（計算數學專業(yè)論文）限制子空間的擾動及其應用.pdf

摘要 子空間的擾動，如特征子空間、奇異子空間、標準子空間，有著極其廣泛的應用本 文從最小二乘一總體最小二乘( l s - t l s ) 、等式約束最小二乘( l s e ) 以及約束總體最小二乘 ( c t l s ) 問題出發(fā)，討論了 1 ) 1 2 和2 1 分塊矩陣，在( 1 ，1 ) 塊子矩陣秩不變的條件下，幾個子空間的擾動及其應 用 2 ) 2 2 分塊矩陣在只有( 2 ，2 ) 塊子矩陣秩變化的條件下，幾個子空間的擾動，以及應用此 結果得到的推廣的的降秩最佳逼近定理的擾動分析 關鍵詞：限制子空間；擾動；奇異值 p e r t u r b a t i o na n a l y s i so fs u b s p a c e s ，s u c ha se i g e n s p a c e s ，s i n g u l a rs u b s p a c e s ，a n dc a n o n i c a l s u b s p a e e s ，h a v eav e r yw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n s r i s i n gf r o mt h el e a s ts q u a r e s t o t a ll e a s ts q u a r e s ( l s - t l s ) p r o b l e m ，t h ec o n s t r a i n e dl e a s ts q u a r e s ( l s e ) p r o b l e m ，a n dt h ec o n s t r a i n e dt o t a ll e a s t s q u a r e s ( c t l s ) p r o b l e m ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o b e m sa sf o l l o w s ： 1 ) p e r t u r b a t i o n so fs o m ec o n s t r a i n e ds u b s p a e e so f1 2a n d2 1b l o c km a t r i c e s i nw h i c ht h e r a n ko f ( 1 ，1 ) b l o c ks u b n m t r i c e sa r eu n c h a n g e d ，a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s 2 ) p e r t u r b a t i o n so fs o m ec o n s t r a i n e ds u b s p a c e so f2x2b l o c km a t r i c e s ，i nw h i c ho n l yt h er a n k o f ( 2 ，2 ) b l o c ks u b - m a t r i c e sc a l lb ec h a n g e d ，a n dp e r t u r b a t i o na n a l y s i so f t h ee c k a r t - y o u n g i i r s k y t h e o r e m k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e ds u b s p a c e s ；p e r t u r b a t i o n ；s i n g u l a rv a l u e 學位論文獨創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師的指導下，進行的研究工作及取得的研 究成果除文中已經注明引用的內容外，本論文的研究成果不包含任何他人撰寫過的已公 開發(fā)表或末公開發(fā)表的研究成果，對本文所涉及的研究工作做出重要貢獻的個人和集體，均 己在文中以明確的方式標明并表示謝意本學位論文原創(chuàng)性聲明的法律責任由本人承擔 學位論文作者簽名：紕絲磊 m 7 年6 月日 學位論文使用授權聲明 本人完全了解華東師范大學有關收集、保存、使用學位論文的規(guī)定同意如下各項內 容：按照學校要求提交學位論文的印刷本和電子版本；學校有權保留學位論文并向國家主 管部門或其指定機構送交論文的電子版和紙質版，并采用影印、縮印、掃描、數字化和其他 手段保存論文；有權將學位論文用于非贏利目的的少量復制或全部內容用于學術活動并允 許論文進入學校圖書館被查閱；有權將學位論文的內容編入有關數據庫進行檢索；有權將 學位論文的標題和摘要匯編出版保密的學位論文在解密后適用本規(guī)定 學位論文作者簽名：和渺導師簽名： 7 9 呷年月日 弘叼年6 月3 7 日 第一章引言 子空間的擾動就是通過一定的度量來衡量子空間與擾動后子空間之間的偏離程度孫繼 廣在【1 1 】中介紹了如下子空間的度量： 設z ，w c r ，令 歷= z ( z 日z ) 一i h = w ( w 8 彤) 一 定義 e ( r ( z ) ，r ( w 7 ) ) = a r c 0 0 8 ( z f m - 砰z 1 ) c 。