（應用數(shù)學專業(yè)論文）σ緊有限網與弱k映射.pdf

摘要 2 0 世紀6 0 年代以來廣義度量空間理論取得了巨大的成就其中尋求度 量空間在備類映射下象的特征已成為一般拓撲的熱點問題之一緊有限集族 是廣義度量空間的一類重要的集族，本文將建立度量空間與盯一緊有限c s 網、仃一緊有限c s 網、盯一緊有限序列鄰域網、盯一緊有限緊有限分解網之 間的聯(lián)系 第一章簡要介紹廣義度量空間類的些基本概念，其中包含這些空間類 的基本運算性質和簡單特征，目的是為后兩章提供必要的準備 在第二章，我們圍繞具有盯一緊有限性質的各類網的空間進行了研究， 給出了這些空閆之間的部分關系，并介紹了萬一緊有限網與具有其他性質的 網的關系 在第三章，我們給出了度量空間的弱k 映射的定義，由此證明了x 具有 口一緊有限的c 網當且僅當x 是度量空間誘導序列商弱k 象；x 具有盯一 緊有限的c s 網當且僅當x 是度量空間誘導序列覆蓋弱k 象；x 具有盯一緊 有限的序列鄰域網當且僅當x 是度量空間誘導1 序列覆蓋弱k 象；x 具有 仃一緊有限的緊有限分解網當且僅當x 是度量空間誘導緊覆蓋弱k 象 在第四章中，我們將本文的工作進行了總結，并且提出了幾個有待迸一 步研究的問題 關鍵詞：仃一緊有限，弱k 映射，c s + 網，c s 網，序列鄰域網，緊有限 分解網 a b s t r a c t s i n c e1 9 6 0 s ，t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c eh a sm a d eg r e a tp r o g r e s s i th a sb e e no n eo ft h eh o t e s tt o p i c st os e e kc h a r a c t e r i z a t i o no fi r a n g e so fm e t r i c s p a c e su n d e rs o m ec e r t a i nm a p si ng e n e r a lt o p o l o g y t h ec o m p a c tf i n i t ec o l l e c - t i o ni so n eo fi m p o r t a n tc o l l e c t i o n si ng e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s i nt h i sp a p e r ，w e e s t a b l i s hr e l a t i o n sb e t w e e nm e t r i cs p a c e sa n da - c o m p a c tf i n i t ec s * - n e t w o r k s 、 a - - c o m p a c tf i n i t ec s - n e t w o r k s 、口一c o m p a c tf i n i t es e q u e n c en e i g h b o r h o o dn e t - w o r k s 、仃一c o m p a c tf i n i t ec p - n e t w o r k s i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yi n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so fg e n e r a l i z e dm e t r i c s p a c e s ，i n c l u d i n gf u n d a m e n t a lo p e r a t i o np r o p e r t i e sa n ds i m p l ec h a r a c t e r i z a t i o n so f t h e s es p a c e s ，w h i c hp r o v i d es o m en e c e s s a r yp r e p a r a t i o nf o rt h el a t t e rt w oc h a p t e r s i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t