（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非線性偏微分方程解析解的研究.pdf

學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 r l l l l li i f l ll f f f j f l f l li i l i l l r l l l i i f 刪 y 18 9 4 i i i ij6l jlp 1 5 hr 1 4 i i l l 江蘇大學(xué) 中國科學(xué)技術(shù)信息研究所 國家圖躬館 中國學(xué)術(shù)期刊 光盤 版 電子雜志社有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔 可以采用 影印 縮印或其他復(fù)制手段保存論文 本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容 相一致 允許論文被查閱和借閱 同時授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究所將本論文 編入 中國學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 并向社會提供查詢 授權(quán)中國學(xué)術(shù)期刊 光 盤版 電子雜志社將本論文編入 中國優(yōu)秀博碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫 并向 社會提供查詢 論文的公布 包括刊登 授權(quán)江蘇大學(xué)研究生處辦理 本學(xué)位論文屬于不保密耐 學(xué)位論文作者簽名 旎韻 加f f 年6 月侈日 指剝嗽 搠 w l 年6 只f 電 非線性偏微分方程解析解的研究 t h er e s e a r c ho n a n a l y t i co f n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 0 1 1 年6 月 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 非線性科學(xué)被深入研究并廣泛應(yīng)用到了物理 化學(xué) 工程 生物 等各領(lǐng)域 許多非線性物理現(xiàn)象都可以用非線性方程來很好的描述 所以得到非線性方程的解有很重要的意義 目前 人們已經(jīng)確立和發(fā) 展了許多求解非線性系統(tǒng)的有效方法 但是因為求解非線性偏微分方 程沒彳1 統(tǒng)一而且普適的方法 所以尋找一些行之有效的方法是一項十 分有價值的工作 本文用近似對稱約化方法和同倫分析法研究了非線 性偏微分方程的求解 全文共分四個部分 第一章 簡要回顧了非線性偏微分方程提出的背景 歸納總結(jié)了 國內(nèi)外所提出的求解非線性偏微分方程的一些主要的方法 扼要的介 紹了本文研究的主要內(nèi)容 第二章 介紹了研究過程中需要的基本理論 基本概念等 并介 紹了結(jié)合l i e 對稱和擾動理論產(chǎn)生的近似對稱方法及同倫分析法 第三章 給出帶有擾動項的b u r g e r s 方程的近似對稱約化和無窮 級數(shù)解 第四章 運用同倫分析法求得了兩個非線性偏微分方程的解析 解 其中一個是近似長波耦合方程 另一個是奇異擾動m k d v k s 方 程 本文應(yīng)用同倫分析法求得了兩個方程的顯式解析解 該解與其 它解法求得的精確解十分吻合 證明同倫分析法求解非線性偏微分 方程的有效性和巨大的潛力 非線性偏微分方程解析解的研究 所用的方法都可以借助計算機系統(tǒng)如m a p l e 和m a t h e m a t i c a 得 以實現(xiàn) 關(guān)鍵詞 非線性偏微分方程 擾動的微分方程 近似對稱約化 同倫 分析法 級數(shù)解 近似解 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論丈 a b s t r a c t t h en o n l i n e a rs c i e n c ei ss u b s t a n t i a l l ys t u d i e da n dw i d e l ya p p l i e di n m a n yf i e l d s o fp h y s i c s c h e m i s t r y e n g i n e e r i n ga n db i o l o g y m a n y n o n l i n e a rp h e n o m e n ac a nb ew e l ld e s c r i b e db yn o n l i n e a re q u a t i o n s t h e r e f o r e i ti sa ni m p o r t a n ta n dm e a n i n g f u lw o r kt os e e kt h es o l u t i o no f an o n l i n e a re q u a t i o n a tp r e s e n t m a n ym e t h o d sh a v eb e e ne s t a b l i s h e d a n dd e v e l o p e dt os o l v et h en o n l i n e a rs y s t e m s n o ta l lt h e s ea p p r o a c h e s a r eu n i v e r s a l l ya p p l i c a b l ef o rs o l v i n ga l lk i n d so fn o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sd