（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）離散volterra方程的概周期解與漸近概周期解.pdf

離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 摘要 摘要 對于延滯或非延滯的離散v o l t e r r a 方程，我們在某種特定的條件下研究 了下面的離散v o l t e r r a 系統(tǒng)： z ( n ) = n ( 扎) + e b ( n ，j ，z ( j ) ) + a ( n ，j ，z ( 歹) ) ， i = oj = n n+ z ( 扎) = n ( n ) + b ( n ，五。o ) ) + a ( n ，j ，z 0 ) ) ， ( 1 ) ( 2 ) 及 n+ z ( n ) = p ( 佗) + f ( n ，j ，z 0 ) ) + e ( n ，歹，z 0 ) ) ， ( 3 ) j = 一j = n 其中o ( n ) ，b ( n ，歹，z ) ，a ( 他，j ，z ) 是給定的向量并且在一定條件下收斂于p ( n ) ， f ( n ，歹，z ) ，e ( n ，j ，。) 方程( 3 ) 是( 1 ) 的一個(gè)極限方程，而方程( 2 ) 是( 3 ) 的 個(gè)擾動形式得到了一些關(guān)于方程( 1 ) ( 3 ) 概周期解與漸近概周期解、概周 期解與有界解之間的相關(guān)結(jié)果 在此基礎(chǔ)上，我們對下面的定義在整條直線上的差分方程系統(tǒng)做了研 究，并得到了它們之間的概周期解與漸近概周期解、概周期解與有界解之間 的相互關(guān)系 z ( n ) = ( n ) + 乏二c ( n ，歹，z 0 ) ) ，n z ， ( 4 ) 及 + z ( n ) = p ( n ) + d ( n ，j ，z 0 ) ) ，似z ， ( 5 ) 其中口( 禮) ，c ( n ，j i ，z ) 是給定的向量并且在一定條件下收斂于p ( 扎) ，d ( n ，j ，茁) 關(guān)鍵詞：離散v o l t e r r a 方程；概周期；漸近概周期 作者：陸庭 導(dǎo)師：宋亦洪( 教授) a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s a b s t r a c t a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sa n d a s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s o fd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s ab s t r a c t f o rd i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n sw i t ho rw i t h o u td e l a y , w es t u d yt h ef o l l o w i n g v o l t e r r as y s t e m su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s a n d z ( n ) = a ( n ) + + o o b ( n ，歹，z 0 ) ) + a ( n ，歹，z 0 ) ) ， j = o n ，= n + z ( n ) = a ( n ) + b ( n ，歹 z 0 ) ) + a ( n ，歹，z 0 ) ) ， j = - o oj = n + x ( n ) = p ( n ) + f ( n ，歹，。0 ) ) + e ( n ，j ，z ( 歹) ) ， ，o 一，2 n w h e r eo ( 禮) ，b ( n ，互z ) a n da ( 他，歹，。) a r eg i v e nv e c t o rs e q u e n c e sa n dc o n v e r g et op ( n ) ， f ( n ，j ，$ ) a n de ( n ，歹，z ) i ns o m es e n s e ( s e eb e l o wi ns e c t i o n2 ) e q u a t i o n s ( 3 ) i sa l i m i t i n ge q u a t i o no f ( 1 ) ，w h i l ee q ( 2 ) i sap e r t u r b e df o r mo f ( 3 ) w eo b t a i ns e v - e r mr e s u l t sc o n c e r n i n ga l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sa n da s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n