導(dǎo) 對(duì)求導(dǎo) 把代入式中可得1.7 解 由題可知 對(duì)求導(dǎo) 對(duì)求導(dǎo) 對(duì)求導(dǎo) 對(duì)求導(dǎo) 對(duì)于加速度，我們有如下關(guān)系見(jiàn)題1.7.1圖即 -對(duì)倆式分別作如下處理：，即得 -+得 把代入 得同理可得1.8解 以焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)如題1.8.1圖所示則點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)兩式分別求導(dǎo)故 如圖所示的橢圓的極坐標(biāo)表示法為對(duì)求導(dǎo)可得（利用）又因?yàn)?即 所以 故有 即 （其中為橢圓的半短軸）1.9證 質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度表達(dá)式為令為位矢與軸正向的夾角，所以所以 又因?yàn)樗俾时３譃槌?shù)，即為常數(shù)對(duì)等式兩邊求導(dǎo)所以即速度矢量與加速度矢量正交.1.10解 由題可知運(yùn)動(dòng)軌跡如題1.10.1圖所示，則質(zhì)點(diǎn)切向加速度法向加速度，而且有關(guān)系式 又因?yàn)?所以 聯(lián)立 又把兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得又因?yàn)?所以 把代入既可化為對(duì)等式兩邊積分所以1.11解 由題可知速度和加速度有關(guān)系如圖1.11.1所示兩式相比得即 對(duì)等式兩邊分別積分即 此即質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律.1.12證 由題1.11可知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)系式 所以 ，聯(lián)立，有又因?yàn)樗?，對(duì)等式兩邊分別積分，利用初始條件時(shí)，1.13 證（）當(dāng)，即空氣相對(duì)地面上靜止的，有.式中質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止參考系的絕對(duì)速度， 指向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參考系的速度， 指運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)靜止參考系的速度.可知飛機(jī)相對(duì)地面參考系速度：=，即飛機(jī)在艦作勻速直線運(yùn)動(dòng).所以飛機(jī)來(lái)回飛行的總時(shí)間 .（）假定空氣速度向東，則當(dāng)飛機(jī)向東飛行時(shí)速度飛行時(shí)間 當(dāng)飛機(jī)向西飛行時(shí)速度飛行時(shí)間故來(lái)回飛行時(shí)間即 同理可證，當(dāng)空氣速度向西時(shí)，來(lái)回飛行時(shí)間（c）假定空氣速度向北.由速度矢量關(guān)系如題1.13.1圖所以來(lái)回飛行的總時(shí)間 同理可證空氣速度向南時(shí)，來(lái)回飛行總時(shí)間仍為1.14解 正方形如題1.14.1圖。由題可知設(shè)風(fēng)速,當(dāng)飛機(jī)，故飛機(jī)沿此邊長(zhǎng)6正方形飛行一周所需總時(shí)間 1.15 解 船停止時(shí)，干濕分界線在蓬前3，由題畫(huà)出速度示意圖如題.15.1圖 故又因?yàn)?，所以由圖可知所以=81.16解 以一岸邊為軸，垂直岸的方向?yàn)檩S.建立如題1.16.1圖所示坐標(biāo)系.所以水流速度又因?yàn)楹恿髦行奶幩魉俣葹樗?。?dāng)時(shí)，即 -得，兩邊積分 聯(lián)立，得 同理，當(dāng)時(shí)，即 由知，當(dāng)時(shí)，代入得有 ，所以船的軌跡船在對(duì)岸的了；靠攏地點(diǎn)，即時(shí)有1.17 解 以為極點(diǎn)，岸為極軸建立極坐標(biāo)如題.17.1圖.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 -/得 ，對(duì)兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時(shí)，.設(shè)有得 1.18 解 如題1.18.1圖質(zhì)點(diǎn)沿下滑，由受力分析我們可知質(zhì)點(diǎn)下滑的加速度為.設(shè)豎直線，斜槽，易知，由正弦定理即 又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿光滑面下滑，即質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).所以 有 欲使質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對(duì)求導(dǎo) 極大值時(shí)，故有由于是斜面的夾角，即所以1.19 解 質(zhì)點(diǎn)從拋出到落回拋出點(diǎn)分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題1.19.1圖，上升時(shí) 下降時(shí)題1.19.1圖則兩個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程為：上升 下降： 對(duì)上升階段:即 對(duì)兩邊積分所以 即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.對(duì)下降階段：即 由=可得1.20解 作子彈運(yùn)動(dòng)示意圖如題1.20.1圖所示.題1.20.1圖水平方向不受外力，作勻速直線運(yùn)動(dòng)有 豎直方向作上拋運(yùn)動(dòng)，有 由得 代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樽訌椀倪\(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射時(shí)仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，所以要求的最大值.