河北省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)四邊形第27講矩形與菱形試題（含解析）.docx

第27講矩形與菱形1. (2010，河北)如圖，矩形ABCD的頂點A，B在數(shù)軸上，CD6，點A表示的數(shù)為1，則點B表示的數(shù)為 5 .第1題圖【解析】 四邊形ABCD是矩形，ABCD6.點B表示的數(shù)為(1)65.2. (2011，河北)如圖，已知菱形ABCD，其頂點A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為4和1，則BC 5 .第2題圖【解析】 菱形ABCD的頂點A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為4和1，AB1(4)5.BCAB5.3. (2013，河北，導(dǎo)學(xué)號5892921)如圖，在菱形ABCD中，點M，N在AC上，MEAD，NFAB.若NFNM2，ME3，則AN的長為(B)第3題圖A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】 在菱形ABCD中，DACBAC.MEAD，NFAB，AEMAFN90.AFNAEM.，即.解得AN4.4. (2017，河北)求證：菱形的兩條對角線互相垂直已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O.求證：ACBD.以下是排亂的證明過程：又BODO，AOBD，即ACBD.四邊形ABCD是菱形，ABAD.證明步驟正確的順序是(B)第4題圖A. B. C. D. 【解析】 根據(jù)菱形的性質(zhì)，先得到ABAD和BODO，再根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明ACBD.故證明步驟正確的順序為.矩形的性質(zhì)與判定例1 (2018，廊坊安次區(qū)模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB3，AD8，E為BC的中點，連接AE，EF是AEC的平分線，交AD于點F，則FD的長為(A)例1題圖A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】 四邊形ABCD是矩形，ADBC8，ADBC.AFEFEC.EF平分AEC，AEFFEC.AFEAEF.AEAF.E為BC的中點，BC8，BE4.在RtABE中，AB3，BE4，由勾股定理，得AE5.AFAE5.DFADAF853.針對訓(xùn)練1 如圖，在矩形ABCD中，AB，BC3，AEBD于點E，則EC的長為(D)訓(xùn)練1題圖A. B. C. D. 【解析】 如答圖，過點E作EFBC于點F.四邊形ABCD是矩形，ADBC3，BAD90.AB，tanADB.ADB30.ABE60.FBE30.在RtABE中，cosABE.BE.在RtBEF中，cosFBE，sin FBE.BF，EF.CF3.在RtCFE中，CE.訓(xùn)練1答圖菱形的判定和性質(zhì)例2 (2018，濱州惠民縣模擬)如圖，在ABCD中，BAD的平分線交BC于點E，ABC的平分線交AD于點F.若BF12，AB10，則AE的長為(C)例2題圖A. 10 B. 12 C. 16 D. 18【解析】 如答圖，設(shè)AE和BF交于點O.四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC.DAEAEB.BAD的平分線交BC于點E，DAEBAE.BAEBEA.ABBE.同理ABAF.AFBE.四邊形ABEF是平行四邊形ABAF，四邊形ABEF是菱形AEBF，OAOE，OBOFBF6.OA8.AE2OA16.例2答圖針對訓(xùn)練2 如圖，在RtABC中，BAC90，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AFBC交BE的延長線于點F.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若AC8，AB10，求菱形ADCF的面積訓(xùn)練2題圖【思路分析】 (1)先證得AEFDEB，再求得AFCD，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可求得ADCD，可證得結(jié)論(2)根據(jù)條件可證得S菱形ADCFSABC，結(jié)合條件可求得答案(1)證明：E是AD的中點，AEDE.AFBC，AFEDBE.在AEF和DEB中，AEFDEB(AAS)AFDB.D是BC的中點，BDCD.AFCD.AFBC，四邊形ADCF是平行四邊形BAC90，D是BC的中點，ADCDBC.四邊形ADCF是菱形(2)解：設(shè)AF到CD的距離為h.AFBC，AFBDCD，BAC90，S菱形ADCFCDhBChSABCABAC40.一、 選擇題1. (2018，十堰)菱形不具備的性質(zhì)是(B)A. 四條邊都相等 B. 對角線一定相等 C. 是軸對稱圖形 D. 