2014屆高三數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)--狀元筆記整理版

空間幾何體的三視圖及其表面積、體積和立體幾何的三個難點問題 一、空間幾何體的三視圖及其表面積、體積 柱、錐、臺、球及其簡單組合體，三視圖，直觀圖等內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)，是研究空間問題的基本載體，也是高考對立體幾何考查的一個重要方面，其中幾何體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖是高考的熱點 (一 )高考對三視圖的三個考查角度 1由幾何體畫三視圖或考查對簡單幾何體的三視圖的識別 解答此類問題的關(guān)鍵是：一要掌握各種基本幾何體的三視圖，注意簡單組合體的構(gòu)成；二要熟悉三視圖 “ 長對正、高平齊、寬相等 ” 的法則 例 1 如圖所示，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為 3 和4，過直角頂點的側(cè)棱長為 4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是 ( ) 解析 結(jié)合三視圖的畫法規(guī)則可知 B 正確 答案 B 2由三視圖還原幾何體，考查對空間幾何體的認識及空間想象能力由幾何體的三視圖還原幾何體，一般如下處理： 首先通過俯視圖確定幾何體底面的大致形狀，然后利用正視圖和側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，確定幾何體的形狀 例 2 三視圖如圖所示的幾何體是 ( ) A三棱錐 B四棱錐 C四棱臺 D三棱臺 解析 由三視圖知該幾何體為一四棱錐，其中有一側(cè)棱垂直于底面，底面為一直角梯形 答案 B 3借助于三視圖研究幾何體的表面積、體積 解決此類問題關(guān)鍵是通過三視圖確定空間幾何體中的幾何量的關(guān)系 其中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度 例 3 如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是斜邊長為 2a 的直角三角形，側(cè)視圖是半 徑為 a 的半圓，則該幾何體的體積是 ( ) A. 36 a3 B. 3a3 C. 34 a3 D 2 3a3 解析 由側(cè)視圖為半圓可知，該幾何體與圓柱、圓錐、球有關(guān)，結(jié)合正視圖是一個直角三角形知該幾何體是沿中心軸線切開的半個圓錐，將剖面放置在桌面上，如圖，由條件知，半圓錐的母線長為 2a，底面半徑為 a，故半圓錐的高為 2a2 a2 3a，幾何體的體積 V 12 13 a2 3a 36 a3. 答案 A (二 )求體積的幾種方法 空間幾何體的體積是高考考查立體幾何的考點之一，求空間幾何體的體積的常用方法主要有：公式法、轉(zhuǎn)化法、割補法 1 公式法： 直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算 例 4 一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為 4 3，則該正方體的表面積為 _ 解析 依題意知正方體的體對角線長等于球的直徑，設(shè)球的半徑為 R， 則 4 3 43R3， 所以 R 3，于是正方體的體對角線長為 2 3. 設(shè)正方體的棱長為 a， 則有 2 3 3a， 于是 a 2，因此正方體的表面積為 6a2 24. 答案 24 2 轉(zhuǎn)化法： 根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高，從而使得體積計算更容易，或是可 以求出一些體積比等 例 5 如圖所示，在正六棱錐 P ABCDEF 中， G 為 PB 的中點，則三棱錐 D GAC 與三棱錐 P GAC 體積之比為 ( ) A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 解析 根據(jù)三棱錐的特點，可以采用等體積轉(zhuǎn)化的方法解決 法一： 如圖所示，由于點 G 為 PB 的中點，故點 P， B 到平面 GAC 的距離相等，故三棱錐 P GAC 的體積等于三棱錐 B AGC 的體積，根據(jù)三棱錐的特點，所要解決的兩個三棱錐的體積之比就等于三棱錐 G ACD 與三棱錐 G ABC 的體積之比，由于這兩個三棱錐的高相等，體積之比 等于其底面積之比，即 ACD 與 ABC 的面積之比，這個面積之比是2 1. 法二： 如圖所示，連接 BD 交 AC 于 H，則點 D， B 到平面 GAC 的距離之比等于 DHBH，因為 AHD CHB，故 DH BH AD BC 2 1，三棱錐 D GAC 與三棱錐 BGAC 底面積相等，故其體積之比等于其高的比，即所求比值是 2 1. 