空間向量夾角的應(yīng)用.doc

空間向量夾角的應(yīng)用教案設(shè)計(jì)第二冊(cè)（下 ）“空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算”第二課時(shí)A1zC1D1F1B1 E1BDBCyAx南 昌 二 中數(shù) 學(xué) 組 鄒 亭 亭空間向量夾角的應(yīng)用教案設(shè)計(jì) 第二冊(cè)（下B）“空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算”第二課時(shí)一、教材分析 1、教材的地位與作用本節(jié)課是在已完成了“平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積”等內(nèi)容的教學(xué)以后進(jìn)行的，是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的第2課時(shí)，是空間向量在立體幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題，需要有較強(qiáng)的空間想象能力、演繹推理能力以及作圖能力，學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難。用向量法處理立體幾何問題，實(shí)現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化，把對(duì)空間圖形的研究從“定性推理”轉(zhuǎn)化為“定量計(jì)算”，即將復(fù)雜的幾何論證轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度，學(xué)生易于操作，容易接受。2、教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生掌握空間向量的夾角公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；提高學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線夾角的技能；（2）能力目標(biāo)：在與平面向量的夾角公式的比較基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比轉(zhuǎn)化的能力；通過對(duì)空間幾何圖形的探究，使學(xué)生會(huì)恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系；通過空間向量的坐標(biāo)表示法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計(jì)算”的轉(zhuǎn)化過程，從而提高分析問題、解決問題的能力。（3）情感目標(biāo)：通過自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，激發(fā)學(xué)生的求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；通過數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵重點(diǎn)：空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示法；選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線的夾角。難點(diǎn)：兩條異面直線的夾角與兩個(gè)空間向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別；恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出空間向量的坐標(biāo)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。二、教法分析1、誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。 2、分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的互相合作精神。 3、講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。三、學(xué)法分析自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。 建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)的建構(gòu)知識(shí)的過程，學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，通過觀察、歸納、思考、探索、交流、反思、參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)、 學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。 四、教學(xué)手段借助多媒體計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，增強(qiáng)課堂教學(xué)的生動(dòng)性與直觀性。五、教學(xué)程序教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)程序教學(xué)設(shè)想（一）創(chuàng)設(shè)情境,引入課題創(chuàng)設(shè)情境：（多媒體展示）問題1：如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1 D1中，求證：與垂直。問題2：若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動(dòng)，若移至A1B1的E1處，如圖2，又如何確定與的夾角？F1A1EDC1CB1D1BADC1CB1A1D1F1E1BAE圖1 圖21、學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的:兩個(gè)非零向量02、由教師提出當(dāng)點(diǎn)E在AA1、A1B1上移動(dòng)時(shí)，與還是否垂直?3、以將點(diǎn)E移至E1處為例，我們又將如何確定與的夾角？應(yīng)該會(huì)讓學(xué)生聯(lián)想到平面向量的夾角公式。從而很自然的引出本節(jié)課的課題，拉開了本節(jié)課教學(xué)的序幕。 （二）類比推廣,探究新知教學(xué)環(huán)節(jié)問題3：對(duì)于平面內(nèi)兩個(gè)向量的夾角問題我們是如何求得的?問題4：是否可以將平面內(nèi)求得兩個(gè)向量的夾角公式推廣到空間?公式的形式有何變化？空間向量的夾角公式：對(duì)于空間兩個(gè)非零向量，其夾角為，仍有，用坐標(biāo)表示為 。