i r e c t l y a s ac o n s e q u e n c e i ti ss t i l lav e r y s i g n i f i c a n tt a s kt og o o ns e a r c h i n gf o re f f i c i e n t a p p r o a c h e st os o l v e n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt h i st h e s i s a p p r o x i m a t e s y m m e t r yp e r t u r b a t i o na p p r o a c ha n dt h eh o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d h a m a b o u ts o l v i n g n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e d i s c u s s e d t h e r ea r ef o u rs e c t i o n si nt h i sp a p e r i n c h a p t e ro n e t h e h i s t o r i c a l b a c k g r o u n d o f n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sl o o k e db a c ko n t h em a i nm e t h o d sf o rs o l v i n go f n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es u m m a r i z e d a n dt h ep r i m a r y c o n t e n t so ft h i sp a p e ra r er e p o r t e da sw e l l i nc h a p t e rt w o w ei n t r o d u c ean u m b e ro fi m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n d t h e o r i e s t h ea p p r o x i m a t es y m m e t r yr e d u c t i o na p p r o a c h w h i c hi sb a s e d i i i 非線性偏微分方程解析解的研究 o nt h el i et h e o r yh a sb e e ne s t a b l i s h e da n dp e r t u r b a t i o nt h e o r y a n dt h e h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o da r ei n t r o d u c e da sw e l l i nc h a p t e rt h r e e w eo b t a i nt h ea p p r o x i m a t es y m m e t r yr e d u c t i o n a n di n f i n i t es o l u t i o nf o rt h ep e r t u r b e db u r g e r se q u a t i o n i nc h a p t e rf o u r t h eh a mi su s e dt os o l v et w on o n l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o n ei st h es y s t e mo ft h ea p p r o x i m a t ee q u a t i o n sf o r l o n gw a t e rw a v e s t h eo t h e r i st h e s i n g u l a r l yp e r t u r b e dm k d v k s e q u a t i o n w et i s e d t i l eh a m t og e tt h ea n a l y t i ca p p r o x i m a t i o no ft h et w o e q u a t i o n s t h er e s u l t so b t a i n e db yt h i sm e t h o dh a v ea g r e e m e n tw i t ht h e e x a c ts o l u t i o no b t a i n e db yo t h e rm e t h o d s i ti l l u s t r a t e st h ev a l i d i t ya n dt h e g r e a tp o t e n t i a l o ft h eh a mi ns o l v i n gn o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a l lt h em e t h o d sw ep r o p o s e dc a nb ep e r f o r m e dw i t ht h eh e l po ft h e c o m p u t e r o fa l g e b r a i cs y s t e m s u c ha sm a p l eo rm a t h e m a t i c a k e yw o r d s n o n l i n e a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p