（固體力學(xué)專業(yè)論文）斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)分析.pdfVIP

斜拉索的1 線卡牛動(dòng)力學(xué)分析 摘要 本文對(duì)彈性斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究。在考慮幾何非線性情況 f ，利用n e w t o n 方法建立了斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)方程。利用約化方法、 多尺度法對(duì)斜拉索面內(nèi)和面外的耦合振動(dòng)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)在參數(shù)滿足一定 條件時(shí)，面內(nèi)和面外的振動(dòng)就會(huì)發(fā)生禍合。在第四章中，研究了斜拉索在可 動(dòng)邊界條件下的單自由度響應(yīng)，在這章中，首先利用邊界條件，建立了斜拉 索在可動(dòng)邊界條件下的簡(jiǎn)化模型。接著重點(diǎn)分析了邊界條件以及平方非線性 項(xiàng)對(duì)斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響，同時(shí)還分析了斜拉索從周期運(yùn)動(dòng)經(jīng) + 一一 過(guò)倍周期分叉通向混沌的道路。在第五章中，針對(duì)第四章得到的結(jié)論，用 m e l n i k o v 方法研究了斜拉索的混沌運(yùn)動(dòng)，并對(duì)斜拉索的混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù) 值模擬。 關(guān)鍵詞：斜拉索：非線性，約化方法，分又，混沌 湖南人學(xué)碩十論丈 a b s t r a c t t h i sp a p e ra t t e m p t st os t u d yt h en o n - l i n e a rd y n a m i c so fc a b l e s t h en o n l i n e a rd y n a m i c se q u a t i o n so fc a b l ea r ee s t a b l i s h e db ya p p l y i n gn e w t o nm e t h o d w i t h g e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y t a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o n a p p l y i n gs i m p l i f i e d m e t h o da n dm u l t i s c a l em e t h o d t h ec o u p l i n gv i b r a t i o no ft h ei n - p l a n ea n do u t - p l a n e i ss t u d i e d a n dt h e i n p l a n e a n do u t p l a n ev i b r a t i o n c o u p l e s c a nb e d i s c o v e r e dw h e nt h ec a b l e sp a r a m e t e r ss a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s i nc h a p 磚r4 t h es i n g l e d e g r e e o f - f r e e d o mr e s p o n s eo fac a b l eu n d e rt h ec o n d i t i o no fm o v a b l e b o u n d a r y i ss t u d i e d i nt h i s c h a p t e r , t h es i m p l i f i e d m o d e lu n d e rb o u n d a r y c o n d i t i o ni sa t t a i n e d t h e nt h ei n f l u e n c e so fb o u n d a r yc o n d i t i o na n dq u a d r a t i c n o n l i n e a r i t y o nn o n l i n e a r d y n a m i c so fc a b l e s a r e a n n y z e d m e a n w h i l e ，w e a n a l y z et h ep r o c e s s i o no f t h em u t el i o mt h ep e r i o d i cm o t i o nt oc h a o sm o t i o no f c a b l ev i ap e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n i nc h a p t e r5 ，t h ec h a o t i cm o t i o no f c a b l ei s s t u d i e db yu t i l i z i n gm e l n i k o vm e t h o da n ds i m u l a t e st h ec h a o t i cm o t i o nd i g i t a l l y k e y w o r d ：c a b l e ，n o n l i n e a r , s i m p l i f i e dm e t h o d ，b i f u r c a t i o n ，c h a o s 1 1 第一章斜拉索的1 r 線性動(dòng)力學(xué)的概述 第一章斜拉索非線性動(dòng)力學(xué)的概述 1 1 斜拉橋的發(fā)展概況 作為斜拉橋的一種重要結(jié)構(gòu)，斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展是隨著斜拉橋 的發(fā)展而迅速得到發(fā)展的，所以在論述斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展情況之 自h ，有必要先說(shuō)明斜拉橋的發(fā)展情況。 斜拉橋作為種由索、塔和梁組成的組合體系橋梁結(jié)構(gòu)，以其跨越能力大， 造型美觀而成為現(xiàn)代橋梁工程中發(fā)展最快、最具有競(jìng)爭(zhēng)力的橋型之一。