畢業(yè)論文-淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.doc

學(xué)習(xí)中心編號： 學(xué)習(xí)中心名稱 西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)與繼續(xù)教育學(xué)院畢 業(yè) 論 文論文題目： 淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用學(xué)生姓名 學(xué) 號 類 型 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)教育）層 次 指導(dǎo)教師 日 期 目 錄摘 要3一、緒 論4二、構(gòu)造法概述42.1 構(gòu)造法42.2 構(gòu)造法的歷史42.3 構(gòu)造法的特征52.4 構(gòu)造法中常用到的思想方法52.5 構(gòu)造法中常用到的類型62.6 構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)72.7 構(gòu)造法的注意事項(xiàng)7三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用73.1 構(gòu)造向量73.2 構(gòu)造函數(shù)83.3 構(gòu)造數(shù)列93.4 構(gòu)造方程103.5 構(gòu)造幾何模型113.6 構(gòu)造復(fù)數(shù)133.7 構(gòu)造等價命題14四、結(jié)束語14參考文獻(xiàn)15致 謝15淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘 要構(gòu)造法就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造出一些新的滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)形式，并借助它來認(rèn)識與解決原數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。構(gòu)造法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)產(chǎn)生時就存在,歷史上有不少數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學(xué)上的很多難題。另外,構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著十分重要的地位，特別是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地運(yùn)用構(gòu)造法可以更快捷、更簡單的解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，提高解題效率,同時也能夠提高學(xué)生的思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。可見構(gòu)造法對于數(shù)學(xué)理論的研究,發(fā)展和數(shù)學(xué)問題的解決都具有重要的意義，尤其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)造法的研究和學(xué)習(xí)顯得非常重要。本文主要分成兩個部分：第一部分主要是對構(gòu)造法的概念、歷史 、特征 、常用到的思想方法和類型、優(yōu)點(diǎn)、注意事項(xiàng)作出簡單的介紹；第二部分是從構(gòu)造向量、函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何模型、復(fù)數(shù)、等價命題這些在高中數(shù)學(xué)中常見的構(gòu)造出發(fā)，通過舉例分析來探討分析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 ：解題，構(gòu)造法，應(yīng)用，高中數(shù)學(xué)一、 緒 論 波利亞說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘?！苯鈹?shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題用常規(guī)的思維方式來尋求解題途徑卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考從而找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一，它是一種新穎獨(dú)特、快捷靈活的解題方法。本文將對構(gòu)造法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做簡單探討，通過示例，不斷加深對構(gòu)造法的理解。二、構(gòu)造法概述 2.1 構(gòu)造法構(gòu)造法就是綜合運(yùn)用已有的知識和方法，根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論所具有的特征和性質(zhì)，構(gòu)造出一些新的滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)形式，并借助它來認(rèn)識與解決原數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。其解題模式如下：對題設(shè)條件或所求結(jié)論進(jìn)行充分細(xì)致的分析，然后通過創(chuàng)造性的思維構(gòu)造出函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列等相應(yīng)的模型，最后進(jìn)行推演，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化得出結(jié)論。