e r t u r b e d e q u a t i o n s a p p r o x i m a t es y m m e t r y r e d u c t i o n t h e h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d s e r i e s s o l u t i o n s a p p r o x i m a t i o n s o l u t i o n s 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 目錄 第1 章緒論 1 1 1 研究背景及意義 1 1 2 研究現(xiàn)狀 2 1 3 本文主要研究內(nèi)容 3 第2 章基本理論和概念 5 2 1 基本概念 5 2 1 1 對稱約化的相關(guān)概念 5 2 1 2 同倫的相關(guān)概念 8 2 2 近似對稱約化方法基本思想 8 2 3 同倫分析法的基本思想 1 0 第3 章用近似對稱約化方法求解擾動b u r g e r s 方程 1 2 3 1 預(yù)備知識 1 2 3 2 擾動b u r g e r s 方程的近似對稱約化 1 2 3 3 擾動b u r g e r s 方程的無窮級數(shù)解 1 4 3 4 本章小結(jié) 1 9 第4 章同倫分析法在非線性偏微分方程中的應(yīng)用 2 0 4 1 近似長波方程的求解與其近似解的模擬 2 0 4 1 1 近似長波方程的求解 2 0 4 1 2 近似長波方程的數(shù)值解模擬 2 3 4 1 3 南值的選取 2 4 4 1 4 解的有效性檢驗 2 6 4 1 5 本節(jié)小結(jié) 2 8 4 2 奇異擾動m k d v k s 方程的同倫近似解 2 9 4 2 1引言 2 9 4 2 2 奇異擾動m k d v k s 方程的求解 2 9 4 2 3結(jié)論 3 3 第5 章總結(jié)與展望 3 4 致謝 i 參考文獻 3 6 讀研期間發(fā)表的論文 4 0 v 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 研究背景及意義 第1 章緒論 隨著對客觀世界認(rèn)識的不斷深入 在物理 化學(xué) 工程 力學(xué)等領(lǐng)域涌現(xiàn)出 大量的非線性問題 如 理想流體力學(xué)發(fā)展成為非線性的納維爾 斯托克斯 n a v i e r s t o k e s 理論 牛頓引力定理發(fā)展成為為非線性的愛因斯坦引力場方程 線性振動 波動發(fā)展成為非線性的振動 波動 光學(xué) 熱力學(xué) 統(tǒng)計力學(xué)等都是 從線性理論發(fā)展為非線性理論 還有 波恩等試圖發(fā)展非線性的電磁理論 海森 堡 德布羅意 波姆及p b b u t t 等都曾努力發(fā)展非線性量子力學(xué)等 在非線性科 學(xué)中孤立子理論在自然科學(xué)的各個領(lǐng)域占據(jù)著十分重要的角色f 1 4 1 這些非線性 問題 j r 以模型化為非線性常 偏 微分方程 組 因此許多非線性問題都能轉(zhuǎn) 化為塒非線性偏微分方程 組 的問題的求解 所以在理論上和應(yīng)用上非線性偏 微分力 程 組 解的研究都具有十分重要意義 近幾十年來 非線性偏微分方程 組 的求解及其解法研究 一直是非線性科學(xué)研究中極其重要和最為活躍的前 沿課題和熱點問題 1 8 3 4 年 英國科學(xué)家 造船工程師約翰 斯科特 羅素 j o h ns c o t tr u s s e l l 在從愛丁堡到格拉斯哥的運河上偶然觀察到水面上涌現(xiàn)了光滑而且輪廓分明的 巨大孤立波峰 這種孤立波以恒定速度傳播 保持形狀不變 他把這種波稱為 孤立波 在題為 論波動 的報告中描述了他觀察到的奇妙現(xiàn)象1 5 1 1 8 9 5 年 根據(jù)流體力學(xué)知識 荷蘭科學(xué)家k o r t e w e g 科特維格 和d e v r i e s 德弗里斯 6 研究 了淺水波運動 即著名的k d v 方程 在長波近似和小振幅的假設(shè)下 得到單向 運動的淺水運動方程 這是最早提出的一個非線性偏微分方程 并求解得到這 個方程的行波解 這個解屬于周期性橢圓函數(shù) 稱為橢圓余弦波 c n o i d a l w a v e 在波長趨于無限時 它描述了羅素所發(fā)現(xiàn)的孤波的運動 波形為s e c h 2 k d v 方程的提出從理論上闡明了孤波的存在 2 0 世紀(jì)五十年代 著名物理學(xué)家 費米 e n r i c of e r m i j o h np a s t a 和s t a nu l a m 利用第一臺大型電子計算機 a n i a c i 進行了一項數(shù)值研究實驗 i i j f p u 實驗 由于這個實驗只在頻率空間考察 沒能發(fā)現(xiàn)孤立波解 故沒有得到正確解釋 其后t o d a 考慮晶體的非線性運動 非線性偏微分方程解析解的研究 近似模擬這種情況 最終得到孤立波解 f p u 問題得到了正確的解答 1 9 6 5 年 用計算機數(shù)值模擬法 美國科學(xué)家z a b u s k y 扎布斯基 和k r u s k a l 克魯斯卡爾 詳 細(xì)考慮了等離子體中孤立波相互間的非線性碰撞過程 證實了孤立波在相互作 用后形狀和傳播速度保持不變的論斷 自k o r t e w e g 和d e v r i e s 導(dǎo)出k d v 方程后 可以在不同的背景中作為描述多 種多樣的物理現(xiàn)象的模型方程不斷地推導(dǎo)出k d v 方程 現(xiàn)在 k d v 方程被視為 非線性數(shù)學(xué)物理模型之一 同時人們陸續(xù)在不同的物理和工程實際背景中也提出 