m 對于譜范數。有等式 0s i n e ( 兄( z ) ，冗( 礦) ) 0 = i i p r ( z ) 一p i i ，v z ，w c ? “ 其中b t ( z ) ，b “w ) 為相應子空間上的正交投影子空間擾動的內容非常豐富，包括特征子空間 的擾動、奇異子空間擾動和標準子空間的擾動等等國內外許多專家、學者已經對它們作過 研究，對于h e r m i t e 矩陣特征子空間的擾動d a v i s 和k a h a nf l 】得出如下結果： 定理1 1 設a ，彳c n x n 皆為h c r m i t e 矩陣，并假設x = ( x l ，x 2 ) ，賈= ( x l ，兌) 砜， 五，豆c n 。( 1 l n 1 ) ，使得 x 日a x = a 1 1 二二) ，賈”互碧= ( 乏1 乏) ， 其中a 1 l 五1 c b “，令 r = 積1 一x l a l l 以及 a = 【n ，用c r ，a = r ( 口一占，盧+ 6 ) ，6 0 如果 a ( a 1 1 ) c a ，a ( 五2 ) c a 第一章引言 ( 或者a ( a 1 1 ) c ，a ( 五2 ) c ) ，則對于任一酉不變范數，有 us i n e ( n ( x - ) ，r ( 豆) ) i l 丁i f r f t 關于標準子空間的擾動。首先我們給出相關的定義 定義1 1 2 7 設a 世”，b r ”“，且 r = m i n p = r a n k ( a ) ，q = r a n l 【( b ) ) 矩陣對( a ，b ) 的標準相關以，b ) ，西，b ) 定義如下 a ，c a ，b ，= 血m 。，a 。x 。；。；毒需品= 勰， 鮒，b ) - 舭囂嘩。高尚 ：穩(wěn)j _ 2 ， 2 麗功面麗酬， 其中假設最大值在巧和協處取得，掣= s p a n a x l ，以巧) ，5 字= s p a n b y l ，b y j i ( j = 1 ，r ) 單位向量 a x j l l 血j l l ，b y j i i b y j l ij = 1 ，r 稱為( a ，b ) 的標準向量，而 川如i | ，g , j i i b y j l i 稱為標準權對于任意矩陣g ，g ，= g - i - a g r 一”且r a n k ( g ) = r a n k ( g ) = r ，令 p n ( 礦) = i g g t ，定義 目( g ) = r a i n 1 ，i 馬f ( 1 l p m d * ) a a d ) l li i ( g d ) i i ) ， 1 n f ( 0 j ) ( g 一) g d ) ( g d ) 0 ) ) 這里的下確界是在正定對角矩陣集d 里取的定義妒t = 譏d j n ( 夠( ，a ，) r ( b ) ) ，仍= 以i i i n ( 夠( b ，b ，) r ( a ，) ) ，這里夠，a 7 ) 是n ( a ) nr ( a ) 在r c a ) + r ( a ) 中的正交補，夠( 8 ，) 是r ( b ) n 兄( ) 在r ( b ) + r ( b ) 中的正交補 第一章引言 魏木生和d ep i e r r o 【2 6 】得出了 定理1 2 設a ，= a + a a r ”“，b ，b = b + a b r 。且 p = r a n k ( a ) = r a n k ( a 7 ) q = r a n k ( b ) = r a n k ( b 7 ) 令( a ，b ) 和( ，) 的標準相關簡記為以蘭鞏似，b ) ，嘰i 以( ，b ) ，并作如下排序： o 1 唧0 ，一，0 如，b 蚴和a ，b ，彰u = 1 ，力分別為，b ) 和( ，f ) 的標準向量定義 y ( a ，b ) = c 0 8 妒l 焉2 ( a ) + c o s 妒2 仨磊c 當i = 1 ，20 5 a ( o l 一 嘏1 盈 2 y ( a ，b ) 號 0j = 1 ，2 i ts i n o , ( a , a i ) 1 1 0 證明由于a ”a c ? “是半正定矩陣，其特征值皆為非負實數，記為砰，2 ，并設它 們滿足口l 聽 0 ，聽+ 1 = = 靠= 0 設u l ，分別為a 耳a 的屬于砰，磚 的標準正交特征向量，并令k = ( 口l ，姊) ，= ( 坼1 i ) ，v = ( m ，k ) ，l = d i a g ( q 1 ，西) 則有 a 圩a h = ：，阿a 日a = i a 汀a k = 0 ，v 尹a 日a k = 0 于是 = 0 令鞏= a u i 1 ，則畔礬= 取踢c ”。