（光學(xué)專業(yè)論文）單光子多比特體系在量子信息中的應(yīng)用研究.pdf

中英文摘要 摘要 量子力學(xué)誕生于2 0 世紀(jì)初期，但是這個(gè)理論從它誕生開(kāi)始，就存在著不同 的理解和爭(zhēng)論。隨著科學(xué)家之間的爭(zhēng)論，人們對(duì)量子力學(xué)的認(rèn)識(shí)更加深刻和確信。 2 0 世紀(jì)9 0 年代，量子力學(xué)與信息科學(xué)的相結(jié)合，更是將信息科學(xué)的發(fā)展帶入了 一個(gè)新天地。量子信息科學(xué)主要包括量子通信和量子計(jì)算，而量子信息科學(xué)的基 礎(chǔ)則是量子態(tài)的制備、變換、傳輸、存儲(chǔ)以及測(cè)量。很多系統(tǒng)可以被用來(lái)作為研 究量子信息科學(xué)的平臺(tái)，常見(jiàn)的有光學(xué)體系、核磁共振體系( n m r ) 、腔動(dòng)力學(xué) 體系( c a v i t yq e d ) 、量子點(diǎn)( q u a n t u md o t ) 和原子系綜等。光學(xué)體系相對(duì)于其 它體系相對(duì)全面，而且光子具有環(huán)境消相干小，便于操縱等優(yōu)點(diǎn)。首先，現(xiàn)代通 信的基礎(chǔ)便是光纖網(wǎng)絡(luò)，光子是天然的飛行比特，因而量子通信的研究基本都在 光學(xué)體系中展開(kāi)；其次，隨著2 0 0 1 年，k n i l l ，l a n a m m e 和m i l b u m 三人在自然 雜志發(fā)表一篇論文，證明了線性光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)大規(guī)模量子計(jì)算的可能性，推動(dòng)了 光學(xué)體系在量子計(jì)算方面的研究。 單光子多比特體系是線性光學(xué)方法研究量子信息問(wèn)題的基本內(nèi)容之一。其 基本思想是，利用光子的各種性質(zhì)在單個(gè)光子上編碼兩比特或更多比特的信息， 用來(lái)作為研究量子信息問(wèn)題的載體。常見(jiàn)編碼光子比特的有光子偏振、光子空間 動(dòng)量和光子軌道角動(dòng)量，而光子空間動(dòng)量和光子角動(dòng)量可以用來(lái)編碼高維體系 ( q u d i t ) 。單光子多比特體系可以用來(lái)很好的研究量子態(tài)的疊加性質(zhì)，也是向多 體、高維推廣的基礎(chǔ)。我們?cè)趯?shí)驗(yàn)上利用單光子多比特體系，研究了量子隨機(jī)行 走算法，量子博弈問(wèn)題和單比特量子幺正操作完美區(qū)分。 i 、光子軌道角動(dòng)量和量子隨機(jī)行走 光子軌道角動(dòng)量與光場(chǎng)的空間模式有著密切的關(guān)系。對(duì)于l a g u e r r e g a u s s i a j l ( l g ) 模式光，每個(gè)光子攜帶肪的軌道角動(dòng)量，其中f 為整數(shù)，表示軌道角動(dòng)量 量子數(shù)，也表示e x p ( f 切) 螺旋波前的單模光的模式。不同z 的軌道角動(dòng)量構(gòu)成完 備的h i l b e n 空間，所以可以用來(lái)編碼q u b i t 或者q u d i t 。我們用全息照相技術(shù)， 制作用來(lái)產(chǎn)生各種模式激光的計(jì)算全息片，并將其應(yīng)用于量子隨機(jī)行走的實(shí)驗(yàn)。 i 中英文摘要 量子隨機(jī)行走是一種量子算法，與經(jīng)典隨機(jī)行走有著完全不同的現(xiàn)象和結(jié) 果。量子隨機(jī)行走算法已經(jīng)在很多體系中實(shí)現(xiàn)，包括光學(xué)體系。在我們實(shí)驗(yàn)中， 利用光子的路徑編碼q u b i t ，光子的軌道角動(dòng)量編碼q u d i t ，實(shí)現(xiàn)光子在軌道角動(dòng) 量空間上的隨機(jī)行走。具體是先將光子制備到路徑疊加態(tài)，然后根據(jù)不同路徑， 通過(guò)計(jì)算全息片實(shí)現(xiàn)軌道角動(dòng)量的改變，最后探測(cè)光子處于各個(gè)軌道角動(dòng)量態(tài)的 幾率，便得到了量子隨機(jī)行走的結(jié)果。我們巧妙地將光子軌道角動(dòng)量的高維特性 應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，得到了更為漂亮的結(jié)果，并且討論了將量子隨機(jī)行走向更多步數(shù)推 廣的實(shí)驗(yàn)可行性。這些內(nèi)容將在第二章和第三章中詳細(xì)討論。 i i 、量子博弈 量子博弈是運(yùn)籌學(xué)與量子理論結(jié)合的產(chǎn)物，是量子信息論的一個(gè)重要分支。 量子博弈主要分為三類問(wèn)題：p q 翻硬幣問(wèn)題、“囚徒困境”問(wèn)題和量子賭博。 我們?cè)趯?shí)驗(yàn)上，利用線性光學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)了量子賭博機(jī)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析， 得出博弈方獲得最大收益的最佳方案。實(shí)驗(yàn)中，我們使用兩塊雙折射晶體作為偏 振分束器，解決了m a c h z e h n d e r 干涉穩(wěn)定性的問(wèn)題，獲得了長(zhǎng)時(shí)問(wèn)的干涉穩(wěn)定， 使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果更具說(shuō)服力。第四章我們將詳細(xì)介紹量子博弈論的基本問(wèn)題和實(shí)驗(yàn) 實(shí)現(xiàn)量子賭博機(jī)的具體情況。 i i i 、量子幺正操作的完美區(qū)分 量子態(tài)的區(qū)分是量子信息中的基本問(wèn)題，科學(xué)家在研究量子態(tài)局域操作可 區(qū)分性方面做出了大量的工作，取得了很大的進(jìn)展。量子幺正操作的區(qū)分與量子 態(tài)區(qū)分類似，有著重要的意義，但是又不同于量子態(tài)的區(qū)分。理論上已經(jīng)證明， 任意兩個(gè)不同的么正操作u 和v ，不論它們是否j 下交( u + y = 0 ) ，我們總可以 通過(guò)并行運(yùn)行該操作有限次的方法或者串行加入輔助幺正操作的方法將它們完 美區(qū)分。