了許多偏微分方程 如b u r g e r s 方程 m k d v 方程 b o u s s i n e s q 方程 k d v b u r g e r s 方程 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程 k d v b u e g e r s k u r a m a t o 方程 非線性 k l e i n g o r d o n 方程 s i n e g o r d o n 方程 s i n h g o r d o n 方程等 到目前為止提出的 有物理意義和使用價值的偏微分方程已有幾百個 且隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展 在各個學(xué)科中不斷提出許多新的非線性偏微分方程 組 1 2 研究現(xiàn)狀 眾所周知 許多意義重大的自然科學(xué)和工程技術(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為非線性偏 微分方程 組 的研究 并且偏微分方程 組 的精確解可以很好的解釋各種自 然現(xiàn)象 例如振動 傳播波 和孤立子等 所以在理論上和應(yīng)用上都具有極其重 要的價值 現(xiàn)在一些計算機符號運算軟件如m a t h e m a t i c a m a t l a b m a p l e 等的出 現(xiàn)和不斷發(fā)展 使得偏微分方程 組 的求解及其解法研究逐漸成為一個熱點領(lǐng) 域 人們提出了許多求解非線性偏微分方程 組 的方法 下面簡單介紹一下近 幾十年來求解非線性偏微分方程 組 一些主要和常用的方法 1 9 6 7 年 c s g a r d n e r j m g r e e n e m d k r u s k a l 和r m m i u r a 簡稱 g g k m 提出了逆散射方法f 7 1 也稱非線性f o u r i e r 分析 它的基本思想是將 這類非線性問題通過常微分算子與本征值轉(zhuǎn)化為線性問題來求解 這個方法是 應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重大突破 后來又經(jīng)過拉克斯 ed 1 a x 8 推廣并改進了 g g k m 的上述方法 使之能夠求解其它的非線性偏微分方程 逐步形成了一種 比較系統(tǒng)的求解非線性偏微分方程的方法 1 9 7 2 年 前蘇聯(lián)的z a l d a a r o v 和s h a b a t 將這一方法進行了本質(zhì)的推廣 解決了高階k d v 方程以及立方非線性 s c h r 5 d i n g e r 方程等的求解 同年 m w a d a t if 9 1 得到m k d v 方程的精確解 a b l o w i t z 1 0 等人則將反散射方法推廣到一般的情況 屠規(guī)彰和李翊神 1 1 1 2 1 2 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 也對反散射法的發(fā)展做了很大的貢獻 1 9 7 1 年 日本物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家h i r o t a 教授提出雙線性方法 h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d 是構(gòu) 造偏微分方程n 孤子解及 其b i i c k l u n d 變化的一種重要而直接的方法 1 3 1 4 莊1 9 7 5 年 w a h l q u i s t 和 e s t a b r o o k 1 5 1 w e 提出了只有兩個獨立變量的非線性偏微分方程的延拓方法 1 8 7 4 年 挪威數(shù)學(xué)家s o p h u sl i e 發(fā)現(xiàn)某些微分方程的解對于一些連續(xù)變換群是 不變的 從而引入了連續(xù)群的概念 后來被稱為李群 李對稱方法已被廣泛應(yīng) 用于物理 工程 力學(xué)等應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域 如水波方程b o u s s i n e s q 方程 1 6 1 7 1 b u r g e r s 方程1 1 8 2 0 k d v 方程 2 1 2 2 非線性耦合方程組 2 3 2 5 等 1 9 6 9 年 b l u n l a n 和c o l e 2 6 在尋找熱方程的新解時擴展了l i e 的方法 稱之為非經(jīng)典約 化方法 得到許多標(biāo)準(zhǔn)方法得不到的新解 如對c a n h h i l l i a r d 方程 2 7 1 求解 c l a r k s o n k r u s k a l 2 8 1 基于李群方法的相似約化思想提出一種尋找偏微分方程 相似約化的方法 這種方法稱為直接方法 并且得到了b o u s s i n e s q 方程的相似 約化 隨著李對稱方法在偏微分方程的深入應(yīng)用和快速發(fā)展 尤其是近年來符 號運算軟件的廣泛運用 很好的解決了數(shù)學(xué)分析和處理中繁瑣的代數(shù)運算問題 因此不論是群理論方法 還是直接方法 在求解微分方程問題上都得到了更好 的發(fā)展 求解微分方程的方法也更加多樣化 如變量分離方法1 2 9 3 1 齊次平 衡法 3 2 1 擴展的直接方法 3 3 1 得到了更多的新解 攝動方法 3 4 1 也是一種被廣泛地應(yīng)用于求解非線性問題的分析工具之一 由 于攝動方法的有效性常常依賴某個小參數(shù)f 或大參數(shù) 或者被稱為攝動量的變量 l y a p u n o v 3 5 引入一個人工輔助小參數(shù) 發(fā)展了l y a p u