實(shí)際上， 對(duì)于2 5 0 米至1 5 0 0 米( 甚至更長(zhǎng)) 的跨度范圍，斜拉橋( 包括懸索橋) 都具有競(jìng)爭(zhēng) 能力，所以覆蓋了目前跨度范圍的5 6 左右。 早期由j o h nr o e b l i n g 設(shè)計(jì)的紐約b r o o k l y n 懸索橋( 2 8 5 + 4 8 4 + 2 8 5 ) 時(shí)就已把 斜拉索作為輔助構(gòu)件了，但當(dāng)時(shí)材料強(qiáng)度低且技術(shù)水平還不能正確計(jì)算象斜拉 橋這樣的高次超靜定結(jié)構(gòu)。第一座現(xiàn)代鈔斜拉橋直到第二次世界大戰(zhàn)后才出 現(xiàn)，距第一座斜拉橋達(dá)一個(gè)世紀(jì)之久。此后，由于有限元法的出現(xiàn)和電算技術(shù) 的發(fā)展，高強(qiáng)度優(yōu)質(zhì)新型鋼材的大量生產(chǎn)，模型試驗(yàn)技術(shù)和預(yù)應(yīng)力混凝土技術(shù) 的飛速發(fā)展，使斜拉橋在近3 0 年間獲得突破性的發(fā)展。近幾年來(lái)，中國(guó)和世 界各國(guó)相繼出現(xiàn)了修建斜拉橋的高峰期。 7 0 年代修建成不少p c 斜拉橋，具有代表性的兩座p c 斜拉橋是美國(guó)的 p a s c o k e n n e w i c k 橋( 跨徑為2 9 9 米) 和法國(guó)的b r o t o n n e 橋( 主跨徑為3 2 0 米) ，它 們的特征是密索飄浮體系。目前建成最大跨徑的p c 斜拉橋是西班牙的l u n a 橋，其跨徑為4 4 0 米。8 0 年代中出現(xiàn)結(jié)合梁斜拉橋，采用鋼梁和混凝土橋面 板，代表作是加拿大的a n n a c i s 橋( 跨徑4 6 5 米) 和印度的第二h o o g h l y 橋( 跨徑 4 5 7 米) 。9 0 年代將出現(xiàn)跨徑超過(guò)結(jié)合梁的復(fù)合梁斜拉橋，即主跨為鋼粱，邊 跨為混凝土梁的斜拉橋。正在旄工的有法國(guó)的n o m a n d i 橋f 主跨為8 5 6 米) 和日 本本洲四國(guó)連絡(luò)線上的多多羅大橋( 8 9 0 米) 。 我國(guó)斜拉橋的技術(shù)發(fā)展很快，目前已經(jīng)進(jìn)入世界領(lǐng)先的行列。在p c 斜拉 橋方面，世界范圍內(nèi)跨徑大于2 0 0 米的j p c 斜拉橋有3 9 座，我國(guó)占有1 2 座； 在結(jié)合粱斜拉橋方面，1 9 9 1 年建成的上海南浦大橋( 主跨4 2 3 米) 和1 9 9 3 年建 成的上海楊浦大橋( 主跨6 0 2 米) 是當(dāng)前世界上跨徑最大的斜拉橋，也是最大跨 湖南人學(xué)碩十學(xué)位論文 徑的結(jié)合梁斜拉橋。截至目前為止，世界上大于4 0 0 米跨徑的斜拉橋?yàn)? 5 座， 其中我國(guó)就有6 座。 1 2 斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 采用斜拉索對(duì)興建大的橋梁起了一個(gè)新的促進(jìn)作用。斜拉橋的重要性越來(lái) 越明顯，僅在近二十年內(nèi)變得如此成功，以致在j 下統(tǒng)的橋梁體系中它己占有很 重要的地位。近代的斜拉橋中呈現(xiàn)一個(gè)空間體系，這個(gè)體系由加勁梁( 在本文 中有時(shí)簡(jiǎn)稱梁) 、橫向與縱向聯(lián)結(jié)系，薩交異性橋面以及支撐部分如受壓的塔 柱與受拉的斜拉索等組成。這樣一個(gè)空間結(jié)構(gòu)的重要特征是橫向構(gòu)造全部與主 要的縱向結(jié)構(gòu)共同作用。這意味著結(jié)構(gòu)的慣性矩有很大的增加，這樣就有可能 降低粱高并節(jié)約鋼材。斜拉橋結(jié)構(gòu)由塔、索和粱組成，結(jié)構(gòu)體系豐富多彩。按 塔的數(shù)量，可分為單塔和雙塔；按索面數(shù)可分為單索面和雙索面：按索的形狀 可分為放射形、扇形和豎琴形。在密索體系的前提下，按塔、梁和墩的相互連 接方式，可分為塔墩固結(jié)、塔粱固結(jié)、塔梁墩固結(jié)和飄浮體系等。 斜拉橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由索塔引起的斜拉索作為梁跨的彈性中間支承，以降 低梁跨的截面彎矩，減輕梁重，提高了梁的跨越能力。此外，斜拉索的水平分 力對(duì)主梁產(chǎn)生軸向預(yù)加壓力的作用，此水平分力增強(qiáng)了主粱的抗裂性能，減少 了高強(qiáng)度鋼材的用量。 斜拉橋的結(jié)構(gòu)分析與傳統(tǒng)的連續(xù)梁和桁架橋的結(jié)構(gòu)分析相比較，幾何非線 性的影響尤為突出，影響因素也多，特別是特大跨徑的斜拉橋，由于斜拉索較 長(zhǎng)，所以斜拉索自重產(chǎn)生的垂度較大，斜拉索的伸長(zhǎng)量與斜拉索內(nèi)拉力不成正 比關(guān)系。整個(gè)結(jié)構(gòu)的幾何變形也大，大變形問(wèn)題很突出，加上彎矩和軸向力的 相互作用等因素的影響，使得大跨徑斜拉橋的幾何非線性分析顯得較為復(fù)雜。 具體來(lái)說(shuō)，斜拉橋幾何非線性主要來(lái)源于以下四個(gè)方面： 1 由于梁、索、塔的尺寸增大，作用的荷載相應(yīng)加大，變形也隨之而增加， 因而要考慮小撓度的大應(yīng)變問(wèn)題，特別是粱和索； 2 新型材料的采用、溫度效應(yīng)等不可忽略的物理因素也使得斜拉橋問(wèn)題的非 線性必須考慮； 3 粱、塔的耦合作用，在斜拉橋中，塔和主梁都是彎壓構(gòu)件，彎曲變形與壓 縮變形之間的耦合所產(chǎn)生的作用也是引起非線性的一個(gè)重要因素； 4 斜拉索自身垂度的影響。 一 一 ： 墨二至型墊窒竺! ! 垡絲墊查堂塑塑墮 正是由于以上四點(diǎn)，斜拉橋問(wèn)題呈現(xiàn)出非線性和禍合作用。斜拉索作為斜 拉橋的重要組成結(jié)構(gòu)，斜拉索的幾何非線性問(wèn)題也很嚴(yán)重。 1 3 斜拉索幾何非線性的主要影晌因素 1 大變形效應(yīng) 在荷載作用下，斜拉橋上部結(jié)構(gòu)的幾何位置變化顯著。從有限元的角度束 晚，結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)隨荷載的增量變化較大，各單元的長(zhǎng)度、傾角等幾何特性也相應(yīng) 產(chǎn)生較大的改變，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣成為幾何變形的函數(shù)。因此平衡方程 f ： k 6 不再是線性關(guān)系。 