es p a c e sw i t hv a r i o u sa - c o m p a c tf i n i t en e t - w o r k s ，p r e s e n ts o m eo fr e l a t i o n sa m o n gt h e s es p a c e sa n di n t r o d u c er e l a t i o n s h i p b e t w e e na - c o m p a c tf i n i t en e t w o r k sa n do t h e rn e t w o r k s i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yi n t e r n a lc h a r a c t e r i z a t i o n so fs o m ew e a k l yk - m a p p i n g i m a g e so fm e t r i cs p a c e s ，a n dp r o v et h a tas p a c ex i sa ni n d u c t i v es e q u e n t i a l l y q u o t i e n t ，w e a k l yk - i m a g eo fam e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a s 盯一c o m p a c tf i - n i t ec s - n e t w o r k s ；xi sa ni n d u c t i v es e q u e n c e c o v e r i n g ，w e a k l yk - i m a g eo fa m e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a sa - c o m p a c tf i n i t ec s - n e t w o r k s ；xi sa ni n d u c - r i v e1 - s e q u e n c e - c o v e r i n g ，w e a k l yk - i m a g eo fam e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a s 仃一c o m p a c tf i n i t es e q u e n t i a ln e i g h b o r h o o d n e t w o r k s ；xi sa ni n d u c t i v ec o m p a c t - c o v e r i n g ，w e a k l yk - i m a g eo fam e t r i cs p a c ei fa n do n l yi fxh a sa - c o m p a c tf i n i t e c o m p a c t f i n i t e - p a r t i t i o nn e t w o r k s t e r c o n c l u s i o n sa n ds o m ep r o b l e m st ob es t u d i e df u r t h e ra r ei nt h ef o u r t hc h a p - k e y w o r d s ：a - c o m p a c tf i n i t e ，w e a k l yk - m a p s ，c s 4 - n e t w o r k s ，c s - n e t w o r k s ， s e q u e n t i a ln e i g h b o r h o o d n e t w o r k s ，c o m p a c t f i n i t e p a r t i t i o nn e t w o r k s t t 本人聲明 我聲明，本論文及其研究工作由本人在導師的指導下獨立完成， 完成論文所用的一切資料均已在參考文獻中列出。 