第五章我們將詳細(xì)介紹量子幺正操作完美區(qū)分的兩種方案并行方案 和串行方案，并說(shuō)明我們?cè)趯?shí)驗(yàn)上如何利用這兩種方案，成功地實(shí)現(xiàn)了單比特幺 正操作的完美區(qū)分。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，討論了兩種方案的優(yōu)缺點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)擴(kuò)展問(wèn) 題。 中英文摘要 m a c h i n ea n dp e r f e c td i s c r i m i n a t i o no fu n i t a r yo p e r a t i o n sb yu s i n gs i n g l e p h o t o n f e w - q u b i ts y s t e m 1 o r b i t a la n g u l a rm o m e n t u mo fp h o t o n sa n dq u a n t u mr a n d o mw a l k o r b i t a la n g u l a rm o m e n t u mo fp h o t o n sh a st h er e l a t i o n s h i pw i t ht h em o d eo fl i 曲t a sw ek n o w ，l i g h tb e a m sc a nc a r r yo a ma s s o c i a t e dw i t hh e l i c i t yo ft h e i rp h a s e 廳o n t s ， d e s c r i b e db yap h a s et e r me x p ( f ，p ) ，c a r r i e sa no a mo f ，殼p e rp h o t o n ，w h e r e ， c a j lt a k ea n yi n t e g e rv a l u e t h e0 a mc a nm a l ( eu pa ni n 6 n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e i r t s p a c e ，s o i tc a nb eu s e dt oe n c o d eq u b i to rq u d i t 0 r b i t a la n g u l a rm o m e n t u mo f p h o t o n sc a nb eg e n e r a t e db yc o m p u t e rg e n e r a t e dh o l o g r a m sw h i c ha r eu s e di no u r e x p e r i m e n to fq u a n t u mr a n d o mw a l k q u a n t u mr a n d o mw a l ki sak i n do fq u a n t u ma l g o r i t h m ，a n di t i sq u i e td i f f e r e n t f o r mc l a s s i c a lr a n d o mw a lk n u m e r o u ss c h e m e so fq u a n t u mr a n d o mw a l kh a v eb e e n p r o p o s e du s i n gm a n yk i n d so fs y s t e m ，i n c l u d i n gl i n e a ro p t i c ss y s t e m w ee n c o d e s p a c em o m e n t u mo fp h o t o na saq u b i ta n do a m o fp h o t o na saq u d i t ，e x p e r i m e n t a l l y s t u d yt h eq u a n t u m r a n d o mw a l ko nt h eo n e d i m e n s i o n a lo a m s p a c e w ei n i t i a l i z et h e p h o t o n so nas u p e 叩o s i t i o no fd i f - f e r e n tr o u t e s ，t h e nc h a n g et h e i ro a mb yu s i n g c o m p u t e rg e n e r a t e dh 0 1 0 9 r a m s d u et od i f 絕r e n tr o u t e a tl a s t ，w ed e t e c tt h e p r o b a b i l i t i e so fp h o t o n so ne a c ho a ms t a t e ，w h i c ha r ea l s ot h er e s u l t so fq u a n t u m r a n d o mw a l k b e c a u s et h ep h o t o n sr a n d o mw a l k o nt h eo a ms p a c e ，t h e e x p e r i m e n t a ls e t u p i sm u c hs i m p l e ra n de a s yt oa d ju s t t h e s ec o n t e n t sw i i lb e d i s c u s s e di nt h ec h a p t e rt w oa n dc h a p t e rt h r e e 2 q u a n t u mg a m e q u a n t u mg a m ei san e wr e g i o nc o m b i n e dw i t ho p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dq u a n t u m t h e o r y i ti sa ni m p o r t a n te m b r a n c h m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o n q u a n t u mg 鋤e c o n t a i n st h r e em a 證q u e s t i o n s ：p qp e r