( 一”，使u = ( 仉，鞏) 為酉矩陣 貝有 u ”a y = ( 籌：芝籌三萇) = ( 荔：i ：。0 ) = ( 0 1 ：) 口 9 第二章預備知識 分解式( 2 1 ) 稱為矩陣a 的奇異值分解( s v d ) ， 以“ 0 = 再+ 1 = = m 稱為a 的奇異值，其中f = m i n m ，n ) ，嘶和吩分別為矩陣a 對應于呀的左、右奇異向 量，j = 1 ：z 若設u = ( 鞏，鞏) ，v = ( ，) ，其中仉，m 分別是以v 的前r 列，且有 畔鞏= ，k ”= ，則( 2 1 ) 式可進一步寫成 a = u , e l 鏟 應用s v d 可得如下分解 2 c s 分解 肛i w 1 1 w 1 2 ) 您 f 1 其中r l + r 2 = c 1 + q = n 則存在如下的分解式 肚u 1 ：o o l l 鋤d 1 2 ) ( 苫0 ) ( 采) = f l 。多 c s 眙 ， o s ， s一口 ， o g 1 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 ，4 ) 第二章預備知識 其中 滿足 2 2 一個引理 c = d i a g ( c l ，餳，一，q ) ， s = d i a g ( s i ，s 2 ，一，卻) ， 1 c 1 c 2 c f 0 ， 0 8 1 s 2 s l 0 p 一易0 = l l ( 仉，鞏) ”( 鞏畔一玩卵) ( 玩，玩) = i ( 一墨玩 療2 0 ) = m a x l l p a 磅u ，i i 磚咯盼， 因此，1 2 和1 的所有的奇異值都小于1 ，即矸，l l 和w 玉是方陣，于是r = p ( 3 ) 若r a n k ( a ) r a n k ( 兩，則w 1 2 的奇異值為1 的個數多于w 2 1 ，而肌2 和w j l 小于1 的正奇異值相同，則有 i i p a 劈0 0 磁叭 1 2 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動 考慮1x2 分塊矩陣 g 。= ( a ，b ) ，0 。= ( a ，蜃) ，( 3 1 ) 其中 ，肓= a + a a c 囂。m ，b ，秀= b + a b c ”。m 定義矩陣如下 p = i a 砧p 差= i 一鑫 1 ，m = p 去8 。葡= p 喜 設a 的奇異值分解為 a 1 1 ：) 鏟， 其中可= ( 可1 ，_ 2 ) u m ，m = ( m l ，h 2 ) u 。，可l ，k 分別為可，u 的前p l 列， a n = d i a g ( a , ( a ) ，a 2 ( a ) ，一，a n 。( a ) ) ，且口l ( a ) a 2 ( a ) a n ，( a ) 是a 的非零奇異值設百= 霹b 的奇異值分解為 百= 可f b = w ( ：1 三。) 哆， 這里w mk = ( k 1 ，2 ) k l 為k 的前耽列， 且 島l = d i a g ( o t ( m ) ，( m ) ) b 3 2 = d i a g ( a w + 1 ( m ) ，以( m ) ) 盯l ( m ) o r n ( m ) 口m + l ( m ) m ( m ) ( 1 = m i n m p l ，他” 是m 的奇異值易知 ，“0 g l ：仉ioo i f 00引( 苫o ) ( 3 2 ) 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動 仉：u d i a g ( 1 ，) ，( b 1 1 b 1 2 ) ：詳b 叫辜 b l l b 2 1 0如o ) 五，= d i a g ( a ，( 勾，觀( 兩，a n ，( 兩) 且以( 勾眈( 兩唧。( 兩 是肓的非零奇異值， 反。= d i a g ( 以( 廁，( 硒) ， 反：= d i a g ( + 。( ) ，以( 確) 為砑的奇異值 劃分鞏，玩和諺， = 1 ，2 如下， 易證 鞏= ( v n ，u 1 2 ，以3 ) ，v x = ( 1 ，k 2 ) ，= ( 1 ，k 2 ) 玩= ( 玩。，反。，u 一1 。) ，訪= ( 識。，y x 。) ，蟊= ( 色。