作者：許子良 簽字：許 良 日期：2 0 0 8 年4 月 引言 1 9 6 1 年a l e x a n d r o f 在布拉格會議上提出的通過映射對空間進行分 類的設想，1 9 6 6 年著名拓撲學家a r h a n g e l ，s k i l l 發(fā)表了歷史性的文獻 映射與空間 1 l ，對如何實施a l e x a n d r o f f 設想給出了一系列建設性 的具體步驟，開創(chuàng)了用映射研究空間的新紀元，成為一般拓撲學蓬勃 發(fā)展的里程碑。 用映射研究空間大致可以分為三個方面：1 哪些特定的廣義度量 空間可以表示為度量空間在某些映射下的象或逆象。2 度量空間在某 些映射下的象有哪些內在特征。3 某些特定的廣義度量空間在怎樣的 映射下保持不變。幾十年來國內外眾多杰出的一般拓撲學家經過艱苦 不懈的努力，獲得了大量矚目的成就，不僅給一般拓撲學中許多古老 的課題灌輸了新鮮血液，而且產生了眾多新的研究方向。 其中尋求度量空間在各類映射下象的特征已成為一般拓撲的熱點問 題之一。近年的研究表明，與點可數(shù)k 網相關的集合簇有重要的作用。 而盯一緊有限k 網具有更好的性質，例如劉川【2 】證明了空間x 是l a g n e v 空間當且僅當x 是具有盯緊有限k 網的正則的f r d c h e t 空間。緊有限集 族是介于局部有限集族與點有限集族之間的一類重要集族，伊一緊有限 集族就是可數(shù)個緊有限集族之并，近年來中外很多學者對它的研究作 出努力。其中劉川，t a n a t a 在文 3 】3 中研究了口一緊有限k 網與一遺 傳閉包保持k 網、星可數(shù)k 網的關系；林壽在文【4 】中揭示了盯一緊有 限弱基與一弱遺傳閉包保持弱基的關系；等等。但礦一緊有限c s 網， 口一緊有限c s + 網，盯一緊有限的緊有限分解網較少研究。本文將對這些 口一緊有限網進行研究。 我們自然會問：仃一緊有限網與度量空間有怎樣的關系呢? 在文【5 】 中提出了誘導1 序列覆蓋映射的概念，我們把它推廣到誘導序列商映 射，誘導序列覆蓋映射，誘導緊覆蓋映射。同時，我們引入弱k 映射 的概念，本文將建立幾類盯一緊有限網與度量空間的映射之間的內在聯(lián) 系。 第一章預備知識 度量空間理論在一般拓撲學的研究中占據(jù)核心位置，作為其一般化 產生了廣義度量空間理論。 本論文所論空間均指滿足馬分離性公理的拓撲空間，映射為連續(xù)的 滿函數(shù)。本文未定義的術語，符號均以【6 】為準。n 表示自然數(shù)集，r 表示空間x 的拓撲 對空間x ，記 瓦( x ) = kcx ：k 是x 的緊集) ， 妒( x ) = scx ：s 是x 的含極限點的收斂序列) ，其中非空有限集 視為一確定的平凡收斂序列。 對x 的集族p ，記 up = u p ：p p ) ，p 的并； np = n p ：p p ) ，p 的交。 對acx ，z x ，記 ( p ) a = p p ：po a 0 ) ，( p ) z = ( p ) 如 定義1 1 【6 | 空間x 的子集族p 稱為緊有限的，若對k 咒( x ) ，( p ) k 是有限的。 定義1 2 【7 】空間x 的子集族p 稱為有限的，若對k 妒( x ) ，( p ) 是有限的。 定義1 3 【6 1 空間x 的子集族p 稱為弱遺傳閉包保持的( w h c p ) ，若 對z ( p ) cp p ，集族 。( 尸) ) ：p p ) 是閉包保持的。 設圣是定義1 - 3 所定義的一種集族性質，稱空間x 的子集族p 是 仃一p 的，若p 是可數(shù)個具有性質圣的集族之并。 定義1 4 n 設廠：x _ 啼y 是映射 ( 1 ) ，稱為序列商映射，若 孫) 是y 中的收斂序列，那么存在 ) 的子序列 。) 和x 中收斂序列 兢) 使得每一兢f - 1 ( 。) 。 ( 2 ) ，稱為序列覆蓋映射，若 秒n ) 是y 中的收斂序列，那么存在x 預備知識 3 中收斂序列 收斂 于點x u ，則存在p p 使得序列 ) 的某子序列是終于p 的且 pcu ，即存在p p 和子序列 ；) 使得 z ) u 。：季) cpcu 。 ( 2 ) p 為x 的c s 網，若對于x 的開集u 及x 中的序列 z n 】_ 收斂 于點z u ，則存在p p 使得序列 z n ) 是終于p 的且pcu 定義1 8 f 8 】設p = u 兄，z x 是空間x 的子集族，滿足：對z x 凡是z 在x 中的網； 如果v r ，則存在w 億使wcunv 。 