2.2 構(gòu)造法的歷史 構(gòu)造法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)產(chǎn)生時就存在，它的研究主要經(jīng)歷了三個階段：直覺數(shù)學(xué)階段、算法數(shù)學(xué)階段、現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段。歷史上有不少數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學(xué)上的很多難題，如歐幾里得在幾何原本中證明“素數(shù)的個數(shù)是無限的”就是一個典型的范例。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計算機(jī)科學(xué)及現(xiàn)代數(shù)學(xué)將對數(shù)學(xué)的構(gòu)造性提出新的要求，使構(gòu)造性數(shù)學(xué)具有突出的重要地位。如現(xiàn)在的組合數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都應(yīng)用了構(gòu)造的思想，尤其是圖論，更是應(yīng)用了構(gòu)造的思想，此外，在拓?fù)鋵W(xué)、維數(shù)理論等的研究中，許多數(shù)學(xué)家應(yīng)用構(gòu)造法來發(fā)展他們的理論。 2.3 構(gòu)造法的特征構(gòu)造思想方法作為一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，具有其自身獨(dú)特的顯著特征，主要表現(xiàn)在：構(gòu)造性、直觀性、可行性、靈活性以及思維的多樣性。 構(gòu)造性體現(xiàn)在構(gòu)造法是通過構(gòu)造一個輔助問題而使原問題得到轉(zhuǎn)化； 直觀性體現(xiàn)在構(gòu)造法解決問題的步驟比較直觀； 可行性體現(xiàn)在構(gòu)造法不僅能判定某種數(shù)學(xué)對象的存在，而且在有限步驟內(nèi)能具體找到它； 靈活性體現(xiàn)在用構(gòu)造法解題，針對某一具體問題，怎樣去進(jìn)行構(gòu)造，這與學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功和解題經(jīng)驗(yàn)都密切相關(guān)； 思維的多樣性體現(xiàn)在構(gòu)造法不同于一般的邏輯方法，一步一步尋求必要條件，直至推導(dǎo)出結(jié)論，它屬于非常規(guī)思維，解題常要用到分析、綜合、觀察、比較、聯(lián)想、想象等多種思維形式。2.4 構(gòu)造法中常用到的思想方法 構(gòu)造法中常用到一些數(shù)學(xué)思想方法，例如： 類比構(gòu)造：由于問題中研究對象有著形式上、本質(zhì)上的相同或相似，通過構(gòu)造類似的數(shù)學(xué)形式，運(yùn)用新數(shù)學(xué)形式的豐富內(nèi)涵達(dá)到解決問題的目的； 歸納構(gòu)造：對于與有關(guān)的問題，直接不容易構(gòu)造出，而以具體的特殊的如進(jìn)而推進(jìn)到等； 逆向構(gòu)造：是指按逆向思維方式，向原有數(shù)學(xué)形式的相反方向去探求，通過構(gòu)造(形式上，關(guān)系上或程度上)對立的數(shù)學(xué)形式來解決問題； 聯(lián)想構(gòu)造：聯(lián)想是由一事物想另一事物的思維方式和過程，這種聯(lián)想通常是事物的形式、結(jié)構(gòu)、范圍、關(guān)系等因素作用的結(jié)果。2.5 構(gòu)造法中常用到的類型 下面介紹一些常用的構(gòu)造方法： 構(gòu)造數(shù)學(xué)命題法：如果遇到的數(shù)學(xué)問題直接證明有困難時，可構(gòu)造其等價命題，并通過證明其等價命題成立從而使所論命題獲證； 構(gòu)造數(shù)學(xué)關(guān)系法：由題設(shè)條件及所給的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造一種新的函數(shù)、方程、多項(xiàng)式等具體數(shù)學(xué)關(guān)系，使問題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化從而獲得解決的方法稱為構(gòu)造數(shù)學(xué)關(guān)系法； 構(gòu)造幾何圖形法：在解題時若以數(shù)形結(jié)合的思想作指導(dǎo)，對于某些較復(fù)雜的問題，通過構(gòu)造圖形啟發(fā)思維，借助于圖形的直觀來解題往往使解題方法簡捷，幾何證題中的輔助線，代數(shù)方程應(yīng)用題中的示意圖都屬于這一類； 構(gòu)造結(jié)論法：就是按照命題的條件和要求構(gòu)造出符合結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而斷定命題正確性的證題方法。有些數(shù)學(xué)命題是斷言存在著某種具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象，或者是斷言某種數(shù)學(xué)對象具有某種特定的性質(zhì)，對于這類型的數(shù)學(xué)命題，證明的關(guān)鍵往往是構(gòu)造出符合要求的數(shù)學(xué)對象，用構(gòu)造結(jié)論的辦法對數(shù)學(xué)命題作出證明，稱為“構(gòu)造性證明”； 構(gòu)造矛盾法：就是首先否定原命題，再利用否定后的命題構(gòu)造出一個能夠明顯顯露其錯誤的對象，從而導(dǎo)出矛盾，使原命題得證； 構(gòu)造復(fù)數(shù)法:由于復(fù)數(shù)具有代數(shù)、幾何、三角等多種表示形式以及它的特征性質(zhì)和運(yùn)算法則，我們可以構(gòu)造復(fù)數(shù)求解許多代數(shù)、幾何、三角方面的問題，它不但可以提高縱橫運(yùn)用知識解題的技巧，而且可激發(fā)發(fā)散思維，有效地培養(yǎng)學(xué)生的能力，發(fā)展智力； 構(gòu)造反例法：為了說明一個命題不真，常常選擇一個符合題設(shè)條件但命題不成立的反例，這個過程叫構(gòu)造反例。