n o v 人工小參數(shù)法 k a r m i s h i n 等人 3 6 1 采用這種思想提出了盯展開法 但是人工小參數(shù)法與仃展開法 都需要一些基本法則來指導(dǎo)我們應(yīng)該在何處設(shè)置人工參數(shù) 此外 同攝動方法 一樣 人工小參數(shù)法和盯展開法均無法提供一個調(diào)節(jié)級數(shù)解收斂區(qū)域和收斂速度 的簡便途徑 利用拓?fù)渲械耐瑐愃枷?l i a o 3 7 4 0 提出了一種新的求解非線性問 題的解析方法一同倫分析方法 較攝動法有更多的優(yōu)點 同倫分析方法已成功地 應(yīng)用于許多科學(xué)和工程中的非線性問題的研究1 4 1 4 5 1 1 3 本文主要研究內(nèi)容 本文圍繞非線性偏微分方程的求解問題主要做了一下兩部分內(nèi)容 3 非線性偏微分方程解析解的研究 一 利用近似對稱擾動理論求解含有小參數(shù)擾動項的偏微分方程 發(fā)現(xiàn)不 同階的相似約化方程在形式上是一致的 因此可以總結(jié)出相似約化方程的一般 形式 從而求出帶有小參數(shù)擾動項的偏微分方程的無窮級數(shù)解 二 利用同倫分析法求解非線性偏微分方程及耦合非線性偏微分方程組 我 們利用m a p l e 軟件 通過引入輔助非零參數(shù)h 構(gòu)造同倫方程 非線性偏微分方程 組 的解的表達式為一個無窮序列 選擇合適的殼值 使解收斂 從而得到所 要求解的偏微分方程 組 的解 由于計算量的限制 一般所得到的都是非線性 偏微分方程 組 的某一階截斷解 即近似解 把所求的近似解跟原方程 組 的精確解進行數(shù)值比較 發(fā)現(xiàn)兩個解的圖形是十分吻合的 在非線性偏微分方程 和非線性耦合方程組中的應(yīng)用都證實了同倫分析法是求解非線性偏微分方程 召 組 的一種行之有效的方法 4 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 1 基本概念 第2 章基本理論和概念 2 1 1對稱約化的相關(guān)概念 定義2 1 1 1 李變換群 李群g 稱為微分流形m 上的李變換群 如果 i g 中的任一個元素口都決定m 上的一個變換 即 為微分同胚 它使 并常將口 z 記作潮 作為 a m 專m x 一口 石 z m i i 訂 力 爭x a a g z m g x m 專m 的映射是g m 的 i i i 對任意的口 b g 的和x m x a b x a b 定義2 112 單參數(shù)變換群 若微分流形m 上的李變換群g 為一實數(shù)加群 則稱之為m 上的一個單參 數(shù)變換群 對任意實數(shù)f 都決定m 上的一個變換 使 而g 中的乘法滿足 t p mj m t r p 一仍 p p m 5 非線性偏微分方程解析解的研究 紀(jì)織2 仍 o 定義2 1 1 3 微分方程的對稱 考慮含有兩個變量的非線性演化方程 u f t u u 2 1 1 1 設(shè)m 是全體連續(xù)函數(shù)的集合 即m m o f 方程的解集可以表示為 n 恤 miu f t u u x 2 1 1 2 設(shè)g 島i 塒是作用在m 上的單參數(shù)變換群 即 對m 中的任意 將 g u 爭a u 占 歷 0 u g u a u s 玩 可看做m 中過甜的一條曲線 占為曲線參數(shù) 也稱為甜在g 作用下的軌道 記 a ui 仃m 2 萬i 咖 盯 就是單參數(shù)變換群 在m 中對應(yīng)的向量場 若 g u a u 占 是微分方程的不變?nèi)?則 把百 占 關(guān)于占進行泰勒展開 從而 因為 玩 f x t 面 玩 2 1 1 3 砌一 g 知0 占2 磐l 盯 箬k 2 1 1 4 聊 k a l 咖 占警al 窘小一 s a 這樣 由復(fù)合求導(dǎo)法則 6 叱i 州 知 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 記 a k a i o o 砌k d 歷簧警愛等 l a ka ka k 2 盯 i 吒 o u c u jo u 刪h 2簧盯 瓦ok吒 okou d u 2 1 1 5 鰳 l 厶 3 這樣 d r f a k d s 1 所以 k k 旅 叫 占2 d z 礦k a i 2 1 1 6 將方程 2 1 1 4 和 2 1 1 6 代入方程 2 1 1 2 中 然后利用 2 1 1 1 化 簡后有 孵 窘l 一旅 小 d 2 r a i 咖 上式消去公因子g 再令占j o 我們得到 生d t k 叫 2 一 1 1 1 l l j 其中k 由公式 2 1 1 5 定義 滿足上面方程的仃稱為這個方程的對稱 定理2 1 1 1 c r u 是偏微分方程f o t u u u t 0 的一個對稱 則甜是方 程的與仃相應(yīng)的不變?nèi)旱娜翰蛔兘獗仨毲抑豁殱M足 f x t u u u t 0 o u 0 定理2 1 1 2 如果g u 專歷 占 是單參數(shù)不變?nèi)?