答案 C 3 割補法： 把不能直接計算其體積的空間幾何體進行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可以計算體積的空間幾何體，通過這個空間幾何體的體積計算所求的空間幾何體的體積 例 6 如圖所示，若正方體的棱長為 2，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為 ( ) A. 26 B. 23 C. 33 D.23 解析 如圖所示，平面 ABCD 把該多面體分割成兩個體積相等的正四棱錐 以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體是兩個全等的正四棱錐，該正四棱錐的高是正方體邊長的一半，底面面積是正方體一個面面積的一半， V 2 13 12 2 2 12 223 . 答案 B 二、破解高考中立體幾何的三個難點問題 破解難點一：探究與球有關(guān)的組合體問題 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的 棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心、 “ 切點 ” 或 “ 接點 ” 作出截面圖 例 1 四棱錐 S ABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為 2，點 S， A， B， C， D 都在同一個球面上，則該球的體積為 _ 解析 如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線 SE 上找到一個點 O 使得 OA OS，則四棱錐的五個頂點就在同一個球面上 在 Rt SEA 中， SA 2， AE 1，故 SE 1.設(shè)球的半徑為 r，則OA OS r， OE 1 r.在 Rt OAE 中， r2 (1 r)2 1，解得 r 1，即點 O 為球心，故這個球的體積是 43 . 答案 43 破解難點二：平面圖形翻折問題的求解 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問題稱之為平面圖形翻折問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化，有的沒有發(fā)生變化，弄清它們是解決問題的關(guān)鍵一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變 化，不在同一個平面上的性質(zhì)可能會發(fā)生變化，解決這類問題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，這是解決翻折問題的主要方法 例 2 如圖邊長為 a 的等邊三角形 ABC 的中線 AF 與中位線 DE交于點 G，已知 A DE 是 ADE 繞 DE 旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，則下列命題中正確的是 ( ) 動點 A 在平面 ABC 上的射影在線段 AF 上； BC 平面 A DE； 三棱錐 A FED 的體積有最大值 A B C D 解析 中由已知可得面 A FG 面 ABC， 所以點 A 在面 ABC 上的射影在線段 AF 上 BC DE，且 BC平面 A DE， DE 平面 A DE， BC 平面 A DE. 當(dāng)面 A DE 面 ABC 時，三棱錐 A FED 的體積達到最大 答案 C 破解難點三：立體幾何中的探索性問題 立體幾何中的探索性問題的主要類型有： (1)探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么； (2)探索結(jié)論，即在給定的條件下，命題的結(jié)論是什么 1 綜合法 對命題條件的探索常采用以下三種方法： (1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明； (2)先通過命題成立的必要 條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性； (3)把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件 對命題結(jié)論的探索常采用以下方法： 首先假設(shè)結(jié)論成立，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè) 例 3 (2013東城模擬 )如圖，在 BCD 中， BCD 90， BCCD 1， AB 平面 BCD， ADB 60， E， F 分別是 AC， AD 上的動點，且 AEAC AFAD (01) (1)判 斷 EF 與平面 ABC 的位置關(guān)系并給予證明； (2)是否存在 ，使得平面 BEF 平面 ACD，如果存在，求出 的值；如果不存在，說明理由 解 (1)EF 平面 ABC. 