若的每一元均是z 在x 中的序列鄰域，p 稱為x 的序列鄰域 預備知識 4 網( 8 n 網) 顯然，s 住網= 號c s 網= 辛c s + 網 定義1 9 【9 l 設k 是空間x 的緊子集。由k 的閉子集組成的k 的有 限覆蓋稱為k 的緊有限分解。若k 在x 中的有限覆蓋p 存在k 的緊 有限分解一一加細，則稱p 是k 的c f p 覆蓋， 定義1 1 0 0 1 設p 是空間x 的覆蓋。p 稱為x 的緊有限分解網( c f p 網) ，若對x 中的每個緊集k 及x 中包含k 的開集y ，存在p 的有 限子族p 7 使p 7 是k 的c f p 覆蓋且u p 7cy 定義1 1 1 6 p 稱為x 中的k 網，如果對x 的緊集kcu 7 ，則存 在歹p u ，使kcu 廠c “。 c f p 網是c 8 + 網和k 網，閉k 網是c 卻網。 第二章具有伊一緊有限網的空間 本章我們主要討論緊有限網的性質，以及盯一緊有限8 1 1 , 網，仃一緊 有限c 8 網，和礦一緊有限k 網的關系。 引理2 1 n 若空間x 的每一緊子集是序列緊的，則x 的點可數(shù)c 8 網 也是x 的c f p 網。 引理2 2 1 7 1 若空間x 的每一緊子集是序列緊的，則x 的點可數(shù)c 8 。 網也是x 的k 網。 定理2 3 對于空間x 的覆蓋p ，x 的每一緊子集是序列緊的，則 有( 1 ) 令( 2 ) 令( 3 ) 兮( 4 ) ( 1 ) p 是口一c 8 有限c 8 網 ( 2 ) p 是口一緊有限的c ：f p 網 ( 3 ) p 是盯一緊有限的a 8 + 網 ( 4 ) p 是仃一緊有限的k 網 證明( 1 ) ( 2 ) ，設p 是x 的盯一c 8 有限的c 8 網，p = u ( p n ：佗n ) 。 由于p 是點可數(shù)c 8 網，x 的每一緊子集是序列緊的，由引理2 1 可 知，尹是x 的咖網?，F(xiàn)在證羅是一緊有限的假設x 的某個緊 子集k 與無數(shù)個pe t n ( 禮n ) 相交。那么，存在 z n ：佗n ) ck 和 r ：痞n c r 使得x n r ，由于不同，所以x n 屬于不同的r 。 是序列緊的，故存在 ：佗n ) 的收斂子序列c ，但是c 與無數(shù) 個p r n ) 相交，矛盾，所以p 是盯一緊有限的c f p 網 ( 2 ) 兮( 3 ) ，顯然。 ( 3 ) 令( 4 ) ，類似( 1 ) 專( 2 ) 定理2 4 若p = u # n p n 是空間x 的盯一w h c p c s 網，且對于x 的 每一非平凡收斂序列極限點z ， r ) $ 是有限的，則p 是x 的仃一緊 有限c s 網。 證明設p 空間x 的盯一w h c p c s 網。記p = 乩n r ，其中每一是 x 的w h c p 集族且c p 計1 。對于每一禮n ，置d 竹= z x ：( ) z 不是有限集) ，凡= p d n ：p 7 3 n 】u z ) ：z d n ) ( 1 ) 凡是x 的緊有限的子集族。 具有盯一緊有限網的空間 6 設ke c ( x ) 首先，k a d , 是有限集。否則，k n 隊含無限集 【z n ：佗n ) 由d r , 的定義，存在r 的無限集 r ) 住n ，使z n r ，從 而 z 仃：n n ) 是k 的閉離散集，這與k 的緊性相矛盾其次，( 凡) 是有限集。否則，有r 的無限集 礬 n n ，使( 騙一玖) nk 諺，那 么有k 的無限集 璣：i n ) 和子集列 q n ；) ，使y i q n ；，矛盾。故 ( 矗) k 是緊有限的。 ： ( 2 ) u # n 凡是x 的c 8 網。 對于任意的z u 丁，設序列 z n ) 一z ，由p 是x 的c s 網知，存在 m n 和p p n ，使得( z ) u 軌：i m ) ) cp cu 由于x 的每一收斂序 列極限點z ， r ) z 是有限的，故z 風，由 z ) u z ?。簄 n ) 是緊集， 知 z ) u ：死n ) n 玖為有限集，則存在m 7 n 及f = p 玩只， 使得( z ) u 戤：i m 7 ) ) cf c u 故u n n - t n 是x 的c 肋網 類似地，我們可以證明： 定理2 5 若羅= 魄n 心是空間x 的o r w h c p c s + 網，且對于x 的 每一收斂序列極限點z ，_ r 】i z 是有限的，則p 是x 的一緊有限c 8 。 