把對(duì)求導(dǎo)，求出極值點(diǎn).即 所以，代入的表達(dá)式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離的最大值1.21 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道上沒(méi)點(diǎn)切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有： 軌道的法線方向上有： 由于角是在減小的，故 由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來(lái)確定，故我們要想法使變成關(guān)于的等式由即 把代入可得 用可得 即，兩邊積分得 代入初始條件時(shí)，即可得代入式，得 又因?yàn)樗?把代入積分后可得 1.22 各量方向如題1.22.1圖.電子受力則電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為 -由，即代入整理可得 對(duì)于齊次方程的通解非齊次方程的特解所以非齊次方程的通解代入初始條件：時(shí)，得 時(shí)，得,故同理，把代入可以解出把代入代入初條件時(shí)，得.所以）1.23證 （a）在1.22題中，時(shí)，則電子運(yùn)動(dòng)受力電子的運(yùn)動(dòng)微分方程 -對(duì)積分 對(duì)再積分 又故（為一常數(shù)）此即為拋物線方程.當(dāng)時(shí)則電子受力 則電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為 -同1.22題的解法，聯(lián)立-解之，得于是 及電子軌道為半徑的圓.1.24 解以豎直向下為正方向，建立如題1.24.2圖所示坐標(biāo)， 題1.24.1圖 題1.24.2圖以開(kāi)始所在位置為原點(diǎn).設(shè)-處物體所處坐標(biāo)分別為，則3個(gè)物體運(yùn)動(dòng)微分方程為： -由于與、之間是，即不可伸長(zhǎng)輕繩連接，所以有，即 之間用倔強(qiáng)系數(shù)彈性繩聯(lián)結(jié).故有 由得 由得 代入，有 代入，有 此即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.角頻率所以周期解得以初始時(shí)為原點(diǎn)，時(shí)，.所以 代入得聯(lián)立-得1.25解，選向下為正方向，滑輪剛停時(shí)物體所在平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn).建立如題.25.1圖所示坐標(biāo)系.題2.15.1圖原點(diǎn)的重力勢(shì)能設(shè)為0.設(shè)彈簧最大伸長(zhǎng).整個(gè)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒： -聯(lián)立得 彈簧的最大張力即為彈簧伸長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)的彈力，為最大張力，即1.26解 以繩頂端為坐標(biāo)原點(diǎn).建立如題1.26.1圖所示坐標(biāo)系.題1.26.1圖設(shè)繩的彈性系數(shù)為,則有 當(dāng) 脫離下墜前，與系統(tǒng)平衡.當(dāng)脫離下墜前，在拉力作用下上升，之后作簡(jiǎn)運(yùn).運(yùn)動(dòng)微分方程為 聯(lián)立 得 齊次方程通解非齊次方程的特解所以的通解代入初始條件：時(shí)，得；故有即為在任一時(shí)刻離上端的距離.1.27解對(duì)于圓柱凸面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖1-24.運(yùn)動(dòng)的軌跡的切線方向上有: 法線方向上有： 對(duì)于有（為運(yùn)動(dòng)路程，亦即半圓柱周圍弧長(zhǎng)）即又因?yàn)?即 設(shè)質(zhì)點(diǎn)剛離開(kāi)圓柱面時(shí)速度，離開(kāi)點(diǎn)與豎直方向夾角，對(duì)式兩邊積分 剛離開(kāi)圓柱面時(shí)即 聯(lián)立 得即為剛離開(kāi)圓柱面時(shí)與豎直方向夾角.1.28解 建立如題1.28.1圖所示直角坐標(biāo).橢圓方程 從滑到最低點(diǎn)，只有重力做功.機(jī)械能守恒.即 設(shè)小球在最低點(diǎn)受到橢圓軌道對(duì)它的支持力為則有： 為點(diǎn)的曲率半徑.的軌跡：得； 又因?yàn)?所以故根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系小球到達(dá)橢圓最低點(diǎn)對(duì)橢圓壓力為方向垂直軌道向下.1.29 解質(zhì)點(diǎn)作平面直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡方程為 -由曲線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力分析，我們可以得到： -因?yàn)榍€上每點(diǎn)的曲率 所以 把代入曲率公式中所以 由即，又有數(shù)學(xué)關(guān)系可知，即所以 把代入1.30 證當(dāng)題1.29所述運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線不光滑時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 由1.29題可知 由數(shù)學(xué)知識(shí)知 把代入 這是一個(gè)非齊次二階微分方程.解為當(dāng)時(shí)，得即當(dāng)，時(shí)，即故有1.31證：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)受力分析如圖1.31.1圖所示。因?yàn)榧此杂謫螖[擺角很小，有=上式即化為：此即為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的有阻尼振動(dòng)方程。