§1 常微分方程的基本概念.doc

第十三章 常微分方程簡介本章介紹微分方程的有關概念及某些簡單微分方程的解法。微分方程是包含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程。由微分方程能夠求出未知函數(shù)的解析表達式，從而掌握所研究的客觀現(xiàn)象的變化規(guī)律和發(fā)展趨勢。因此，掌握這方面的知識，用之分析解決問題是非常重要的。由于在大多數(shù)情況下，微分方程很難求出初等解（即解的形式是初等函數(shù)）。那么，就需要研究解的存在理論，借助計算機求出微分方程的數(shù)值解。本章的內(nèi)容，僅僅包含常微分方程的一些最初步的知識，特殊的一階和部分二階微分方程的初等解法；最后一節(jié)討論微分方程的簡單應用。1 常微分方程的基本概念像過去我們研究其他許多問題一樣，首先通過具體實際例子來引入微分方程的概念。1.1 兩個實例例1.1 設某一平面曲線上任意一點處的切線斜率等于該點處橫坐標的2倍，且曲線通過點，求該曲線的方程。 解 平面上的曲線可由一元函數(shù)來表示 設所求的曲線方程為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，由題意得 （這是一個含未知函數(shù)的導數(shù)的方程）。另外，由題意，曲線通過點，所以，所求函數(shù)還滿足。從而得到 為了解出，我們只要將(1.1)的兩端積分，得，我們說 對于任意常數(shù)都滿足方程(1.1)。 再由條件(1.2)，將代入，即 。故所求曲線的方程為。再看一個例子：例1.2 設質(zhì)點以勻加速度作直線運動，且時。求質(zhì)點運動的位移與時間的關系。解 這是一個物理上的運動問題。 設質(zhì)點運動的位移與時間的關系為。則由二階導數(shù)的物理意義，知，這是一個含有二階導數(shù)的方程。再由題意，因此，應滿足問題要解這個問題，我們可以將(1.3)兩邊連續(xù)積分兩次，即， (1.5)，即 ， (1.6)其中為任意常數(shù)。由條件(1.4)，因為，代入(1.6)，得；再由，代入(1.5)，得。故得 為所求。 下面我們將通過分析這兩個具體的例子，給出微分方程的一些基本概念。1.2 微分方程的基本概念總結所給出的兩個具體的例子，我們看到：(1) 例1.1的式和例1.2 的式都是含有未知函數(shù)的導數(shù)的等式（例1含一階導數(shù)，例2含二階導數(shù)）；(2) 通過積分可以解出滿足這等式的函數(shù)；(3) 所求函數(shù)除滿足等式外，還滿足約束條件（例1中的式和例2 中的式）（初始條件：例1有一個初始條件，例2有兩個初始條件）。由此，我們得到如下的概念。1 微分方程的概念 定義1.1 含有未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。注 (1) 方程中強調(diào)含有未知函數(shù)的導數(shù)。因此，它是反映未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間關系的方程在微分方程中未知函數(shù)幾自變量可以不單獨出現(xiàn)，但必須出現(xiàn)未知函數(shù)的導數(shù)。(2) 微分方程中的自變量由問題而定。如的自變量是，的自變量是，的自變量是。(3) 微分方程中只含一個自變量的叫常微分方程。例如，是常微分方程；不是微分方程；是偏微分方程（本章不研究）。2 微分方程的階定義1.2 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)叫做微分方程的階。例如，是一階微分方程；是二階微分方程；是三階微分方程；是一階微分方程；一般地，是一階微分方程的一般形式是 ， (1.7)其中F是個變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程(1.7)中，是必須出現(xiàn)的，而等變量則可以不出現(xiàn)。例如階微分方程中，除外，其他變量都沒有出現(xiàn)。如果能從方程(1.7)中解出最高階導數(shù)，得微分方程 。 (1.8)以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導數(shù)的方程或能解出最高階導數(shù)的方程，且(1.8)式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。3 微分方程的解定義1.3 如果把某函數(shù)代入微分方程，能使方程成為恒等式，那么稱此函數(shù)為微分方程的解。確切地說，設函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導數(shù)，如果在區(qū)間上，那么函數(shù)就叫做微分方程(1.7)在區(qū)間上的解。例如 是的解； 也是的解； 是的解； 也是的解。定義1.4(通解、特解) 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。確定了通解中任意常數(shù)，就得到了微分方程的特解。如 ，是通解。，是特解。注 (1) 微分方程的解有三種形式：顯式解 或；隱式解 由方程確定的函數(shù)關系（通積分）；參數(shù)方程形式的解 。 (2) 微分方程的通解：是指含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解。(3) 微分方程的通解也不一定能包含它的一切解。如的通解為，但也是微分方程的解，但它不包含在通解中，因為無論取何值都得不到。 4 微分方程的初始條件 在例1.1中，當時，通常記為或； 在例1.2中，當時 即，當時即這些用來確定任意常數(shù)的條件為初始條件。一般來說，一階微分方程有一個初始條件；二階微分方程有兩個初始條件與； 二階微分方程有個初始條件。5 初值問題求微分方程滿足初始條件的特解，稱為初值問題。如例1.1中的、；例1.2中的、。一般一階微分方程的初值問題記作； (1.9) 二階微分方程的初值問題記作 。 (1.10) 6 微分方程解的幾何意義 常微分方程的特解的圖形為一條曲線，叫做微分方程的積分曲線； 微分方程的通解的圖形是以為參數(shù)的曲線族，且同一自變量對應的曲線上的點處處切線的斜率相同。初值問題(1.9)的解的幾何意義是微分方程通過點的那條積分曲線。初值問題(1.10)的解的幾何意義是微分方程通過點且在該點的斜率為的那條積分曲線。例1.3 驗證：函數(shù) (1.11)是微分方程 (1.12)的解。解 求出所給函數(shù)(1.10)的導數(shù) (1.13)把 及 的表達式代入方程(1.11)得+函數(shù)(1.10)及其導數(shù)代入方程(1.11)后成為一個恒等式，因此函數(shù)(1.10)是微分方程(1.11)的解。例1.4 已知函數(shù)(1.10)當 時是微分方程(1.11)的通解，求滿足初始條件的特解。解 將條件“ 時，”代入(1.10)式得。將條件“ 時，”代入(1.12)式，得。把的值代入(1.10)式，就得所求的特解為。練習13.11選擇題：（1）微分方程是_。（A）齊次的；（B）線性的；（C）常系數(shù)的；（D）二階的。（2）微分方程的通解是_。（A）； （B）；（C）； （D）。（3）下列方程中是一階微分方程的有_。（A）； （B）（C）； （D）。（4）下列等式中是微分方程的有_。（A）； （B）；（C）； （D）。2填空題：（1）方程是_階微分方程。（2）方程的通解是_。（3）方程的通解是_。（4）方程的通解是_。（5）設，是線性微分方程的兩個特解，則該方程的通解為_。（6）函數(shù)，所滿足的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為_。3指出下列微分方程的階數(shù)：（1）； （2） ；（3） ； （4） 。4驗證微分方程后所列的函數(shù)是否為微分方程的解，是否是通解（1） ，； （2） ，； （3）