s ，b o u n d e ds o l u t i o n sa n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s m o r e o v e r ，w ea l s oc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n c ee q u a t i o n ss y s t e m s i nt h ew h o l e l i n e ，a n do b t a i ns o m er e l a t i o n sb e t w e e nt h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dt h ea s y m p - t o t i c a l l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s a n d + o o x ( n ) = a ( n ) + c ( n ，j ，z ( 歹) ) ，n z ， j 2 一 + o o x ( n ) = p ( 幾) + d ( n ，j ，。( 歹) ) ，禮z ， ，o 一 i i a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s a b s t r a c t w h e r e 口( 禮) ，c ( 竹，歹，$ ) a l - eg i v e nv e c t o rs e q u e n c e sa n dc o n v e r g et op ( n ) ，d ( n ，j ，z ) i n s o m es e n s e k e y w o r d s ：d i s c r e t ev o l t e r r ae q u a t i o n s ；a l m o s tp e r i o d i c ；a s y m p t o t i c a l l ya l m o s tp e - r i o d i c i l l w r i t t e nb yl ut i n g s u p e r v i s e db yp r o f y i h o n gs o n g 蘇州大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明及使用授權(quán)聲明 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文 不含其他個(gè)人或集體己經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不含為獲得蘇 州大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位證書而使用過的材料。對本文的研究作 出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人承擔(dān)本 聲明的法律責(zé)任。 研究生簽名：壘蘊(yùn)么 日 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 蘇州大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所國家圖書館、清華大學(xué)論 文合作部、中國社科院文獻(xiàn)信息情報(bào)中心有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論 文的復(fù)印件和電子文檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論 文本人電子文檔的內(nèi)容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的 保密論文外，允許論文被查閱和借閱，可以公布( 包括刊登) 論文的 全部或部分內(nèi)容。論文的公布( 包括刊登) 授權(quán)蘇州大學(xué)學(xué)位辦辦理。 研究生簽名：二絲日 期：鎏孥幺 i 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解一引言 蘆i 士 一5i 百 - i 一 在過去的十年到二十年，v o l t e r r a 方程及其理論得到了飛速的發(fā)展，廣 泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、社會、生物、物理、機(jī)械、核工程等各領(lǐng)域，已形成了一套 相當(dāng)完善的理論體系早期的v o l t e r r a 模型是由意大利生物學(xué)家d a n c o n a 和意大利數(shù)學(xué)家v v o l t e r r a 共同建立的，目的在于解釋第一次世界大戰(zhàn)期 間地中海各港口各種魚類比例發(fā)生的反?