是中心對稱圖形【解析】 菱形的四條邊相等，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對角線互相垂直不一定相等2. (2018，上海)已知ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是(B)A. AB B. AC C. ACBD D. ABBC【解析】 A. AB，AB180，AB90.可以判定這個平行四邊形為矩形B. AC不能判定這個平行四邊形為矩形C. ACBD，對角線相等，可推出ABCD是矩形D. ABBC，B90.可以判定這個平行四邊形為矩形3. (2018，貴陽)如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EFCB，交AB于點F.如果EF3，那么菱形ABCD的周長為(A)第3題圖A. 24 B. 18 C. 12 D. 9【解析】 E是AC的中點，EFBC，EF是ABC的中位線EFBC.BC6.菱形ABCD的周長是4624.4. (2018，哈爾濱)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD8，tanABD，則線段AB的長為(C)第4題圖A. B. 2 C. 5 D. 10【解析】 四邊形ABCD是菱形，ACBD，AOCO，OBOD.AOB90.BD8，OB4.tanABD，AO3.在RtAOB中，由勾股定理，得AB5.5. (2018，大連)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O.若AB5，AC6，則BD的長是(A)第5題圖A. 8 B. 7 C. 4 D. 3【解析】 四邊形ABCD是菱形，OAOC3，OBOD，ACBD.在RtAOB中，根據(jù)勾股定理，得OB4.BD2OB8.6. (2018，孝感)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC10，BD24，則菱形ABCD的周長為(A)第6題圖A. 52 B. 48 C. 40 D. 20【解析】 在菱形ABCD中，BD24，AC10，OB12，OA5.易知AOB90.在RtABO中，AB13.菱形ABCD的周長為4AB52.7. (2018，保定模擬)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是AD，AO的中點若AB6，BC8，則AEF的周長為(C)第7題圖A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【解析】 四邊形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，OBODOAOC.在RtBAD中，BD10，ODOAOB5.E，F(xiàn)分別是AD，AO的中點，EFOD，AE4，AF.AEF的周長為9.8. (2018，遵義)如圖，P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EFBC，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PB，PD.若AE2，PF8，則圖中陰影部分的面積為(C)第8題圖A. 10 B. 12 C. 16 D. 18【解析】 如答圖，過點P作PMAD于點M，交BC于點N，則四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形SADCSABC，SAMPSAEP，SPBESPBN，SPFDSPDM，SPFCSPCN.SPBESDFP288.S陰影8816.第8題答圖9. (2018，宿遷)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E為邊CD的中點若菱形ABCD的周長為16，BAD60，則OCE的面積是(A)第9題圖A. B. 2 C. 2 D. 4【解析】 如答圖，過點D作DHAB于點H.四邊形ABCD是菱形，AOCO，ABBCCDAD.菱形ABCD的周長為16，ABAD4.BAD60，DHADsinBAD42.S菱形ABCD428.SACD84.E為邊CD的中點，SOCESOCDSACD4.第9題答圖10. (2018，棗莊)如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，AEBD，垂足為F，則tanBDE的值是(A)第10題圖A. B. C. D. 【解析】 四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.E是邊BC的中點，BEBCAD.ADBC，BEFDAF.EFAF.EFAE.E是邊BC的中點，由矩形的對稱性，得AEDE.EFDE.設(shè)EFx，則DE3x.DF2x.tanBDE.二、 填空題11. (2018，株洲)如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC10，P，Q分別為AO，AD的中點，則PQ的長為 2.5 .第11題圖【解析】 四邊形ABCD是矩形，BDAC10，BODOBD.ODBD5.P，Q分別是AO，AD的中點，PQ是AOD的中位線PQDO2.5.12. (2018，連云港，導(dǎo)學(xué)號5892921)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，連接AC，HE，EC，GA，GF.