，鋤) p l ，p 2 ，m p l 一化p x ，n l p i ， m ，他一仡 a = 仉l a l l 皤，m = ( 仉2 ，u l s ) d i a g ( b 2 l ，b s 2 ) 謬， r a n k ( a 1 ) = r a n k ( a ) + r a n k ( m ) ，r m k ( 反) = r 砌c ( 兩+ r a n k ( 廁 在以上這些條件下，我們得到如下定理 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 鞏( 以 且 苧三里! 羔! 坌墊塹墮塑里型i 窒囹塑墊墊 定理3 1 設矩陣g l = ( a ，b ) ，岔1 = ( 五含) c m x ( ”l 十m ) 由( 3 ，1 ) 給定，g 1 ，反的分解式由 ( 3 2 ) 一( 3 5 ) 式給出則 d i s t 幽( r “( a 甕裟：= 囂簍警儼l(fā) c s 。， “) ，r ( 和) ) m j n 業(yè)豁掣，監(jiān)碧掣 p 。u 證明 由g 1 和a l 的分解式( 3 2 ) 。( 3 5 ) ， a = u n a n 堵，五= 玩- 五。餾 因此，d i s t ( r ( a ) ，r ( 勾) = 0 仉- 嘴一玩。船i i 而且， d i s t ( r ( a ) ，r ( 勾) = 0 叩姒- 嘴一玩。粥) 鯽 0 一醒玩。 一皚玩。 = m a x 訓嘴( 尻。，尻。) l l ，l f ( u t 。，鞏。) ”玩。i i = 0 c 儡( 玩。，玩s ) 1 1 = i i ( u 。，鞏。) 片玩。i i ( 3 ，7 ) 由等式 a = 五一a = 玩。五。餾一鞏。a 。k 譬， ( 玩2 ，玩3 ) 日a k l = 一( 玩2 ，反3 ) 日鞏1 a l l ， ( 3 8 ) ( 仉2 ，仉3 ) 8 a 訪l = ( 鞏2 ，仉3 ) ”玩l 五l ， 我們可得 ( 玩。，玩s ) h 仉。= 一( 玩。，f 7 l 。) h a a v 。a 看， ( 仉2 ，仉3 ) 日玩l = ( 鞏2 ，仉3 ) ”a 訪l 哿 由上述等式，我們得到了( 3 6 ) 式的第一個估計式第二個可以類似的得到1 3 定理3 2 設條件和記號與定理2 1 相同，而且( 一+ l ( 2 1 1 , a m i i ( m ： 懶。 黼。 u 苧三皇! 蘭! 坌堡絲墮塑里型三窒塑墮墊望一 面一m ) 則我們有如下的估計式 其中 0 鞏。u 磊一反：就0 紫0 p + 面勃 ，l ( )即2 ( 肘) 一4 乃+ l ( 塒) 懶。餾一優(yōu)t 餾u m i n 麗喬而，葫矗葛而) ， 訊= m “圳罐b 釧+ 世鏟) ， ( i i a b v 2 。忡皿鏟) ， 啦：m “ ( | | 醒b k l 0 + 妲出崾a p x & ( a 必) 、i ， ( 1 i 曙口晚。i i + 魁警籌業(yè)) ) 證明由奇異值的擾動分析我們可得 ( ) 一+ l ( m ) a r m ( m ) 一+ 1 ( m ) 一i i a m i i 0 ， ( m ) 一o l y 2 + 1 ( 五、) a m ( m ) 一+ l ( m ) 一t i a m i i 0 ， ( ) 一+ 1 ( 廁a m ( m ) 一+ l ( m ) 一2 i i a m i 0 因此，b 2 l 和龜l 都是非奇異的由于 所以 i i 仉。皚一f 7 l 。理忙卵( 以。皚一玩。理) 訕 慨一酬忙 = i i 降秦o 。熹0 。 一嘴玩。 o 一皚玩。 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 。嗽。 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動 同理可得 由( 3 8 ) 式我們可得 = m a x l l ( u - - ，u i 。) 盯f 7 l 。i i ，0 嘣( f 7 l 。，f 7 l 。) 1 1 = l l ( u - ，u i 。) 日玩：i i = l l v g ( 玩。，f 7 l 。) i i 。餾一銹。諸0 = 0 餾鋤0 = 0 蟛劬 愀吣雩鏟，u 醒詠雩鏟，s 由等式a b = 雪一b 以及( 3 2 ) 一( 3 5 ) ，可得下列等式 b = u u b l l 餾+ 仉2 8 2 l 瞪+ u l l b t 2 增+ 礬3 玩2 嗜 b 一= f 7 l - 魚，餾+ 玩。反- 餾+ 玩- 西。餾+ 尻。巍。餾 進一步可得到 皚b 詫。= 碟玩。蜃- 。- i - 皚玩。龜。一b 3 。喵訖。 睨b = 龜。餾一魄仉l b 。一張鞏。島2 結合以上等式以及( 3 8 ) 式，我們可得 兩邊取范數可得 嘴玩。島- = 皚b 玩。一雌a 訪。對。+ b 。喵諺。 龜t 訝餳= 程b 一程a 。 0 且2 + 稚鞏3 如 ( 竭8 碟乳臨訊+ + 。( m ) | | 喵玩。乳 ( 硒0 曙峪m + + 。( m ) i i 就舡 所以 i i 璐蚴蠢如+ 繁觜( 町，+ + - ( m ) i i u h u , 。