2 垂度效應(yīng) 斜拉索的相對(duì)運(yùn)動(dòng)受到斜拉索自身三個(gè)因素的影響： 1 斜拉索受力后發(fā)生的彈性應(yīng)變受索材料的彈性模量控制； 2 斜拉索的垂度變化與材料應(yīng)力無(wú)關(guān)，完全是幾何變化的結(jié)果，受斜拉索內(nèi) 張力、斜拉索的長(zhǎng)度和重力的控制?？估瓌偠入S軸力的變化而變化，斜拉 索的拉力若為零或受壓，則抗拉剛度為零。垂度變化與斜拉索的拉力不是 線性關(guān)系； 3 在荷載的作用下，斜拉索各股鋼絲作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，重新排列的結(jié)果使橫截面 更為緊密。 3 彎矩與軸向力的組合效應(yīng) 斜拉橋的斜拉索拉力使其它構(gòu)件處于彎矩和軸向力組合作用，這些構(gòu)件即 使在材料滿足胡克定律的情況下也會(huì)呈現(xiàn)出非線性特性。 綜上所述，即使是在只考慮幾何非線性的情況下，斜拉索的非線性也還是 一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題。 1 4 斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)的研究進(jìn)展 斜拉索作為一種具有柔、輕及高強(qiáng)度等特征的結(jié)構(gòu)，在工程實(shí)際中經(jīng)常作 為受拉構(gòu)件大量使用。特別是近十幾年來(lái)，由于斜拉橋的大量修建，斜拉索的 應(yīng)用更為廣泛。故對(duì)斜拉索的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究有很重要的工程意義。一般來(lái)說(shuō)， 銣j 南人學(xué)碩十學(xué)位論文 斜拉索的非線性來(lái)源于材料非線性、大變形及垂度引起的幾何非線性等因素， 其動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜，所以近幾十年來(lái)，一直是數(shù)學(xué)、力學(xué)與工程界研究的 重點(diǎn)領(lǐng)域。1 9 7 9 年y a m a g u c h i 和i t o 6 1 1 在基于三個(gè)假設(shè)的前提下研究了斜拉 索的三維動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，結(jié)果表明即使是線性問(wèn)題也比較復(fù)雜。1 9 8 1 年 y a r n a g u c h i ，m i y a t a 和i t o 6 2 又研究了在諧波激勵(lì)情況下的時(shí)問(wèn)歷程問(wèn)題，他 們的研究結(jié)果表明，斜拉索的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)受幾何參數(shù)和物理參數(shù)的影響較大， 其中幾何參數(shù)有垂跨比、傾角，物理參數(shù)有水平張力、彈性模量、斜拉索的橫 截面積、密度。8 0 年代后，l u o n g o ，p e g a 4 3 又專門研究t z 維問(wèn)題彈性斜拉 索幾何非線性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)面外運(yùn)動(dòng)對(duì)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)有參數(shù)激勵(lì)的作用，它們之間存 在非線性共振的情況。1 9 8 0 年，h a g e d a m 和s c h a f e r 3 5 研究了彈性斜拉索的 非線性自由振動(dòng)。1 9 8 7 年p e r k i n s 和m o t e 5 l 】研究了運(yùn)動(dòng)的彈性索的三維振動(dòng)。 1 9 9 1 年，r a o 和i y e n g a r 5 4 1 研究了在周期激勵(lì)作用下斜拉索的內(nèi)共振和非線 性響應(yīng)。1 9 9 9 年，p i l i p c h u k ，i b r a h i m 5 3 研究了淺懸索的非線性模態(tài)相互作用。 自1 9 9 8 年以來(lái)，x u ，y u 5 9 ，6 0 1 專門研究了斜拉索上裝有阻尼器件條件下斜拉 索的非線性振動(dòng)控制問(wèn)題，并取得了一系列的結(jié)果。1 9 9 2 年，p e r k i n s 5 2 研究 了強(qiáng)迫激勵(lì)與參數(shù)激勵(lì)聯(lián)合作用下彈性斜拉索多模態(tài)相互作用的非線性動(dòng)力響 應(yīng)。1 9 9 3 年，b e n i t o ，p a c h e c o ，f u j i n o 和s u l e k h 2 9 等又進(jìn)一步研究了考慮粘 性阻尼時(shí)斜拉索的曲線形狀。1 9 9 5 年，b e n e d e t h n i ，r e g a 和a l a g g i o 3 0 研究 了在多種內(nèi)共振條件下四自由度模型懸索的非線性振動(dòng)。1 9 9 2 年，l e e 和 p e r i n s 3 9 專門研究了包含2 ：1 內(nèi)共振的非線性振動(dòng)。1 9 9 0 年以來(lái)，我國(guó)學(xué)者 也對(duì)大跨度橋梁中斜拉索的風(fēng)雨激振問(wèn)題開(kāi)展了廣泛的研究。同濟(jì)大學(xué)顧明教 授及其領(lǐng)導(dǎo)的課題組在此領(lǐng)域內(nèi)也獲得了較好的研究成果【1 ，2 ，3 。2 0 0 0 年，湖 南大學(xué)趙躍宇教授領(lǐng)導(dǎo)的課題小組就斜拉橋的非線性動(dòng)力學(xué)模型的研究取得了 很好的成果 7 5 ，7 6 ，7 7 ，7 8 ，7 9 1 ，受到很多的專家的肯定和好評(píng)。他們就斜拉索的 非線性振動(dòng)進(jìn)行深入的研究，比較成功地把非線性動(dòng)力學(xué)中的一些先進(jìn)研究方 法引入到了斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程中來(lái)，同時(shí)利用多體動(dòng)力學(xué)的些 觀點(diǎn)首次( 就所查的資料來(lái)說(shuō)) 把非慣性參考系引入到斜拉索的建模過(guò)程中來(lái)， 從而能夠更精確的反映斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。 在斜拉索動(dòng)力學(xué)研究過(guò)程中，經(jīng)歷了從靜力學(xué)到動(dòng)力學(xué)，從線性理論到非 線性理論，從考慮直線索到考慮垂度效應(yīng)的幾個(gè)過(guò)程。