u l yf l i p o v e r ，p r i s o n e r sd i l e m m aa n dq u a n t u m g a m b l i n g w ee x p e r i m e n t a l l yr e a l i z et h eq u a n t u mg a m b l i n gm a c h i n eb yu s i n go p t i c a l m e t h o d ，a n dd i s c u s st h eb e s ts t r a t e g yo ft h ep a r t i c i p a t o rt om a x i m i z et h e i rg a i n s w e u s et w op i e c e so fb i r e f r i n g e n tm a t e r i a lc a l c i t e sa sp o l a r i z i n gb e a ms p l i t t e r s ，w h i c h m a k et h em a c h z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e ri n h e r e n t l ys t a b l e ，a n dg e tt h ec o n v ；簍 中英文摘要 r e s u l t so ft h eq u a n t m ng a m b l i n g w ew i l li n t r o d u c es o m eq u a n t m ng 鋤et h e o r ya n d o u re x p e r i m e n t a ls e t u pi nt h ec h a p t e rf o u r 3 p e r i 奄c td i s c r i m i n a t i o no fu n i t a r yo p e r a t i o n s d i s t i n g u i s h a b l eo fq u a n t u ms t a t e si s a nf u n d a m e n t a lq u e s t i o no fq u a n t u m i n f o r m a t i o n ，a n dal o to f 、v o r k sh a v eb e e nd o n eo ni t s i m i l a rt od i s c r i m i n a t i o no f q u a n t u ms t a t e s ，d i s c r i m i n a t i o no fq u a n t u mo p e r a t i o ni sa l s ov e r yi m p o n a n t b u tt h e r e a r es o m ed i f f e r e n c e sb e t w e e ns t a t e sa n do p e r a t i o nd i s c r i m i n a t i o n i ti ss h o w nt h a tt w o u n i t a r ) ，o p e r a t i o n su a u l dvc a nb ep e r f e c t l yd i s c r i m i n a t e db yu s i n gp a r a l l e ls c h e m eo r s e q u e n t i a ls c h e m ew i t h 丘n i t en u m b e rc o p i e so fu m m o 、v no p e r a t i o n ，n om a t t e rua n d va r eo r t h o g o n a lo rn o t w ew i l l d e t a i l e di n t r o d u c et h et w os c h e m e so fp e r f e c t d i s c r i m i n a t i o no ft w ou n i t a 巧o p e r a t i o na j l do u re x p e r i m e n tb a s e do nt h e s et w o s c h e m e s t h ec o m p l e x i 夠a n dr e s o u r c ec o n s u m e da r ea n a l y z e da n dc o m p 甜e dw i t h s o m eo t h e rs c h e m e so fd i s c r i m i n a t i o no fu n i t a r yo p e r a t i o n s v 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 第一章光量子信息處理的基本理論 量子理論和相對(duì)論是在2 0 世紀(jì)初文化和政治蓬勃發(fā)展時(shí)產(chǎn)生的，它如同當(dāng) 代藝術(shù)、音樂(lè)、文化和政治的新發(fā)展一樣，具有本質(zhì)上的革新性。它們是物理界 兩項(xiàng)偉大的成就，己經(jīng)成為當(dāng)今物理學(xué)發(fā)展的兩塊基石。它們的出現(xiàn)是人們對(duì)客 觀物質(zhì)世界的本質(zhì)認(rèn)識(shí)的一大進(jìn)步。 十九世紀(jì)末，以黑體輻射實(shí)驗(yàn)規(guī)律為代表，一些經(jīng)典理論不能解釋的現(xiàn)象 吸引了一代科學(xué)家的努力探索，最終導(dǎo)致了量子力學(xué)的誕生。量子力學(xué)可以解釋 經(jīng)典力學(xué)不能解釋的現(xiàn)象，它被大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明是一個(gè)成功的物理理論。但是 這個(gè)理論從它誕生開(kāi)始，就存在著不同的理解和爭(zhēng)論。a e i n s t e i n ，b p o d 0 1 s k y 和n r o s e n ( e p r ) 在1 9 3 5 年發(fā)表了一篇簡(jiǎn)短而重要的論文 1 】，對(duì)正統(tǒng)的量子力 學(xué)原理和概念的詮釋提出了質(zhì)疑，n b o h r 隨即發(fā)表文章進(jìn)行答辯 2 】，并由此引 發(fā)了一場(chǎng)科學(xué)巨匠之間的大爭(zhēng)論 3 】。爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是：量子力學(xué)理論是否完備，定 域?qū)嵲谡撌欠裾_。