，F(xiàn)象后來，隨著c c o r d u n e a n u ( 2 ，3 ，4 ，5 】) ，t a b u r t o n ( 3 0 ，3 1 ，3 2 1 ) ，h b r u n n e r ( 【1 3 ，1 4 ，1 5 】) ，r k m i l l e r ( 【2 1 ，2 2 1 ) 等人的不懈努力，v o l t e r r a 方程的理論日趨完善，在諸多學(xué)科的應(yīng) 用中起著重要的作用 離散v o l t e r r a 方程可以看成是對v o l t e r r a 積分方程的離散模擬，對v o l t e r r a 積分方程離散化的方法，我們稱之為穢近似法，具體可以看【4 3 】。隨著計(jì)算機(jī) 科學(xué)的不斷發(fā)展，v o l t e r r a 積分方程在使用計(jì)算機(jī)處理的問題上已無法滿足 人們的要求，人們迫切希望出現(xiàn)一種能用計(jì)算機(jī)處理的，性質(zhì)近似于v o l t e r r a 積分方程的方程出現(xiàn)，從而離散v o l t e r r a 方程應(yīng)運(yùn)而生離散v o l t e r r a 方程 直接出現(xiàn)并且應(yīng)用在建模系統(tǒng)中，這些系統(tǒng)本質(zhì)上是數(shù)字化的，如數(shù)字濾波 器和計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，他們的輸入和輸出是直接或間接從積分方程的離散 化中抽樣得到的【6 ，1 2 ，1 6 ，2 3 ，2 5 ，3 7 離散v o l t e r r a 方程又可以看成是一類特殊的差分方程無窮階差分方程 大致可以分為顯式和隱式兩種類型。有關(guān)顯式的v o l t e r r a 差分方程的研究在 過去近三十年中取得了大量的成果現(xiàn)任國際差分方程協(xié)會主席s ，e l a y d i 教 授( 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 1 ) ，俄羅斯莫斯科大學(xué)的v b k o l m a n o v s k i i 教授( 3 4 ，3 5 ， 3 6 】) ，以及其他的如r p a g a z w a l 教授( 【2 3 ，2 4 ) ，m r c r i s c i 教授( 【1 9 ，2 0 】) 等對顯式v o l t e r r a 差分方程的基礎(chǔ)理論及v o l t e r r a 微分積分方程的數(shù)值解 的定性分析做出了重要的貢獻(xiàn) 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 一引言 離散v o l t e r r a 方程又是一類重要的隱式無窮階差分方程。由于離散v o l t e r r a 方程起源于v o l t e r r a 積分方程和v o l t e r r a 積分微分方程的數(shù)值解【8 ，1 6 】，因 此，對離散v o l t e r r a 方程的研究使人們了解、研究、掌握在生物、化工、物理等 領(lǐng)域出現(xiàn)的各種現(xiàn)象提供了數(shù)值化的途徑。離散v o l t e r r a 方程已成為離散動 力系統(tǒng)領(lǐng)域中一個(gè)不可或缺的分支。但對于離散v o l t e r r a 方程的研究還比較 不完善，早期也僅c t hb a k e r ( 8 】) ，n j f o r d ( 【17 】) ，a v e c c h i o ( 【1 】) 等人做 了少量的工作y s o n g 在英國曼徹斯特大學(xué)攻讀博士學(xué)位期間和他的導(dǎo)師 c t hb a k e r 所做的工作以及近期的研究工作【3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 】， 對此開展了初步且較系統(tǒng)的基礎(chǔ)研究。 到目前為止，關(guān)于v o l t e r r a 積分方程的概周期解與漸近概周期解問題， 顯式的v o l t e r r a 差分方程的概周期解以及他們的周期解的存在性問題已經(jīng)有 很多人研究過了【1 8 ，3 1 ，4 0 ，4 2 】e l a y d i 等對近二十年來關(guān)于差分方程的周 期解的存在性所取得的結(jié)果做了一個(gè)概述【l l 】，在這篇文章中包括了顯式 v o l t e r r a 差分方程的相關(guān)理論在【8 ，9 ，1 0 】中，y s o n g 討論了一些線性離散 v o l t e r r a 方程及非線性離散v o l t e r r a 方程的周期解、概周期解與漸近概周期解 的問題 在這篇文章中，我們研究方程( 1 ) ( 3 ) 的概周期和漸近概周期解問題方 程( 1 ) 一( 3 ) 可以認(rèn)為是對v o l t e r r a 積分方程的一個(gè)模擬； ，tp + o o 。