儲油罐的變位識別與罐容表標定(數(shù)學建模論文).doc

儲油罐的變位識別與罐容表標定 摘要 加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，需要采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。但是許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化，從而導致罐容表發(fā)生改變。需要定期對罐容表進行重新標定。在求解過程中，我們對于罐體無變位、罐體產(chǎn)生縱向變位、罐體在水平和縱向都產(chǎn)生變位三種情況，利用解析幾何的方式計算出體積與變位參數(shù)之間的關系，同時應用契比雪夫多項式對體積值進行近似多項式展開用以對標高和出油量的關系進行擬合表示，得到較為滿意的效果。 第一問、(1)針對無變位情況，我們計算得到橢圓油罐容積表達式為：，利用契比雪夫多項式方法在提高擬合精度的前提下用5階多項式擬合處標高和容量之間的函數(shù)關系；(2)對于縱向變位的情況，當橢圓型罐體發(fā)生變位縱向變位角度時,我們利用體積等效思想，講上述罐內(nèi)不規(guī)則油量容積的計算轉為(1)中規(guī)則油容進行計算，利用附件(1)中數(shù)據(jù)利用最小二乘擬合方法算出油位高度的真實值，繼而利用擬合多項式： 進行間隔為1cm的此罐容表進行標定，得出的表標定值如下：1cm2cm3cm4cm118cm119cm120cm0L0L0L0L4017.26L4050.08L4082.80L 第二問、(1)利用第一問中等體積的思想，我們同樣可以對縱向傾斜角度和橫向傾斜角度時進行數(shù)學模型的建立。(2)在模型的建立過程中得到一個關于浮游子高度和偏轉角、以及等效高度之間的一個表達式，從而利用最小二乘擬合確定變位參數(shù)、。(3)利用已給數(shù)據(jù)求得表達式： ，繼而再次利用擬合擬合多項式得出間隔為10cm值：10cm20cm30cm280cm290cm300cm1352.172223.853082.1360303.8860690.9861807.31利用附表（2）中的數(shù)據(jù)進而進行模型正確性與可靠性的檢驗。 關鍵詞：儲油罐 罐容表 變位 契比雪夫公式 等效高度 最小二乘擬合一、問題的重述加油站一般都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且也都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。儲油罐的主體為圓柱體，兩端為球冠體。 用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)已給出。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（已給出），根據(jù)所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用已給出的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。二、問題的分析綜述，該題要解決的問題是儲油罐的變位識別和罐容表的標定。顯然這是幾何求解的應用問題?？梢酝ㄟ^所學過知識求解。對于問題一，題目中給出一個小橢圓型的平頭油罐的模型和縱向的傾斜角的值，并且也給出了對這個罐體無變位和有縱向變位兩種情況的實驗數(shù)據(jù)，所以我們可以把這個問題分成兩部分來解決，首先解決當罐體無變位時罐中儲油量與油液面高度的關系，其次解決當罐體發(fā)生傾斜時罐體中油的儲油量隨油液面高度的變化。然后對這兩種情況求出的結果進行比較，判斷出油罐變位后對罐容表的影響。最后重新確定變位后罐容表的標定值。分析發(fā)現(xiàn)當油罐無變位時，問題比較好解決，我們可以利用積分的方法求出罐中的儲油量和油液面高度的關系。當油罐變位時，首先要選好坐標系，確定傾斜后液面高度是怎樣變化的。也是通過積分的方法進行求解，但是我們也可以尋找一點，可以把它等效成無變位的情況去解決。對于問題二，給的是一個實際儲油罐，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。該問題主要是要解決罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。對這個問題可以看成兩部分求解。首先也是要選好坐標系，確定好油面高度和變?yōu)閰?shù)的關系，分別求解主體圓柱體和兩端球冠體中的儲油量和油位高度的關系。