隨后b o 在1 9 5 2 年提出隱變量假說(shuō)，而b e u 則根據(jù)定域 實(shí)在論和隱變量假說(shuō)，在1 9 6 4 提出了著名的b e u 不等式 4 】，用來(lái)支持e p r 的 觀點(diǎn)。 1 9 8 2 年a s p e c t 等人做了b e l l 不等式驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn) 5 】，以及后來(lái)的其它人又 做了一些更精密的實(shí)驗(yàn)，這些實(shí)驗(yàn)幾乎都肯定了量子力學(xué)理論的正確性，否定了 定域隱變量理論。從而激發(fā)了一大批后來(lái)的研究量子基本理論及其應(yīng)用的開(kāi)創(chuàng)性 工作。以量子通信和量子計(jì)算為主要內(nèi)容的量子信息學(xué)，就是以基本量子理論為 基礎(chǔ)迅速發(fā)展起來(lái)的新興交叉學(xué)科。 隨著量子信息科學(xué)的蓬勃發(fā)展，一些全新的概念，如量子密碼，量子保密 通信，量子計(jì)算機(jī)，量子調(diào)控等，都開(kāi)始進(jìn)入了人們的研究視野。量子信息科學(xué) 正在以驚人力量改變著我們的生活：以量子隧穿效應(yīng)為理淪根據(jù)的量子隧穿顯微 鏡，使人們能夠看清原子，操縱原子：激光冷卻、原子囚禁是光粒子性的最直接 應(yīng)用；量子計(jì)算機(jī)以。驚人的計(jì)算速度沖擊著現(xiàn)有的密碼體系，而同時(shí)量子理論又 提供了更為安全的量子密碼和量子保密通信【6 8 】 量子通信和量子計(jì)算已經(jīng)在很多體系中實(shí)現(xiàn)，最常見(jiàn)的有光學(xué)體系、核磁 第一章光顰子信息處理的基本問(wèn)題 共振體系( n m r ) 、腔動(dòng)力學(xué)體系( c a v i t yq e d ) 、量子點(diǎn)( q u a n t u md o t ) 、原 子系綜和低溫超導(dǎo)體系等。在量子計(jì)算方面，線性光學(xué)系統(tǒng)在光子態(tài)操作、光子 糾纏和消相干方面有著獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)，并且實(shí)現(xiàn)了很多線性光學(xué)量子計(jì)算的基礎(chǔ)實(shí) 驗(yàn)。單光子源可以從相干性極好的激光衰減獲得，也可以通過(guò)自發(fā)參量下轉(zhuǎn)化系 統(tǒng)，獲得單光子或者糾纏的光子。而光子的偏振態(tài)可以通過(guò)線性光學(xué)元件，例如 半波片、元4 波片、分束器、偏振分束器等實(shí)現(xiàn)量子幺j 下操作。而在量子通信 方面，基于目前的通信網(wǎng)絡(luò)建立在光纖通信，因而量子通信的研究也集中在光波 通信。我們?cè)趯?shí)驗(yàn)上正是利用光學(xué)體系作為平臺(tái)，研究了一些量子信息的基本問(wèn) 題，包括量子隨機(jī)行走算法、量子博弈和量子幺正操作的完美區(qū)分。 在量子信息的研究中，量子力學(xué)用于描述物質(zhì)系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是量 子態(tài)，而系統(tǒng)的演化則是用量子態(tài)的幺正演化來(lái)描述。在詳細(xì)論述這些量子信息 理論之前，在本章節(jié)我們先介紹量子信息的一些基本概念，包括量子比特，量子 糾纏，量子干涉，單光子多比特體系以及在實(shí)驗(yàn)上用線性光學(xué)方法研究量子信息 的基本知識(shí)。 1 1量子比特 比特( b i t ) 是經(jīng)典信息論的基本概念。從物理角度講，比特就是一個(gè)擁有 兩個(gè)可以區(qū)分的狀態(tài)的系統(tǒng)，如是或非，真或假，o 或1 ，這兩種狀態(tài)之間存在 巨大的能量壁壘。經(jīng)典計(jì)算機(jī)中，用高低電壓來(lái)表示比特，經(jīng)典光纖通信中，使 用亮、暗光信號(hào)作為信息比特。量子信息與量子計(jì)算中建立了類似于經(jīng)典比特的 量子比特( q u a n t u mb i t 或q u b i t ) 。像經(jīng)典比特一樣，量子比特也是用實(shí)際的兩態(tài) ( 0 或1 ) 物理系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，分別將這兩種狀態(tài)記為1 0 或1 1 ，對(duì)應(yīng)于經(jīng)典的o 和l 。 量子態(tài)區(qū)別于經(jīng)典態(tài)的最重要性質(zhì)在于它的相干疊加性，也就是說(shuō)量子比 特的狀態(tài)除了可以是1 0 或l l ，還可以是l o 和l l 的線性組合態(tài)，常稱作量子疊加 態(tài)( s u p e 叩o s i t i o n ) ，表示為： l 伊) = 口l o ) + 1 1 ) ，l 口1 2 + f 1 2 = 1 ( 1 1 ) 其中口，c 。換句話說(shuō)，量子比特的狀態(tài)是二維復(fù)向量空間中的向量。特殊的 2 第一章光：暈：子信息處理的基本問(wèn)題 1 0 和1 1 狀態(tài)成為計(jì)算基態(tài)( c o m p u t a t i o nb a s i ss t a t e ) ，是構(gòu)成這個(gè)向量空間的一 組正交基。 經(jīng)典情況下，我們可以通過(guò)檢查一個(gè)比特，來(lái)確定它是處于0 狀態(tài)還是1 狀態(tài)。但是在量子情形下，我們不能通過(guò)檢查一個(gè)量子比特來(lái)確定它的量子狀態(tài)， 也就是得到口和的值。如果我們測(cè)量式( 1 1 ) 的量子態(tài)，我們只能發(fā)現(xiàn)有h 2 的 幾率得到“o ”，俐2 的幾率得到“1 。經(jīng)典比特可以看作是量子比特的特例( 口= o 或者口= 1 ) 。量子比特可以處于疊加態(tài)與我們理解身邊物理世界的常識(shí)相矛盾。 經(jīng)典比特像丟一枚硬幣：要么正面朝上，要么反面朝上。與之相反，量子比特可 以處于i o 和1 1 之間的連續(xù)狀態(tài)直到它被觀測(cè)( 量子比特被觀測(cè)時(shí)，只能得 到非“0 ”即“i ”的測(cè)量結(jié)果) 。 