( z ) = 口( ) + zb ( t ，舭( s ) ) d s + j ( a ( t ，即( s ) ) 幽， ，t，+ 0 0 z ( t ) = a ( t ) + b ( t ，s ，x ( s ) ) d s + a ( t ，s ，x ( s ) ) d s ， 及 ，t，+ 0 0 z ( t ) = p ( t ) + f ( ，s ，x ( s ) ) d s + e ( t ，s ，x ( s ) ) d s 以下系統(tǒng)的概周期性和漸近概周期解已經(jīng)在【3 8 】上面被完全討論過了， 我們將在本文中引用其一些結(jié)果。 n x ( n ) = a ( n ) + b ( 札，盂z ( 歹) ) ，( 6 ) j = o 2 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 一引言 z ( 禮) = o ( n ) + 乏二b ( n ，j ，z 0 ) ) ， ( 7 ) i = - o o 住 z ( 佗) = p ( n ) + f ( n ，j ，z d ) ) ， ( 8 ) j = 一o 。 其中d ( n ) ，b ( 佗，歹，z ) ，p ( n ) ，f ( n ，j ，茁) 與上面相同 另外，在本文中，我們還將研究方程( 4 ) ( 5 ) 方程( 4 ) ( 5 ) 可以認(rèn)為是對 整條直線上積分方程的模擬： p 4 - o o z ( t ) = 口( ) + c ( 允s ，x ( s ) ) d s ， j 一 及 z ( t ) = p ( t ) + d ( t ，s ，x ( s ) ) d s ， ，一0 0 因此我們可以把它稱為整條直線上的差分方程( w l d e ) 方程( 4 ) 一( 5 ) 有一個(gè) 非常般的性質(zhì)，他可以包含在無限延滯或者有限延滯的差分方程中或者離 散v o l t e r r a 方程中更明確的來說方程( 4 ) ( 5 ) 可以被認(rèn)為是下面極限v o l t e r r a 方程的廣義形式 竹 z ( n ) = 口( 禮) + c ( 禮，j ，z ( j ) ) ，禮z ， ( 9 ) j = - o o 及 n z ( n ) = p ( n ) + ed ( n ，j ，z ( 歹) ) ，禮z ( 1 0 ) j = 一 換句話說，方程( 4 ) 一( 5 ) 可以用如下辦法約化為方程( 9 ) ( z 0 ) ， c ( n ，j ，) = 0 ，d ( n ，歹，) = 0 ， 住 歹z 均有c ( n ，歹，) = 0 ，d ( n ，歹，- ) = 0 則方程( 4 ) ( 5 ) 可以約化為 z ( n ) = a ( n ) + e c ( n ，j ，z ( j ) ) ，n z ， j = n 及 z ( n ) = p ( n ) + d ( n ，j ，z ( 歹) ) ，禮z 3 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解一引言 本文的目的是把【3 8 1 中的結(jié)果推廣到離散v o l t e r r a 方程( 1 ) ( 3 ) 中并且 得到了一些關(guān)于w l d e 的概周期和漸近概周期解的結(jié)果關(guān)于泛函差分方 程及v o l t e r r a 差分方程的概周期性及漸近概周期行的的其他研究工作參看 【1 8 ，4 4 ，3 9 ，4 5 】本文的結(jié)構(gòu)如下：第二部分，我們重溫了概周期及漸近概周 期序列的定義并且引用了一些和我們本文相關(guān)的結(jié)果，同時(shí)給出了關(guān)于方程 ( 1 ) ( 3 ) 的一些假設(shè)第三部分，我們給出了一些和方程( 1 ) ( 3 ) 相關(guān)的基本引 理第四部分，我們討論了方程( 1 ) ( 3 ) 的概周期解和漸近概周期解，有界解 和概周期解的相互關(guān)系第五部分，我們研究了w l d e 上的概周期解與漸 近概周期解的關(guān)系第六部分，我們通過使用壓縮映射原理討論了方程( 3 ) 和( 5 ) 的概周期解的存在性 4 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 二 預(yù)備知識 二預(yù)備知識 首先，我們先給出我們所需要的一些概念。定義z ，z + ，z 一為整數(shù)集、正整 數(shù)集及負(fù)整數(shù)集令e d 為d 維歐式空間下面我們給出概周期及漸近概周 期序列的定義( 參見【3 3 1 ) 。