因為 AB 平面 BCD，所以 AB CD， 又在 BCD 中， BCD 90，所以 BC CD， 又 AB BC B，所以 CD 平面 ABC. 又在 ACD 中， E， F 分別是 AC， AD 上的動點， 且 AEAC AFAD (00 恒成立 f(x)min0； f(x) 0 恒成立 f(x)max 0. (2)若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍，則有 (下面的 a 為參數(shù) )： f(x)f(x)max； f(x)g(a)恒成立 g(a)0，得 x1.且定義域為 (0， )，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間是 (1， ) 令 f (x) 2x2 1x 0，得 1x0. 因而 a x2 2xx ln x(x 1， e) 令 g(x) x2 2xx ln x(x 1， e)， 又 g (x) x 1x 2 2ln xx ln x2 ， 當(dāng) x 1， e時， x 1 0， ln x 1， x 2 2ln x0， 從而 g (x) 0(當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時取等號 ) 所以 g(x)在 1， e上為增函數(shù) 故 g(x)max g(e) e2 2ee 1 . 所以 a 的取值范圍是 e2 2ee 1 ， . 點評 利用不等式與函數(shù)和方程之間的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)或二次函數(shù) (二次方程 )的問題研究，一般有下面幾種類型： 1一次函數(shù)型問題：利用一次函數(shù) 的圖象特點求解 對于一次函數(shù) f(x) kx b(k 0)， x m， n，有 (1)f(x) 0 恒成立 fm 0，fn 0. (2)f(x)0 恒成立 fm0，fn0 對 x R恒成立 a0，0， (2)f(x)0 對 x R恒成立 a0，a2k 1，求 c 的取值范圍 解 (1)由 a1 1， a2 ca1 c23 3c2 c (22 1)c2 c， a3 ca2 c35 8c3 c2 (32 1)c3 c2， a4 ca3 c47 15c4 c3 (42 1)c4 c3， 歸納猜想 an (n2 1)cn cn 1， n N*. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證 明： 當(dāng) n 1 時，等式成立； 假設(shè)當(dāng) n k 時，等式成立，即 ak (k2 1)ck ck 1， 則當(dāng) n k 1 時， ak 1 cak ck 1(2k 1) c(k2 1)ck ck 1 ck 1(2k 1) (k2 2k)ck 1 ck (k 1)21ck 1 ck， 綜上， an (n2 1)cn cn 1對任何 n N*都成立 (2)由 a2ka2k 1，得 (2k)2 1c2k c2k 1(2k 1)2 1c2k 1 c2k 2， 因 c2k 20，所以 4(c2 c)k2 4ck c2 c 10 對 k N*恒成立記 f(x) 4(c2 c)x2 4cx c2 c 1，下面分三種情況討論： 當(dāng) c2 c 0，即 c 0 或 c 1 時，代入驗證可知只有 c 1 滿足要求 當(dāng) c2 c0 時，即 0c1，拋物線 y f(x)開口向下，因此當(dāng)正整數(shù) k 充分大時， f(k)0，即 c1 時，拋物線 y f(x)開口向上，易知 0，其對稱軸 x 121 c必在直線 x 1 的左邊因此， f(x)在 1， )上是增函數(shù) 所以要使 f(k)0 對 k N*恒成立，只需 f(1)0 即可 由 f(1) 3c2 c 10， 解得 c 1 136 . 結(jié)合 c1，得 c1. 結(jié)合以上三種情況， c 的取值范圍為 ， 1 136 1， ) 點評 本題中關(guān)于 k 的不等式，不能通過分離參數(shù)將 k 與 c 分離，這時的一般解法是直接利用函數(shù)知識 求函數(shù)最值，只是這時的函數(shù)定義域不是連續(xù)區(qū)間，這也是數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別由此可見，數(shù)列中的不等式恒成立與函數(shù)中不等式恒成立的解法基本相同，不同之處就是定義域不同 排列組合在高考中的多方位交匯及古典概型與幾何概型中的三類錯誤 一、排列組合在高考中的多方位交匯 排列組合問題在高考中是?？純?nèi)容，但近些年在考查角度及與其他知識的綜合上有了加強，這反映出高考題中重在考查學(xué)生綜合運用知識、分析問題、解決問題的能力有以下幾個題型 熱點一：組合知識與向量知識的綜合 例 1 在集合 1,2,3,4,5中任取一個偶數(shù) a 和一個奇數(shù) b 構(gòu)成以原點為起點的向量 a(a， b)從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為 n，其中面積不超過 4 的平行四邊形的個數(shù)為 m，則 mn ( ) A. 415 B.13 C.25 D.23 解析 由已知條件，滿足要求的向量分別為 (2,1)， (2,3)， (2,5)， (4,1)， (4,3)， (4,5)，故能構(gòu)成的平行四邊形個數(shù) n C26 6 52 15. 