盡管這么奇特，量子比特的存在確實(shí)是真實(shí)的。他們的存在和行為被大量 實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，并且有許多不同的物理系統(tǒng)，可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)量子比特。常見(jiàn)的實(shí)現(xiàn) 法方有：光子的兩種不同偏振( p 0 1 a r i z a t i o n ) ；均勻電磁場(chǎng)中電子或原子核的自 旋取向：原子或量子點(diǎn)中的能級(jí)等。 除了二維量子比特外，我們還經(jīng)常會(huì)用到高維量子比特( q u d i t ) 。對(duì)于n 維 量子比特，它的基態(tài)不是兩個(gè)，而是n 個(gè)。例如，三維量子比特( q u t r i t ) 的基 態(tài)為l o 、1 1 和 2 ，它的一般形式為： i 妒) = 口i o ) + 1 1 ) + y 1 2 ) ，l 口1 2 + l l2 + i y l 2 = 1 ( 1 2 ) 同二維量子比特類似，如果我們進(jìn)行測(cè)量，得到“0 ”、“1 和“2 ”的幾率分別 為h 2 、例2 和川2 。以此類推，我么可以得到n 維量子比特的情況。對(duì)于m 個(gè)n 維量子比特來(lái)說(shuō)，它們所張的空間就是門(mén)“維希爾伯特( h i l b e r t ) 空間，具有，z 聊個(gè) 完備正交基。而n 維量子比特的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)則需要n 態(tài)量子系統(tǒng)，常用的有：光的 空間模式( 第二章會(huì)介紹) 和多能級(jí)原子或量子點(diǎn)等。 1 2量子糾纏 對(duì)于一個(gè)兩體的兩子體系( a 和b ) ，假設(shè)體系a 的一組完備力學(xué)量集的共 同本征態(tài)為 1 ) 爿) ，體系b 的一組完備力學(xué)量集的共同本征態(tài)為 l 杪，) 占) 。這里 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 i 和j 分別代表體系的a 和b 的一組完備量子數(shù)。如果整個(gè)體系的態(tài)矢量i ) 們不 可能寫(xiě)成子系統(tǒng)態(tài)矢量的直積形式時(shí)，即i ) 舢l ，) 。 l ，) 8 ，稱態(tài)l ) 郇為糾 纏態(tài)，a ，b 兩子系統(tǒng)被稱為是互相糾纏的。這個(gè)定義可以推廣到多體或多自由 度體系：若整個(gè)體系的量子態(tài)不能表示為各個(gè)子系統(tǒng)的直積形式，則該量子態(tài)成 為糾纏態(tài)。 上面的描述只是體系的量子態(tài)為純態(tài)時(shí)的情況，如果體系處于混合態(tài)，則 糾纏的定義要復(fù)雜一些。以兩子系統(tǒng)為例，若體系的量子態(tài)密度矩陣可以表示為 p 爿日= 乞p 爿，p 句 ( 1 3 ) f 則a ，b 體系之間不存在糾纏，反之，則兩體系是糾纏的。 如果處于糾纏的兩個(gè)( 或者多個(gè)) 粒子的自由度都是二，那么它們所處的 態(tài)稱為二維糾纏態(tài)。二維糾纏是最常見(jiàn)、最基本的一類糾纏，如果討論中沒(méi)有特 別指出是高維糾纏，那么一般都討論的是二維糾纏。在兩體糾纏態(tài)中，最重要的 是稱作b e l l 態(tài)【9 】的四種糾纏態(tài)： i 甲) ：廳= ( i + ) 爿i 一) 8 l 一) 爿l + ) 曰) 2 ， ( 1 4 ) i ) ：b = ( i + ) 爿i + ) 廳i 一) 彳l 一) b ) 壓 ( 1 - 5 ) 其中i 甲) ：b 稱為單重態(tài)( 具有交換反對(duì)稱性) ，其他三個(gè)態(tài)稱為三重態(tài)( 具有交 換對(duì)稱性) 。這四個(gè)態(tài)構(gòu)成兩比特體系所張的四維h i l b e i r t 空間的一組標(biāo)準(zhǔn)f 交基， 也稱作b e l l 基。b e l l 態(tài)時(shí)具有最大糾纏度的兩比特純態(tài)，通常也稱作最大糾纏態(tài)。 由于b e l l 態(tài)的這一獨(dú)特性質(zhì)，使得它在量子信息中有著極為重要的應(yīng)用。多體 糾纏態(tài)中，g h z 態(tài) 1 0 】和w 態(tài) 1 1 】是比較重要的兩種糾纏態(tài)。 處于糾纏態(tài)的系統(tǒng)在被測(cè)量時(shí)，表現(xiàn)出一種相當(dāng)奇特的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。我們以 b e l l 態(tài)為例，式( 1 4 ) 中的兩個(gè)b e l l 態(tài)，當(dāng)我們對(duì)a 進(jìn)行j + ) 、j 一) 正交基測(cè)量時(shí)， 如果測(cè)得a 的結(jié)果為i + ) ，那么b 此時(shí)必然處在i 一) 上，反之，則b 一定處在i + ) 上。不管我們?cè)趺醋儞Q正交測(cè)量基，b 的狀態(tài)一定與a 的相反。這種強(qiáng)烈的關(guān) 聯(lián)性質(zhì)已經(jīng)超出了經(jīng)典力學(xué)體系所可能具有的經(jīng)典關(guān)聯(lián)。而且這種關(guān)聯(lián)可以很遠(yuǎn) 距離的保持，即，即使a ，b 在空間上相距很遠(yuǎn)，只要它們糾纏，則上面提到的 關(guān)聯(lián)依然存在( 量子力學(xué)的非局域性) 。這一結(jié)果曾經(jīng)使愛(ài)因斯坦( e i n s t e i n ) 也 4 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 感到無(wú)法接受，以至他于1 9 3 5 年與p o d 0 1 s k y 及r o s e n 一起提出了著名的e p r 佯 謬【1 】。此后，對(duì)于此佯謬的論證，更加揭示了量子力學(xué)的本質(zhì)。 1 3量子干涉1 j里丁1 - ，歹 干涉來(lái)源于物質(zhì)的不可區(qū)分性，任何不可區(qū)分性都可以導(dǎo)致干涉。光子的 干涉隨時(shí)都在發(fā)生，但是由于沒(méi)有選擇正確的探測(cè)方式而忽略它的存在。