令x 是在范數(shù)1 1 0 定義下的巴拿赫空間，q 是 x 的子集并且令z = z q 定義2 1 【3 3 設(shè)：z q x ，且對于任意的1 , z ，( 幾，) 連續(xù)稱 是關(guān)于扎對留q 是一致概周期的，若對于任意的 0 和q 中的任意緊集 ，存在正數(shù)e ( ) ，使得任意長度為札( ) 的區(qū)間至少含有一個(gè)數(shù)2 有 ( 幾+ l ，u ) 一妒( n ，u ) l i ，玨z 關(guān)于1 1 是漸近概周期的； 2 對于任意的整數(shù)序列 q 七) cz ，q k 0 且q 七一o o ( k _ o 。) ，存在他的一 個(gè)子序列 仇) c 【n 七) ，使得 ( n + 展) 在z 上一致收斂 定理2 。7 設(shè)妒a p ( z q ：x ) 且是q 上的任意一個(gè)緊集則對于任意的 禮z ，咖( n ，) 在上一致連續(xù)，意味著對于任意的 0 ，存在6 0 ，當(dāng) i iu 1 一u 20 一o o ) 滿足方程 ( 1 1 ) 另一種情況的解可以由給定的初值函數(shù)：( a ，n o 】_ e d ，若a = 一o o ( 或 者：【o c ，n o 】葉e d ，若a 一o o ) 得到，其中( a ，- o l 表示為一個(gè)離散區(qū)間從 而，我們可以把( 1 1 ) 寫成： n on+ z ( n ) = ( a ( n ) + eb ( n ，歹，z 0 ) ) ) + b ( n ，曩z d ) ) + a ( n ，j ，z u ) ) j = a j = n o + lj = n n+ = ：a ( 他) + e 日( n ，互z ) ) + a ( n ，互z ) ) 7 1 , n o z j = n o + l j = n 易見變成了a 中的一部分在某些條件下，如【7 ，4 1 】，存在一個(gè)有界解 x ( n ，伽，) 對于所有的扎n o + 1 及z 0 ，7 1 0 ，) ：( 歹) ，j 死。滿足( 1 1 ) 當(dāng) 然，我們也可以定義當(dāng)n o = 一o 。( 若o l = 一0 0 ) 的時(shí)候，滿足方程( 1 1 ) 的初值 函數(shù)的集合是空集這時(shí)，我們可以把( 1 1 ) 寫成： n+ o o z ( n ) = a ( n ) + b ( 他，歹，x ( 2 ) + a ( n ，歹，z 0 ) ) ， j = - c oj = n 約化成了方程( 1 1 ) 的第一種類型的解的形式 我們稱方程( 1 ) ( 或( 2 ) ) 在初值時(shí)刻n o z 有一個(gè)z 有界解z ( 佗) ，若 s 即 l z ( 扎) i ：n z ) 0 存在函數(shù)砰：z z r + 及 劬：zxz r + 使得廳( n ，n + j ) 在任何有限集j z 上當(dāng)j n z 是一致幾 概周期的，并且當(dāng)z 曲時(shí)有i f ( n ，j ，z ) i f r ( n ，j ) 及l(fā) g ( n ，j ，z ) i g t ( n ，歹) ， 其中島：= z e d ：l x l t ) 對于上面的b 和訴我們再假設(shè)： 或 e 砰+ n ，j ) _ 0 ，n z ，n _ o 。， j = 一 n g t ( n ，j ) _ 0 ， 禮_ o o ， ( 1 2 ) ( 1 3 ) g t ( n ，j ) _ 0 ， n o o ， j = 一 n g t ( n + n ，j ) 葉0 ， n _ o on z ( 1 4 ) j = 一 我們定義h ( p ，f ，e ) 是所有極限函數(shù)( ，p iq ) 構(gòu)成的集合，使得對于一些 整數(shù)序列 訊) ，舭_ 。，k 葉c o ，有p ( n t n k ) _ f ( n ) ，f ( n + n k ，n 4 n k + j ，z ) _ p ( n ，n + 歹，z ) 我們把h ( p ，f e ) 稱為( p ，ee ) 的殼顯然集合h ( p ，只e ) 非 空，因?yàn)椋? n ) 是r l 概周期的，尸( 他，r t , + j i ，z ) 和q ( n ，n + 五z ) 在( j ，z ) z 一e d 上是1 1 概周期的，故 ，只e ) h ( p ，只e ) 相似的，h ( f ) 定義為f 的殼， h ( p ，f ) 定義為0 ，f ) 的殼 對于任意的( ，p ) 日，f ) ，我們得到了下面的方程： n z ( n ) = ，( 訖) + p ( 扎，歹，z ( 歹) ) ，禮z ( 1 5 ) 定理2 1 0 【3 8 】假設(shè)( n 1 ) ，( n 2 ) ，( 1 2 ) 及( 1 3 ) ( 或( 1 4 ) ) 成立若方程( 6 ) ( 或 ( 7 ) ) 在初值條件下有一個(gè)有界解【。( n ) ) 則對于任何非負(fù)整數(shù) n 七) ( 恐1 ) ， 竹七一。