喲 碰鏟i i u 囂v x 。i i 趔摯 事實上，由以上不等式我們可證明 。嘣峪雨麗 o 賭酬s 習萬鈿 1 7 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 ，1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 ，1 5 ) 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動 l 一樣的萬法，我們司得 。醒鞏。i is 習而孫， 0 喵玩。臨i 而鈿 將( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 分別代入( 3 i i ) 一( 3 1 2 ) 我們就完成了定理的證明 下面是定理3 2 的直接推論 推論3 3 設條件記號與定理3 2 相同，而且r a n k ( 硒= r a n k ( m ) = p 2 ，則 幽t ( 兄( 嬲) ，r ( 硒m i n 坦籌曷筍+ 雜而， 蚴a p l ( , 4 ) + 翻) ， d i s t ( r ( m 。) ，r ( 艫) ) m i n 蠢，粕) 證明 在( 3 9 ) 式中，令口k + 1 ( m ) = 口b + l ( ： ) = 0e p - j 現在我們考慮 陸a ) 伽( 喜) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 口 ( 3 1 8 ) g 2 = ( 剖a u 0 0 鏟，聊 且 a 2 = d i a g ( a l ( n ) ，a p 3 ( n ) ) ，c 2 s = d i a g ( + l ( ) ，a l ( n ) ) a l ( n ) 以( ) l = r a i n m 2 ，鉈一船) 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動 是的奇異值， 包= ( 0 芑) ( 3 2 0 ) 其中玩，晚，訪都是酉矩陣五，= d i a g ( o 。( 兩，眈( 兩，唧。( 勾) 且一。( 兩眈( 兩 唧。( 兩為肓的非零奇異值， 且 a 2 = d i a g ( a 1 ( 療) ，( 霄) ) ，磊3 = d i a g ( + l ( 霄) ，嘰( 霄) ) 口1 ( 霄) m ( 膏) 是霄的奇異值將阮，覆和v 1 訪，i = 1 ，2 作如下劃分 易證 鞏= ( u 1 1 ，鞏2 ) ， 仉= ( u l l ，仉2 ) ， u 2 = ( 鞏1 ，鞏2 ) 沈= ( 沈t ，踢2 ) p l ，m 1 一p l 船，m 2 一船p i ，船，n p l 一船 r a n k ( g 2 ) = r k ( a ) + r a n k ( n ) ，r a n k ( ( 奎2 ) = r a n k ( 五) + r a n k ( n ) ( 3 2 1 ) 注意到g 爭和a ，是1 2 分塊矩陣同樣的方法，我們可以證明下列結論 定理3 4 設g 2 ，0 2 由( 3 1 8 ) 定義，g 2 ，a 2 的分解式由( 3 1 9 ) 一( 3 ，2 1 ) 給出如果 。南( ，) 一。南+ l ( ) 2 0 | f ( a n = 席一) ，我們得到如下估計 i w l 。喵一訪。嘲l(fā) m i n 幫+ 面薪， 紫a + 麗翻 ， ( 3 2 2 ) l ( )即3 ( _ ) 一即3 + l ( ) ” 1 f i 鞏嘣一玩- 姐j l r l f t n 習喬i ，雨衣魯麗) 1 9 o oo曉 ： o o _ n o 一 a o i ( q 一傷 ，。r。i 曲0 h k 2 2h ”u l t = k ，l，i = 1 i n k 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動 這里 7 3 = m a x ( o 姐c 。i i + 嫗h 4 ：；i i ；產幽) ， ( 9 蟛c 玩。i i + 監(jiān)塹鳴；：；垡孫) ) ， 仉= m a x ( o 蠟e 玩a i i + 崆劍鏟) ， ( i i o 基a c v , 。