23.4中位線.docx

華師大版的九年級上冊第23章第4節(jié)23.4中位線一、選擇題1. 如圖，在ABC中，點D、E分別是邊AB，BC的中點若DBE的周長是6，則ABC的周長是（）A.8 B.10 C.12 D.14答案：C解析：解答：點D、E分別是邊AB，BC的中點，DE是三角形BC的中位線，AB=2BD，BC=2BE，DEBC且DE=AC，又AB=2BD，BC=2BE，AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即ABC的周長是DBE的周長的2倍，DBE的周長是6，ABC的周長是：62=12故選：C.分析：首先根據(jù)點D、E分別是邊AB，BC的中點，可得DE是三角形BC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線定理，可得DE=AC，最后根據(jù)三角形周長的含義，判斷出ABC的周長和DBE的周長的關(guān)系，再結(jié)合DBE的周長是6，即可求出ABC的周長是多少2. 如圖所示，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學(xué)幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B的點C，找到AC，BC的中點D，E，并且測出DE的長為10m，則A，B間的距離為（）A.15mB.25mC.30mD.20m答案：D解析：解答：D，E分別是AC，BC的中點，AB=2DE=20m故選D.分析：利用三角形的中位線定理即可直接求解3. 如圖，ABC中，AB=AC，AD平分BAC，DEAC交AB于E，則SEBD：SABC=（）A.1：2B.1：4C.1：3D.2：3答案：B解析：解答：如圖，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，點D是BC的中點又DEAC，ED是ABC的中位線，且EBDABC，相似比是：ED：AC=1：2，SEBD：SABC=1：4故選：B.分析：易證ED是ABC的中位線，相似三角形EBDABC的相似比是1：2；然后由相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行答題4. 如果ABC的兩邊長分別為3和5，那么連結(jié)ABC三邊中點D、E、F所得的DEF的周長可能是（）A.3B.4C.5D.6答案：D解析：解答：設(shè)三角形的三邊分別是a、b、c，令a=3，b=5，則2c7，10三角形的周長15，故5中點三角形周長7.5故選D.分析：本題依據(jù)三角形三邊關(guān)系，可求第三邊大于2小于7，原三角形的周長大于10小于15，連接中點的三角形周長是原三角形周長的一半，那么新三角形的周長應(yīng)大于5而小于7.5，看哪個符合就可以了5. 順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.以上都不對答案：A解析：解答：如圖四邊形ABCD，E、N、M、F分別是DA，AB，BC，DC中點，連接AC，DE，根據(jù)三角形中位線定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根據(jù)平行四邊形的判定，可知四邊形為平行四邊形故選：A.分析：利用三角形中位線定理可得新四邊形的對邊平行且等于原四邊形一條對角線的一半，那么根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定所得的四邊形一定是平行四邊形6. 平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E是BC的中點若OE=3cm，則AB的長為（）A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm答案：B解析：解答：四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC；又點E是BC的中點，BE=CE，AB=2OE=23=6（cm）故選B.分析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A=OC；又因為點E是BC的中點，所以O(shè)E是ABC的中位線，由OE=3cm，即可求得AB=6cm7. 如圖所示，在梯形ABCD中，ABDC，EF是梯形的中位線，AC交EF于G，BD交EF于H，以下說法錯誤的是（）A.ABEFB.AB+DC=2EFC.四邊形AEFB和四邊形ABCD相似D.EG=FH答案：C解析：解答：ABDC，EF是梯形的中位線，ABEF，AB+DC=2EF，故A、B選項結(jié)論正確， EF是梯形的中位線，點G、H分別是AC、BD的中點，EG=FH=CD，D選項結(jié)論正確，四邊形AEFB和四邊形ABCD一定不相似，故C選項錯誤故選C.分析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A=OC；又因為點E是BC的中點，所以O(shè)E是ABC的中位線，由OE=3cm，即可求得AB=6cm8. 如圖四邊形ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3，P為AB邊上的一動點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，則對角線PQ的長的最小值是（）A.3B.4C.5D.6答案：B解析：解答：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點O，則O是DC的中點，過點Q作QHBC，交BC的延長線于H，ADBC，ADC=DCH，即ADP+PDG=DCQ+QCH，PDCQ，PDC=DCQ，ADP=QCH，又PD=CQ，在RtADP與RtHCQ中，ADPQCHAQHCPDCQRtADPRtHCQ（AAS），AD=HC，AD=1，BC=3，BH=4，當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為4故選B.分析：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QHBC，交BC的延長線于H，易證得RtADPRtHCQ，即可求得BH=4，則可得當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為4；9. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，E、F分別是AB、CD的中點，EF分別交BD、AC于G、H，若AD=6，BC=10，則GH的長為（）A.5B.4C.3D.2答案：D解析：解答：EF是梯形ABCD的中位線，E、GH、F分別為AB、BD、AC、DC的中點，又AD=6，BC=10，EF=（6+10）2=8，EG=HF=62=3，GH=EF-EG-HF=8-3-3=2，故選D.分析：根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，計算出EF的長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，求出EG和HF的長，從而計算出GH的長10. 如圖，梯形ABCD中，ABC和DCB的平分線相交于梯形中位線EF上的一點P，若EF=2，則梯形ABCD的周長為（）A.12B.10C.8D.6答案：C解析：解答：EF是梯形ABCD的中位線，AD+BC=2EF，EFBC，PBC=BPE，BP是ABC的平分線，PBE=PBC，PBE=BPE，PE=BE，同理可得CF=PF，EF分別是AB、CD的中點，AB=2BE，CD=2CF，AB+CD=2（BE+CF）=2（PE+PF）=2EF，梯形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=4EF，EF=2，梯形ABCD的周長=24=8故答案為：C.分析：根據(jù)梯形的中位線等于兩底邊長和的一半并且平行于底邊可得AD+BC=2EF，EFBC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得PBC=BPE，再根據(jù)角平分線的定義可得PBE=PBC，然后求出PBE=BPE，然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得PE=BE，同理求出CF=PF，再根據(jù)中點定義求出AB+CD=2EF，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解11. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC=4cm，E為AD的中點，F(xiàn)、G分別為BE、CD的中點，則FG=（）cmA.2B.3C.4D.5答案：B解析：解答：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC=4cm，E為AD的中點，ED=AD=2（cm），F(xiàn)、G分別為BE、CD的中點，F(xiàn)G=（ED+BC）=3（cm）故選B.分析：由在平行四邊形ABCD中，BC=4cm，E為AD的中點，可求得ED的長，又由F、G分別為BE、CD的中點，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，即可求得答案12. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E、F分別是AB、CD的中點，則下列結(jié)論：EFAD；SABO=SDCO；OGH是等腰三角形；BG=DG；EG=HF其中正確的個數(shù)是（）A.1個B.2個C.3個D.4個答案：D解析：解答：在梯形ABCD中，ADBC，E、F分別是AB、CD的中點，EFADBC，正確；在梯形ABCD中，設(shè)梯形ABCD的高是h，則ABD的面積是ADh，ACD的面積是：ADh，SABD=SACD，SABD-SAOD=SACD-SAOD，即SABO=SDCO，正確；EFBC，OGH=OBC，OHG=OCB，已知四邊形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，即OBC和OCB不一定相等，即OGH和OHG不一定相等，GOH和OGH或OHG也不能證出相等，說OGH是等腰三角形不對，錯誤；EFBC，AE=BE（E為AB中點），BG=DG，正確；EFBC，AE=BE（E為AB中點），AH=CH，E、F分別為AB、CD的中點，EH=BC，F(xiàn)G=BC，EH=FG，EG=FH，EH-GH=FG-GH，EG=HF，正確；正確的個數(shù)是4個，故選D.分析：根據(jù)梯形的中位線推出，求出ABD和ACD的面積，都減去AOD的面積，即可判斷；只有等腰梯形ABCD，才能得出OBC=OCB，再根據(jù)平行線性質(zhì)即可判斷；根據(jù)平行線分線段定理即可得出G、H分別為BD和AC中點，即可判斷；根據(jù)三角形的中位線得出EH=FG，即可得出EG=FH，即可判斷13. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=30，C=60，E、F、M、N分別為AB、CD、BC、DA的中點，若BC=7，MN=3，則EF為（）A.3B.4C.5D.6答案：B解析：解答：過點M分別作GAB，MHCD，得平行四邊形ABHM和平行四邊形DCGM，NGM+NHM=B+C=90，GH=BC-AD，MG=MHGH=2MN=6（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）AD=7-6=1EF=4，故選B.分析：過點N分別作NGAB，NHCD，得平行四邊形ABGN和平行四邊形DCHN，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到GNH為直角三角形，且MN為其斜邊上的中線，由已知可求得AD的長，從而不難求中位線的長了14. 已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=4，MN是梯形ABCD的中位線，且MN=6，則梯形ABCD的周長是（）A.22B.20C.18D.14答案：B解析：解答：MN是梯形ABCD的中位線，且MN=6，AD+BC=2MN=26=12梯形ABCD的周長是AB+DC+AD+BD=4+4+12=20故選B.分析：此題只需根據(jù)“梯形的中位線等于兩底和的一半”，求得梯形的兩底和，再進一步計算其周長15. 梯形ABCD中ADBC，E是AB的中點，過E作兩底的平行線交DC于F，則下面結(jié)論錯誤的是（）A.EF平分線段ACB.梯形上下底間任意兩點的連線段被EF平分C.梯形EBCF與梯形AEFD周長之差的絕對值等于梯形兩底之差的絕對值D.