設(shè)為固有頻率，又由于，即阻力很小的情況。方程的解為所以單擺振動(dòng)周期結(jié)論得證。1.32 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)，如圖1.32.1圖。我們以楔子為參考系，在非慣性系中來(lái)分析此題，則質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)大小為的非慣性力，方向與相反。質(zhì)點(diǎn)在楔子這個(gè)非慣性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析：垂直斜面受力平衡： 聯(lián)立得此即楔子相對(duì)斜面的加速度。對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)的支持力等大反方向。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的和楔子對(duì)斜面的壓力為綜上所述可得1.33解 設(shè)鋼絲圓圈以加速度向上作勻加速運(yùn)動(dòng)如題1.33.1圖，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個(gè)非慣性系里來(lái)分析此題。圓圈上的小環(huán)會(huì)受到一個(gè)大小為方向與相反的慣性力的作用，則圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到圓圈上某點(diǎn)，切線方向受力分析：法線方向受力分析有：對(duì)兩邊同乘以即兩邊同時(shí)積分把代入可解得同理可解出，當(dāng)鋼絲圓圈以加速度豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)的相對(duì)速度綜上所述，小環(huán)的相對(duì)速度圈對(duì)小環(huán)的反作用力1.34證：（1）當(dāng)火車所受阻力為常數(shù)時(shí)，因?yàn)楣β逝c牽引力有如下關(guān)系：所以即對(duì)兩邊積分 （2） 當(dāng)阻力和速度成正比時(shí)，設(shè)=，為常數(shù)。同理由（1）可知即 對(duì)兩邊積分1.35 解 錘的壓力是均勻增加的，設(shè)，為常數(shù)，由題意可知，得，所以，即故兩邊同時(shí)積分得，又因?yàn)楫?dāng)增至極大值后，又均勻減小到0，故此時(shí)有為常數(shù)，所以即由得整個(gè)過(guò)程壓力所做功又因?yàn)榧磳?duì)上式兩邊分段積分得136 解 （a）保守力滿足條件對(duì)題中所給的力的表達(dá)式 ，代入上式即 所以此力是保守力，其勢(shì)為 (b)同（a），由所以此力是保守力，則其勢(shì)能為1.37 解 （a）因?yàn)橘|(zhì)子與中子之間引力勢(shì)能表達(dá)式為故質(zhì)子與中子之間的引力（b）質(zhì)量為的粒子作半徑為的圓運(yùn)動(dòng)。動(dòng)量矩由（a）知提供粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向是沿著徑向，故當(dāng)半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)兩式兩邊同乘以即又因?yàn)橛凶鰣A周運(yùn)動(dòng)的粒子的能量等于粒子的動(dòng)能和勢(shì)能之和。所以1.38 解 要滿足勢(shì)能的存在，即力場(chǎng)必須是無(wú)旋場(chǎng)，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢(shì)能存在。勢(shì)能為：1.39 證 質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的力的作用。設(shè)此力為又因?yàn)榧串?dāng)質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)處到達(dá)時(shí)，對(duì)式兩邊分別積分：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)，對(duì)式兩邊分別積分：得所以質(zhì)點(diǎn)自無(wú)窮遠(yuǎn)到達(dá)時(shí)的速率和自靜止出發(fā)到達(dá)時(shí)的速率相同。1.40 解由題可知（因?yàn)槭且?，方向與徑向相反所以要有負(fù)號(hào)）由運(yùn)動(dòng)微分方程即 對(duì)上式兩邊積分故又因?yàn)榕c的方向相反，故取負(fù)號(hào)。即1.41證 畫(huà)出有心力場(chǎng)中圖示如題1.41.圖，我們采用的是極坐標(biāo)。所以又由于常數(shù)即由圖所示關(guān)系，又有，故即由動(dòng)能定理沿方向得1.42 證 （）依據(jù)上題結(jié)論，我們?nèi)匀蝗O坐標(biāo)如題1.42.1圖。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一圓周，則其極坐標(biāo)方程為 由得即故即力與距離5次方成正比，負(fù)號(hào)表示力的方向與徑向相反。（）質(zhì)點(diǎn)走一對(duì)數(shù)螺旋線，極點(diǎn)為力心，我們?nèi)圆捎脴O坐標(biāo)。對(duì)數(shù)螺旋線為常數(shù)。有根據(jù)題1.41，常數(shù)，有故得證。1.43證 由畢耐公式 質(zhì)點(diǎn)所受有心力做雙紐線運(yùn)動(dòng)故故1.44證 由畢耐公式將力帶入此式因?yàn)樗约戳钌鲜交癁檫@是一個(gè)二階常系數(shù)廢氣次方程。解之得微積分常數(shù)，取，故有令所以1.45 證 由題意可知，質(zhì)點(diǎn)是以太陽(yáng)為力心的圓錐曲線，太陽(yáng)在焦點(diǎn)上。軌跡方程為在近日點(diǎn)處在遠(yuǎn)日點(diǎn)處由角動(dòng)量守恒有所以1.46解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)速率所以又由于即又因?yàn)樗詢蛇叿e分即1.47 證（）設(shè)地球軌道半徑為。則彗星的近日點(diǎn)距離為。圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為彗星軌道為拋物線，即。近日點(diǎn)時(shí)。故近日點(diǎn)有即 又因?yàn)樗裕ㄥ缧窃趩挝粫r(shí)間內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積）掃過(guò)扇形面積的速度又因?yàn)楣蕛蛇叿e分 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點(diǎn)為地球軌道半徑處。即即又因?yàn)樗园汛耄?式代入時(shí)取“+”即可）故彗星在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間為設(shè)地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為。因?yàn)榧俣ǖ厍蜻\(yùn)動(dòng)軌道為圓形，所以又由于，有地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)單位時(shí)間內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積。掃過(guò)扇形速度 （）由證明（）知彗星在地球軌道內(nèi)停留時(shí)間對(duì)此式求極大值，即對(duì)求導(dǎo)，使即即 得驗(yàn)證故為極大值，代入式可知1.48 解 由1.9給出的條件：人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點(diǎn)距離分別為地球半徑有橢圓運(yùn)動(dòng)中的能量方程可知： 為衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道的長(zhǎng)軸把代入有近地點(diǎn)速率遠(yuǎn)地點(diǎn)速率運(yùn)動(dòng)周期（參見(jiàn)1.47）其中為運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸所以1.49 證 由行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)的能量方程為為橢圓的半長(zhǎng)軸。令又因?yàn)?，上式化為：因?yàn)榧此杂忠驗(yàn)樾行菣E圓軌道運(yùn)動(dòng)周期即常數(shù)，故又因?yàn)?為正焦弦的一半所以 由題意可知 即 把代入可得化簡(jiǎn)可得即 兩邊積分，由題設(shè)即1.50解 質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能量和角動(dòng)量均守恒。無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零。所以 任意一處 由代入所以第二章 質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)第二章思考題解答2.1.答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點(diǎn)組，然后求質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心即為整個(gè)物體的質(zhì)心。對(duì)被割去的部分，先假定它存在，后以其負(fù)質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2.答：物體具有三個(gè)對(duì)稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點(diǎn)即為該物體的幾何對(duì)稱中心，又該物體是均勻的，故此點(diǎn)即為質(zhì)心的位置。2.3.答：對(duì)幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，理論上可以求每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，但由于每一質(zhì)點(diǎn)受到周圍其它各質(zhì)點(diǎn)的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點(diǎn)可列出三個(gè)二階運(yùn)動(dòng)微分方程，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)組有個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)二階微分方程組，難以解算。但對(duì)于二質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還是可以解算的。若質(zhì)點(diǎn)組不受外力作用，由于每一質(zhì)點(diǎn)都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點(diǎn)的作用力，每一質(zhì)點(diǎn)的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這表明，內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)組整體的運(yùn)動(dòng)，但可改變組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)。2.4.答：把碰撞的二球看作質(zhì)點(diǎn)組，由于碰撞內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可以認(rèn)為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過(guò)程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動(dòng)量發(fā)生改變。2.5.答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對(duì)船的阻力），且開(kāi)船時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)地面的位置不變。