忡趔驢) 卜 當r a n k ( a 2 ) = r a n k ( g 2 ) ，即r a n k ( 霄) = r a n k ( n ) = 船時，則 ( 3 2 3 ) d i s t ( r ( ) ，r ( 膏) ) m i n ；南，a p a ( n ) ， d i s t ( r ( n 日) ，冗( 艫) ) m i n 世嘗糟韭+ 毒而， ( 3 2 4 ) 幫+ 翻) _ 應用上述結果何以對l s - t i j 問題和l s e 問題進行誤差分析設l ，k ，h ，9 ，p ，工莨定 義同定理1 3 ，相應矩陣的擾動為z = l + a l ，露= k + a k ，五= h + a h ，爹= g + a g ，且 將矩陣 聲= ，一t 藝，參= ( ，一( 露聲) 露) t r a n k ( l ) = r a n k ( ) ，r a n k ( k ) = r a n k ( k ) 工 k 工 k 鄰曼雌i l u 0 弘b l l l = d i a g ( a l ( l ) ，叻( l ) ，( l ) ) 且 a l ( l ) a 2 ( l ) 唧。( l ) 苧三蘭! ! ! 坌墊鏨墮塑墮型量窒囹塑塾墊 為l 的非零奇異值 難, 1 1 甜0 日 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 我們可得如下的擾動界 定理3 5l ，k ，露，h ，g ，五，蠶如上述定義且o 。( p ) 2 l l a k p l l = i i r p k p i i ， 則 l 氣鲴一z 嬲e i i 0 ， 以( ) 眈( ) 口南( ) 0 ， 分別為a ，m 和的非零奇異值將以，f = 1 ，2 劃分如下： 鞏= ( 鞏l ，v n ，仉3 ) ，u 2 = ( u 2 , ，u 2 2 ) ， p l ，仡 ”1 一n 一砌船 ”2 一p 3 ( 4 5 ) = ( l ，v , 2 ，3 ) ，v 2 = ( k l ，v 乞) m ，p a ，n l p l p sp 2 , n 2 一p 2 則由( 4 3 ) 和( 4 ，5 ) ，我們可以證明 a = n l a l l 喵，p ( ) = i 一鞏l 嘴，p ( n ) = i 一l 喵， m = p n ( a ) b = 仉2 8 2 l 皤，j m m = i k 1 瞪= 2 蟛， ( 4 6 ) n = c p j v ( a 一嚴u 2 1 蟛，一t = i 一鞏1 蠟= 如鹺 所以由( 4 3 ) 一( 4 6 ) 可得 b ( i m t m ) = 仉1 8 1 2 蟛，( i n n i ) c = u 2 2 c 2 l 皚 ( 4 7 ) 令島：g 3 + a g 3 為g 3 的擾動，而且互= a + a a ，畝= b + a b ，a = c + a c ，西= d + d 同樣的我們有 g 3 = 一一 、 a u 00b l lb 1 2 0 00 b 2 , 0 000o0 a 1c 1 2 0d 1 1 d 1 2 c 2 1 00d 2 1 d 2 2 f ，鏟0 4 。8 o 印、 一一一 苧璺至! ! ! 坌墊絲墮盟堡型王窒塑塑墊墊 其中 且 五- = d i a g ( a - ( 兩，如( 兩，( 兩) ， 怠i = d a g ( 以( 兩，硯( 硒，( 硒) a 2 = d i a g ( a - ( 霄) ，如( 骨) ，一，( 倚) ) 口l ( 兩觀( 兩唧，( 兩 0 ， 口l ( 硒觀( 硒( 硒 0 嘰( 膏) 啦( 膏) ( 霄) 0 分別為互詹和岔的非零奇異值而且 p 1 = r a n k ( a ) ，仡= r a n k ( 廁，船= r 觚k ( 膏) 將玩，霞，i = 1 ，2 劃分如下： ( 4 9 ) 玩= ( 玩，玩。，反。) ，玩= ( 玩，) p l ，p 2 ，m l p 1 一耽p 3 ，嘞一船 ， 訪：( 訪。，訪。，識。) ， 諺：( 詫，詫：) ， ( 4 1 0 ) p l ，船，n l p l 一翔 見，他一億 則由( 4 8 ) 和( 4 1 0 ) ，可證得 五= 玩- 五- 餾，p ( 兩= ，一f 7 l - 幫，p ( 和) = j 一訪，餾， 力= p 圓畝= 玩：龜，餾，一衍砑= ，一訖。餾= 餾，( 4 1 1 ) = a p ( 和) = 反- a 。锘，一骨席t = ，一玩。姐= 玩。諺 所以由( 4 8 ) 一( 4 1 1 ) 可得 蜃( ，一勿莉= 玩。寅z 諸，( ，一霄和) 孕= 玩。磊。餾( 4 1 2 ) 第四章2 2 分塊矩陣的限制子空間的擾動 定理4 1 設g 3 和a 3 及其分解分別由( 4 4 ) 和( 4 8 ) 式給出，而且互= a + a ， 舍：b + a b ，a = c + a c ，西：d + a d 令 如果 d l = ( j n n t ) ( d c a t b ) ( i m t m ) d 。