盯滿足對稱方程 2 1 1 7 記露 設(shè)廳滿足 缸 叫吐砌 0 7 非線性偏微分方程解析解的研究 特 是非線性演化方程 2 1 1 1 的任意一個解 則面 甜 s 是非線性演化方程的 4 族解 2 1 2 同倫的相關(guān)概念 設(shè)x 與 是拓?fù)淇臻g 連續(xù)映射廠 x y 設(shè)石 x 是x 的子空間 y 7 y 是 的子空間 如果映射廠 x 專y 適合f x y 7 f x y 則記 廠 x x x y y 7 r 用 表示直線上的區(qū)間 定義2 i 2 1 同倫 設(shè) 和廠7 x x x 一 y y y 是兩個映射 如果存在映射 f 僻 x 毒 x 木 一何 y y 使得f x o 廠 z f x 1 廠 o 對任意的 x x 成立 則稱廠與廠 相對于 x x 7 y 來說是同倫的 注1 當(dāng)x x y y 是空集時 稱為 絕對 同倫 注2 映射廠與廠 同倫具有明顯的幾何直觀 即連接廠到廠 的一連續(xù)變形 2 2 近似對稱約化方法基本思想 考慮含有小參數(shù)占的兩個自變量 x f 的k 階偏微分方程 凡砒 壚蒜麓溉 a 2 2 1 式中 之 屯 五 厶 j 口取自 z f 的集合 利用近似對稱擾動理論求解偏微分方程 2 2 1 的近似對稱約化和無窮級 數(shù)解的步驟如下所示 首先 假設(shè)偏微分方程 2 2 1 有如下形式解 s 2 2 2 將 2 2 2 代入偏微分方程 2 2 1 然后根據(jù)占的次數(shù)合并同類項 并令 占的系數(shù)全為零 從而得到下面的方程組 8 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論丈 o s o 磊 x t 比 聃 t 0 o e 1 e l 一 岣 自如 以 6 0 u o 辦 后 0 o e 2 e 1 1 應(yīng) g 1 厶 如 o o 9 4 e z 1 19 9 u 1 眥 缸 q 髓o 五舢 易 0 2 2 3 其中 o c 所對應(yīng)的方程稱為所求偏微分方程 2 2 1 的第n 階近似對稱方程 其次 利用李對稱理論設(shè)方程 2 2 3 的李對稱為 求解其特征函數(shù) 得到的相似解為 扣曇 扎n o 毒 2 舢 坐 一d t d u o 盟 xt u 1u u a x f k 孝 6 x f 刀 0 1 式中f c x t 把求解的 o 0 1 代入 2 2 2 我們得到偏微分方程 2 2 1 的級數(shù) 約化解是 h s 口 z f k 6 x f 2 2 5 最后 將 2 2 5 代入偏微分方程 2 2 1 我們可以得到k 階常微分方程組 v o k 善 v o 駱 善 0 巨6 0 v l v o f k 善 v o f 和 善 k 1 善 0 e v o k k v n 善 v o 強一 f v o 赫 f 0 9 非線性偏微分方程解析解的研究 2 2 6 可以通過常微分方程組 2 2 6 分別求出v o k k n 2 3 從而得到偏 微分方程 2 2 1 的解 2 3 同倫分析法的基本思想 同倫 h o m o t o p y 理論是代數(shù)拓?fù)?t o p o l o g y 學(xué)的一個分支 設(shè)f g z j y 是連續(xù)映射 i 表示單位區(qū)間 0 1 若存在連續(xù)映射h z 固i 專y 使得對任意的x z 有h x 0 v x t i h x o 6 x 則稱f g 是同倫映 射 并稱h 為連接f 和g 的一個同倫 考察微分方程 n f o 2 3 1 其中 n 為非線性算子 t 為時間 f 為未知函數(shù) 構(gòu)造如下的同倫方程 1 q l o t q u f q h h r 1 n t q 2 3 2 其中 q o 1 為嵌入變量 f 口 為 f 的映射函數(shù) 殼為非零輔助參數(shù) h r 1 為非零輔助函數(shù) u o f 為u t 的初始近似解 為輔助線性算子 它有如下的 特性 l o 當(dāng) o 2 3 3 顯然 當(dāng)q o 和q 1 時 根據(jù)構(gòu)造的同倫 我們分別得到 l g p t o u o f o 2 3 4 以及 n f 1 o 2 3 5 從而得到 f 0 u o t f 1 u t 2 3 6 即當(dāng)q 從0 增加到1 時 f q 也從方程的初始近似解 o 變化到方程的精確 1 0 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 u t 在拓?fù)鋵W(xué)中 稱這樣的持續(xù)的變化是連續(xù)形變 對零階形變方程 2 3 2 中的變量g 兩邊k 次求導(dǎo) 然后令q 0 最后 除以k 我們得到高階形變方程 其中 為k 階形變導(dǎo)數(shù) 并有 且 l u t z k u h o 坍 f r 玩小f 2 3 7 姒壚去掣 2 3 8 螈 志掣b q 3 10 k 1 厄2 11 七 1 高階形變方程為線性方程 其解是 2 3 1 0 u k f o 以 t 一 f t f 2 3 1 1 這里h o 為高階形變方程的特解 t g k t 為線性算子上的基本解 這時我們可以 得到方程 2 3 1 的同倫級數(shù)解 o f f 2 3 1 2 非線性偏微分方程解析解的研究 第3 章用近似對稱約化方法求解擾動b u r g e r s 方程 3 1 預(yù)備知識 在本章中 我們來討論擾動b u r g e r s 方程 4 6 u t 2 甜u x u x x 6 7 l u 2 u x 甜 2 甜 1 6 31 3 1 1 的近似對稱和無窮級數(shù)解 其中占為較小的實數(shù) 五是常數(shù) 根據(jù)近似對稱擾動方法 非線性偏微分方程的解可以表示成包含小參數(shù)的 級數(shù)和的形式 對于本章所要求解的方程 我們假設(shè)解的一般形式為 u y6 j u f 一j y o 3 1 2 其中 哆是x 和t 的函數(shù) 把 3 1 2 代入所要求解的非線性偏微分方程 3 1 1 合并占各次冪的系數(shù) 并使其系數(shù)值全為0 我們可以得到下面的微分方程組 o g u o t u o x 2 u o 3 1 3 1 0 6 11 甜1 f u 1 搿 i u o 2 u 1 甜嘰 z 缸 一3 五 五 葉 u o u o 3 1 3 2 o 6 21 甜2 u 3 x x l u 2 2 u o u a x u 2 u o u l u u 3 2 u u u z o u 搿 u 1 u o x x 一6 2 u o z u k o u l u o 0 3 1 3 3 o s 協(xié)h 矗一 一砌h 