網。 引理2 6 1 4 1 設p 是空間x 的可數(shù)弱遺傳閉包保持集族。如果p 是x 中某非平凡收斂序列極限點的序列鄰域族，則p 是有限的。 定理2 7 若p 是空間x 的o r w h c p s n 網，且x 的每個序列孤立 點z ，有 z ) p ，則p 是x 的盯一緊有限8 n 網 證明記i = z x ：z 是x 的序列孤立點) 。設p = u n e n ( p 他) 是 x 的s 佗網，其中r 是w h c p 的且c p 葉1 。對z x ，置7 - t z = 尸 尹：p 是z 的序列鄰域) 如果z i ，有 z p ，所以，是x 的盯閉 離散子空間。對霸n ，p ，令 d n = z x ：l ( p n ) z i n o ) ， ( 尸) = ( p d n ) u z x i ：po - z 則( 尸) cp 令w 禮= ( p ) ：p r ) ，眠( p ) 是x 的序列鄰域， 則w n 是點有限的。事實上，對z x ，由 p 一玩：p r ) 的點有限 性，由引理2 6 ，心n r 是有限的，于是是點有限的。從而w n 是 點有限和w h c p 集族，w n 是緊有限的。 對z x ，如果z ，取玩= _ z ) ，如果z x 一，取 具有仃一緊有限網的空間 7 統(tǒng)= w n ( p ) ：扎n ，p n p n ) 則魄x 魄是x 的s 祀網。首先， 對z g 丁，不妨設z x j 那么存在佗n 和p 心n p ，使 pcg ，于是z ( p ) cpcg 。其次，對x x 一，和以v 統(tǒng)，存 在贍，m n 和p 爿2 n r ，q 爿。n ，使u = 眠( 尸) ，v = ( q ) ， 從而存在k m a x n ，m ) 和re t - i 。n p 憊，使rcpnq ，所以帆( r ) c ( p ) n ( q ) 再次，召z 是z 的s 佗網。事實上，如果z x 一，對 n n ，pe t - i 。n p 住，設序列慨) 收斂于g 。則 ) 終于p ，由引理， ( x i ：l n ) u z ) n d 扎是有限的，所以 既) 終于( p d n ) u z ) c1 ( p ) 從而( p ) 是z 的序列鄰域。因此召$ 是z 的8 n 網。 綜上所述，u x 玩是x 的口一緊有限s 鉈網。 引理2 8 8 1 可數(shù)緊的半層空間是緊可度量空間。 定理2 9 對于拓撲空間x ，( 1 ) 錯( 2 ) 號( 3 ) 成立。 ( 1 ) x 具有盯一緊有限s n 網。 ( 2 ) x 具有盯一緊有限c 8 網的s n f 一可數(shù)空間。 ( 3 ) x 具有盯一緊有限k 網的s n s 一可數(shù)空間。 證明( 1 ) 毒( 2 ) 是顯然的。 ( 2 ) 暑( 1 ) 設p = u p m ：m n ) 是s n 一可數(shù)空間x 的口一緊有 限v 8 網，p m 是緊有限的且關于有限交封閉，x p m c t m + 1 對每一 z x ，設 b ( n ，z ) ：禮) 是z 的下降序列鄰域。作 靠，聾= p p m ：存在n n ，使j e 7 ( 佗，z ) cp 疋= u 。z ：m n ) 厶= u ( ，z ：z x ) 艮u = 尸( m ，z ) ：m n ) ，有 b ( n ，z ) 仁p ( m ，z ) ( 仡，m n ) 。取z n ，m b ( n ，z ) p ( m ，z ) ，當n m 時， z 竹，m = y k ( 忌= m + n ( n 9 - 1 ) 、，那么序列y k ：k n 收斂于點z 。因為p 是x 的網，因此存在m ，z n ，使得 躲：k 吾) u z ) cp ( m ，z ) cg 存 在禮m ，取j i ，則協(xié)= 。n ，m ，那么z 幾，m p ( m ，z ) 矛盾。故凡是 具有口一緊有限網的空間 8 z 的序列鄰域。因此歹是x 的s 禮網。 對每一m n ，厶c p m ，那么厶是緊有限的因此尸= u 靠： 仇畸是x 的盯一緊有限8 n 網。 因此，( 2 ) 號( 1 ) 成立。 ( 2 ) 辛( 3 ) 設x 是具有盯一緊有限c s 網的s h y 一可數(shù)空間。讓p = u p n ：竹n ) 是x 的仃一緊有限c s 網且每一p n 是緊有限的。