= ( ，一席+ ) ( 西一a 岔豆) ( j 一和硒 r a n k ( a ) = r a n k ( , 4 ) ，r a n k ( m ) = r a n k ( 硒 r a n k ( ) = r a n k ( 席) ， i i d l 一西1 0 0 翰a d v 2 2 0 + 0 療荔0 岔b k 2 0 + i i 0 4 a a t b v 2 2 i i + 理e a t 口- 乞h + u l 程( 西一a 岔岔) 0 + u 2 1 1 ( d c a t b ) v 2 2 i i 其中, r h ，啦，】3 ，啦由( 4 1 0 ) 和( 4 2 3 ) 式定義， u - 2 l i n 蠢，翻 ， 地2 m i n f 。啊- - 茸【) ，柏) 證明d l 和西1 公式由( 4 1 3 ) 給出， l i d l 一西。0s1 1 ( i 一霄霄+ ) f d c , t t a b e ( 岔一a t ) b a c a t b ) ( i m t m ) i i + 1 1 ( i 一席席) ( 6 一c 4 7 b ) ( m t m 一衍硒 + i i ( n n t 蔚v t ) ( d c a t b ) ( i m t m ) i 注意到文【1 9 】給出 力一a t a t a a a t + 乃( j a a t ) 一( j 一岔兩a t ( ，一a a t ) b = m 和6 ( z 一t 兩= 霄 似1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 ，1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 篁嬰童! ! ! 坌堡絲墮塑里型王室塑塑墊墊 所以 注意到 ( j 一霄霄) d ( 乃一) b ( j m t m ) = 一f ，一霄t n t ) o a t a a a t b ( i m t m ) i m m = ，k 1 喵= k 2 蟛，一n n + = ，一鞏1 嘴= 嗍 j 一府砑= ，一優(yōu)- 曙= 訖：諺，一席卵= ，一晚。鰓= 鴟 因此，在( 4 1 7 ) 式應用推論3 3 和定理3 4 1 1 p 7 。證畢 定理4 2 在定理3 1 的記號和條件下，設d l 和歷的奇異值分解分別為 d 1 = ( z 1 ，z 2 ) d i a g ( t 1 ，疋) ( 胍，) 甘 西。= ( 磊，幺) d i a g ( 五，磊) ( 廄，覓) h ， 口 ( 4 1 8 ) 其中i i = r a i n m 2 一p 3 ，忱仡 ，z ，2 ，彬諺都是酉矩陣，五，幺，n ， 1 分別為z ，2 ，彬形 的前q 列， 且 乃= d i a g ( a l ( d 1 ) ，a q ( d o ) ，t 2 = d i a g ( a q + l ( d 1 ) ， 磊= d i a g ( 毋( 西1 ) ，吩( 反) ) ，t 2 = d j 8 9 ( 吼+ l ( 西1 ) ， ，( 7 1 。( d 1 ) ) ，m 。( d 1 ) ) a l ( d 1 ) - ( d 1 ) + i ( d x ) 以。( d 1 ) a 1 ( d 1 ) o q ( 5 1 ) d 口+ l ( 西1 ) 們，( 西。) 分別為d ，和西l 的奇異值如果o q ( d 1 ) 一+ i ( d 1 ) 2 1 l a d l i i ，則 其中 。黧i 。i 羆型型 m 畔一 l 砰憾h 1 i n 麗彘，而翻) ， 卜一7 r ( 1 ) = m a x l l 卻d 。召a d l l i i 一= m a x l l z p a d ， 2 i i ，i i 霹a d 。w , i i ( 4 2 0 ) 第四章2 2 分塊矩陣的限制子空間的擾動 證明證明方法于定理3 1 3 2 的相同 口 注本文中我們研究了一些限制子空間的擾動及其應用我們得到了g 1 ，g 2 和g 3 的限 制子空間的擾動界這些擾動界可以用于分析l s t l s 問題 1 6 ，1 7 ， 7 1 ，秩虧的l s e 問題 【2 2 ，約束t l s 問題【2 ，2 3 c m o ” r m ?！?c ? ?！?u a 日 a t r ( a ) r a n k ( a ) d i m ( w ) l d i a g ( c q ， i i a i i r l i a i i s p a n ( v 1 ， 本文記號 m n 復矩陣集 m n 實矩陣集 秩為r 的m n 復矩陣集 n 階酉矩陣集 a 的共軛轉置 a 的m p 逆 a 的列空間 a 的秩 子空間w 的維數 r 階的單位矩陣 以盯l ，唧為對角元的對角矩陣 矩陣a 的f r o b e n i u s 范數 矩陣4 的譜范數 由向量口l ，張成的子空間 參考文獻 【1 】c d a v i s ，w m k a h a n ，t h er o t a t i o no f e i g e n v e c t o r sb yap e r t u r b a t i o n , 1 1 1s i a i dj n u m e r a n a l 。 