麒一2 壹 以 一3 見 藝 以州 笠 知心 6 旯 簍 一 一 鬈善i 0u i u i l u j l i x i 0 2 式中u 一1 0 3 2 擾動b u r g e rs 方程的近似對稱約化 3 1 3 4 為了得到上面對稱約化方程組的一些精確解 我們假設(shè)方程 3 1 1 的李 點對稱有下面的形式 1 2 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 曠x 曇 丁曇u j u 例加 3 2 i 式中x t 和u o 1 都是x f 和 j j o 1 的的函數(shù) 即在下面形式的 變換下辦程組 3 1 3 是不變的 x x f t 占 仃 o f f 2 3 2 2 占 是小參數(shù) 通過這樣的一個變換 方程組 3 1 3 的線性化方程組是 f a o 一2 u o 9 0 x a o u o 0 3 2 3 1 q f o 1 一無q 砧一2 u o o 1 x o 1 u o x q u 1 h 3 2 u o z o u o 1 u o 麒 o 一6 2 u o 盯i h o o o u o 0 3 2 3 2 呸f 一吒 一五吒腳一2 u o o 3 o 1 u 2 岣口l 吒 仃l 2 0 o 3 2 u o u h o 口k q o n 嵋o o 目 o o u l 一6 2 u l x o o u o 1 u o o o j o o u l u o j q 比o u o j o j o u 0 3 2 3 3 c 丘 面 一l 嗣 7 1 u i o u i x o j l i 1一l j 1 c 卜 一 j 120 2 uio j l i x o j 32i oi oi o i ocl 一 一 仃丘一盯廊一 一1 搬一l i 吩盯一 f q 一 f i 一6 兄 u i 致盯m o 3 2 3 4 把 3 2 1 3 2 2 和在方程組 3 1 3 中求的 矗 o 1 代入到原方程 可得到比 u l 比 h 的多項式 再令多項式的各項系數(shù)為零 就得 到x t 和u j o 1 應(yīng)滿足的條件 x 了c x x o 丁 c f 島 一c u o u l 一c u l 0 3 c 2 u 2 u 如卟蕁 驢一華 2 4 其中x o c 和t o 是任意的常數(shù) 通過解對應(yīng)的特征方程 1 3 非線性偏微分方程解析解的研究 坐 一d t 一d u o 盟 xt u ou 稚 到所求方程的相似解 進而得到其無窮級數(shù)解 3 3 擾動b u r g e r s 方程的無窮級數(shù)解 根據(jù) t o c 下面分三類情形來討論 第一類 c 0 x o 0 t o 0 在這種情形下 特征方程具有下面的形式 墮一 l 生 一 籃 3 3 1 i 一 一 j 一 t j c x 2 x oc t t o c u o 2一 1 2 求解特征方程 3 3 1 我們得到這個對稱對應(yīng)的相似變量 孝2 囂 從而方程組 3 1 3 的群不變解是 相對應(yīng)的 所求方程 3 1 1 有下面形式的解 甜 占 c t t o 弋p d 巧 孝 j o 從而偏微分方程組 3 2 3 相似約化為常微分方程組 3 3 2 3 3 4 6 0 v o 劈 一等 一2 v o v o f i c e 3 3 5 1 占1 k 囂 一等k 掌一2 k f v v o f 一3 t v o v o 囂 嚏 瑤 善 3 3 5 2 一以一砜搿 占2 2 一等 捌 k 野 一2 圪 3 3 5 3 一6 a v v o v y o 3 2 c v 2 一化搿 o c 3 巧菇 一等圪f 一3 五 影 k k k 髟 瑤 善 v o v 2 菇 k 2 v o 一2 e 砭k v k 善 k k v o v 3 f 6 z v o v y v o 善 善 v o v y o 善 一2 c k 一織碰 1 4 3 聲j 巧 力眥 砭廠 s b r b 甜 卜 鏟 k r 別 c f 廣 t c c o v 2 髻 k k k 甏 k k 囂 略k 善 k 2 f 3 3 9 4 1 6 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 o s 一孚 一叱 搿一2 v 0 i 0 i 1i 3i ii l i 3 五 z v y 蟛 2 2 v f v 州 k v y 州噶f 一f 2 0 i 0 i l i 0 5 2 0 一 o 擴1 一爭 t v 一1 搿一2 2 v y j 善 0 i 0 j ii l ii 1 i 3i ii i 3 五 2v v 一1 j 彰 2 v 善v j h k v y 一h 飛f k w 2 d 0 2 4 知 其中礦1 善 0 k 2 善 o k 1 搿 o e 1 菇 0 e l 0 3 3 9 5 從而把0 6 所對應(yīng)的方程約化為二階的常微分方程 并且k 可以通過 v o k k l 來解出 并且方程 3 3 9 1 有t a n h 函數(shù)解 式中c l c 2 是任意的常數(shù) v o i 1 二 t a 吐警 f o c l f o 第三類 而 c 0 t o 0 在這種情況下 3 2 4 成為下面的形式 這時 方程的相似變量為 x 0 t t o u o 0 阢 0 u 22 0 u 32 0 u 42 0 u 2 0 考 x 相似解為 v o e u l k 善 孝 蠔 乎 圪 鄉(xiāng) 善 從而這個所求方程相似約化解為 占 善 一 j 戶o 3 3 1 0 1 7 非線性偏微分方程解析解的研究 相對應(yīng)的相似約化方程是 o 占 一2 v o v o 善 3 3 1 1 1 o 占1 k 菇 一無 搿 2 v o k f v l v o 3 1 v o v o v o 菇 曙 善 3 3 1 1 2 o e 2 屹菇 i v 搿 2 v o v 2 k k 善 v 