雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(經(jīng)典).doc

高考圓錐曲線-雙曲線 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)1】雙曲線-1的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)范圍：xa,yR.(2)對(duì)稱性：雙曲線的對(duì)稱性與橢圓完全相同，關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)中心對(duì)稱.(3)頂點(diǎn)：兩個(gè)頂點(diǎn)：A1(-a,0),A2(a,0)，兩頂點(diǎn)間的線段為實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，且c2a2+b2.(4)漸近線：雙曲線特有的性質(zhì)，方程yx，或令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程-1中的1為零即得漸近線方程.(5)離心率e1，隨著e的增大，雙曲線張口逐漸變得開闊.(6)等軸雙曲線(等邊雙曲線)：x2-y2a2(a0),它的漸近線方程為yx,離心率e.(7)共軛雙曲線：方程-1與-1表示的雙曲線共軛，有共同的漸近線和相等的焦距，但需注意方程的表達(dá)形式.注意：（1）與雙曲線-1共漸近線的雙曲線系方程可表示為-(0且為待定常數(shù))（2）與橢圓+1(ab0)共焦點(diǎn)的曲線系方程可表示為-1(a2,其中b2-0時(shí)為橢圓， b2a2時(shí)為雙曲線)（3）雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F(c,0)的距離和到定直線l:x的距離之比等于常數(shù)e(ca0)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距(焦參數(shù))p，與橢圓相同.1、寫出雙曲線方程的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸的長(zhǎng)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，離心率和漸近線方程 2、已知雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的離心率3、求以為漸近線，且過點(diǎn)（1,2）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程4、已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16，離心率為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。5、求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及離心率【知識(shí)點(diǎn)2】弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問題（1）直線和圓錐曲線相交時(shí)的一般弦長(zhǎng)問題：一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則弦長(zhǎng) ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想.（2）中點(diǎn)弦問題：處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問題常用代點(diǎn)相減法，設(shè)A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（ab0）上不同的兩點(diǎn)，M(x0，y0)是AB的中點(diǎn)，則KABKOM=；對(duì)于雙曲線（a0，b0），類似可得：KABKOM=；對(duì)于y2=2px（p0）拋物線有KAB；另外，也可以用韋達(dá)定理來處理.【題型一】直線與雙曲線的交點(diǎn)問題：過平面內(nèi)任一點(diǎn)P作直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有幾條？（幾何角度）6、若y=kx-1與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求k的范圍.【變1】有兩個(gè)公共點(diǎn)？【變2】無公共點(diǎn)？【變3】與右支有兩個(gè)公共點(diǎn)？【變4】與右支只有一個(gè)公共點(diǎn)？7、過雙曲線的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,這樣的直線有幾條？【題型2】雙曲線離心率的求法一、根據(jù)離心率的范圍，估算e：即利用圓錐的離心率的范圍來解題，有時(shí)可用橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率來解決。8、已知雙曲線C：1 (a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點(diǎn)M在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為_9、已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為_二、直接求出a、c，求解e：已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時(shí)，可利用離心率公式來解決。10、點(diǎn)P（3，1）在橢圓（）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)榈墓饩€經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為【 】.A. B. C. D. 三、構(gòu)造a，c齊次式，解出：根據(jù)題設(shè)條件關(guān)系式，借助之間的關(guān)系，溝通的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解方程得出離心率e。11、已知是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是【 】.A. B. C. D. 12、過雙曲線1的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于_。四、尋找a與c的關(guān)系式：由于離心率是c與a的比值，故不必分別求出a、c的值，可尋找a與c的關(guān)系式，即a用c來表示即可解決。13、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是【 】.A. B. C. D. 五、統(tǒng)一定義法：由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，知離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題，即。14、設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為，若過F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到的距離，則橢圓的離心率是_?！究偨Y(jié)3】三種常見的解題方法 （1）轉(zhuǎn)換法為解題化歸立意15、直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2.若與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是【 】A.e B.1e C.1e（2）幾何法使數(shù)形結(jié)合帶上靈性16、設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為【 】A B C. D（3）設(shè)而不求與借舟棄舟同理17、雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為【 】A. B. C. D. 18、在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請(qǐng)說明理由。高考題選1.（浙江卷）過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若，則雙曲線的離心率是【 】 A B C D2.（浙江卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸， 直線交軸于點(diǎn)若，則橢圓的離心率是【 】 A B C D 3.（全國卷）雙曲線的漸近線與圓相切，則r=【 】.（A） （B）2 （C）3 （D）64.（江西卷）設(shè)和為雙曲線()的兩個(gè)焦點(diǎn), 若，是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為【 】. A B C D35.設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為【 】.A B C D6. (湖北卷)已知雙曲線的準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是【 】.A. B. C. D. 7.（四川卷文）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上.則【 】. A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【問題1】過平面內(nèi)任一點(diǎn)P作直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有幾條？（幾何角度）【答案】P在雙曲線內(nèi)，有2條（分別與漸近線平行）； P在雙曲線上，有3條（與漸近線平行的有兩條，切線一條）；P在雙曲線外，若P在漸近線上且P為原點(diǎn)時(shí)，0條；若P在漸近線上且P不為原點(diǎn)時(shí)，2條（與另一漸近線平行的一條，切線一條）；若P不在漸近線上，0條；有4條（與漸近線平行的有兩條，切線兩條）；8答案解析取雙曲線的漸近線yx，則過F2與漸近線垂直的直線方程為y(xc)，可解得點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則F2H的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.9答案1解析雙曲線1的漸近線方程為yx，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點(diǎn)F2(，0)為圓心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）為，則P（3，1）在左準(zhǔn)線上，左焦點(diǎn)在反射光線上，有 解得 知，故選A。11解：如圖1，的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。由， 焦半徑公式 有， 即有 解得，故選D。12解：如圖2，所給的語言可轉(zhuǎn)化為通徑， 即 得， 故 解得或（舍）故填13解：由題意，得。又由橢圓的定義，得，即，則得，故選D。14解：據(jù)橢圓的第二定義及題意，畫出圖3，觀察線段的數(shù)量關(guān)系，得。故填。15【分析】就題論題的去解這道題，確實(shí)難以下手，那就考慮轉(zhuǎn)換吧.其一，直線和雙曲線的兩支都有交點(diǎn)不好掌握，但是和兩條漸近線都有交點(diǎn)卻很好掌握.其二，因?yàn)橐阎本€的斜率為2，所以雙曲線的兩條漸近線中，傾斜角為鈍角的漸近線肯定與之相交，只須考慮傾斜角為銳角的漸近線也與之相交.故有如下妙解.【解析】如圖設(shè)直線的傾斜角為，雙曲線漸近線的傾斜角為.顯然。當(dāng)時(shí)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上.由. 雙曲線中，故取e.選D.16【解析】雙曲線的實(shí)、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1P F2=90.選B.【評(píng)注】解題中發(fā)現(xiàn)PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，這一美妙的結(jié)果不是每個(gè)考生都能臨場(chǎng)發(fā)現(xiàn)的.將最美的結(jié)果隱藏在解題過程之中以鑒別考生的思維能力，這正是命題人的高明之處.17【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點(diǎn)為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個(gè)步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會(huì)出漏子.請(qǐng)看：18 如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會(huì)有如下解法：【錯(cuò)解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)呢？我們只須注意如下兩點(diǎn)就夠了：其一：將點(diǎn)M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點(diǎn)M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點(diǎn)的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證.由這里，故方程（2）無實(shí)根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點(diǎn)：只有當(dāng)時(shí)才可能求出k=2.若.說明這時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線. 1【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，則有，因2D 【命題意圖】對(duì)