o ，k _ o o ，序列 礦( n ) ) 包含一個(gè)子序列對于每個(gè)禮z 及一些 8 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 二 預(yù)備知識 ( p ) h ( p ，f ) 收斂于方程( 1 5 ) 的解可( n ) ，其中擴(kuò)( n ) = z ( 佗+ 扎k ) 定義為： z 七( 扎) ：= ： o ) 牟n 七) ，n n 0 存在函數(shù)e r ：z z + r + 及 坼：z z r + 使得毋( n ，n + j ) 在歹z 的任何有限集上當(dāng)n j z 都 是一致n 概周期的并且 i e ( n ，j ，z ) i e r ( n ，j i ) ，i h ( n ，j ，z ) l 五b ( 他，歹) ，茁s ， 其中：= z e d ：i x i t ) 對于上面的毋和坼，我們假設(shè) + e ( n n ，歹) 一0 ，n z ，n _ ， j = n + 坼( n ，歹) _ 0 ， n _ 0 0 j = n 注意到條件( 2 0 ) 和( 2 1 ) 有下面的等價(jià)形式： + o o 歷一n ，佗+ 歹) _ 0 ， 佗z ，n _ 。o ， j = o + o o 坼( n ，幾+ 歹) _ 0 ， j = o 1 0 ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 三 基本引理 三基本引理 引理3 1 設(shè)( 日3 ) 及( 2 0 ) 成立若q 日( e ) ，則對于任意的t 0 ，存在 劬h ( e t ) 使得對于所有的j n z ，有l(wèi) q ( n ，j ，。) i q 丁( n ，j ) ，z 曲且在 研( n ，j ) = q t ( 佗，j ) 下( 2 0 ) 成立，其中毋( 禮，j ) 為( h 3 ) 中的e 。 證明：因?yàn)閝 h ( e ) ，我們假設(shè) n 七) ，( n 七) 一o 。，k _ o o 為一個(gè)整數(shù)序列 并且e + n 七，n + 仉+ 歹，z ) _ q ( n ，n + j ，x ) 在zx 上一致成立，其中是 z e d 上的任何一個(gè)緊集 因?yàn)槲? n ，n + 歹) 是n 概周期的，從而我們可以假設(shè) n 七) 存在一個(gè)子序列， 為了簡單起見，我們?nèi)匀患僭O(shè)它為 扎七) 則有e r ( n + n 七，n + j i + 他七) 對于所有 的n z 在歹z + 的任何有限集上收斂，假設(shè)收斂為q t ( n ，扎+ 歹) 從而 q r h ( e t ) 又因?yàn)閷τ谒械膉 0 及z 曲，有i e ( n + n k ，n + j + n 七，z ) i 西( n + n k ，n + j + n k ) ，令k _ o o ，我們有l(wèi) q ( n ，他+ 歹，z ) l q r ( n ，n + j ) ， z 島任取 0 ，由( 2 0 ) 存在n o 0 使得對于任意的n z 當(dāng)n n o ， + + + o o e r ( n n ，j ) = 研( n n ，他+ 歹) = 島( n n ，n 一+ j ) j = nj = oj = n 丟， ( 2 4 ) 從而當(dāng)n n o 時(shí)，有 薹晰肘j17 ) 0 使 得妒( n ) i t 令昂：= z e d ：i x i t ) 取 - k 的子序列，方便起見我 們?nèi)耘f記為 n 七) 使得對于任意的n z ，當(dāng)七一o o 時(shí)，( 礦( 幾) ) 收斂于一個(gè) 有界序列 可( n ) ) 我們現(xiàn)在只需證明對于任意的扎z 當(dāng)( ，p ，q ) h ( p ，只e ) 及擴(kuò)( n ) 一 可( 禮) ，七一o o 時(shí)，y ( 住) 滿足方程( 2 7 ) 由定理2 8 及引理3 1 知存在【艫( n ) ) 的 一個(gè)子序列我們?nèi)耘f記為【艫( 札) ) 存在一下五個(gè)概周期序列，( 禮) ，p ( 禮，禮+ 1 2 一 ， 0 存在n 0 ，使得 存在k 1 0 當(dāng)k k ，時(shí)對于任意的n z 及任意z 有界集中的歹當(dāng) z 躑時(shí)有， 0 f ( 佗+ n k ，佗+ n k + 歹，z ) 一p ( - ，扎+ 歹，z ) i 0 存在6 0 使得當(dāng)i z y i 0 當(dāng)七k 2 時(shí)有 i z 知( 佗+ 歹) 一暑，( 死+ 歹) i m a x k 1 ，乜) ，由( i ) - ( i v ) 我們有： i f t + n n i l f ( n + 佗七，j ，。