橢圓的第一定義.doc

橢圓的第一定義 tuyun 平面內(nèi)與兩定點F、F的距離的和等于常數(shù)2a(2a|FF|的動點P的軌跡叫做橢圓。 即：PF+PF=2a 其中兩定點F、F叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離FF叫做橢圓的焦距。 橢圓的第二定義平面上到定點F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點的集合（定點F不在定直線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)） 其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是X=a2/c)。 橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連線的斜率之積是定值可以得出：平面內(nèi)與兩定點的連線的斜率之積是常數(shù)k的動點的軌跡是橢圓，此時k應(yīng)滿足一定的條件，也就是排除斜率不存在的情況 標準方程高中課本在平面直角坐標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的“標準”指的是中心在原點，對稱軸為坐標軸。 橢圓的標準方程有兩種，取決于焦點所在的坐標軸： 1）焦點在X軸時，標準方程為：x2/a2+y2/b2=1 (ab0) 2）焦點在Y軸時，標準方程為：x2/b2+y2/a2=1 (ab0) 其中a0，b0。a、b中較大者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長（橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸和半短軸）當(dāng)ab時，焦點在x軸上，焦距為2*(a2-b2)0.5，焦距與長.短半軸的關(guān)系:b2=a2-c2 ,準線方程是x=a2/c和x=-a2/c 又及：如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m0，n0，mn)。既標準方程的統(tǒng)一形式。 橢圓的面積是ab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acos ， y=bsin 標準形式的橢圓在x0，y0點的切線就是 ： xx0/a2+yy0/b2=1 3公式橢圓的面積公式S=(圓周率)ab(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長). 或S=(圓周率)AB/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長). 橢圓的周長公式橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。 橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數(shù)的求和。如 L = 0,/24a * sqrt(1-(e*cost)2)dt2(a2+b2)/2) 橢圓近似周長, 其中a為橢圓長半軸,e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應(yīng)的準線的距離之比，設(shè)橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應(yīng)準線距離為PL，則 e=PF/PL 橢圓的準線方程 x=a2/C 橢圓的離心率公式 e=c/a(e2c) 橢圓的焦準距 ：橢圓的焦點與其相應(yīng)準線(如焦點（c,0）與準線x=+a2/C)的距離,數(shù)值=b2/c 橢圓焦半徑公式 PF1=a+ex0 PF2=a-ex0 橢圓過右焦點的半徑r=a-ex 過左焦點的半徑r=a+ex 橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數(shù)值= b2/a 點與橢圓位置關(guān)系 點M（x0，y0） 橢圓 x2/a2+y2/b2=1 點在圓內(nèi)： x02/a2+y02/b21 點在圓上： x02/a2+y02/b2=1 點在圓外： x02/a2+y02/b21 直線與橢圓位置關(guān)系 y=kx+m x2/a2+y2/b2=1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相離0無交點 相交0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|=d = (1+k2)|x1-x2| = (1+k2)(x1-x2)2 = (1+1/k2)|y1-y2| = (1+1/k2)(y1-y2)2 橢圓通徑（定義：圓錐曲線（除圓外）中，過焦點并垂直于軸的弦）公式：2b2/a 相關(guān)性質(zhì) 由于平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬于一種圓錐截線。 例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）： 將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那么會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。 設(shè)兩點為F1、F2 對于截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交于Q1、Q2 則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2 由定義1知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點 用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓 橢圓有一些光學(xué)性質(zhì)：橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉(zhuǎn)動180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發(fā)出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學(xué)性質(zhì)可以通過反證法證明）。 -關(guān)于圓錐截線的某些歷史：圓錐截缐的發(fā)現(xiàn)和研究起始于古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學(xué)大師都熱衷于圓錐截缐的研究，而且都有專著論述其幾何性質(zhì)，其中以 Apollonius 所著的八冊圓錐截缐論集其大成，可以說是古希臘幾何學(xué)一個登峰造極的精擘之作。當(dāng)時對于這種既簡樸又完美的曲缐的研究，乃是純粹從幾何學(xué)的觀點，研討和圓密切相關(guān)的這種曲缐；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當(dāng)年這是一種純理念的探索，并不寄望也無從預(yù)期它們會真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交，Kepler 行星運行三定律的發(fā)現(xiàn)才知道行星繞太陽運行的軌道，乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學(xué)開天劈地的重大突破，它不但開創(chuàng)了天文學(xué)的新紀元，也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見，圓錐截缐不單單是幾何學(xué)家所愛好的精簡事物，它們也是大自然的基本規(guī)律中所自然選用的精要之一。 5歷史橢圓有一些光學(xué)性質(zhì)：橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉(zhuǎn)動180度形成的立體圖形，其外表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發(fā)出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學(xué)性質(zhì)可以通過反證法證明） 關(guān)于圓錐截線的某些歷史：圓錐截線的發(fā)現(xiàn)和研究起始于古希臘。 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學(xué)大師都熱衷于圓錐截線的研究，而且都有專著論述其幾何性質(zhì)，其中以 Apollonius 所著的八冊圓錐截線論集其大成，可以說是古希臘幾何學(xué)一個登峰造極的精擘之作。當(dāng)時對于這種既簡樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學(xué)的觀點，研討和圓密切相關(guān)的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當(dāng)年這是一種純理念的探索，并不寄望也無從預(yù)期它們會真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交，Kepler