九上2.4二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(最值問題).doc

深圳實(shí)驗(yàn)培訓(xùn)中心2009年暑期初二培訓(xùn)資料 姓名 月 日第4課時(shí) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用面積最大(小)值問題知識(shí)要點(diǎn)：在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問題，如在一定的方案中，花費(fèi)最少、消耗最低、面積最大、產(chǎn)值最高、獲利最多等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題。求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點(diǎn)：1運(yùn)用配方法求最值；2構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；3建立函數(shù)模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例1：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以1cms的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2cms的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)（1）運(yùn)動(dòng)第t秒時(shí)，PBQ的面積y(cm)是多少？（2）此時(shí)五邊形APQCD的面積是S(cm)，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍（3）t為何值時(shí)s最小，最小值時(shí)多少？答案：例2：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門（木質(zhì)）花圃的長與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大？解：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米則長為：(米)則： ，與的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，(平方米)答：可設(shè)計(jì)成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大例3：已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積 解：設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y過點(diǎn)B作BHPN于點(diǎn)H則有AFBBHP，即，此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5，當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)值隨的增大而增大，對(duì)于來說，當(dāng)x=4時(shí)，【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例4：某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省？解：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費(fèi)用為y元那么：y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x)10 當(dāng)x=0.1時(shí)，y有最小值，即費(fèi)用為最省，此時(shí)CE=CF=0.1答：當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)，總費(fèi)用最省作業(yè)布置：1(2008浙江臺(tái)州)某人從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度(單位：米)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間(單位：秒)的函數(shù)關(guān)系式是，那么小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度 4.9米 2(2008慶陽市)蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價(jià)格y(元/平方米)隨樓層數(shù)x(樓)的變化而變化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知點(diǎn)(x，y)都在一個(gè)二次函數(shù)的圖像上，(如圖所示)，則6樓房子的價(jià)格為 元/平方米 提示：利用對(duì)稱性，答案：20803如圖所示，在一個(gè)直角MBN的內(nèi)部作一個(gè)長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB=x m，長方形的面積為y m2，要使長方形的面積最大，其邊長x應(yīng)為( D )Am B6 m C15 m Dm解：AB=x m，AD=，長方形的面積為y m2 ADBC MADMBN，即，, 當(dāng)時(shí)，有最大值4(2008湖北恩施)將一張邊長為30的正方形紙片的四角分別剪去一個(gè)邊長為的小正方形，然后折疊成一個(gè)無蓋的長方體當(dāng)取下面哪個(gè)數(shù)值時(shí)，長方體的體積最大（ C ） A7 B6 C5 D45如圖，鉛球運(yùn)動(dòng)員擲鉛球的高度(m)與水平距離(m)之間的函數(shù)關(guān)系式是：，則該運(yùn)動(dòng)員此次擲鉛球的成績是( D ) A6 m B12 m C8 m D10m解：令，則： （圖5） （圖6） （圖7）6某幢建筑物，從10 m高的窗口A，用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀(拋物線所在的平面與墻面垂直，如圖6，如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1 m，離地面m，則水流落地點(diǎn)B離墻的距離OB是( B )A2 m B3 m C4 m D5 m解：頂點(diǎn)為，設(shè)，將點(diǎn)代入，令，得：，所以O(shè)B=37(2007烏蘭察布)小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，如圖7所示，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離L是（ B ）A4.6mB4.5mC4mD3.5m8某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成若設(shè)花園的寬為x(m) ，花園的面積為y(m)(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢(shì)；并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解： 二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，(平方米)答：當(dāng)米時(shí)花園的面積最大，最大面積是187.5平方米9如圖，要建一個(gè)長方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長度為x米(1)要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長度應(yīng)為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長應(yīng)為多少米？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ 解：(1)長為x米，則寬為米，設(shè)面積為平方米當(dāng)時(shí)，(平方米)即：雞場(chǎng)的長度為25米時(shí)，面積最大(2) 中間有道籬笆，則寬為米，設(shè)面積為平方米則：當(dāng)時(shí)，(平方米)由(1)(2)可知，無論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長都是25米即：使面積最大的值與中間有多少道隔墻無關(guān)10如圖，矩形ABCD的邊AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一點(diǎn)P，在CD邊上取一點(diǎn)Q，使APQ成直角，設(shè)BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B=C=90.ABPPCQ.11(2006年南京市)如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD令MN=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？解：矩形MFGN矩形ABCDMF=2MN =2x EM=10-2x S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ，當(dāng)x=2.5時(shí)，S有最大值12.512(2008四川內(nèi)江)如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個(gè)簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為 0.5 米答案：如圖所示建立直角坐標(biāo)系則：設(shè) 將點(diǎn)，代入，解得 頂點(diǎn)，最低點(diǎn)距地面0.5米13(2008黑龍江哈爾濱)小李想用籬笆圍成一個(gè)周長為60米的矩形場(chǎng)地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地面積S最大？最大面積是多少？解：（1）根據(jù)題意，得 自變量的取值范圍是 （2），有最大值 當(dāng)時(shí)，答：當(dāng)為15米時(shí)，才能使矩形場(chǎng)地面積最大，最大面積是225平方米14(2008年南寧市)隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-所示(注：利潤與投資量的單位：萬元)（1）分別求出利潤與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？解：（1）設(shè)=,由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（1，2），所以2=，故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=；因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，所以設(shè)=，由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（2，2），所以， 故利潤關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉萬元（），則投入種植樹木()萬元，他獲得的利潤是萬元，根據(jù)題意，得=+=當(dāng)時(shí)，的最小值是14； 他至少獲得14萬元的利潤因?yàn)?，所以在?duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為3215(08山東聊城)如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側(cè)面積會(huì)不會(huì)有更大的情況？如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長；如果沒有，請(qǐng)你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長；如果沒有，請(qǐng)你說明理由解：（1）設(shè)正方形的邊長為cm，則即解得（不合題意，舍去），剪去的正方形的邊長為1cm（2）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即改寫為當(dāng)時(shí)，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為2.25cm時(shí)，長方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2（3）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm2若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即當(dāng)時(shí)，若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即當(dāng)時(shí)，比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長為cm時(shí)，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm216(08蘭州)一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖16所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