空間向量夾角的應用.doc

空間向量夾角的應用教案設計第二冊（下 ）“空間向量的坐標運算”第二課時A1zC1D1F1B1 E1BDBCyAx南 昌 二 中數(shù) 學 組 鄒 亭 亭空間向量夾角的應用教案設計 第二冊（下B）“空間向量的坐標運算”第二課時一、教材分析 1、教材的地位與作用本節(jié)課是在已完成了“平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標表示，空間向量的數(shù)量積”等內容的教學以后進行的，是空間向量的坐標運算的第2課時，是空間向量在立體幾何中的簡單應用。按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題，需要有較強的空間想象能力、演繹推理能力以及作圖能力，學生往往由于這些能力的不足造成解題困難。用向量法處理立體幾何問題，實現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化，把對空間圖形的研究從“定性推理”轉化為“定量計算”，即將復雜的幾何論證轉化為代數(shù)運算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度，學生易于操作，容易接受。2、教學目標（1）知識目標：使學生掌握空間向量的夾角公式及其簡單應用；提高學生選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線夾角的技能；（2）能力目標：在與平面向量的夾角公式的比較基礎上，培養(yǎng)學生觀察、分析、類比轉化的能力；通過對空間幾何圖形的探究，使學生會恰當?shù)亟⒖臻g直角坐標系；通過空間向量的坐標表示法的學習，使學生經(jīng)歷對空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計算”的轉化過程，從而提高分析問題、解決問題的能力。（3）情感目標：通過自主探究與合作交流的教學環(huán)節(jié)的設置，激發(fā)學生的求知欲，充分體現(xiàn)學生的主體地位；通過數(shù)形結合的思想和方法的應用，讓學生感受和體會數(shù)學的魅力，提高學生學習數(shù)學的興趣。3、教學重點、難點、關鍵重點：空間向量夾角公式及其坐標表示法；選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線的夾角。難點：兩條異面直線的夾角與兩個空間向量的夾角之間的聯(lián)系與區(qū)別；恰當?shù)臉嫿臻g直角坐標系，并正確求出點的坐標及向量的坐標。關鍵：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，正確寫出空間向量的坐標，將幾何問題轉化為代數(shù)問題。二、教法分析1、誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點；有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。 2、分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，培養(yǎng)學生的互相合作精神。 3、講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。三、學法分析自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。 建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動的建構知識的過程，學習應該與學生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學中，讓學生在問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，通過觀察、歸納、思考、探索、交流、反思、參與學習，認識和理解數(shù)學知識、 學會學習，發(fā)展能力。 四、教學手段借助多媒體計算機輔助教學，增強課堂教學的生動性與直觀性。五、教學程序教學環(huán)節(jié)教學程序教學設想（一）創(chuàng)設情境,引入課題創(chuàng)設情境：（多媒體展示）問題1：如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1 D1中，求證：與垂直。問題2：若將E點在AA1，A1B1上移動，若移至A1B1的E1處，如圖2，又如何確定與的夾角？F1A1EDC1CB1D1BADC1CB1A1D1F1E1BAE圖1 圖21、學生回顧上節(jié)課學習的:兩個非零向量02、由教師提出當點E在AA1、A1B1上移動時，與還是否垂直?3、以將點E移至E1處為例，我們又將如何確定與的夾角？應該會讓學生聯(lián)想到平面向量的夾角公式。從而很自然的引出本節(jié)課的課題，拉開了本節(jié)課教學的序幕。 （二）類比推廣,探究新知教學環(huán)節(jié)問題3：對于平面內兩個向量的夾角問題我們是如何求得的?