梯形EBCF的面積比梯形AEFD的面積大答案：D解析：解答：根據(jù)題意可知EF是梯形ABCD的中位線，則A正確，因為EF是梯形ABCD的中位線，所以FG是ACD的中位線，則EF平分線段AC.B正確，因為EF是梯形ABCD的中位線，再根據(jù)平行線分線段成比例，則梯形上下底間任意兩點的連線段被EF平分C正確，因為梯形EBCF的周長為EF+EB+BC+CF，梯形AEFD周長為AE+AD+DF+EF，又因為EF是梯形ABCD的中位線，所以梯形EBCF與梯形AEFD周長之差的絕對值等于梯形兩底之差的絕對值D錯誤，因為根據(jù)題意不能判斷AD和BC誰是上底誰是下底，所以不能判斷梯形EBCF的面積比梯形AEFD的面積大故選D.分析：根據(jù)題意可先判斷出EF是梯形ABCD的中位線，然后再根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)分別進行判斷二、填空題16. 如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，若BC=10，則DE= 答案：5解析：解答：D、E分別是AB、AC的中點DE是ABC的中位線，BC=2DE，BC=10，DE=5故答案為：5分析：根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，有DE=BC，從而求出DE的長17. 如圖，點D、E、F分別是ABC各邊的中點，連接DE、EF、DF若ABC的周長為10，則DEF的周長為 答案：5解析：解答：如上圖所示，D、E分別是AB、BC的中點，DE是ABC的中位線，DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，DEF的周長=（AC+BC+AB）=10=5故答案為5分析：由于D、E分別是AB、BC的中點，則DE是ABC的中位線，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求DEF的周長18. 已知梯形的上底長為a，中位線長為m，那么這個梯形的下底長為 答案：2m-a解析：解答：根據(jù)題意得，下底=2中位線-上底，則下底=2m-A.分析：根據(jù)“梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半”較易求解19. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，中位線EF交BD于點O，若FO-EO=6，則BC-AD為 答案：12解析：解答：EF是梯形ABCD的中位線，AE=BE，CF=DF，EFADBC，DO=BO，AD=2EO，BC=2FO，F(xiàn)O-EO=6，BC-AD=26=12，故答案為：12分析：根據(jù)梯形的中位線得出EFADBC，推出BO=DO，根據(jù)三角形的中位線求出AD=2EO，BC=2FO，代入求出即可20. 如圖，ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CFAE于F，AB=5，AC=2，則DF的長為 答案：解析：解答：延長CF交AB于點G，AE平分BAC，GAF=CAF，AF垂直CG，AFG=AFC，在AFG和AFC中，GAFCAFAFAFAFGAFCAFGAFC（ASA），AC=AG，GF=CF，又點D是BC中點，DF是CBG的中位線，DF=BG=（AB-AG）=（AB-AC）=故答案為：分析：延長CF交AB于點G，證明AFGAFC，從而可得ACG是等腰三角形，GF=FC，點F是CG中點，判斷出DF是CBG的中位線，繼而可得出答案三、解答題21. 如圖，在ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分別是ABC角平分線和中線，過點C作CGAD于F，交AB于G，連接EF，求線段EF的長答案：解答：在AGF和ACF中，GAFCAFAFAFAFGAFCAGFACF，AG=AC=3，GF=CF，則BG=AB-AG=4-3=1又BE=CE，EF是BCG的中位線，EF=BG= 解析：分析：首先證明AGFACF，則AG=AC=3，GF=CF，證明EF是BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解22. 如圖，在ABC中，若B=2C，ADBC，E為BC邊中點，求證：AB=2DE答案：證明：取AC中點F，連接EF，DF，則EF為中位線，且EFAB、FEC=B=2C，在直角三角形ACD中，F(xiàn)是斜邊AC的中點，DF=CF，DEF=C，即有2FDC=FEC，EFC=FDC+DFE，2DFE=FEC=2FDC，DE=EF，AB=2DE解析：取AC中點F，連接EF、DF，則EF為ABC的中位線，結(jié)合條件可得到FEC=2C，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得到EDF=EFD，得到DE=EF，可得出結(jié)論23. （1）敘述三角形中位線定理，并運用平行四邊形的知識證明；（2）運用三角形中位線的知識解決如下問題：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E、F分別是AB，CD的中點，求證：EF=（AD+BC）答案：（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半已知：ABC中，點E、F分別是AB、AC的中點，求證：EFBC且EF=BC，證明：如圖，延長EF到D，使FD=EF，點F是AC的中點，AF=CF，在AEF和CDF中，AFFCAFECFDEFFDAEFCDF（SAS），AE=CD，D=AEF，ABCD，點E是AB的中點，AE=BE，BE=CD，BECD，四邊形BCDE是平行四邊形，DEBC，DE=BC，DEBC且EF=BC.證明：連接AF并延長，交BC延長線于點M，ADBC，D=FCM，F(xiàn)是CD中點，DF=CF，在ADF和MCF中，DFCMDFCFAFDMFCADFMCF（ASA），AF=FM，AD=CM，EF是ABM的中位線，EFBCAD，EF=BM=（AD+BC）解析：（1）作出圖形，然后寫出已知、求證，延長EF到D，使FD=EF，利用“邊角邊”證明AEF和CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CD，全等三角形對應(yīng)角相等可得D=AEF，再求出CE=CD，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判斷出ABCD，然后判斷出四邊形BCDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DEBC，DE=BC.（2）連接AF并延長，交BC延長線于點M