下證p 是口緊有限 網 對于義的任一緊子集kcv 丁，令a = 尸：pnk 仍且 pcy ，則a 可數(shù)，故4 = u a ：n n ) 可數(shù)，記4 = 只：l n ) 下證存在死n 使kcu i 使得【夕( 紈) ) 是 z 住 的子序列。設 譏) 收斂于y ，則g ( y ) = z 由于b i m , = bn 艦：b 召) 為尬的基，因此存在b ln 艦召l 尬，使y b 1n 尬cg - t ( u ) ，顯然 j e 7 1nm 含有 紈) 的尾部，故x g ( b 1n 尬) cu ，且g ( b 。n 尬) 含有_ z n ) 的子列。 必要性設p = u n e n 為x 的口一緊有限c s + 網，不妨設x p n ， p nc t n + 1 n ) ，置= ，取y n kf l g _ 1 ( z n ) ，不妨設y n 收斂于 y ，顯然g ( y ) = z 。由于侈i 尬= bn 尬：be b 為尬的基，因此 存在b lnme b i m ，使 薌) u 銣：佗m b 1nm c g - 1 ( ) ，于是 z ) u z n ：仡m ) 夕( b 1n 尬) cg ( g 一1 ( u ) ) = u 。 必要性設p = u n r 為x 的d r 一緊有限c s 網，不妨設xe p n ， rc p n + 1 m n ) ，置r = r ：a 厶 ，賦予厶離散拓撲，置 度量空間的弱尼映射 尬= p = ( q n ) 6r i n 厶： r 。：訖 構成x 中某點z ( ) 的網絡 ) ，則m 作為積空間m = 兀n 厶的子空間是可度量化的空間，定義 g ：m x ，9 ( 盯) = z ( p ) ，則易證g 是連續(xù)到上的映射 設kcx 是x 的緊集，令= 0 c 厶：r r ，rnk 仍 ，則 l i 是點z 在x 中的網，令 6 = 魂1 7 n 厶，那么z = 9 ( 6 ) ，( 鼠) ，于是n nr ；c9 ( 玩) ，故 夕( 玩) = n 。 np 口；。對于x 中_ z ，由于g ( b n ) 是z 的序列鄰域，由 5 】 中引理2 2 知，存在島廣1 ( x j ) ，且在m 中島一p ，故g 是l 序列覆 蓋映射。 取z o x ，定義，是m 到x 上的映射 度量空間的弱k 映射 1 3 他) = 磐a q e 叭m 1 ；艦 容易看出，是誘導1 序列覆蓋弱k 連續(xù)映射。證畢。 引理3 4 【- 2 1 空間x 的基是x 的c f p 網絡。 引理3 5 1 0 1 緊覆蓋映射保持c f p 網絡。 引理3 6 1 1 0 l 設p 是空間x 的點可數(shù)覆蓋，若k 是x 的非空緊集， 則由p 的元組成的k 的極小c f p 覆蓋至多可數(shù) 定理3 7x 具有盯一緊有限的c f p 網當且僅當x 是度量空間誘導緊 覆蓋弱k 象。 證明充分性設，：m _ x 是誘導緊覆蓋弱k 映射，其中m 是度 量空間，則存在m 1cm ，使廠l 尬：尬_ x 是緊覆蓋映射且對每一個緊 集kcx ，7 = 幣蠆幣醫(yī)是m 中的緊集。設召= u n 8 n 為m 的盯局部有 限基，對每一禮n ，令r = 【廠( bnm 1 ) ：b 召n ) ，則r 是緊有限族， 且p = u n r 為x 的c f p 網事實上，對緊集kcx ，令g = ，i 尬， 則薩硒蠆是m 的緊子集，因此 而nb ：b 舀n ) 是有限族，從而 嚴幣可n b n 尬：b 既) 是有限族，所以是緊有限的。 由于b i 艦= 【bn 尬：b 召) 為尬的基，由引理3 4 ， b lm 1 為尬的 c f p 網絡。g ：m 1 _ x 為緊覆蓋連續(xù)映射，又由引理3 5 ，所以9 ( b im 1 ) 是x 的c f p 網絡。 必要性設p = 魄p n 為x 的盯一緊有限c f p 網，不妨設x r ， c p 卅l n ) ，置p n = ( r ：口a n ) ，賦予a 離散拓撲，那么如 是度量空間。置艦= a = ( q n ) n n a n ：【r 。：禮) 構成x 中某點 z a 的網絡 ，則艦作為積空間m = 兀n a 的子空間是可度量化的空 間，定義g ：尬一x ，夕( q ) = x a ，則易證g 是連續(xù)到上的映射。 