從總體上看，就非線性 4 第章斜拉糸的1 線性動(dòng)力學(xué)的概述 兩言主要研究了二個(gè)方面的問(wèn)題：( 1 ) 斜拉索的大變形；( 2 ) 斜拉索的垂度效應(yīng)。 就動(dòng)力學(xué)而言研究了幾種問(wèn)題：( 1 ) 動(dòng)力響應(yīng)( 時(shí)間歷程) ；( 2 ) p b 共振形態(tài)( 含主 共振、超諧、次諧共振) ；( 3 ) n 共振形態(tài)( 包括各維模態(tài)之f - 白j 內(nèi)共振、同維各階 模態(tài)之間的內(nèi)共振) ；( 4 ) 斜拉索的幾何參數(shù)、物理參數(shù)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響等；( 5 1 備種復(fù)雜荷載作用下( 風(fēng)、雨等) 斜拉索的振動(dòng)及其控制。 1 5 本文的研究?jī)?nèi)容 本文研究了在慣性參考系中彈性斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，其主要目 的是為了豐富斜拉橋非線性動(dòng)力學(xué)的模型與理論。進(jìn)一步考慮各種參數(shù)( 包括 幾何參數(shù)和物理參數(shù)) 對(duì)斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)的影響，同時(shí)引入工程實(shí)際的 些現(xiàn)象進(jìn)行分析，并提出一些對(duì)工程有實(shí)際意義的結(jié)論，從而為更好地設(shè)計(jì) 更大跨度斜拉橋提供理論分析基礎(chǔ)。 本文在只考慮幾何非線性的情況下，建立了慣性參考系中彈性斜拉索的 非線性模型。并在此基礎(chǔ)上，利用n e w t o n 法建立了斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)方 程。接著利用g a l e f i n 方法把斜拉索的非線性偏微分方程組離散為一組常微分 方程組，然后利用多尺度法研究動(dòng)力系統(tǒng)的非線性振動(dòng)、共振及分叉、混沌。 下面簡(jiǎn)要介紹一下各章的研究?jī)?nèi)容。 在第二章中，主要研究了慣性參考系中彈性斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)性態(tài)， 建立了彈性斜拉索的三維動(dòng)力學(xué)模型及其運(yùn)動(dòng)微分方程。 第三章中，研究了兩端鉸支斜拉索的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)與面外運(yùn)動(dòng)的耦合情況， 并進(jìn)一步深入分析了此情況下兩個(gè)自由度之間的內(nèi)共振及其分叉模式。 第四章中，研究了斜拉索在可動(dòng)邊界條件下的單自由度響應(yīng)，在這一章中， 首先通過(guò)分析斜拉索的邊界條件，建立了斜拉索的簡(jiǎn)化模型。然后分析了邊界 對(duì)斜拉索的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響，同時(shí)還分析斜拉索的周期運(yùn)動(dòng)以及擬周期運(yùn) 動(dòng)。 第五章中，針對(duì)第四章出現(xiàn)的一種情形，重點(diǎn)分析斜拉索在可動(dòng)邊界條 件下的混沌運(yùn)動(dòng)。在這章中，利用了二次平均法、m e l n i k o v 方法分析了斜 拉索的混沌運(yùn)動(dòng)，并得到了斜拉索發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)的臨界條件，最后驗(yàn)證了混沌 的存在。 湖南人學(xué)碩十學(xué)能論文 1 6 與本文有關(guān)的概念 1 內(nèi)共振：對(duì)一個(gè)n 自由度系統(tǒng)的n 個(gè)線性固有頻率來(lái)說(shuō)，當(dāng)兩個(gè)或更多個(gè) 頻率可通約，或接近于可公度時(shí)，由于系統(tǒng)中非線性項(xiàng)的存在，頻率的這 些可公度關(guān)系能夠引起相應(yīng)模態(tài)很強(qiáng)的耦合，此時(shí)系統(tǒng)就存在共振。 2 分又：對(duì)于含參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)變動(dòng)并經(jīng)過(guò)某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)的定性 性態(tài)( 例如平衡狀態(tài)或周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)目和穩(wěn)定性等) 會(huì)發(fā)生突然變化。這種 變化稱為分叉。它是一類常見(jiàn)的重要菲線性現(xiàn)象，并與其它非線性現(xiàn)象有 密切的關(guān)系。 3 混沌：混沌就是在確定的非線性系統(tǒng)中發(fā)生的對(duì)初值極端敏感的貌似隨松 懈的、有界的非周期運(yùn)動(dòng)。 4 m e l n i k o v 方法：用攝動(dòng)方法來(lái)計(jì)算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離柬確 定橫截相交的條件的一種數(shù)學(xué)方法。 第一章斜拉索三維1 | 線性動(dòng)力學(xué)性態(tài) 第二章斜拉索三維非線性動(dòng)力學(xué)性態(tài) 2 1 前言 斜拉索作為一種結(jié)構(gòu)具有柔、輕及高強(qiáng)度等特征，因此在工程實(shí)際中經(jīng)常 作為受拉構(gòu)件大量使用，特別是近十幾年來(lái)，由于斜拉橋的大量修建，斜拉索 的應(yīng)用更為廣泛。故對(duì)斜拉索進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究有很重要的工程意義，一直是數(shù) 學(xué)、力學(xué)與工程界研究的重點(diǎn)領(lǐng)域。一般來(lái)說(shuō)斜拉索的非線性來(lái)源于材料非線 性、大變形及垂度引起的幾何非線性等因素，其動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜。 