當(dāng)人向船尾移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動(dòng)，這是符合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的。2.6.答：碰撞過(guò)程中不計(jì)外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能（分子間的結(jié)合能），故動(dòng)量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時(shí)，即相撞物體的形變可以完全恢復(fù)或不發(fā)生形變時(shí)，能量也守恒，但這只是理想情況。2.7.答：設(shè)質(zhì)心的速度，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度，則，代入質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理可得這里用到了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。故選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動(dòng)量定理中要計(jì)入慣性力。但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量守恒。當(dāng)外力改變時(shí)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)也改變，但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不變，即相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不受外力影響，這給我們解決問(wèn)題帶來(lái)不少方便。值得指出：質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心參考系有 ，對(duì)質(zhì)心參考系動(dòng)量并不守恒。2.8.答不對(duì).因?yàn)槿藪伹蚯昂笄蚺c船和人組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，球拋出后船和人的速度不再是。設(shè)船和人的質(zhì)量為，球拋出后船和人的速度為，則 球出手時(shí)的速度應(yīng)是。人做的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的改變，不是只等于小球動(dòng)能的改變，故人做的功應(yīng)為顯然與系統(tǒng)原來(lái)的速度無(wú)關(guān)。2.9.答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運(yùn)動(dòng)中繩的拉力提供圓弧運(yùn)動(dòng)的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)秋千蕩到鉛直位置向上去的過(guò)程中，人站起來(lái)提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢(shì)能增加；當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)向豎直位置折回過(guò)程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動(dòng)能增大，這樣循環(huán)往復(fù)，系統(tǒng)的總能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時(shí)能量的增長(zhǎng)是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來(lái)的。2.10.答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變，然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的特例，故2.7（2）中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的公式。2.11.答：由知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度或增大質(zhì)量比。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問(wèn)題的限制，不能過(guò)大；又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量相當(dāng)大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級(jí)火箭，一級(jí)火箭的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級(jí)火箭開(kāi)始工作后便于提高火箭的速度。若各級(jí)火箭的噴射速度都為，質(zhì)量比分別為，各級(jí)火箭的工作使整體速度增加，則火箭的最后速度因每一個(gè)都大于1，故可達(dá)到相當(dāng)大的值。但火箭級(jí)數(shù)越多，整個(gè)重量越大，制造技術(shù)上會(huì)帶來(lái)困難，再者級(jí)越高，質(zhì)量比越減小，級(jí)數(shù)很多時(shí)，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級(jí)數(shù)不能過(guò)多，一般三至四級(jí)火箭最為有效。第二章習(xí)題解答2.1 解 均勻扇形薄片，取對(duì)稱軸為軸，由對(duì)稱性可知質(zhì)心一定在軸上。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有2.2 解 建立如圖2.2.1圖所示的球坐標(biāo)系把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。