經(jīng)常是 因?yàn)樘綔y(cè)測(cè)器的響應(yīng)時(shí)間太長(zhǎng)，不同的干涉結(jié)果互相疊加而表現(xiàn)出平均效應(yīng)，使 得原本明顯的干涉現(xiàn)象消失。因此獲得穩(wěn)定高可見(jiàn)度的干涉現(xiàn)象，也是人們一直 研究的課題。首先，利用相干性好的光源，從源頭開(kāi)始就引入不可區(qū)分性。常見(jiàn) 的做法是選擇模式穩(wěn)定，具有良好相干性的激光作為光源。其次，在測(cè)量的時(shí)候 通過(guò)消除光子的一些可區(qū)分信息來(lái)提高干涉可見(jiàn)度。除了這些提高不可區(qū)分性的 方法，穩(wěn)定干涉過(guò)程也是非常重要的環(huán)節(jié)。 從最早的單光子干涉，例如楊氏雙縫干涉，m a c h z e l m d e r 干涉( 簡(jiǎn)稱m z 干涉) ，到雙光子干涉，例如h o n g o u m a n d e l 干涉以及f r a n s o n 干涉，人們對(duì)光 子的干涉理解一步步的加深，也使得干涉在量子信息中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。單光 子的干涉在演示量子態(tài)疊加性方面有著廣泛應(yīng)用，而且單光子量子密鑰分發(fā)的光 學(xué)部分就是利用單光予干涉做成的干涉環(huán) 6 ，1 2 】；而線性光學(xué)量子計(jì)算和很多量 子態(tài)的制備和測(cè)量方面幾乎都是以多光子干涉為核心來(lái)完成的【1 3 ，1 4 】。下面以 m z 干涉和h o n g o u m a n d e l 干涉為例，簡(jiǎn)單介紹一下單光子和雙光子干涉。 1 3 1m a c h z e h n d e r 干涉 在量子信息中，經(jīng)常用到的一種單光子干涉就是m a c h z e h n d e r 干涉( 以下 簡(jiǎn)稱m z 干涉) 。很多其他的干涉儀都可以從基本的m z 干涉儀演化而成，例 如量子密鑰分配中用到的干涉儀就是兩個(gè)不等臂的m z 干涉儀。m z 干涉儀的 光路圖如圖1 1 所示。一束光經(jīng)過(guò)分束器( b s l ) 分成兩束( a 路和b 路) ，在其 中一路通過(guò)調(diào)相介質(zhì)引入位相，最后在另一個(gè)分束器( b s 2 ) 上重合。只要滿 足干涉條件，在b s 2 的兩個(gè)輸出端口( c 和d ) 探測(cè)，便可以觀測(cè)到干涉現(xiàn)象。 5 第一章光量子信，皂處理的基本問(wèn)題 l 八八舭 l - 八八八肌 1 5 晡 圖1 1m a c h - z e h n d e r 干涉儀及其干涉曲線 對(duì)于上面的這個(gè)m z 干涉儀，要滿足以下條件才能看到理想的干涉現(xiàn)象： 1 ) 輸入光模式單一，相干性極好；2 ) a 路和b 路的路徑差小于入射光的相干長(zhǎng) 度；3 ) a 、b 兩路光在b s 2 上完全重合；4 ) 整個(gè)光路穩(wěn)定性極好。滿足這些條 件，我們就可以通過(guò)改變b 路徑的相位調(diào)制器，觀察到c 、d 兩路的光強(qiáng)隨相位 的變化曲線。 假設(shè)兩塊分束器的透過(guò)率和反射率分別為t 和r ，則分束器對(duì)光的變換矩 陣 1 5 】可以表示為： 吣慌詞 m 6 ， 當(dāng)分束器的透射率和反射率相等時(shí)，即同為5 0 的平衡分束器( 沒(méi)有特指的情況 下，我們所說(shuō)的分束器都是指平衡分束器) ，則其演化矩陣為： k 黜書(shū) m 7 ， 利用變換矩陣的表述方式，m z 干涉儀的整個(gè)過(guò)程可以表示成如下： 山去( 氏) 山去( 巨) 馬曇【( e e d ) + p 一9 ( e 。+ e 。) ：三 ( 1 + p ，9 ) e 。+ ( 1 一p ，9 ) e 。) ( 1 8 ) 6 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 的概率，可以發(fā)現(xiàn)干涉時(shí)雙光子的概率是不干涉時(shí)的兩倍。也就是光子分別走兩 個(gè)路徑的概率由于干涉而轉(zhuǎn)移到了走同一路徑，從而也保證了概率和為1 ，或者 能量守恒。 c k h o n g ，z yo u 和l m a n d e l 在1 9 8 7 年首先完成了這樣的雙光子干涉 實(shí)驗(yàn)。他們的實(shí)驗(yàn)光路圖如圖1 3 所示。時(shí)間關(guān)聯(lián)的雙光子態(tài)是通過(guò)光學(xué)自發(fā)參 量下轉(zhuǎn)換過(guò)程【2 2 】實(shí)現(xiàn)的。在自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過(guò)程中，一束泵浦激光入射到非線 性晶體中，一個(gè)泵浦光子將以一個(gè)很小的概率劈裂成兩個(gè)參量光子。由于此過(guò)程 時(shí)間非常短暫，可以認(rèn)為這兩個(gè)光子是同時(shí)產(chǎn)生的。圖1 3 中利用i 型切割的晶 體產(chǎn)生的偏振相同的兩個(gè)光子入射分束器，通過(guò)調(diào)節(jié)分束器( b s ) 的位置可以 調(diào)節(jié)光程差，即可以改變兩個(gè)光子到達(dá)分束器的時(shí)間，從而得到了符合計(jì)數(shù)與相 位差的關(guān)系曲線，如圖1 4 所示。 圖1 3h o n g 0 u m a n d e l 干涉實(shí)驗(yàn)裝置圖 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于i 型相位匹配條件導(dǎo)致的自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的光子 的譜線展寬很寬，此時(shí)需要用窄帶干涉濾波片( i f l 和i f 2 ) 進(jìn)行濾波。光子通 過(guò)干涉濾波片之后，相干長(zhǎng)度將可以提高一個(gè)量級(jí)，達(dá)到1 0 3 秒甚至更高。