y a m a g u c h i ，m i y a t a 和i t o 6 5 研究了斜拉索在諧波激勵(lì)情況下的時(shí)間歷程問(wèn)題， 研究結(jié)果表明，索的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)受幾何參數(shù)和物理參數(shù)的影響較大。l u o n g o ， r e g a 4 2 專門研究了三維問(wèn)題彈性索的幾何非線性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)面外運(yùn)動(dòng)對(duì)面內(nèi) 運(yùn)動(dòng)有參數(shù)激勵(lì)的作用，兩者之間存在非線性共振的關(guān)系。h a g e d a m ，s e h a f e r 3 5 1 研究了彈性索的非線性自由振動(dòng)。p e r k i n s ，m o t e 5 1 研究了運(yùn)動(dòng)的彈性索的三 維振動(dòng)。r a o ，i y e n g a r 5 4 研究了在周期激勵(lì)作用下索的內(nèi)共振和非線性響應(yīng)。 p i l i p c h u k ，i b r a h i m 5 3 研究了懸索的非線性模態(tài)相互作用。p e r k i n s 5 2 研究了 強(qiáng)迫激勵(lì)與參數(shù)激勵(lì)聯(lián)合作用下彈性索多模態(tài)相互作用的非線性響應(yīng)。 b e n i t o ，p a c h e c o 3 0 1 等進(jìn)一步研究了考慮粘性阻尼時(shí)斜拉索的曲線形狀。 b e n e d e t h n i ，r e g a 和a l a g g i o 2 9 研究了多種內(nèi)共振條件下四自由度模型懸索的 非線性振動(dòng)。 本章在僅考慮幾何非線性的情況下建立了三維彈性斜拉索的動(dòng)力學(xué)方程， 并就斜拉索的幾何形狀進(jìn)行分析。 2 2 斜拉索的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述 本章公式的推導(dǎo)基于以下假設(shè)： ( 1 ) 斜拉索的抗彎剛度足夠地小以致于可以忽略不計(jì)； ( 2 ) 斜拉索只承受拉力； ( 3 ) 斜拉索在振動(dòng)過(guò)程中的軸向應(yīng)變足夠地?。?f 4 ) 只考慮幾何非線性，而不考慮其它非線性。 為全面分析彈性斜拉索的非線性動(dòng)力學(xué)特征，建立如圖2 1 a 所示的坐標(biāo)系， 型塑叁竺堡堂! 蘭笙苧 其中x 軸方向表示索兩端點(diǎn)連線，x - y 平面為重力平面，以后簡(jiǎn)稱面內(nèi)，斜拉 索在該平面的振動(dòng)稱為面內(nèi)振動(dòng)。垂直于面內(nèi)的平面簡(jiǎn)稱面外，斜拉索在該平 面的振動(dòng)稱為擺振。設(shè)兩端連線長(zhǎng)為，兩點(diǎn)垂直方向距離為h ?，F(xiàn)截取索中 一微段進(jìn)行研究，其中f ，g 和f ，g 分別表示變形前后點(diǎn)的位置，如圖2 1 b 所示，則有 變形前 變形后 幽2 1 a 斜拉索模刑 圖2 1 b 斜拉索變形模型 f = x i + + z k g = ( h 而d s o 。，+ 而y _ r d s o ) ，+ 出 ( 工1 ) ( 2 2 ) f = ( x + u ) i + ( y4 - w ) j4 - ( z4 - v ) k ( 2 3 ) g 7 ：( x + u + u x d x + 軎) f + ( y + w + w x d x + 車磐) _ ， 1 + y ：1 + j ； ( 2 4 ) + r ：+ v + v ，d x ) k 其中“，w ，v 分別表示為x ，y ，z 方向的位移，y 0 ) 為靜變形曲線方程，出。表 示靜變形時(shí)的單元長(zhǎng)度，凼表示動(dòng)變形的單元長(zhǎng)度，則變形后f g 的微元向量 為 一 一 堡三童莖墮鱉三堡! ! 垡絲墊壟堂竺查 麗= ( g d x + d s o 州w x 出+ 麗y x d s o m x ( 25 ) l + y ；1 + y ；。 。 卜叫 其中d s 。= j i + y ：x ，變形后微元長(zhǎng)度為 麗 d s = 打i 瓦i 玎i k陀。， 則微元段f 。g 的單位向量為 拈器鈕1 秈。+ w ”忑d x ( 7 ) 微元的軸力為 n ( x ) = o ( ) + e a ( d _ s - d s o ) f28)as r - j 其中0 0 ) 表示靜變形張力。 2 3 斜拉索三維動(dòng)力學(xué)方程 考慮斜拉索在三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)考慮有結(jié)構(gòu)阻尼及外阻尼器作用。且 外阻尼器的作用力在x 方向投影為零，則微元的動(dòng)量平衡方程為 蓋回2 “n 。+ ，+ v t t k ) + “u t i + w t + v t k ) + ( 6 j + 正“ 佗9 ) + q x i + q y j + q = 丘 其中e 為斜拉索的彈性模量，4 為斜拉索的截面面積，p 為斜拉索的線密度， c 為結(jié)構(gòu)阻尼參數(shù)，石，z 為外阻尼器對(duì)斜拉索的作用力，q ，q ，q 為作用在 斜拉索上的分布載荷。 由此可得 知小，a 幽x + 出去一翻知心肌帆川腫啪卜 億 ( “f + w t t j + v ”足) + c ( “f f + 嵋+ v ，露) + ( f y j + f _ - k ) + q d + q y j + q ： 如果在( 2 1 o ) 式中用占函數(shù)表示外阻尼器的作用，則可以得到斜拉索在三個(gè)方 向上的運(yùn)動(dòng)微分方程為 - - 嬲- 0 n o ( x ) - e a ) 凼d x + 志嘲1 + 2 腳t , t u + c u t + q ( 2 1 1 ) 9 一型塑叁竺墮! 蘭堡堡塞 旦靠 n o ( x ) - e a ) d 出x + 南眺) _ 眺，旭 泣 + 正，5 ( x 一( 卜“) ) - 未 n o ( x ) - e a ) ? - - s + 志馴一，也 汜 一廠。5 ( x 一( f x c , i ) ) 考慮到“。，“1 ，k ，w 。g 4 , 5 = 1 ，則( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) g g l ( 2 1 3 ) 式中 d s 4 ( 1 + z x ) + ( y ，+ w x ) 2 十v ：( 2 1 4 ) z 1 一( 虬一“：+ y xw r + 1 2 w ：+ 1 2 y ：+ i 2 v ：) e = “，一“：+ y 。w 。