設(shè)均勻球體的密度為。則 由對(duì)稱性可知，此球帽的質(zhì)心一定在軸上。代入質(zhì)心計(jì)算公式，即2.3 解 建立如題2.3.1圖所示的直角坐標(biāo)，原來(lái)與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的（因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運(yùn)動(dòng)：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地，水平距離 第二次運(yùn)動(dòng):在最高點(diǎn)人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動(dòng)量守恒，有可知道 水平距離跳的距離增加了=2.4 解 建立如圖2.4.1圖所示的水平坐標(biāo)。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有 對(duì)分析；因?yàn)?在劈上下滑，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。如圖2.4.2圖所示。所以相對(duì)下滑。由牛頓第二定律有 所以水平方向的絕對(duì)加速度由可知 聯(lián)立，得 把代入，得 負(fù)號(hào)表示方向與軸正方向相反。求劈對(duì)質(zhì)點(diǎn)反作用力。用隔離法。單獨(dú)考察質(zhì)點(diǎn)的受力情況。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)垂直斜劈運(yùn)動(dòng)的加速度為0，所以把代入得， 水平面對(duì)劈的反作用力。仍用隔離法。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o(wú)加速度，所以 于是 2.5 解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。如圖2.5.1圖所示薄圓盤(pán)，任取一微質(zhì)量元， 所以圓盤(pán)繞此軸的動(dòng)量矩=2.6 解炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆炸，由題目已知條件爆炸后，兩者仍沿原方向飛行知，分成的兩個(gè)部分，速度分別變?yōu)檠厮椒较虻?，并一此速度分別作平拋運(yùn)動(dòng)。由前面的知識(shí)可知，同一高處平拋運(yùn)動(dòng)的物體落地時(shí)的水平距離之差主要由初速度之差決定。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無(wú)外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒： 以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過(guò)程中能量守恒： 聯(lián)立解之，得所以落地時(shí)水平距離之差=2.7 解 建立如題2.7.1圖所示的直角坐標(biāo)系。 當(dāng)沿半圓球下滑時(shí)，將以向所示正方向的反向運(yùn)動(dòng)。以、組成系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，即相對(duì)于地固連的坐標(biāo)系的絕對(duì)速度為相對(duì)的運(yùn)動(dòng)速度 故水平方向豎直方向 在下滑過(guò)程中，只有保守力（重力）做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：（以地面為重力零勢(shì)能面） =把代入 =把代入2.8 證 以連線為軸建立如題2.8.1圖所示的坐標(biāo)。 設(shè)初始速度為與軸正向夾角碰撞后，設(shè)、運(yùn)動(dòng)如題2.8.2圖所示。、速度分別為、，與軸正向夾角分別為、。以、為研究對(duì)象，系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒。方向：垂直軸方向有：可知整個(gè)碰撞過(guò)程只有系統(tǒng)內(nèi)力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒：由得 即兩球碰撞后速度相互垂直，結(jié)論得證。2.9 解 類似的碰撞問(wèn)題，我們一般要抓住動(dòng)量守恒定理和機(jī)械能守恒定理得運(yùn)用，依次來(lái)分析條件求出未知量。設(shè)相同小球?yàn)?，初始時(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，球的速度以碰撞后球速度所在的方向?yàn)檩S正向建立如題2.9.1圖所示的坐標(biāo)(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡(jiǎn)化表達(dá)式)。以、為系統(tǒng)研究，碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。方向上有： 方向上有： 又因?yàn)榛謴?fù)系數(shù) 即=用- 用代入得 求在各種值下角的最大值，即為求極致的問(wèn)題。我們有得即=0所以 即由因?yàn)? 故=所以2.10 以為研究對(duì)象。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)椋S即在不可伸長(zhǎng)的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。以的連線為軸建立如題2.10.1圖所示。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒：隨即在的約束下方向變?yōu)檠剌S的正向，速度變?yōu)楣?方向上有故恢復(fù)系數(shù)定義有：= 即 聯(lián)立得 2.11 解 如圖所示， 有兩質(zhì)點(diǎn)，中間有一繩豎直相連，坐標(biāo)分別為：，質(zhì)量為，開(kāi)始時(shí)靜止。現(xiàn)在有一沖量作用與，則作用后，得到速度，仍靜止不動(dòng)：。