建立出一定的數(shù)學模型，然后通過題目給出的數(shù)據(jù)，確定數(shù)據(jù)的可用性求出模型中的變位參數(shù)。最后通過誤差分析檢驗模型的正確性和方法的可靠性。三、問題的假設1、忽略油罐中溫度，壓強對儲油量的影響；2、假設油罐的形狀是規(guī)則的；3、假設儲容表的讀數(shù)是無讀數(shù)上的技術誤差；4、假設油罐變位的角度不會太大；5、假設罐中的油分布均勻；6、假設油罐不會因為出油的變化而發(fā)生位置變化；四、模型的建立與求解問題一：對于本問題，首先可以把它分解成兩個問題來考慮，第一個問題是確定小橢圓型儲油罐沒有變位時儲油量與油面高度的關系，利用解析幾何的方法確定標高和油量之間的關系。第二個問題確定油體容量和標高及變位角之間的關系，利用等效體積替換的思想把它轉化為上一問中未變位的問題進行求解。同時我們分析發(fā)現(xiàn)變位數(shù)據(jù)的油高不是真實值，所以考慮利用已有讀數(shù)尋求真值。依據(jù)上述思想分別對這兩個小問題建立合理的模型。1 無變位時： 小橢圓型儲油罐的橫截面很明顯是一個標準的橢圓，首先建立合適的坐標系，并且橢圓的圖形如圖1:xx0h2ba 圖（1） 1、 符號聲明： a-橢圓罐橫截橢圓面的半長軸 b-橢圓罐橫截橢圓面的半長軸 h-無變位橢圓油罐中的油位高度 -小橢圓油罐的母線長 -方差和 2、模型建立：橢圓的方程為： - - (1) 式中： a-橢圓罐橫截橢圓面的半長軸且為0.89米 b-橢圓罐橫截橢圓面的半長軸且為0.6米 油面高度為h時，儲油罐橫截面的面積可求得為： -（2） 式中： h-無變位橢圓油罐中的油位高度； 可推導得： -（3） 我們可以設，由可以得： 可求得小橢圓油罐未變位時儲油量隨液面高度的變化為： -（4） 式中： -小橢圓油罐的母線長且為2.45米；在求解時我們可以利用最佳平方逼近多項式（即契比雪夫多項式,），求出儲油量的近似值。根據(jù)公式（1）我們可以準確的計算出儲油量，但是公式里有反三角函數(shù)沒有多項式計算方便，所以我們用多項式逼近方法解決此問題。（具體理論證明見附錄二） 求得 ： -（5） 當k=1時， 求得近似是一個2階的多項式，當k=2時，求得的近似是一個五階的多項式。由于擬合時考慮的誤差，選擇五階多項式擬合效果較好，所以我們用當k=2時的五階契比雪夫多項式逼近 -（6） 由于儲油罐的形狀以及溫度壓強的關系這里的系數(shù)不太準確，我們可以根據(jù)題目（附件1中變位進油量數(shù)據(jù)）給出的累加進油量和油位高度的數(shù)據(jù)進行擬合。用MATLAB軟件擬合后得到的結果是: 對該模型進行誤差分析（誤差分析的數(shù)據(jù)源：附件1位變位出油量數(shù)據(jù)）：將數(shù)據(jù)代入到上述5階擬合多項式中與已知油量數(shù)據(jù)對比驗證：驗證數(shù)據(jù)方差和為： -（7） -（8）由以上可知擬合的效果比較好。、有變位時： 橢圓油罐有縱向傾斜且傾斜角，選定的坐標系及有關參數(shù)如圖2所示。分析發(fā)現(xiàn)變位后油高數(shù)據(jù)由于變位后產(chǎn)生影響，而油量數(shù)據(jù)我們認為是真實的，因此首先利用幾何關系求出油量容積的解析表達式，利用最小二乘逼近的方法求出真實反映油量的油高讀數(shù)。然后利用擬合的方法建立油高和油量的模型，從而解決標高問題。yL2: x0水平線Qcd 圖（2） 1、 符號說明：標準差-縱向傾角-變位后液面在Y坐標軸上的分量 圖中： c=0.4m, d=2.05m; 設浮標的距離罐底的距離為，可以知道浮標的坐標為(c,） 直線AB的斜率為 ，所以可求得AB的直線方程為： L2: -（9） 顯然油液面的高度隨橫坐標x的變化為： -（10） 此時儲油罐橫截面的面積為： -（11） 所以變位時小橢油罐中油容量與油位高度的關系是： -（12） 根據(jù)公式（2）我們可以準確的計算出不同油位高的儲油量，但是，公式中還有反三角函數(shù)和開根號，我們計算起來很不方便，所以我們可以尋找一點做體積上的等效轉換仿效上一問的方法。我們設那一點為Q，那么它的坐標可設為，見圖(2)。并且該點Q也在直線l1上，根據(jù)l1的直線方程可以求得為： -（13） 對于一個固定外殼的容器，其中裝定量體積的液體，無論如何對容器發(fā)生偏轉，其液體的體積始終是一個固定值。根據(jù)等效的原理可以肯定點Q可以把楔狀油形體積轉化為標準的橢圓柱的體積，并且此時的油位高度為。所以這樣就可以轉化成沒變位的情況去解決問題。