7 ( 1 9 7 0 ) 。1 - 4 6 【2 】j d e m m e l ，t h es m a l l e s t p e r t u r b a t i o no f as u b m a t r i xm 棚曲l o w e r st h er a n ka n d c o r t r a i n e dt o t a ll e a s t s q u a r e s p r o b l e m s , s i a mj n u m c r a n a l 2 4 ( 1 9 8 7 ) ，1 9 9 2 0 6 【3 】l e l d d n ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y f o rt h el e a s ts q u a r e sp r o b l e mw i t hl i n e a re q u a l i t yc o n s t r a i n t s , s i a mj n u m e r ，1 7 ( 1 9 8 0 ) ，3 3 8 3 5 0 【4 】g h 。g o l u b ，a h o f f m a n ，g w s t e w a r t , ag e n e r a l i z a t i o no f t h et h ee c k a r t y o u n g m i r k ym a t r i xa p p r o x i m a t i o nt h e o r e m , l i n e a ra l g e b r aa p p l ，8 8 8 9 ( 1 9 8 7 ) ，3 1 7 3 2 7 【5 】工k a t o ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y f o rl i n e a r o p e r a t o r s , s p a n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k , 1 9 6 6 【6 】c c p a i g e ，m a s a u n d e r s ，t o w a r dag e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n , s i a mj n u m e r a n a l ，( 1 8 ) 1 9 8 1 ，3 9 8 - 4 0 5 【7 】c c p a i g e ，m w e i 。a n a y s so fm pg e n e r a l i z e dt o t a ll e a s ts q u a r e sp r o b l e ma x 且w h e n $ o f t l c o l u m a sa r e f r e ee r r o r , n u m e rm a t h ，6 5 ( 1 9 9 3 ) ，1 7 7 - 2 0 2 【8 1g ws t e w a r t , e r r o r a n d p e r t u r b a t i o nb o u n d s f o r s u b s p a c e s a s s o c i a t e d w i t hc e r t a i ne i g e n v a l u e p r o b - l e m s , s i a mr ，1 5 ( 1 9 7 3 ) ，7 2 7 7 6 4 【9 】g ws t e w a r t , o nt h ec o n t i n u i t yo f t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e , s i a mj a p p l m a t h ，1 7 ( 1 9 6 9 ) ，3 3 - 4 5 【1 0 g ws t e w a r t , o n t h e p e r t u r b a t i o n o f p s e u d o i n v e r s e s , p r o j e c t i o n s , a n d l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m s , s i a mr e v ，1 9 ( 1 9 7 7 ) ，6 3 4 - 6 6 2 【1l 】孫繼廣，矩陣擾動分析第二版科學出版社，北京，2 0 0 1 【1 2 1j 如s u n ，o r t b o g o n a lp r o j e c 打o n sa n d 咖p e r t u r b a t i o no ft h ee i g e n v a l u e so fs i n g u l a rp e n c i l s ,