o ) ) 一p ( n ，歹，可o ) ) l 歹= 一j = 一 o 0 0 i = i f ( n + n k ，他+ n 七+ j i ，z 七( n + 歹) ) 一p ( n ，n + 歹，( 佗+ j i ) ) l j = 一j = 一o o i o + l p ( n ，7 1 , + 歹，z 知( 禮+ 歹) ) 一p ( n ，禮+ j ，u ( n + j ) ) = 一+ l 從而說明對于任意的n z ( 3 1 ) 成立在( 3 0 ) 中令k _ o o ，即得到了( 2 9 ) 由( h 3 ) 及( 2 1 ) ，對于任意的佗z 當(dāng)k _ o o 時(shí)我們有 t+ o oi+ i 日( n + 他七，j ，z o ) ) l 日( 幾+ 億，j ) _ 0 j = n + n k j = n + n h 14 znt i j + 他n 昂 釜 + nn 磚 釜 + n 七 茁+ nnp 一+ n 知 z+ k n卜n 七 他+nf l + o 州= + n y 九 +他n p 羔一 +nz+n+nn+nf 羔一 + 力 +nn 昂 釜一 +佗+nn+n 吁 芝 +拈 如 0 使得 + + o o+ o o 島一n ，歹) = 研( n 一，n + 歹) = 研( n n ，禮一n + 歹) e ， n z ， j = nj = oi = n 即對于這個(gè)，有 研( 禮，幾+ 歹) e ， 竹z ( 3 4 ) j = n 由引理3 1 知q t ( n ，j ) 在研= 劬下也滿足不等式( 2 0 ) ，從而我們有 + o o q t ( 讓，住+ 歹) ， n z ( 3 5 ) j = n 由( 3 4 ) 和( 3 5 ) ，對于任意的n z 當(dāng)z s r 時(shí) + i e ( n ，n + 歹，z ) i 0 使得當(dāng)f z y i 0 使得當(dāng)k k 2 時(shí)有： i z ( n + 歹) 一可( n + 歹) i 正0 j n 一1 ( 4 0 ) 因此對于固定的n z 及任意的k m a x k 1 ，也) ，由( 3 4 ) ( 4 0 ) 我們有： i + + c o l e ( n + n 七，n + j + n k ，x 七( 他+ 歹) ) 一q ( 禮，佗+ 歹，可( n + 歹) l 。j = 0 j = o n 1 0 ，存在n 0 使得對于任意的禮z ，有 + o o 毋( 禮，n + j ) g ，( 4 3 ) j = n 及 + q 丁( 禮，住+ 歹) 0 使得對 1 7 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解 三基本引理 于所有的佗z 及歹【0 ，n 一1 1 ，z 曲，若k k 1 則有 i e ( 紛+ 他n + 歹+ 死，z ) 一q m ，耗+ 歹 z ) i 0 使得當(dāng)i 。一y i 6 時(shí)有 i q ( n ，n + 歹，z ) 一q ( n ，n + j ，u ) l 0 使得當(dāng)k k 2 時(shí)有： i l ，o x ( n + 札知) 一t 7 ( n ) i 0 為( 4 3 ) 中的，由于e ( n ，n + j ，z ) 在0 ，。) z xe d 上是 n 概周期的，由定理2 7 存在6 0 使得當(dāng)i z y i 6 時(shí)有 e ( n ，禮+ j ，z ) 一e ( 禮，禮+ j ，) i 0 使得當(dāng)n n 1 有i c p 2 ( n ) i = i 妒( n ) 一妒l ( 禮) i n + 1 ，( 4 9 ) 的第一項(xiàng)可以化為 l e ( n ，歹，妒) ) 一e ( n ，j ，妒- ( 歹) ) i j = n + o a = i e ( n ，兒+ 歹，妒( 禮+ j ) ) 一e ( n ，n + 歹，妒l ( n + 歹) ) i i = o 一l i e ( n ，扎+ 歹，妒( n + 歹) ) 一e ( n ，n + 互妒1 ( n + j ) ) i i = o + o o+ o o + i e ( n ，扎+ 歹，妒( 億+ j ) ) i + l e ( n ，n + j ，妒- ( 住+ j ) ) 最p + c o e ( e ( n ，j ，妒0 ) ) 一e ( 佗，歹，妒1 0 ) ) _ 0 ， n 0 0 ( 5 0 ) j = n 對于( 4 9 ) 的第二項(xiàng)，由( h 3 ) 我們有1 日( 扎，歹，壚( j ) i g t ( n ，j ) 又由( 2 1 ) ，我 們有 日( n ，歹，妒( 歹) ) 一0 ，n _ o o ( 5 1 ) i = n 從而我們由( 5 0 ) ( 5 1 ) 證明了( 4 8 ) 成立 相同的討論我們可以證明余下的部分 口 推論3 4 假設(shè)( h 1 ) ( h a ) 及條件( 1 2 ) ，( 2 0 ) 成立，則以下結(jié)論正確。 1 9 i 3 。了 +凡扎研 佃洲 2 + t 1 ) 一 離散v o l t e r r a 方程的概周期解與漸近概周期解三 基本引理 i 若( 1 3 ) 及( 2 1 ) 成立，則對于任意的漸近概周期函數(shù)妒：z + _ e d 使得 妒= 妒l + 妒2 ，妒1 ：z e d 是概周期的并且妒2 ( 扎) 0 ，7 , 一o o 函數(shù) b l ( 扎) ：z + _ e d 定義為 6 l ( n ) = b ( 扎，歹，