得到轉化后的橢圓面積為： -（14） = 可以求得體積為： -（15） 我們可以設 得到： -（16）得到的體積公式的形式和未變位時得到的公式形式相似，所以我們同樣可以 利用契比雪夫多項式來近似地求解儲容量與油位高度的關系。 求得： -（17） 題目中附錄的高度是變位后的讀數(shù)，為了求，我們可以用最小二乘法 算出的值。 講求出來的帶入中可以得到真實等價的油位高度，我們用這個真實等價的油位高度和題目給出的累加進油量的數(shù)據(jù)進行5階多項式擬合，求得的近似的為：對這個模型進行誤差分析根據(jù)上面的公式求得： 標準差為： R檢驗 可見擬合的效果很好，符合要求。然后根據(jù)這個模型就可以算出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值如下(詳細結果見附錄)：1cm2cm3cm4cm118cm119cm120cm0L0L0L0L4017.26L4050.08L4082.80L 利用附件1中的有變位的出油數(shù)據(jù)分別帶入上述兩個模型中，做出的圖如下： 從圖中可以看出，當油位高度一樣時變位后的油罐中儲油量的值比沒變位的儲油量低。說明罐容表實際的讀數(shù)比理論的要偏大。圖（3）問題二 該問題是問題一的變形，是研究實際儲油罐變位后儲容量與油位高度之間的關系，儲油罐的變位是橫向和縱向都有一定的偏角，并且儲油罐兩端不是平頭而是球冠體，首先建立合適的坐標系，并且要設定一定的參數(shù)，如圖（4）:hzxy水平線R圖（4）（1） 符號聲明： -實際測量的油位高度 -儲油罐橫向偏轉角度R -圓柱截面的半徑r -球缺的半徑b(1m) - 球缺的頂高-柱體的體積 儲油罐的中油的體積為： - （18）（一）、對儲油罐圓柱體部分的計算如圖在XOZ坐標面內(nèi)，Z軸方向的水深為zx圖（5） -（19） 式中 ： - 實際測量的油位高度 - 儲油罐橫向偏轉角度 R - 圓柱截面的半徑 浮游子在ZOY面投影的點的坐標為（2，-R）； ZOY坐標面與油液面的交線的斜率為，將浮游子在ZOY坐標面投影的點的坐標帶入的方程得 -(20) 即求得的方程得： 對于這個計算我們也可以尋找一個點P，使得+R變?yōu)闆]有變位時油面的高度，即 在YOZ平面內(nèi)截圓柱的方程為 它的截面積為 -(21) -（22） 由第一問可知它可以用5次多項式近似代換。（2） 、對儲油罐兩段球缺部分的計算 由球的關系有： -(23)式中 ： r - 球缺的半徑 b(1m) - 球缺的頂高 解得 r=1.625m 在XOZ截面內(nèi)用平面z=截到一個平面 面積為： - -(24) 另 有 = -(25) 這樣儲油罐的體積就可以表示為： -(26) V也可以用多項式擬合，不過不能直接用附錄里的數(shù)據(jù)，哪里的體積是不準確的，它是沒有考慮變位時對體積的影響，我們就用第一個體積，把它作為儲油罐的初始體積，分別用當前行的體積減去下一行的出油量，這樣我們認為此時的體積即為實際體積，同第一問中問題二的解決方法一樣通過最小二乘法計算出： 求得： 然后反向應用擬合出5次多項式，即： -(27) 對這個模型進行誤差分析求得： 標準差為： R檢驗 符合要求，然后根據(jù)這個模型就可以算出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值如下：顯示油高/cm顯示油量容積/L顯示油高/cm顯示油量容積/L101352.1716031568.85202223.8517033378.42303082.1318036168.99403195.8119036925.2504936.0220040631.3606876.0721044270.94708991.2122046826.998011258.5223049281.369013656.6724050614.7910016165.7625052806.7111017767.1326055835.0412020443.1827059675.9913023177.1728060303.8814025953.0929060690.9815028755.3830061807.31 五、模型評價地下儲油罐的使用在現(xiàn)實中是比較常見的一種應用方式，而且出現(xiàn)罐體的偏轉也是正常現(xiàn)象，所以我們建立的模型在一定程度上是可以解決一些社會現(xiàn)實問題的，具有一定的實用性。本模型在適當?shù)募僭O下，找到適當?shù)慕嵌?，運用數(shù)據(jù)擬合的思想，建立數(shù)學模型，使用問題得以求解。在模型的建立過程中，我們用Mat