問題4：是否可以將平面內求得兩個向量的夾角公式推廣到空間?公式的形式有何變化？空間向量的夾角公式：對于空間兩個非零向量，其夾角為，仍有，用坐標表示為 。教學程序通過與平面向量的夾角公式的類比，讓學生猜想空間兩個非零向量的夾角公式，起到溫故知新的作用。希望提高學生的類比轉化能力。教學設想（三）簡單應用,及時鞏固求下列兩個向量夾角的余弦值：（1）， （2）。為了及時鞏固空間向量的夾角公式，我設計了以下兩道直接利用公式求空間向量夾角的練習題，以達到學以致用，熟能生巧的目的。 (四)應用例解,深入探究例1如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求BE1與DF1所成角的余弦值。 ABDC1CB1A1D1F1E1分析：AyDBzA1C1CD1F1xE1B1DAC1CBB1A1D1F1E1EF 問題5：此題所求的是兩條異面直線的夾角，而不是兩個空間向量的夾角，兩者有什么區(qū)別？我們又如何轉化為本題的結論？一方面解決課題引入中的問題，另一方面體現(xiàn)空間向量的應用。學生可能想到的解法有：方法一：傳統(tǒng)的幾何法-平移法，即將兩條異面直線平移直至構成一個三角形，利用余弦定理而求得；方法二：向量法由學生建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，從而求得對應向量的坐標，代入公式，由于學生所取向量的方向不一樣，求出而有的學生求出的是由此提出問題5由師生共同比較兩條異面直線的夾角與兩個空間向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別，以突破本節(jié)課的難點之一。教學環(huán)節(jié)教學程序教學設想(四)應用例解,深入探究小結：利用空間向量解決立體幾何中兩異面直線夾角問題的一般步驟是：(1) 當?shù)臉嫿臻g直角坐標系，求得所對應點的坐標；(2)用坐標表示空間向量及其數(shù)量積；(3)代入空間向量夾角公式的坐標形式；(4)將空間向量的夾角轉化為兩條異面直線的夾角。課堂反饋練習：DAC1CBB1A1D1M如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中點，求對角線DB1與CM所成角的余弦值。例2已知直三棱柱（側棱A A1 ，B B1 ，CC1與上下底面都垂直）ABC-A1B1C1中，AB=BC=1， ，側棱長A A1=2，D為BC的中點，求異面直線AB1與DC1所成的角。C1ACBB1A1 問題6：可以如何構建恰當xzC1ACBB1A1yD的空間直角坐標系？DCxDBB1C1zAA1yzyxC1ACBB1A1oD使學生養(yǎng)成對新的一種方法及時總結的學習習慣，使得學生達到系統(tǒng)掌握的目的。同時將利用向量求兩條異面直線的夾角的方法推廣到一般。為學生解決異面直線夾角問題提供新視角。讓學生分組討論，尋求解決這個問題的多種途徑，再對各種途徑進行比較。教師巡視，收集樣本，用投影儀顯示學生解答。歸納學生的方法，大致可分為幾何法、向量法兩類。通過本題，建議學生在實際運用中，選擇恰當?shù)姆椒ǎ沟梦覀兘忸}過程變得更簡單。倡導一種自主探索、動手實踐、合作交流的學習數(shù)學的方式。由于學生初次接觸到這樣一個幾何體，學生開始時可能會感到有些茫然不知所措，所以教師將通過提出問題6將學生帶入到一個建系的過程中去，建系是本節(jié)課的另一個難點，同時也是關鍵。通過學生探究幾何圖形,并思考討論,由學生的認知水平,學生可能給出左邊三種建系方法。三種建系方法進行對比，讓學生感悟坐標系的建立并不是唯一的，解題時要選擇恰當?shù)淖鴺讼怠亩黄屏吮竟?jié)課的另一個難點，提高學生分析問題、解決問題的能力。教學環(huán)節(jié)教學程序教學設想(五)互動回顧（1）空間向量的夾角公式及其坐標表示；（2）構建恰當?shù)目臻g直角坐標系，正確寫出點的坐標及向量的坐標；（3）兩條異面直線的夾角與兩個向量的夾角之間的區(qū)別；（4）掌握類比猜想的方法，將平面問題向空間問題推廣，將幾何問題向代數(shù)問題轉化，提高類比轉化的能力。通過對本節(jié)課的知識和方法的回顧，讓學生自己歸納小結本節(jié)課的內容，培養(yǎng)學生歸納總結的能力。(六)布置作業(yè)必做題：1.設點O(0，0，0)，A(0，1，1)，B(1，1，1)，C(0，0，1)，異面直線OA與BC夾角為，則的值為（ ）A.60 B. 120 C. -60 D. 240DAC1CBB1A1D1MN2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，請用不同的方法求異面直線AC與BD1所成的角。DAC1CBB1A1D1 題2圖 題3圖3.如圖，在正方ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是AA1、BB1的中點，求直線CM與D1N所成角的正弦值。選做題：C1CBB1A1D1FEDAC1CBB1A1D1沿著正方體ABCD-A1B1C1D1對角面A1BCD1去截正方體，得到一個新的幾何體D1CC1-A1BB1，E、F分別是A1D1，D1C1的中點，求異面直線