已知AGGF，AC，則AB的長為 2 .第12題圖【解析】 如答圖，連接BD.四邊形ABCD是矩形，ADCDCB90，BDAC.G，F(xiàn)分別是CD，BC的中點，CGDG，CFFB，GFBD.AGFG，AGF90.DAGAGD90，AGDCGF90，DAGCGF.ADGGCF.設(shè)CFBFa，CGDGb，則.b22a2.a0，b0，ba.在RtGCF中，CF2CG2GF2，即a2b2.3a2.a.b1.AB2b2.第12題答圖三、 解答題13. (2018，張家界)在矩形ABCD中，點E在BC上，AEAD，DFAE，垂足為F.(1)求證：DFAB；(2)若FDC30，且AB4，求AD的長第13題圖【思路分析】 (1)利用“AAS”證ADFEAB即可得(2)由ADFFDC90，DAFADF90，得DAFFDC30.據(jù)此知AD2DF.由(1)知DFAB可得答案(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，B90.AEBDAF.DFAE，DFA90.DFAB.ADEA，ADFEAB.DFAB.(2)解：ADFFDC90，DAFADF90，DAFFDC30.AD2DF.由(1)知DFAB，AD2AB8.14. (2018，烏魯木齊)如圖，在四邊形ABCD中，BAC90，E是BC的中點，ADBC，AEDC，EFCD于點F.(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若AB6，BC10，求EF的長第14題圖【思路分析】 (1)根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可(1)證明：ADBC，AEDC，四邊形AECD是平行四邊形BAC90，E是BC的中點，AECEBC.四邊形AECD是菱形(2)解：如答圖，過點A作AHBC于點H.BAC90，AB6，BC10，AC8.SABCBCAHABAC，AH.E是BC的中點，BC10，CE5.由(1)知四邊形AECD是菱形，CDCE5.SAECDCEAHCDEF，EFAH.第14題答圖1. (2018，威海)矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH.若BCEF2，CDCE1，則GH的長為(C)第1題圖A. 1 B. C. D. 【解析】 如答圖，延長GH交AD于點P.四邊形ABCD和四邊形CEFG都是矩形，ADCADGCGF90，ADBC2，GFCE1.ADGF.GFHPAH.H是AF的中點，AHFH.在APH和FGH中，APHFGH(ASA)APGF1，GHPHPG.PDADAP1.CG2，CD1，DG1.GHPG.第1題答圖2. (2018，達(dá)州，導(dǎo)學(xué)號5892921)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A(6，0)，C(0，2)將矩形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點A恰好落在OB上的點A1處，則點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)為(2，6)第2題圖【解析】 如答圖，連接OB1，過點B1作B1HOA于點H.由題意，得OA6，ABOC2.tanBOA.BOA30.ABO60.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知B1OBBOA30，OB1OB.B1OH60.B1OHABO.在AOB和HB1O中，AOBHB1O.B1HOA6，OHAB2.點B1的坐標(biāo)為(2，6)第2題答圖3. (2018，泰安，導(dǎo)學(xué)號5892921)如圖，在ABC中，D是AB上的一點，DEAC于點E，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)GBC于點G，與DE交于點H.若FGAF，AG平分CAB，連接GE，GD.(1)求證：ECGGHD；(2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：ADACEC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論；(3)若B30，判斷四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由 第3題圖【思路分析】 (1)依據(jù)條件得出ACFG，DEBC，進(jìn)而得出CDHG90，CGEGED，F(xiàn)G是線段ED的垂直平分線，進(jìn)而得到GEGD，CGEGDE，利用AAS即可判定ECGGHD.(2)過點G作GPAB于點P.先判定RtCAGRtPAG，可得ACAP.由(1)可得EGDG，即可得到RtECGRtDPG，進(jìn)而得ECDP，即可得出ADAPPDACEC.(3)依據(jù)B30，DEBC，可得ADE30，進(jìn)而得到AEAD，故AEAFFG.先判定四邊形AEGF是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形(1)證明：AFFG，F(xiàn)AGFGA.AG平分CAB，CAGFAG.CAGFGA