+ 1 2 以+ 1 2 y ；+ 1 2 v ；( 2 i s ) 在( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式中f - 。，厶是第，對(duì)阻尼器產(chǎn)生的阻尼力，在本文中不考慮該 類阻尼的影響，則方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) r i ( 2 1 3 ) 式可簡(jiǎn)化為 蘭 【。( t ) 一e a ) ( 1 一p ) + 告e a ( 1 + “，) = p 4 “。+ 甜，+ g ( 2 1 6 ) 疵 1 + y ： - 盥未 n o ( x ) - e a ) ( 1 - e ) + 、1 + 1 一尉】( y 一+ w ，) 2 劇k + 州+ g ( 2 1 7 ) 曇 o ( 工) 一翻) ( 1 叫) + 志刪k ) = v c v ，+ q ： ( 2 1 8 ) 這是一組偏微分方程，為進(jìn)行動(dòng)力學(xué)行為分析，需將其轉(zhuǎn)化為常微分方程，為 此采用o a l e r k i n 方法進(jìn)行一階模態(tài)截?cái)啵O(shè) u ( x ，) = 仍( x ) q l ( f ) ( 2 2 2 ) w ( x ，) = 妒2 ( x ) q 2 ( f ) ( 2 2 0 ) v ( x ，f ) = 仍( x ) q 3 ( f )( 2 2 1 ) 其中純( z ) ，伊2 ( x ) ，仍( x ) 為模態(tài)函數(shù)，g 。( ，) ，q 2 ( ，) ，q 3 ( f ) 為振動(dòng)函數(shù)。將( 2 ，1 5 ) 式代入( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) g ( 2 1 3 ) 式，并對(duì)( 2 1 1 ) 式兩邊同乘以純( x ) ，( 2 1 2 ) 式兩邊 同乘以妒2l 馴t ( 2 1 3 ) 式兩邊同乘以仍( 工) ，且在 0 ， 范圍內(nèi)積分，由此可將 第二章斜拉索二維1 r 線陡動(dòng)力學(xué)性態(tài) 偏微分方程組化為常微分方程組，下式即為常微分方程表示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方 程。 “l(fā) 辱l + a 2 q 1 + a 3 q ! + 0 4 9 ；+ 0 5 q ；+ a 6 q l q2 + 口7 q ? + a s q l q ；+ a 9 q l q ；+ 1 0 + d l i 口i = 一( ，) 6 1 辱! + 6 1 q ! + b 3 q i + b s q i + 6 5 q ；+ 6 6 q ；+ b 7 q l q ! + 6 8 q ：q2 + b g q i + b l o q 3 q ! + b 1 1 + b , 2 9 l ! = f 2 ( t ) c l 牙3 + c 2 q3 + c 3 q l q 3 + c a q ! q 3 + c s q ( q ，+ c 6 q ；q 3 + c t q ；+ c 8 口，= ( f ) 佗2 2 ) ( 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 其中各系數(shù)的定義見(jiàn)附錄。在上面的三個(gè)方程式中，各自由度的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為三 次非線性，各自由度之間的耦合作用表現(xiàn)為線性項(xiàng)、二次項(xiàng)和三次項(xiàng)，非線性 耦合非常強(qiáng)烈。 為了便于下面幾章的論 述，在這一章中，先作如下的 說(shuō)明：定義垂跨比 = f ， 其中廠為斜拉索的垂度，定義 見(jiàn)圖2 2 。，“= l l c o s 臼) 為斜 拉索的長(zhǎng)度，o 為斜拉索的傾 斜角。斜拉索在自身的重量和 軸力的作用下，它的形狀為懸 鏈線，但在實(shí)際計(jì)算中通常采用二次曲線來(lái)進(jìn)行近似。為此，假設(shè)斜拉索的靜 變形曲線方程為y ( x ) = 4 3 x ( 1 一x ) l ，則斜拉索的內(nèi)力可表示為 n o ( x ) = h 。瓜c o s 0 ，其中玩為斜拉索的水平張力。同時(shí)可以定義“方 向的線性頻率為= 0 i 百，w 方向的線性頻率為吐= i 酉，v 方向的線 性頻率為0 9 ，= i 百。 2 4 小結(jié) 本文通過(guò)n e w t o n s 法建立了彈性斜拉索考慮幾何非線性的三維運(yùn)動(dòng)學(xué)方 程。從運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可看出非線性系統(tǒng)有可能存在模態(tài)之間和自由度之間的內(nèi)共 振模式。 一型塑叁! ! 塑主! ：堡堡莖 一 一_ 一一 附錄： 各系數(shù)的定義： 曠p 妒陽(yáng)出 盱鼬小華小燾妒“刪剛曲出 曠腳( 帆“刖二“) 】仍n 忱 曠晦業(yè)，曩州蛐 口5 = 積。, no ( x ! ) - e a 矧咖( x ) 出 睜【o l 小翻仇州妣舭洫 a ，= 一l 鼻( 。( x ) 一e j ) 尹；( x ) j 妒，( x ) 出 驢穩(wěn)( 刪堋) 叢筆業(yè)川呔 鏟尊( 刪掣 沖 = 磨州刪譬刪小跏了?？?d = 卜妒出 b = 妒；( j ) 出 6 ：培( 州刪辦：( x ) - ( n o ( x ) - 腳知卜蠆專k 出 驢螓【( 。( 礦尉) y 霸( 卿：( 舳 6 4 - 一琺 ( 。( 礦e a ) 刪b ) 蚓舳 驢踟刪，翌舭) 出 第一章斜拉室三絲塹垡些塑壟蘭堡查 。一 一一 ”睡【( o ( x ) - e a ) y , 掣舭脅 6 ，：陣【( 。o ) 一4 ) p ( x ) 妒：( x ) 修，( j ) 出 o j c x 驢一售【( 水卜御銣州咖小) 出 驢睡礦別) 華舭協(xié) ：。i 。o 一- ( no ( x ) - e a ) 業(yè)筍舭皿 “：蟾小別，譬- y , ( v o ( x ) - 翻，器舭皿 = 睡c ! 積舳 + c ，= 扣妒出 鏟睡l ( 0 ( 礦翻，五字刈知蝌一了專d 掃如脅 鏟睡【( 。( 小翻) 州咖蹦蛐 鏟瑤【( 扣卜跚兒皿協(xié)印“神慨旺弦 c ，= 一睡【( ，。( x ) 一e a ) 衍( x ：( x ) 如，x 出 鏟no ( x ) - 翻) 坐字舭泌 鏟睡叫。( 小尉) 妒m 烈舳 c 。