選擇特殊值,常常是構(gòu)造反例的關(guān)鍵。2.6 構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)在于它使已知與未知、條件與結(jié)論很恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)合聯(lián)系起來，起到化簡、轉(zhuǎn)化和“橋梁”的作用。另外，如果我們能掌握構(gòu)造法并能運(yùn)用于其解決數(shù)學(xué)問題,那么不但可以提高我們的解題能力,而且可以從敏銳的觀察力、創(chuàng)造性的想象、獨(dú)特的知識結(jié)構(gòu)及解題靈感這些方面訓(xùn)練學(xué)生的思維，使學(xué)生的思維由單一型轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟嵌龋瑥亩囵B(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造性意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。2.7 構(gòu)造法的注意事項(xiàng) 運(yùn)用構(gòu)造法時要注意以下兩點(diǎn)： 如何恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合； 在運(yùn)用構(gòu)造法時，構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型要保證能反映出原命題的本質(zhì)特征，且構(gòu)造出的數(shù)學(xué)模型所獲得的結(jié)果，一定是原命題的解題目標(biāo)，并經(jīng)過檢驗(yàn)，對于不符合原命題解題目標(biāo)的結(jié)果應(yīng)予以舍棄。三、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用 3.1 構(gòu)造向量 向量問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的內(nèi)容，它不僅反映數(shù)量關(guān)系，而且體現(xiàn)位置關(guān)系，這種特點(diǎn)使得向量具有廣泛的應(yīng)用，利用向量模型可以解決代數(shù)、幾何以及三角等數(shù)學(xué)問題。而許多學(xué)生只是單純地把向量當(dāng)做一個知識點(diǎn)來記憶而忽視了它與其它知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，所以高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該向?qū)W生強(qiáng)化向量的概念并引導(dǎo)學(xué)生利用向量來解決相應(yīng)的問題。 例1 已知為正數(shù)，求函數(shù)的最小值。 解 構(gòu)造向量 ,，則原函數(shù)就可化為,所以 。 例2 設(shè)是平面上的單位向量，且，則的最小值為 解 設(shè)，則=，所以當(dāng)時，取得最小值，為。3.2 構(gòu)造函數(shù) 函數(shù)在我們整個中學(xué)數(shù)學(xué)是占有相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，學(xué)生對于函數(shù)的性質(zhì)也比較熟悉。選擇熟悉的內(nèi)容來解決不熟悉的題目，同時也達(dá)到了訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維的靈活性、創(chuàng)新性。 例3 已知函數(shù)，當(dāng)有實(shí)數(shù)根時,的范圍為 解 令 ,則與的函數(shù)圖像有交點(diǎn)時，函數(shù)有實(shí)根。 因?yàn)椋援?dāng)時，此時，則在點(diǎn)的切線方程為。 所以當(dāng)時，與的圖像相切，當(dāng)時，與的圖像有交點(diǎn)。因此。 例4 求函數(shù)的最大值。解 由根號下的式子看出且,故可聯(lián)想到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造 。所以 。當(dāng)即時，。3.3 構(gòu)造數(shù)列近幾年來的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)問題尤其是不等式證明題，解這類問題時，一般根據(jù)題目的特征，通過替換、設(shè)想等構(gòu)造出一個與求證問題相聯(lián)系的數(shù)列，并對該數(shù)列的特征進(jìn)行分析，常可獲得解題的途徑。如果從分析問題所提出的信息知道其本質(zhì)與數(shù)列有關(guān)，那么該問題就可以考慮運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列的方法來解。例5 求證：(其中) 解 欲證含有與自然數(shù)有關(guān)的和的不等式,可以構(gòu)造數(shù)列模型,只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且構(gòu)造數(shù)列 ,則有 ,所以數(shù)列為遞增數(shù)列 又因，故 (其中)，即原不等式得證 例6 求自然數(shù)的最大值，使不等式對一切自然數(shù)恒成立。解 令，對任意， ，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列（），則的最小值為，其中。 故對一切自然數(shù)使得成立的條件是，即。 因此所求自然數(shù)的最大值是3。3.4 構(gòu)造方程方程，作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，與代數(shù)式、函數(shù)、不等式等知識密切相關(guān)。