（典型題）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 函數(shù)與方程思想.doc

函數(shù)與方程思想1 函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決方程的思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系2 和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化對(duì)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要(3)在三角函數(shù)求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系化為未知量的表達(dá)式，那么問(wèn)題就能化為未知量的方程來(lái)解(4)解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(5)立體幾何中有關(guān)線段的長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.類型一函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例1已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)在(1)的條件下，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，設(shè)bn，若對(duì)任意的nn*，不等式bnk恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值解(1)因?yàn)閍12，aa2(a41)，又因?yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.(2)因?yàn)閟nn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，則f(x)2，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時(shí)，f(x)minf(1)3，即當(dāng)n1時(shí)，(bn)max，要使對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實(shí)數(shù)k的最小值為.(1)等差(比)數(shù)列中各有5個(gè)基本量，建立方程組可“知三求二”；(2)數(shù)列的本質(zhì)是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式即為相應(yīng)的解析式，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意用函數(shù)的思想求解已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn，記sn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，若n3時(shí)，有snm恒成立，求m的最大值解(1)an是等差數(shù)列，a11，a2a3a10144，s10145，s10，a1028，公差d3.an3n2(nn*)(2)由(1)知bn，snb1b2bn，sn.sn1sn0，數(shù)列sn是遞增數(shù)列當(dāng)n3時(shí)，(sn)mins3，依題意，得m，m的最大值為.類型二函數(shù)與方程思想在方程問(wèn)題中的應(yīng)用例2如果方程cos2xsin xa0在(0，上有解，求a的取值范圍解方法一設(shè)f(x)cos2xsin x(x(0，)顯然當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f(x)的值域時(shí)，af(x)有解f(x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且由x(0，知sin x(0,1易求得f(x)的值域?yàn)?1,1故a的取值范圍是(1,1方法二令tsin x，由x(0，可得t(0,1將方程變?yōu)閠2t1a0.依題意，該方程在(0,1上有解設(shè)f(t)t2t1a.其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸t，如圖所示因此f(t)0在(0,1上有解等價(jià)于，即，1a1.故a的取值范圍是(1,1 研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等復(fù)雜方程解的問(wèn)題，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程，進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式或構(gòu)造函數(shù)加以解決 當(dāng)a為何值時(shí)，方程lg(3x)lg(x1)lg(ax)有兩解？一解？無(wú)解？解當(dāng)即1x3時(shí)，方程化為(x1)(3x)ax，即x25x3a.(*)作出函數(shù)yx25x3 (1x3)的圖象(如圖)，該圖象與直線ya的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程(*)的解，也是原方程的解由圖形易看出：當(dāng)3a時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)1或a1時(shí)，原方程無(wú)解類型三函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例3設(shè)f(x)ln x1，證明：(1)當(dāng)x1時(shí)，f(x)(x1)；(2)當(dāng)1x3時(shí)，f(x)1時(shí)，g(x)0.又g(1)0，所以有g(shù)(x)0，即f(x)1時(shí)，2x1，故.令k(x)ln xx1，則k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1時(shí)，f(x)(x1)(2)方法一記h(x)f(x)，由(1)得h(x).令g(x)(x5)3216x，則當(dāng)1x3時(shí)，g(x)3(x5)22160，因此g(x)在(1,3)內(nèi)是減函數(shù)又由g(1)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)是減函數(shù)又h(1)0，所以h(x)0.于是當(dāng)1x3時(shí)，f(x).方法二記h(x)(x5)f(x)9(x1)，則當(dāng)1x3時(shí)，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減又h(1)0，所以h(x)0，即f(x)0即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4；當(dāng)xb0)，設(shè)f(c,0)，直線l：xyc0，由坐標(biāo)原點(diǎn)o到l的距離為，得，解得c1.又e，故a，b1，所求橢圓方程為y21.(2)假設(shè)存在點(diǎn)m(m,0)(0m1)滿足條件，使得以mp，mq為鄰邊的平行四邊形是菱形因?yàn)橹本€與x軸不垂直，所以設(shè)直線l的方程為yk(x1)(k0)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由可得(12k2)x24k2x2k220.顯然0恒成立，x1x2，x1x2.設(shè)線段pq的中點(diǎn)為n(x0，y0)，則x0，y0k(x01).以mp、mq為鄰邊的平行四邊形是菱形，mnpq，kmnkpq1.即k1，m，k20，0mb0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy0相切，過(guò)點(diǎn)p(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓c相交于a、b兩點(diǎn)(1)求橢圓c的方程；(2)求的取值范圍；(3)若b點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是e，證明：直線ae與x軸相交于定點(diǎn)(1)解由題意知e，e2，即a2b2，又b，a24，b23，故橢圓c的方程為1.(2)解由題意知直線ab的斜率存在，設(shè)直線ab的方程為yk(x4)，由得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)0得k2.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225，0k2，的取值范圍是.(3)證明b、e兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，e(x2，y2)，直線ae的方程為yy1(xx1)，令y0得xx1，又y1k(x14)，y2k(x24)，x，將代入上式得x1，直線ae與x軸交于定點(diǎn)(1,0)1 在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是一個(gè)方程，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、余弦定理、解析幾何的弦長(zhǎng)公式等，當(dāng)題目與這些問(wèn)題有關(guān)時(shí)，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2 當(dāng)問(wèn)題中涉及一些變化的量時(shí)，就需要建立這些變化的量之間的關(guān)系，通過(guò)變量之間的關(guān)系探究問(wèn)題的答案，這就需要使用函數(shù)思想3 借助有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，一是用來(lái)解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，二是在問(wèn)題的研究中，可以通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)來(lái)求解4 許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，一般都含有常量、變量或參數(shù)，這些參變量中必有一個(gè)處于突出的主導(dǎo)地位，把這個(gè)參變量稱為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困擾，解方程的實(shí)質(zhì)就是分離參變量1 若2x5y2y5x，則有()axy0 bxy0cxy0 dxy0答案b解析把不等式變形為2x5x2y5y，構(gòu)造函數(shù)y2x5x，其為r上的增函數(shù)，所以有xy.2 設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點(diǎn)m、n，則當(dāng)|mn|達(dá)到最小時(shí)t的值為()a1 b. c. d.答案d解析可知|mn|f(x)g(x)x2ln x.令f(x)x2ln x，f(x)2x，所以當(dāng)0x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xt時(shí)，f(x)有最小值，即|mn|達(dá)到最小3 長(zhǎng)度都為2的向量，的夾角為60，點(diǎn)c在以o為圓心的圓弧(劣弧)上，mn，則mn的最大值是_答案解析建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量(2,0)，向量(1，)設(shè)向量(2cos ，2sin )，0.由mn，得(2cos ，2sin )(2mn，n)，即2cos 2mn,2sin n，解得mcos sin ，nsin .故mncos sin sin.4 已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.若對(duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案a4解析由題意，得當(dāng)x(0，)時(shí)，有2xln xx2ax3，則a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x0)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4.因?yàn)閷?duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.5 已知橢圓g：1(a1)，m：(x1)2y21，p為橢圓g上一點(diǎn)，過(guò)p作m的兩條切線pe、pf，e、f分別為切點(diǎn)(1)求t|的取值范圍；(2)把表示成t的函數(shù)f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值解(1)設(shè)p(x0，y0)，則1(a1)，y(a21)，t2|2(x01)2y(x01)2(a21)2，t.ax0a，a1ta1(a1)(2)|cosepf|2(2cos2epm1