當(dāng) 兩光子的光程差大于兩光子的相干長(zhǎng)度，即兩光子在分束器上時(shí)間完全不重合， 我們可以從到達(dá)探測(cè)器的時(shí)間上對(duì)光子進(jìn)行區(qū)分，因而干涉不會(huì)發(fā)生，光子將以 經(jīng)典概率的方式進(jìn)行傳輸，即兩個(gè)探測(cè)器有5 0 的概率都響應(yīng)；而在兩光子光程 差在相干長(zhǎng)度之內(nèi)時(shí)，光子波包在分束器有重疊，引起時(shí)間上的不可區(qū)分性，會(huì) 存在部分干涉；直至到達(dá)時(shí)間完全相同，光子波包完全重合，可以得到最大干涉， 9 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 t i m ed e i a y ( f s e c ) p o s i t i o no fb e a ms p i t t e r ( 肛m ) 圖1 4h o n g o u m a n d e i 干涉實(shí)驗(yàn)結(jié)果 并使符合計(jì)數(shù)為0 ，出現(xiàn)符合計(jì)數(shù)的極小值點(diǎn)。假設(shè)干涉濾波片透過(guò)的譜呈高斯 型，其相互交疊的積分也呈高斯型，因而兩個(gè)探測(cè)器的符合計(jì)數(shù)也滿足高斯分布， 可以表達(dá)為： r ，o c1 一p 一72 ( m r ，( 1 1 4 ) 其中，丁是兩個(gè)光子到達(dá)分束器的時(shí)間差。國(guó)是單光子的頻譜寬度，在這個(gè)實(shí) 驗(yàn)中主要由干涉濾波片決定。 實(shí)驗(yàn)中，雙光子的符合計(jì)數(shù)不能完全到0 ，主要有兩個(gè)原因：首先，兩個(gè)光 子在空間模式上沒(méi)有完全重合。這個(gè)通常在實(shí)驗(yàn)上利用小孔( p i n h o l e ) 或者單模 光纖來(lái)濾波，用以提高干涉可見(jiàn)度。其次，雖然已經(jīng)用了窄帶干涉濾波片，但是 兩個(gè)光子在頻譜上還是有一定的可區(qū)分性，這種可區(qū)分性就會(huì)導(dǎo)致干涉可見(jiàn)度下 降。用小孔，單模光纖，和窄帶干涉濾波片濾波，實(shí)際上就是一種擦除兩個(gè)光子 之間可區(qū)分性來(lái)提高干涉可見(jiàn)度的常用方法。 如上所述，當(dāng)兩個(gè)全同的光子同時(shí)入射一塊分束器上，兩個(gè)光子將在分束 器的同一個(gè)輸出端輸出，此現(xiàn)象也成為光子聚束效應(yīng)( p h o t o nb u n c h i n g ) 。現(xiàn)在 我們討論當(dāng)入射的雙光子處于不同態(tài)的情況。一種簡(jiǎn)單的情況就是兩個(gè)光子偏振 態(tài)相互垂直。例如a 路的光子處于水平偏振( h ) ，而b 路光子處于豎直偏振( v ) ， 則在分束器之后將不會(huì)出現(xiàn)光子聚束效應(yīng)，因?yàn)閮蓚€(gè)光子在偏振上可以區(qū)分。但 1 0 c一()1ui協(xié)_c30q qocmlp石uioq_looz 第一章光簟子信息處理的基本問(wèn)題 片( q w p ) 實(shí)現(xiàn)比特的任意旋轉(zhuǎn)，偏振分束器( p b s ) 實(shí)現(xiàn)h 和v 的分離。也 可以用光子處于上路徑或下路徑來(lái)表示0 或1 ，即路徑比特。光子路徑比特的旋 轉(zhuǎn)，用能量分束器( b s ) 可以實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然光子的路徑可以有更高的維度，所以 路徑比特可以被用來(lái)表示q u d i t 。光子軌道角動(dòng)量( 見(jiàn)第二章) 彼此正交，可以 組成高維的h i l b e r t 空間，任意兩個(gè)光子軌道角動(dòng)量態(tài)可以組一個(gè)q u b i t 體系，更 多的軌道角動(dòng)量態(tài)可以組成q u d i t 體系。對(duì)于軌道角動(dòng)量比特，比特之間的旋轉(zhuǎn) 可以用計(jì)算全息片或柱狀透鏡實(shí)現(xiàn)。而軌道角動(dòng)量比特的分離可以使用計(jì)算全息 片來(lái)完成【4 5 。 圖1 5 單光子兩比特c n o t 門(mén)的實(shí)現(xiàn) 自然的，基于這些量子比特，我們可以推廣到多光子體系或者單光子多量 子比特體系。在多光子體系中，應(yīng)用最多的是用偏振來(lái)編碼量子比特，因?yàn)槠?態(tài)的旋轉(zhuǎn)操作非常的高效便捷。例如量子密集編碼實(shí)驗(yàn) 2 8 】、量子隱形傳態(tài) 3 0 3 2 。當(dāng)然，也有應(yīng)用多光子軌道角動(dòng)量糾纏的實(shí)驗(yàn) 4 6 。單光子多比特可以 實(shí)現(xiàn)基本的確定性量子邏輯門(mén) 4 7 5 0 】，雖然這種方法實(shí)現(xiàn)的量子邏輯門(mén)不能應(yīng)用 于真正意義的量子計(jì)算機(jī)( 需要資源隨比特?cái)?shù)指數(shù)增加) ，但是利用這種方法仍 然能夠很好的驗(yàn)證一些基本的量子邏輯方案 5 1 ，5 2 】。例如用光子偏振和軌道角動(dòng) 量編碼兩量子比特，在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了c n o t 門(mén)和量子的d e u t s c h 算法 5 3 】。我們 在實(shí)驗(yàn)上利用單光子多比特系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了量子隨機(jī)行走算法【5 4 】和量子賭博機(jī) 5 5 】。 12 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 將量子糾纏于單光子多比特結(jié)合起來(lái)，可以成為解決一些特殊問(wèn)題的有效 工具。最有代表的一個(gè)工作是f f r a n c o 和n c w o n g 利用單光子兩比特體系實(shí) 現(xiàn)確定性的c n o t 門(mén) 5 0 】。他們利用光子的偏振作為控制比特，空間動(dòng)量作為 目標(biāo)比特，實(shí)現(xiàn)偏振比特對(duì)空間動(dòng)量比特的c n o t 控制。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，圖1 5 ， 波長(zhǎng)3 9 8 5 m 激光泵浦p p k t p 晶體，產(chǎn)生i i 型參量下轉(zhuǎn)化糾纏光子對(duì)。偏振糾 纏的光子對(duì)經(jīng)過(guò)p b s l 后變?yōu)榉蛛x的單光子，上路光作為參考，下路光在經(jīng)過(guò) m a s k 和h w p l 后，已經(jīng)編碼了兩比特的信息。