教學(xué)程序通過與平面向量的夾角公式的類比，讓學(xué)生猜想空間兩個(gè)非零向量的夾角公式，起到溫故知新的作用。希望提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力。教學(xué)設(shè)想（三）簡(jiǎn)單應(yīng)用,及時(shí)鞏固求下列兩個(gè)向量夾角的余弦值：（1）， （2）。為了及時(shí)鞏固空間向量的夾角公式，我設(shè)計(jì)了以下兩道直接利用公式求空間向量夾角的練習(xí)題，以達(dá)到學(xué)以致用，熟能生巧的目的。 (四)應(yīng)用例解,深入探究例1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求BE1與DF1所成角的余弦值。 ABDC1CB1A1D1F1E1分析：AyDBzA1C1CD1F1xE1B1DAC1CBB1A1D1F1E1EF 問題5：此題所求的是兩條異面直線的夾角，而不是兩個(gè)空間向量的夾角，兩者有什么區(qū)別？我們又如何轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論？一方面解決課題引入中的問題，另一方面體現(xiàn)空間向量的應(yīng)用。學(xué)生可能想到的解法有：方法一：傳統(tǒng)的幾何法-平移法，即將兩條異面直線平移直至構(gòu)成一個(gè)三角形，利用余弦定理而求得；方法二：向量法由學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式，由于學(xué)生所取向量的方向不一樣，求出而有的學(xué)生求出的是由此提出問題5由師生共同比較兩條異面直線的夾角與兩個(gè)空間向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別，以突破本節(jié)課的難點(diǎn)之一。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)程序教學(xué)設(shè)想(四)應(yīng)用例解,深入探究小結(jié)：利用空間向量解決立體幾何中兩異面直線夾角問題的一般步驟是：(1) 當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求得所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)用坐標(biāo)表示空間向量及其數(shù)量積；(3)代入空間向量夾角公式的坐標(biāo)形式；(4)將空間向量的夾角轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角。課堂反饋練習(xí)：DAC1CBB1A1D1M如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，求對(duì)角線DB1與CM所成角的余弦值。例2已知直三棱柱（側(cè)棱A A1 ，B B1 ，CC1與上下底面都垂直）ABC-A1B1C1中，AB=BC=1， ，側(cè)棱長(zhǎng)A A1=2，D為BC的中點(diǎn)，求異面直線AB1與DC1所成的角。C1ACBB1A1 問題6：可以如何構(gòu)建恰當(dāng)xzC1ACBB1A1yD的空間直角坐標(biāo)系？DCxDBB1C1zAA1yzyxC1ACBB1A1oD使學(xué)生養(yǎng)成對(duì)新的一種方法及時(shí)總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使得學(xué)生達(dá)到系統(tǒng)掌握的目的。同時(shí)將利用向量求兩條異面直線的夾角的方法推廣到一般。為學(xué)生解決異面直線夾角問題提供新視角。讓學(xué)生分組討論，尋求解決這個(gè)問題的多種途徑，再對(duì)各種途徑進(jìn)行比較。教師巡視，收集樣本，用投影儀顯示學(xué)生解答。歸納學(xué)生的方法，大致可分為幾何法、向量法兩類。通過本題，建議學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，使得我們解題過程變得更簡(jiǎn)單。倡導(dǎo)一種自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。由于學(xué)生初次接觸到這樣一個(gè)幾何體，學(xué)生開始時(shí)可能會(huì)感到有些茫然不知所措，所以教師將通過提出問題6將學(xué)生帶入到一個(gè)建系的過程中去，建系是本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是關(guān)鍵。通過學(xué)生探究幾何圖形,并思考討論,由學(xué)生的認(rèn)知水平,學(xué)生可能給出左邊三種建系方法。三種建系方法進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生感悟坐標(biāo)系的建立并不是唯一的，解題時(shí)要選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。從而突破了本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)程序教學(xué)設(shè)想(五)互動(dòng)回顧（1）空間向量的夾角公式及其坐標(biāo)表示；（2）構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；（3）兩條異面直線的夾角與兩個(gè)向量的夾角之間的區(qū)別；（4）掌握類比猜想的方法，將平面問題向空間問題推廣，將幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化，提高類比轉(zhuǎn)化的能力。通過對(duì)本節(jié)課的知識(shí)和方法的回顧，讓學(xué)生自己歸納小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。(六)布置作業(yè)必做題：1.設(shè)點(diǎn)O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，1，1)，C(0，0，1)，異面直線OA與BC夾角為，則的值為（ ）A.60 B. 120 C. -60 D. 240DAC1CBB1A1D1MN2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，請(qǐng)用不同的方法求異面直線AC與BD1所成的角。DAC1CBB1A1D1 題2圖 題3圖3.如圖，在正方ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是AA1、BB1的中點(diǎn)，求直線CM與D1N所成角的正弦值。選做題：C1CBB1A1D1FEDAC1CBB1A1D1沿著正方體ABCD-A1B1C1D1對(duì)角面A1BCD1去截正方體，得到一個(gè)新的幾何體D1CC1-A1BB1，E、F分別是A1D1，D1C1的中點(diǎn)，求異面直線