= f c ，妒出 ( 小= p 朋( 功出 = p 脾( x ) 出 ( f ) = ( q ：吼“) d x 3 湖南人學(xué)碩十學(xué)何論文 第三章彈性斜拉索約化二維模型的耦合振動(dòng)分析 3 1 前言 在上一章中，通過(guò)分析斜拉索的頻率關(guān)系圖發(fā)現(xiàn)由于斜拉索的非線性的存 在，所以在斜拉索的幾何參數(shù)和物理參數(shù)在一定條件時(shí)就會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的內(nèi)共振 現(xiàn)象。這種內(nèi)共振包括自由度之間的內(nèi)共振，以及模態(tài)之間的內(nèi)共振，同時(shí)還 可能發(fā)生在不同自由度中模態(tài)之問(wèn)的內(nèi)共振。 通過(guò)不同的實(shí)驗(yàn)和理論手段，許多研究人員已經(jīng)研究了彈性斜拉索以及懸 索的的動(dòng)力學(xué)行為，其中包括單個(gè)自由度以及多個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)行為。研究 結(jié)果發(fā)現(xiàn)由于內(nèi)共振的存在，斜拉索表現(xiàn)出了許多有趣的現(xiàn)象。b e n e d e n n i n i 和r e g a l 2 9 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在斜拉索的參數(shù)達(dá)到一定范圍時(shí)，斜拉索表現(xiàn)出 了非線性耦合現(xiàn)象。其中有面內(nèi)模態(tài)、面外模態(tài)、對(duì)稱模念發(fā)及反對(duì)稱模態(tài)之 問(wèn)的耦合瑚象，這種耦合現(xiàn)象在斜拉索的響應(yīng)中普遍存在 本章在第二章的基礎(chǔ)之上，通過(guò)約化，把一個(gè)三維問(wèn)題約化成個(gè)二維問(wèn) 題。然后對(duì)其進(jìn)行g(shù) a r l e r k i n 積分得到了二維情況下的動(dòng)力學(xué)方程。利用攝動(dòng) 法對(duì)斜拉索在1 ：1 的內(nèi)共振情形下進(jìn)行了求解。并分析了斜拉索在擺振和面 內(nèi)振動(dòng)相互耦合的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。 3 2 斜拉索約化二維模型的分析 3 2 1 約化方程的建立 在第二章中，就圖3 1 所示的彈性斜拉索在只考慮幾何非線性情況下給出 了三維動(dòng)力學(xué)方程，在本文中，將就面內(nèi)振動(dòng)和擺振的相互耦合進(jìn)行分析。 墨三芏些垡塑墊窒竺垡= 絲堡型竺塑壘堡墊坌墮 首先，從三維運(yùn)動(dòng)微分方程開(kāi)始，由第二章中的三維動(dòng)力學(xué)方程，有f 不 計(jì)阻尼1 知”尉，妄+ 燾剛，氓肛眺， b 一， 知”翻，妄+ 志剛吲 b ：， 馳v o - 尉，妄+ 志鋤r ， b ， 在斜拉索中，考慮到 查： ! 西 ( 1 + 虬) 2 + ( 峨+ 兒) 2 + v ； ( 3 4 ) z i - e - f l y t , 其中 p ：“，+ 。w ，一“。2 y + 5 1 - v ：+ 3 1 - w ： ( 3 5 )p = “一+ r w r 一“r +v ：+w ：( 3 5 ) 將( 3 4 ) 和( 3 5 ) 兩式代a ( 3 1 ) 則可得 曇 | v 。( 1 一蕁) 一( 。一尉弦+ 。( 1 一要) 虬一( 。一e a ) k p ) ：“。 ( 3 6 ) 以zz 曇 o ( 1 一譬) k + “( 1 一譬) 兒一( n o - 翻) e w 。一( “一翻) 鈔，) = w f f ( 3 7 ) - n o ( 1 一荽) 一( 。一e a ) g v ，) ：p a y 。 ( 3 8 ) z 對(duì)上面的三個(gè)方程式進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可以得到 + 面1 瓦0 ( 0 一劇) 小去曇 “( 1 一譬) 叫+ 面1 瓦0 ( “一以) v 】- 。( 3 9 ) 湖南人。z 碩十學(xué)何論文 _ 蠆1 瓦o 。一e a ) e w 小芻曇c l 一譬破，+ 擊曇州。一別m 矧。 + 士曇 ( v 。一e a ) e y ?！縚 0 v r 去殺( 一爭(zhēng)+ 面1 瓦a 州。一翻n e 】= 。 c ， 因?yàn)榕c時(shí)間f 無(wú)關(guān)的項(xiàng)在進(jìn)行g(shù) a l e r k i n 積分后是一個(gè)常數(shù)，對(duì)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)沒(méi)有 影響，所以為了研究的方便，在上面的三個(gè)式子中已經(jīng)忽略了這些項(xiàng)。引入自 變量變換 ，= j b 其中p 爿表示單位長(zhǎng)度上斜拉索的質(zhì)量。月。表示斜拉索所受到的水平張力。進(jìn) 行變換之后，可以得到 + 瓦l 石0 ( 。一刪) e 卜瓦l 否o o ( 1 一譬) 劃+ 瓦l i 0 ( ( 。一尉) v 】= o ( 3 1 3 ) w 一瓦1 面0 c 一翻，r 一瓦1 夏0 o c 1 一譬，w 一】+ 曇去 c v 0 一刨，w 矧b 。， + 瓦1 瓦0 【( n o - e a ) e y r _ o v 廠瓦1 夏0 【“( 1 一譬) 蚓+ 瓦1 夏o ( 0 一尉) v 翻= 。 ( 3 1 5 ) 為考慮面外擺動(dòng)與面內(nèi)振動(dòng)的相互問(wèn)題，首先將面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行約化，將面內(nèi) 二維約化為一維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，為此假設(shè)斜拉索兩端簡(jiǎn)支。由于斜拉索兩 端固定，在變形過(guò)程中，沿支座連線方向的變形相對(duì)于橫向變形而言可以忽略 不計(jì)，且其振動(dòng)頻率相對(duì)于橫向振頻率在只考慮較低階橫向振動(dòng)模態(tài)時(shí)可以忽 略不計(jì)，即可將x 方向的慣性力忽略不計(jì)，因而由( 3 1 3 ) 式有 一( 。一f 4 ) p + 。( 1 一y - i ) “。一( 。一e a ) i g x e = p ( r ) ( 3 1 6 ) 在( 3 1 6 ) 式中p ( f ) 是一個(gè)只與時(shí)間f 有關(guān)，而與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的量。