設kcx 是x 的緊集，令a 二= q a n ：r r ，rnk 仍】，則 i a 二i u ，從而n n a 二為兀n 厶的緊子集。對q = ( q 竹) 9 - 1 ( k ) ， 則 夕( q ) ) = n t 只。= z q 】，x a k ，則r 。nk d ( 幾n ) ，于是 q 付疋，從而及1 1 n 疋，所以9 _ 1 ( k ) cn n a 二ci - i n a n 因此 度量空間的弱k 映射 1 4 薩可可為m 的緊子集。 以下證明9 是緊覆蓋映射 設k 是x 的非空緊集，由引理3 6 ，記由p 的元組成的k 的極小 c f p 覆蓋族為【億：i ) ，即對啦n 使得死c p ”m 銘0 n ) 其中每一億= p a ：q a lca n ；) 被的緊有限分解兀= r ：q i ) 一一加細，rcr 。對每一j n ，設 di ，如果存在i n 使得歹= h i ； 叼 l 喲) ，如果j 吼( i ) ，取如使得如= x 置l = 7 = ( ) i j 馬：n h i ：i e ) f , j 仍) 。那么 ( 1 ) l 是緊集兀，島中的閉集，從而三是m 厶中的緊集。 設，y = ( ) 鞏馬l ，則n 坨) f , j = 仍) ，從而存在i o n 使 n 似 s 旬 = 仍) 。對每一歹 現(xiàn)：t i o ，令w = p = ( 島) 碼易： 島= ) 則是n j b j 中包含7 的開集且n l = d 。 ( 2 ) lcm 且9 ( l ) ck 。 設7 = ( m ) l 。取定z n j 脅誕) = 諺) 。我們要證明r ：j 是點z 在x 中的網。設y 是x 在x 中的開鄰域，由于k 是x 的正 則子空間，則存在z 在k 中的開鄰域使c i k wcv 。由于c l k w 是 的緊子集，p 是x 的c f p 網，于是存在p 的有限子族p 7 使p 7 是 c l k w 的c f p 覆蓋且u cv 。由于緊集k wcx 【z ) ，又存在p 的有 限子族p ”使尹”是k w 的c f p 覆蓋且u p ”cx z ) 。令p = p 7 u ， 則尹是k 的c s p 覆蓋，于是存在i n 使死c p + 因為；a i ， z 。c 。死，所以。死，故；c v ，從而厶：歹n 是點z 在x 中的網。那么7 m 且，( 7 ) = 。k 。 ( 3 ) kcg ( l ) 設z k 。對i n ，存在硯a l 使z 對每一j n ，設 一f ，歹= m ( i ) ； v ，一1 ，j 徹0 ) 令盯：( 乃) ，則盯l 且g ( o ) = z 。故g 是緊覆蓋映射。 取z o x ，定義，是m 到x 上的映射。 他) = 餾_ l 口a e 叭m 1 ；尬 。容易看出，是誘導緊覆蓋弱k 連續(xù)映射。證畢 第四章結束語 近幾十年來，拓撲學家給出了具有仃緊有限k 網的空間與具有星可 數(shù)k 網的空間，具有礦一w h c p k 網的空間的關系，以及緊有限弱基 與盯一w h c p 弱基的關系。而對仃緊有限c 8 網，仃緊有限c 8 + 網，盯緊 有限8 n 網，盯緊有限c p 網研究很少，本文給出了部分關系。如： 定理2 3 對于空間x 的覆蓋p ，x 的每一緊子集是序列緊的，則 有( 1 ) 兮( 2 ) 令( 3 ) 兮( 4 ) ( 1 ) p 是仃一v 8 有限c 8 網 ( 2 ) p 是口一緊有限的c f p 網 ( 3 ) p 是口一緊有限的c 8 + 網 ( 4 ) p 是盯一緊有限的k 網 定理2 9 對于拓撲空間x ，( 1 ) 錯( 2 ) 考( 3 ) 成立。 ( 1 ) x 具有盯一緊有限8 n 網。 ( 2 ) x 具有盯一緊有限c 8 網的s n ，一可數(shù)空間 ( 3 ) x 具有盯一緊有限k 網的s n y 一可數(shù)空間。 本文還給出了盯緊有限c s 網( c 8 網，8 r t 網) 與盯一w h c p c s + 網 ( c s 網，8 n 網) 的關系。 引入弱k 映射的概念，研究具有盯緊有限網的廣義度量空間可以表 示為度量空間在誘導弱k 映射下的象。 定理3 1x 具有盯緊有限的c s 網當且僅當x 是度量空間誘導序 列商弱k 象。 定理3 2x 具有仃緊有限的c s 網當且僅當x 是度量空間誘導序列 覆蓋弱k 象。 定理3 3x 具有盯緊有限的s n 網當且僅當x 是度量空間誘導1 序 列覆蓋弱k 象。 