一般根據(jù)已知條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個新的方程，然后利用方程中的知識解決問題，使解答簡潔、合理。通過構(gòu)造方程解題的步驟如下：首先將所面臨的問題轉(zhuǎn)化為方程問題；然后解這個方程或討論這個方程的有關(guān)性質(zhì)（常用判別式與韋達(dá)定理），得出相應(yīng)結(jié)論；最后將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問題的結(jié)論。 例7 求的值域。 分析 求函數(shù)的值域的方法很多,判別式法是常用的一種,它的理論依據(jù)是將化為關(guān)于的二次方程,那么方程有實(shí)數(shù)解時,判別式0,由此可求得函數(shù)的值 解 將變形為關(guān)于的方程,當(dāng)時,解得；當(dāng)時,。 所以，則的值域是 例8 若，求證:成等差數(shù)列。 解 本題證明方法很多，可以用構(gòu)造法證明。注意到條件中的等式右邊代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，容易聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，為此可構(gòu)造以為判別式的一元二次方程。由題可知, , 所以方程有兩個相等實(shí)根。 又因?yàn)榘汛?，可?所以為方程的一個根，從而。 由韋達(dá)定理得:,從而，命題得證。3.5 構(gòu)造幾何模型華羅庚曾說過“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微”，可見數(shù)形結(jié)合的思想是研究數(shù)學(xué)的基本思想之一，數(shù)與形是密不可分的。對于本身不具備圖形的一些數(shù)學(xué)問題，如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮通過構(gòu)造幾何圖形將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接以圖形的形式表示，然后借助幾何圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。 例9 求函數(shù)的值域。解 ，其幾何意義是平面內(nèi)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和（如圖1）。 為求其值域只要求其最值即可， 易知當(dāng)三點(diǎn)共線（即在線段上）時，取得最小值， ，無最大值，故得函數(shù)的值域?yàn)?。 例10 若 求證：。解 注意到觀察題目特點(diǎn)，從聯(lián)想到余弦定理，可以構(gòu)造三角形，同理，另外兩個根式也可構(gòu)造三角形，利用幾何圖形進(jìn)行證明。 表示以x，y為邊,夾角為的三角形的第三邊，同理，也有類似的幾何意義。這樣，我們構(gòu)作頂點(diǎn)為的四面體（如圖2），使得 ， 則有 ,。 由于在中，所以 。 圖1 圖23.6 構(gòu)造復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的知識點(diǎn)，它是實(shí)數(shù)的延伸,一些難以解決的實(shí)數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會變復(fù)雜,但常使問題簡明化。 例11 求證：。 分析 若注意到根號里各式子的特點(diǎn):都是兩個數(shù)的平方和,可以聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模,構(gòu)造復(fù)數(shù),再運(yùn)用三角不等式便迅速得解。證明 設(shè)，則=,所以有：成立。例12 求函數(shù)的最小值。分析 可以看作的模，可以看作的模，然后利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解。解 設(shè)，則 。因?yàn)?，所以=。當(dāng)，同向時，即時，有時，的最小值為。3.7 構(gòu)造等價命題 如果某些命題的表達(dá)比較抽象復(fù)雜、直接求解比較困難時，可以構(gòu)造一個表達(dá)方式較為通俗易懂且和原命題等價的新命題，比如構(gòu)造原命題的逆否命題、構(gòu)造矛盾命題等。例13 方程的正整數(shù)解的組數(shù)是（ ） A.24 B.72 C.144 D.165分析 原命題等價于把12個相同的小球分成4堆。解 先把12個小球排成一行，在形成的11個空中插入3塊隔板，共有=165種，故方程的正整數(shù)解的組數(shù)是165，選D。變式 方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是多少？解 設(shè)，則，原問題轉(zhuǎn)化為方程有多少正整數(shù)解，由例13易知答案為=455。四、結(jié)束語 通過上述的例子可見運(yùn)用構(gòu)造法解題可以把問題由繁化簡，由難化易，由抽象化轉(zhuǎn)化為具體，使問題更快地得到解答。此外，構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用還有許多，須針對不同的數(shù)學(xué)問題需靈活采用相應(yīng)的構(gòu)造法，所以我們還需要加強(qiáng)對構(gòu)造法補(bǔ)充和完善，對其進(jìn)行深入和廣泛的研究并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，這樣才能將構(gòu)造法應(yīng)用于更多的數(shù)學(xué)題中，且對于迅速發(fā)展的今天培養(yǎng)創(chuàng)新型人才有著非常重要的意義。參考文獻(xiàn)1顏立平. 運(yùn)用構(gòu)造法進(jìn)行教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力J. 教師.2011(31) 2石富華,張姍姍,董永紅. 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