2 v o f 一3 1 v 0 2 k 善 r o y 影 v l v o 菇 一6 旯眠f v o v v o f 3 3 1 1 3 o e 3 圪劈 2 v 2 搿 2 v o v 3 f 屹k f v y o 手 巧屹善 3 t 1 1 k k 菇 k 2 v o f v 2 v o 菇 v o v 2 管 v g v 2 善 一6 v o v y l 善 v o v 2 v o 善 v o 3 3 1 1 4 0 8 夸 一粥 l 搿 2 e v y j f f 3 1 藝 v y j h 髟 2 2 v 善k 蟛 v k h 善 o g 一1 一叱一l 搿 2 e v y j f f 3 乞 zv y 一卜 尉 2 2v k 瞄 v k 巧 h 善 k 1 2 f 0 2 4 2 n 其中 k 1 f 0 k 2 f 0 e 1 搿 0 e l 囂 0 k 1 o 3 3 1 1 5 從而把o p 所對應(yīng)的方程約化為二階的常微分方程 并且k 可以通過 k k k 印來解出 特別的 方程 3 3 1 1 1 有t a n h 函數(shù)解 式中 c 1 c 是任意的常數(shù) 1 8 一t a n h l 孝c c 2 1 k i 一 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 4 本章小結(jié) 在這一章里 我們用近似對稱對稱擾動方法研究了擾動b u r g e r s 方程 擾 動b u r g e r s 方程相對應(yīng)的相似約化方程可以通過m a p l e 數(shù)學(xué)軟件得到 并且相似 約化方程的一般形式及解的一般形式也都分別求了出來 幸運的是 我們也得 到了零階相似約化方程的解 然而 由于很難求證級數(shù)解的本身的收斂性 所以我們在文中沒有提到解 的收斂性 但是從上面的計算可以看出我們能用近似對稱擾動理論求解擾動非 線性偏微分方程 得到無窮級數(shù)解析解 1 9 非線性偏微分方程解析解的研究 第4 章同倫分析法在非線性偏微分方程中的應(yīng)用 同倫分析法是一種新的 一般性的求解強非線性問題的解析近似方法 它 柏 方法上徹底拋棄了小參數(shù)的假設(shè) 從根本上克服了傳統(tǒng)攝動法的局限性 在 邏輯上包含了其他 非攝動方法 從而更具一般性 該方法被成功用于解決工 稃技術(shù)中的許多非線性問題 在這一章中我們主要用同倫分析法得到非線性偏 微分方程的孤立波解的高精度近似解析解 另外 我們也提出了一種有效地判 斷所得近似解近似程度的方法 在實際應(yīng)用中非常方便 文中介紹的方法 均可以在計算機代數(shù)系統(tǒng)如m a t h e m a t i c a m a p l e 等中得 以完全實現(xiàn) 可以在短時間內(nèi)得到某個非線性問題的高精度近似解析解 4 1 近似長波方程的求解與其近似解的模擬 4 1 1近似長波方程的求解 在這一節(jié)中我們利用l 司倫分村r 法求解得到了近似長波方程組的j 艮波解的近 似解析解 同時我們把所得的近似解與其它方法得到的方程的精確解做了對比 發(fā)現(xiàn)二者非常接近 考慮下面近似長波方程組 4 7 l l r u u x 一v x n 2 o 4 1 1 卜 甜v v 2 o u 方程組有下面的孤波解 甜 蹦 口t a n h 口肘矽 圳2 2 們托 4 1 2 i v 蹦 0 2s e t h 2 a x f l t y 2 4 為了簡便起見 方程的孤波解中我們選取口 2 y 0 c 0 根據(jù)同倫分析法的 理論 我們選取下面的值作為所求方程組的初始值 j 驢 邶 鼬 x l 4 1 3 v x 0 s e c h 2 x 定義線性微分算符 厶 矽 x g 旦至 丟 立 厶 緲 x g t o r p x t q 4 1 4 2 0 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 厶 l v 滿足約束條件 l c 1 o 三 g 0 4 1 5 其中c 1 和c 2 為常數(shù) 矽 緲為x t 的函數(shù) 并且定義下面的非線性算子 啡明加舊圳 掣叫啪g 掣一掣畦掣 4 1 6 和 n 枷腳 礎(chǔ)幻 掣一慚g 掣一掣咖 g 一三掣 4 1 7 式中 口 o 1 z t q 雨f l 妒 z f q 是x 和q 的函數(shù) h u 殼 為非零的輔助參數(shù) 我們假定以 x t 1 h v 馬f l 構(gòu)造近似長波方程組的零階形變方程 1 一g 厶 矽 x t q u o x g 殼 m x g 緲 x f g 1 q l 伊 x t q v o x q h n v 矽 彬 q 緲 州 g 從上面兩式中可以看出 當(dāng)q 0 及q 1 時 有下面的結(jié)論 4 1 8 4 1 9 x f o x f 緲 x t o v o x f 石 t 1 x f 緲 x f 1 v x 4 1 1 0 當(dāng)殼 和殼 都選擇合適的數(shù)值 h n 1 時有 和 并且我們可以得到如下兩式 咖 i 1 掣k 咖 i 1 掣k 4 2 矽 x 曰 u o x x f g 緲 x f g v o x 屹 x g 4 1 1 3 n ln l 2 1 非線性偏微分方程解析解的研究 在q 1 時均是收斂的 從而我們得到 u x f x f v x t v o x t 4 1 1 4 以 1n i 豢篡 篇二篡墨葛 5 l 彬 一厄 彬 殼 群r 矗l 群 如叫 掣一孰彬 掣一掣 互1 1 a 2 u n l r x t 群 乙矗州 掣一馴n i 硝 掣一善吣力掣一互1 筍 其中以 0 當(dāng)n 1 時 刀階形變方程 4 1 1 5 的解變成下面的形式 4 1 1 7 瑟篡篡譬劂 曲 x 名v 一 x 殼 z 1 一一 一一 1 1 從上面兩式可以看出方程組的解包含兩個參數(shù)h