等式兩邊同時(shí)除 i _ _ 了耋霉堂塑絲坐塑幽堡塑坌墜 以翻，并考慮到斜拉索沿支座連線方向的變形相對(duì)于。，是高階小而 “r 2 o ( w ；) ，同時(shí)還考慮到實(shí)際彈性斜拉索中o ?。撼阤 1 因而有 ( “。十y ，w 。+ 寺v ：+ w ：) g o )( 3 1 7 ) 在( 3 1 7 ) 式中g(shù) ( f ) = p ( t ) e a 。如果考慮到斜拉索的邊界條件“( o ) ：“f ，) ：o ， 則可以得到 g ( f ) = ；f ( 兒+ 告v ；+ j 1w ；) 出( 】8 ) 將( 3 7 ) 式代入( 3 6 ) 式，所以 虬= g “) 一( ，。w 。+ 三2v x 2 + 三以) ( 3 1 9 1 由( 3 5 ) 、( 3 1 9 ) 兩式有- p = g ( t ) e a = p ( ，) ，代入( 3 2 ) 和( 3 - 3 ) 式從而實(shí)現(xiàn)將三維問(wèn) 題約化為二維問(wèn)題 蕓 ( 1 等) k + ( 1 一譬) 兒一( v o 一劇) 呻) u 一( n o e a ) e ( t ) y ，) = p a w 。 丟( 虬( 1 一等心一( - o 一尉m 咖，) = 倒v 。 3 2 2g a l e r k i n 方法 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 為了對(duì)( 3 2 0 ) 和( 3 _ 2 1 ) 式進(jìn)行分析，首先引入g a l e r k i n 方法對(duì)兩式進(jìn)行離散。 為此假設(shè)v ( x ，) = 9 3 ( ) 吼o ) ，w ( x ，r ) = 9 2 ( f ) 妒2 ( x ) 。4 弋k ( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 式，同時(shí) 在兩個(gè)方程的兩邊同乘以各自的振型函數(shù)，并在 0 ，】區(qū)間進(jìn)行積分。引入結(jié) 構(gòu)阻尼和外激勵(lì)之后，可以得到 0 0 舡 諺 嵫 尉 ，爭(zhēng) 卜亭拇峙 一 咖 西 堍 啪一 疵 缸導(dǎo) d 上 出 渤 粕一 瞰 附 搬州 啪 咖 衍 慨婦州 = 董 吣 咖睡 弘上風(fēng) 型塑苧堂墮! ：蘭生絲圣 ： 其中 c ( f ) = 孚f 兒出+ 籌f 妒丟出+ 豸f 妒支出 c s 盈， 將( 3 2 4 ) 式代入( 3 2 2 ) , f d ( 3 2 3 ) 式，并按q ：，q j 的冪次進(jìn)行整理，則可得到下式 b l 巧二+ b 2 q 2 + 6 3 q ；+ 方4 q 3 2 + 6 5 q i + 6 6 9 ；9 2 + 2 口2 = 0 f 3 2 5 ) c i 辱3 + c z q 3 + c 3 q ：q 3 + c 4 q ；9 1 + c s q ；+ 3 寸3 = q ( f ) ( 32 6 ) 其中各個(gè)系數(shù)的定義見(jiàn)附錄r 。 為了便于分析方程( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 兩式的非線性動(dòng)力學(xué)特征，引入無(wú)量綱 小量占，假設(shè)外激勵(lì)可以寫為q ( r ) = q 。c o sx - 2 t 。同時(shí)作變換，則可以得到下 牙2 + 2 掣：日! + ；q 2 + 礎(chǔ)2 q ；+ 印2 q ；+ 形2 q i + c r 2 q 2 q 2 = 0 ( 3 2 7 ) 蠆2 + 2 c , t 3 口! + c o f q 3 + 占口3 9 2 q 3 + f y 3 q ；+ 占仉叮2 2 叮3 = 2 z f 3 c o s q ( 3 2 8 ) 其中；= 6 2 b l ，犯2 = 6 玩，妒2 = h b 】，o f f 2 = 6 5 b 1 ，e - r 2 = b 6 b 1 2 z t 2 = 4 2 b 1 ，c o ；= c 2 c l ，甜3 = c 3 c l ，可3 = c 4 c l ，c r l 3 = c 5 c l ， 2 玩c o s q = d 0 c 【，2 e t 3 = 4 3 肛 3 2 - 3 具體實(shí)例 為了研究的方便，選定兩端鉸支的一根斜拉索，其物理參數(shù)和幾何參數(shù)分 別為：廠= o 2 5 m ，h 。= 7 5 1 0 6 n ，= 2 0 9 6 始m ，l l = 1 0 0 m ，h = 5 0 m ， e = 1 9 5 x 1 0 “n m2 ，a = 2 6 3 5 1 0 。m 2 ，其中垂度廠的定義，靜變形曲線函 數(shù)和斜拉索內(nèi)力的表達(dá)式見(jiàn)第二章。對(duì)于兩端鉸支的情形，我們選取的振型函 數(shù)分別為妒2 ( x ) = s i n ( n z c 1 ) ，仍( 工) = s i n ( 廊1 ) 。如果選取占= 0 0 1 ，則可以求 得：f = 1 1 1 8 0 6 7 m ， 口2 = 0 0 6 2 0 5 ，盧2 = 0 0 3 0 3 6 ，y 2 = o 1 1 7 4 3 2 ， = 0 0 6 0 6 ，r 3 = o 1 1 7 4 3 2 1 5 6 ，y 3 = o 1 1 7 4 3 1 。這里f 為斜拉索兩支座之 間的距離。 3 2 。4 攝動(dòng)法 方程組( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 式可以用多尺度法求得近似解，所以令 1 8 笙三莖塑堡型絲室墊些生絲型塑塑全塹塾坌塑 q 2 ( f ；s ) 。q 2 0 ( t o ，7 j ) + 田! i ( t o 一) + 。，q 3 ( f ；) = g3 0 ( 兀，i ) + 6 93 i ( t o ，正) + 從而 瓦= ，i = 日，n = 1 2 ，。 !=詈+s導(dǎo)+=do+幽+dt a 瓦 a 一 ” 筆= 殺z s 麗0 2 4 - + ”椰誹d d t 一 了= _z 占+ = i + 2 口j n1 + 2 a 瑤a a 五 “。1 其中d o = a a t o ，d l = 影a 一。將( 3 3 0 ) 寸n ( 3 31 ) 式代入( 3 2 8 ) 和( 32 9 ) 式 1 整理后，可以得到 o ： d 0 2 q 2 0 + i ；q 2 0 = 0 d 0 2 9 3 0 + c o z _ ) q 3 0 = 0 。1 d j q 2 1 + o ) s q 2 1 + 2 d 。d 1 q 2 0 + 2 m 2 d o q 2 。+ 口2 q 2 0 + 盧2 q 齋 + y 2 9 矗+ r h q 2 0 q 3 0 = 0 d 0 2 9 3 l + o ) 5 q 3 l