圓錐曲線的焦半徑公式及其應(yīng)用(同名23378).doc

！圓錐曲線的焦半徑公式及其應(yīng)用圓錐曲線上任意一點到焦點的距離叫做圓錐曲線關(guān)于該點的焦半徑。利用圓錐曲線的第二定義很容易得到圓錐曲線的焦半徑公式。1.橢圓的焦半徑公式(1)若P(x,y)為橢圓+=1(ab0)上任意一點，F(xiàn)、F分別為橢圓的左、右焦點，則=a+e x,=a-e x.(2) 若P(x,y)為橢圓+=1(ab0)上任意一點，F(xiàn)、F分別為橢圓的上、下焦點，則=a+e y,=a-e y.2.雙曲線的焦半徑公式(1)若P(x,y)為雙曲線-=1(a0，b0)上任意一點，F(xiàn)、F分別為雙曲線的左、右焦點，則當(dāng)點P在雙曲線的左支上時，=-e x-a,= -e x+a.當(dāng)點P在雙曲線的右支上時，=e x+a,= e x-a.(2)若P(x,y)為雙曲線-=1(a0，b0)上任意一點， F、 F分別為雙曲線的上、下焦點，則當(dāng)點P在雙曲線的下支上時，=-e y-a,= -ey+a.當(dāng)點P在雙曲線的上支上時，=ey+a,= ey-a.3.拋物線的焦半徑公式(1)若P(x,y)為拋物線y=2px(p0)上任意一點，則= x+(2) 若P(x,y)為拋物線y=-2px(p0)上任意一點，則= -x+(3) 若P(x,y)為拋物線x=2py(p0)上任意一點，則= y+(4)若P(x,y)為拋物線x=-2py(p0)上任意一點，則= -y+下面舉例說明上述各公式的應(yīng)用例1求橢圓+=1上一點M(2.4,4)與焦點F、F的距離.解：易知a=5,e=且橢圓的焦點在軸上，= a+ey=5+4=,= a-e y=5-4= 。例2.試在橢圓+=1上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點的距離的兩倍解：由，得。設(shè)P(x, y),則=a+ex,即5+x=，解之得x=，所以P(,).例3.在雙曲線-=1上求一點M，使它到左、右兩焦點的距離 的比為3：2，并求M點到兩準(zhǔn)線的距離。解：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y）, 左、右兩焦點分別為F、F，則由：=3：2，知,所以點M在雙曲線-=1的右支上，=ex+a,= ex-a，即(ex+a):( ex-a)=3:2， 2(ex+a)=3(ex-a),把a(bǔ)=4, e=代入，得x=16, y=,即M（16，）。故雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=,M點到兩準(zhǔn)線的距離分別為和。例4 (1994年全國高考題) 設(shè)F、F是雙曲線-y=1(ab0)的左、右兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足FPF=90，則FPF的面積是 （ ）A1 B C2 D解：根據(jù)對稱性，可設(shè)點P(x,y)在雙曲線的右支上，則=e x+a,= e x-a.由FPF=90，得+=，即(e x+a)+(e x-a)=4c,ex+a=2 c,即ex=2 c-a= a+2b,S=( ex- a)= b=1,故選(A).練習(xí)： (2001年全國高考題)雙曲線-=1的左、右兩個焦點為F、F，點P在雙曲線上，若PFPF，則點P到x軸的距離為_.提示：仿照例2可求出x=，代入雙曲線-=1，得y=,點P到x軸的距離d=.例5.(2000年全國高考題)橢圓+=1的焦點為F、F，點P為其上的動點，當(dāng)FPF為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是_. 解：易知e=.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,則=a+e x=3+x,=a-e x=3-x.由余弦定理，得cosFPF=,FPF是鈍角，-1 cosFPF0,即-10,解之得- x0)上三點的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三點的焦半徑的關(guān)系是 （ ）A成等差數(shù)列 B常數(shù)數(shù)列 C成等比數(shù)列 D非等差、等比數(shù)列解：設(shè)拋物線y=2px(p0)上縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列的三點依次為A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),則y=2px，y=2px，y=2px.由y+y=2y,得x+x=2x.+=(x+)+(x+)=x+x+p=2x+p=2(x+)=2，成等差數(shù)列,故選A. 例7在拋物線x=2py(p0)上有一點A(m,4)，它到該拋物線的焦點的距離為5，求此拋物線的方程和點A的坐標(biāo). 解：根據(jù)拋物線的焦半徑公式，有4+=5，p=2,故拋物線的方程為x=4y。 將x=m,y=4代入x=4y,得m=4, 點A的坐標(biāo)為（-4，4）或（4，4）.例8在雙曲線-=-1的一支上有不同的三點A(x,y)、B(x,6)、C(x,y)與焦點F(0,5)的距離成等差數(shù)列。(1)求y+ y;(2)求證線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求出該定點的坐標(biāo)。解(1)：由題設(shè)知，A、B、C在雙曲線的上支上，故有=e y-，=6e -，=e y-.，成等差數(shù)列,26e= (e y-)+( e y-),即y+ y=12.證(2)：A、C在雙曲線-=-1上，-=-1，-=-1，兩式相減，得=，即k=,于是線段AC的垂直平分線方程為y-6=-(x-),即x+y-=0,又是實數(shù)，x=0且 y=，故直線經(jīng)過定點(0, ).例9設(shè)F、F是橢圓+=1(ab0)的左、右兩個焦點，P是橢圓上的任意一點，且FPF=2，求證：FPF的面積S=btan.證明：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y），則=a+e x,=a-e x.由余弦定理，得（a+e x）+（a-e x）-2（a+e x）（a-e x）cos2=(2c),即a+ ex-( a- ex) cos2=2c,a(1- cos2)+ ex(1+ cos2)=2c,asin+ excos=c,ex=, S= sin2=（a+e x）（a-e x）sin2=( a- ex) sin2=( a-)sin2=2sincos= btan.說明：1.題設(shè)中的FPF通常稱為橢圓的焦點三角形，且此結(jié)論對于焦點在y軸上的橢圓也適用。2.用同樣的方法可得雙曲線的焦點三角形的面積公式S=bcot,其中FPF=2（P為雙曲線上的任意一點）.3.利用本例結(jié)論很容易求解下面的習(xí)題： 設(shè)F、F為橢圓+=1的左、右兩個焦點，點P在橢圓上且滿足FPF=90，則FPF的面積是 （ ）A1 B. C.2 D.請讀者不妨一試，答案：選A.例10.過拋物線的焦點F作不垂直于對稱軸的直線交拋物線與A、B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于N，求證：.證明：設(shè)拋物線的方程為x=2py(p0)，A(x,y)、B(x,y)，線段AB的中點為M(x,y),則y=2px，y=2px，兩式相減，得=，即k=.MNAB，k=-，直線MN的方程為y-y=-(x-x),令y=0, 得x= x+p，= x-= x+,又=+=(x+)+(x+)= x+x+P=2x+P=2(x+),從而.例11.已知雙曲線-=1的左右焦點分別為F、F，左準(zhǔn)線為L，能否在雙曲線的左支上找到一點P，使是P到L的距離d與的等比中項？若能，試求出點P的坐標(biāo)，：若不能，請說明理由.解：假設(shè)在雙曲線的左支上找到一點P(x,y)( x-5), 使=d，由雙曲線的第二定義，得=e=,即d=,=,又=-ex-a=-(x+5)， =-ex+a=-x+5, -(x