定理3 。7x 具有盯緊有限的c f p 網當且僅當x 是度量空間誘導緊覆 蓋弱k 象。 結束語 1 6 定義4 1 【6 】空間x 的子集族p 稱為星可數(shù)的，若對每一p p ， ( p ) k 是可數(shù)的。 我們可以進一步解決： ( 1 ) 盯緊有限c s 網( c 8 網，s n 網，a f p 網) 與星可數(shù)c s ：網( c 8 網， 覦網，c f p 網) 的關系。 ( 2 ) 仃緊有限c f p 網與盯一w h c p c f p 網的關系 參考文獻 【1 】a r h a n g e l s k i l l ，m a p p i n g sa n ds p a c e s j ，u s p e c h im a tn a u k ，1 9 6 6 ，2 1 ：1 3 3 - 1 8 4 l i uc h u a n ，s p a c ew i t ha g - - c o m p a c tf i n i t ek - n e t w o r k j j ，q u e s t i o n sa n s w e r si n g e n e r a lt o p o l o g y , 1 9 9 2 1 0 ：8 1 8 7 l i uc h u a na n dt a n a t ay ，s p a c eh a v i n ga - - c o m p a c tf i n i t ek - n e t w o r k s ，a n dr e l a t e d m a t t e r j 】t o p o l o g yp r o c ，1 9 9 6 ，2 1 ：1 7 3 2 0 0 l i ns h o u ，y a nl i ，an o t eo ns p a c ew i t haa - c o m p a c tf i n i t ew e a kb a s e j 。 t s u k u b a m a t h ，2 0 0 4 ，2 8 ( 1 ) ：8 5 9 1 f 5 燕鵬飛，關于仃點有限序列鄰域網【j 】，淮北煤炭師范學報：自然科學版，1 9 9 9 ，2 0 ( 2 ) ：1 7 - 1 9 【6 】林壽，廣義度量空間與映射 m 】，北京：科學出版社，1 9 9 5 b a n a k _ h ，b o g a c h e v ，k o l e s n i k o v ， 一m e t r i z a b l es p a c e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n j ， a v a i l a b l ea th t t p ：w w w f r a n k o 1 v i v u a f a c u l t y m e c h m a t d e p a r t m e n t s t o p o p o g y b a n p a p b a n b o g p d f 林壽，點可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射f m 】，北京：科學出版社，2 0 0 2 燕鵬飛，度量空間的緊映象【j 】，數(shù)學研究，3 0 ( 2 ) ：1 8 5 - 1 8 7 ，1 9 8 ， 燕鵬飛，林壽，關于度量空間的緊覆蓋s 映射 j 】，數(shù)學學報，4 2 ( 2 ) 2 4 1 2 4 4 林壽，關于m i c h a c l - n a g a m i 問題的注記 j 】，數(shù)學年刊，1 9 9 6 ，1 7 a ：9 - 1 2 林壽，度量空間與函數(shù)空問的拓撲 m 】，北京：科學出版社，2 0 0 4 1 3 】a r h a n g e l 。s k i l l ，o nm a p p i n g s o fm e t r i cs p a c e s ，d o k la k a dn a u ks s s r ， 1 9 6 2 ，1 4 5 ：2 4 5 2 4 7 【1 4 l i ns h o u ，s p a c e sh a v i n g 盯一h e r e d i t a r i l yc l o s u r e - p r e s e r v i n gk - n e t w o r k