它們的質(zhì)心位于原點(diǎn)，質(zhì)心速度我為現(xiàn)在把坐標(biāo)系建在質(zhì)心上，因?yàn)橄到y(tǒng)不再受外力作用，所以質(zhì)心將以速率沿軸正向勻速正向、反向運(yùn)動(dòng)。由于質(zhì)心系是慣性系，且無(wú)外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)時(shí)間后，如圖所示：于是在系中的速度的速度：因此2.12 解 對(duì)于質(zhì)心系的問(wèn)題，我們一般要求求出相對(duì)固定參考點(diǎn)的物理量，在找出質(zhì)心的位置和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況，由此去計(jì)算物體相對(duì)或絕對(duì)物理量及其間的關(guān)系。由題可知，碰前速度為，速度。碰后速度，分別設(shè)為。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒。有恢復(fù)系數(shù)聯(lián)立得再由質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的定義：為質(zhì)心對(duì)固定點(diǎn)位矢，分別為 ，對(duì)同一固定點(diǎn)的位矢所以（質(zhì)點(diǎn)組不受外力，所以質(zhì)心速度不變。）設(shè)兩球碰撞后相對(duì)質(zhì)心的速度，。（負(fù)號(hào)表示與相反）同理，碰撞前兩球相對(duì)質(zhì)心的速度（負(fù)號(hào)表示方向與相反）所以開(kāi)始時(shí)兩球相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能：=2.13 用機(jī)械能守恒方法；在鏈條下滑過(guò)程中，只有保守力重力做功，所以鏈條的機(jī)械能守恒。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。有2.14 此類題為變質(zhì)量問(wèn)題，我們一般研究運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量的變化與力的關(guān)系以豎直向上我軸正向建立如題2.14.1圖所示坐標(biāo)。繩索離地面還剩長(zhǎng)時(shí)受重力則所以 求地板的壓力，有牛頓第三定律知，只需求出地板對(duì)繩索的支持力即可，它們是一對(duì)作用力與反作用力。這是我們以快要落地的一小微元作為研究對(duì)象。它的速度由變?yōu)?。用動(dòng)量守恒，有=又因?yàn)?2.15 解 這是一道變質(zhì)量的問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題，我們由書(shū)上p.137的（2.7.2）式來(lái)分析。以機(jī)槍后退方向作為軸爭(zhēng)先，建立如題2.15.1圖的坐標(biāo)。豎直方向上支持力與重力是一對(duì)平衡力。水平方向上所受合外力F即為摩擦力單位時(shí)間質(zhì)量的變化由式所以2.16解 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問(wèn)題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書(shū)上p.138的（2.7.4）式分析雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問(wèn)題。我們知道處理這類問(wèn)題常常理想化模型的幾何形狀。對(duì)于雨滴我們?？闯汕蛐?，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即為常數(shù)。我們對(duì)式兩邊求導(dǎo)由于=，所以對(duì)式兩邊積分以雨滴下降方向?yàn)檎较颍瑢?duì)式分析 （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以2.17 證 這是變質(zhì)量問(wèn)題中的減質(zhì)量問(wèn)題，我們?nèi)杂脮?shū)上p.137(2.7.2)式來(lái)分析。設(shè)空火箭質(zhì)量，燃料質(zhì)量。以向上為正方向，則火箭任一時(shí)刻的質(zhì)量噴氣速度2074是指相對(duì)火箭的速度，即。有式化簡(jiǎn) 對(duì)兩邊積分 此既火箭速度與時(shí)間的關(guān)系。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知代入可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。又當(dāng)時(shí)，=11.25而要用此火箭發(fā)射人造太陽(yáng)行星需要的速度至少應(yīng)為第二宇宙速度。故所攜帶燃料重量至少是空火箭重量的300倍。2.18證 要使火箭上升，必須有發(fā)動(dòng)機(jī)推力火箭的重量，即即火箭才能上升，結(jié)論得證。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線性規(guī)律火箭飛行速度又因?yàn)槿剂先紵龝r(shí)間代入得火箭最大速度=又因?yàn)槭接挚梢詫?xiě)成積分可得從開(kāi)始到燃燒盡這一段時(shí)間內(nèi)火箭上升高度。把代入得之后火箭作初速度為的豎直上拋運(yùn)動(dòng)?？蛇_(dá)高度故火箭能達(dá)到的最大高度=2.19證 假設(shè)該行星做橢圓運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為，周期為。某一時(shí)刻位置為，速度為，則=-又因?yàn)橛谑?第三章 剛體力學(xué)第三章思考題解答3.1 答：確定一質(zhì)點(diǎn)在空間中得位置需要3個(gè)獨(dú)立變量，只要確定了不共線三點(diǎn)的位置剛體的位置也就確定了，故須九個(gè)獨(dú)立變量，但剛體不變形，此三點(diǎn)中人二點(diǎn)的連線長(zhǎng)度不變，即有三個(gè)約束方程，所以確定剛體的一般運(yùn)動(dòng)不需3n個(gè)獨(dú)立變量，有6個(gè)獨(dú)立變量就夠了.若剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，只要定出任一點(diǎn)相對(duì)定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)就確定了，只需3個(gè)獨(dú)立變量；確定作平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的代表平面在空間中的方位需一個(gè)獨(dú)立變量，確定任一點(diǎn)在平面上的位置需二個(gè)獨(dú)立變量，共需三個(gè)獨(dú)立變量；知道了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角，剛體的位置也就定了，只需一個(gè)獨(dú)立變量；剛體的平動(dòng)可用一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表其運(yùn)動(dòng)，故需三個(gè)獨(dú)立變量。3.2 答物體上各質(zhì)點(diǎn)所受重力的合力作用點(diǎn)即為物體的重心。當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)物體上各質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力場(chǎng)為均勻場(chǎng)，此時(shí)質(zhì)心與重心重合。事實(shí)上但物體的線度很大時(shí)各質(zhì)點(diǎn)所在處的大小是嚴(yán)格相等，且各質(zhì)點(diǎn)的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心與質(zhì)心不和。3.3答 當(dāng)物體為均質(zhì)時(shí)，幾何中心與質(zhì)心重合；當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)，質(zhì)心與重心重合；當(dāng)物體為均質(zhì)且大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)，三者都重合。3.4 答 主矢是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨簡(jiǎn)化中心的位置而改變，故而也稱之為力系的主矢；簡(jiǎn)化中心的位置不同，各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的位矢也就不同則各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩也就不同，故主矩隨簡(jiǎn)化中心的位置而變，被稱之為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。分別取和為簡(jiǎn)化中心，第個(gè)力對(duì)和的位矢分別為和，則=+，故即主矢不變，表明剛體的平動(dòng)效應(yīng)不變，主矩隨簡(jiǎn)化中心的位置改變，表明力系的作用對(duì)剛體上不同點(diǎn)有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，但不改變整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律或者說(shuō)不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)和對(duì)質(zhì)心的位矢分別為和，則=+，把點(diǎn)的主矢，主矩移到點(diǎn)得力系對(duì)重心的主矩把為簡(jiǎn)化中心得到的主矢和主矩移到點(diǎn)可得簡(jiǎn)化中心的改變引起主矩的改變并不影響剛體的運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，簡(jiǎn)化中心的選取不過(guò)人為的手段，不會(huì)影響力系的物理效應(yīng)。3.5 答 不等。如題3-5圖示，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量這表明平行軸中沒(méi)有一條是過(guò)質(zhì)心的，則平行軸定理是不適應(yīng)的3.6不能，如3-5題。但平行軸定理修改后可用于不過(guò)質(zhì)心的二平行軸。如題3-6圖所示，均質(zhì)棒上二點(diǎn)到質(zhì)心的距離分別為和由平行軸定理得：則，此式即可用于不過(guò)質(zhì)心的二平行軸。如上題用此式即可求得：3.7 答 任一瞬時(shí)，作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體上或與剛體固連且與剛體一起運(yùn)動(dòng)的延拓平面總有也僅有一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零（轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心）從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)看由（3.7.1）式知選此點(diǎn)的基點(diǎn)較好，這樣選基點(diǎn)，整個(gè)剛體僅繞此點(diǎn)作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)從（3.7.4）式可知，求加速度時(shí)選加速度為零的點(diǎn)為基點(diǎn)較方便，但實(shí)際問(wèn)題中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。從動(dòng)力學(xué)角度考慮，選質(zhì)心為基點(diǎn)較好，因質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解決；而且質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理于對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理具有相同的形式，亦即剛體繞過(guò)質(zhì)心與平面