經(jīng)過(guò)一個(gè)s a g n a c 干涉環(huán)和德福 ( d o v e ) 鏡，實(shí)現(xiàn)了用偏振比特對(duì)空間動(dòng)量比特的控制，詳細(xì)的討論參見(jiàn)文獻(xiàn) 5 0 】。 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 參考文獻(xiàn) 【1 】 a e i n s t e i n ，b p o d o l s k ya n dn r o s e n ，p h y s r e v 4 7 ，7 7 7 ( 19 3 5 ) 2 】 n b o h r ，p h y s r e v ，4 8 ，6 9 6 ( 19 3 5 ) 【3 e s c h r o d i n g e r ，p r o c c a m b r i d g ep h i i s o c ，3 l ，5 5 5 ( 19 3 5 ) 4 】j s b e l l ，r e v m o d p h y s 3 8 ，4 4 7 4 5 2 ( 1 9 6 6 ) 【5 】 a a s p e c t ，p g r a n g i e ra n dg r o g e r ，p h y s r e v l e t t 4 7 ，4 6 0 ( 1 9 8 1 ) 【6 】 c h b e n n e t ta n dg b r a s s a r d ，p ，d c e p 功用g 上聊砌f e ，2 口f f d 門(mén)口，c d ，罾，p 九c po 船 c o ，妒“紀(jì)，毋$ 省f p 仂冊(cè)d & ，咨甜n 。d c p 時(shí)加g ，b a n g a l o r e ，i n d i a ( i e e e ，n e wy o r k ， 1 9 8 4 ) ，p p 1 7 5 1 7 9 7 】 a k a k e n ，p h y s r e v l e t t 6 7 ，6 6 1 ( 1 9 9 1 ) 8 】t j e n n e w e i n ，c s i m o ne ta l ，p h y s r e v ，l e t t 8 4 ，4 7 2 9 ( 2 0 0 0 ) 【9 】s l b r a u n s t e i n ，a m a i ma n dm r e v z e n ，p h y s r e v l e t t 6 8 ，3 2 5 9 ( 19 9 2 ) 【10 】d m g r e e n b e r g e r ，m a h o m e ，a s h i m o n ya n da z e i l i n g e r ，a m j p h y s 5 8 ， 1 1 3 1 ( 1 9 9 0 ) 11 r f w e m e r ，p h y s r e v a4 0 ，4 2 7 7 ( 1 9 8 9 ) 12 n g i s i n ，g r i b o r d y ，w t i t t e l ，a n dh z b i n d e n ，r e v m o d p h y s 7 4 ，14 5 ( 2 0 0 2 ) 【1 3 】e k n i l l ；r l a n a m m e ，a n dg j m i l b u m ，n a t u r e ( l o n d o n ) 4 0 9 ，4 6 ( 2 0 0 1 ) 【1 4 p k o k ，e ta 1 印r i n tq u a n t - p 0 5 1 2 0 7 1 15 】r a c 鋤p o s ，b e a s a l e h ，a n dm c t e i c h ，p h y s r e v a4 0 ，13 7 i ( 1 9 8 9 ) 16 】a v ，a z i r i ，gw 色i h sa n da z e i l i n g e r ，j 0 p t b ：q u a n t u ms e m i c l a s s o p t 4 ，s 4 7 ( 2 0 0 2 ) 【l7 】l m a n d e la n de w o l f ，印f 七口zc d 向e ，p 門(mén)c p 口胛dq “日，2 f “聊印f i c s ，( c a m b r i d g e ， l o n d o n19 9 5 ) 【18 】h h a n b u 拶- b r o w na n dr q t w i s s ，n a t u r e ( l o n d o n ) ，17 8 ，10 4 6 ( 1 9 5 6 ) 19 jc k h o n g ，z y 0 u ，a n dl m a n d e i ，p h y s r e v l e t t 5 9 ，2 0 4 4 ( 1 9 8 7 ) 2 0 】j d 1 y a n s o n ，p h y s r e v l e t t 6 2 ，2 2 0 2 ( 19 8 9 ) 2 1 z y 0 u ，x y z o u ，l j w a n g ，a j l dl m a n d e lp h y s r e v l e t t 6 5 ，3 2 1 ( 1 9 9 0 ) 2 2 】黃運(yùn)鋒，博士學(xué)位論文，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)( 2 0 0 3 ) 1 4 第一章光量子信息處理的基本問(wèn)題 4 0 s g a s p a u r o n i ，j w p a n ，p w a l t h e r ，t r u d o l p h ，a n da z e i l i n g e r ，p h y s r e v l e t t 9 3 ，0 2 0 5 0 4 ( 2 0 0 4 ) 4l 】k s a n a k a ，t j e r u l e w e i n ，j w p a n ，k r e s c h ，a n da z e i l i n g e r ，p h y s r e v l e t t 9 2 ，0 1 7 9 0 2 ( 2 0 0 4 ) 4 2 】t c r a l p h ，n k l a n g f o r d ，t b b e i l ，a n da g w h i t e ，p h y s r e v a6 5 ， 0 6 2 3 2 4 ( 2 0 0 2 ) 4 3 】h f h o f m a m la j l ds t a k e u c h i ，p h y s r e v a6 6 ，0 2 4 3 0 8 ( 2 0