由 S 平行四邊形 |x1y2 x2y1|可得， (2,1)， (2,3)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為 S1 |2 3 1 2| 4， (2,3)， (2,5)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為 S2 |2 5 2 3| 4， (2,1)， (4,1)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為 S3 |2 1 1 4| 2， (2,1)， (4,3)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為 S4 |2 3 1 4| 2， (2,3)， (4,5)兩向量構(gòu)成的平行四邊形面積為 S5 |2 5 3 4| 2. 面積不超過 4 的共有 m 5 個 故所求概率為 mn 13. 答案 B 點評 本題中計數(shù)要求不高，但大家要有代入檢驗的意識 熱點二：組合知識與概率知識的綜合 例 2 盒中裝有形狀、大小完全相同的 5 個球，其中紅色球 3 個，黃色球 2 個若從中隨機取出 2 個球，則所取出的 2 個球顏色不同的概率等于 _ 解析 由題意知，從 5 個球中隨機取出 2 個球共有 C25 10 種不同取法，而取出的球顏色不同共有 C13C 12 6 種不同取法，故所取出的 2 個球顏色不同的概率 P C13C12C25 61035. 答案 35 點評 注意情景中的抽取球的過程與順序無關(guān)，因此屬組合問題，在找 2 個球顏色不同的個數(shù)時，又用了分步計數(shù)原理的知識 熱點三：排列知識與概率知識的綜合 例 3 有 5 本 不同的書，其中語文書 2 本，數(shù)學(xué)書 2 本，物理書 1 本若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 5 本書的全排列有 A55種排法，其中語文書相鄰的排法有 A22A44種，數(shù)學(xué)書相鄰的排法有 A22A44種，語文書數(shù)學(xué)書各自同時相鄰的排法有 A22A22A33種，故所求概率為A55 A22A44 A22A44 A22A22A33A55 25. 答案 B 點評 圖書擺放在書架上具有順序性，因此屬于排列問題，本題在處理都不相鄰的問題上 靈活應(yīng)用了間接思維，使復(fù)雜問題簡單化 二、盤點古典概型與幾何概型中的三類錯誤 古典概型與幾何概型是高考中的?？贾R點對于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法，而與排列、組合問題相結(jié)合的概率問題仍是命題的熱點；對于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量 長度、面積，難度不會太大，但題型可能較靈活，背景更新穎 如下幾個類型易錯： 類型一：知識性錯誤 例 1 設(shè)袋中有 4 只白球和 2 只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出 2 只球 (1)求這 2 只球都是白球的概率； (2)求這 2 只球中 1 只是 白球 1 只是黑球的概率 錯解 一次摸出 2 只球，觀察結(jié)果的顏色只能是 (白，白 )， (白，黑 )， (黑，黑 )3 種情況， (1)用 A 表示 “ 2 只球都是白球 ” 這一事件，則 A (白，白 )，所以 P(A) 13. (2)用 B 表示 “ 2 只球中 1 只是白球 1 只是黑球 ” 這一事件，則 B (白，黑 )，所以 P(B) 13. 錯因分析 在上述錯解中 (白，白 )， (白，黑 )， (黑，黑 )3 種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的 正解 我們不妨把 4 只白球標以 1,2,3,4 號， 2 只黑球標以 5,6 號，則基 本事件有 (1,2)，(1,3)， ， (1,6)， (2,1)， (2,3)， ， (2,6)， ， (6,1)， (6,2)， ， (6,5)，共 30 個 (1)用 A 表示 “ 2 只球都是白球 ” 這一事件，則 A (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)， (2,4)，(3,1)， (3,2)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)共 12 個 所以 P(A) 1230 25. (2)用 B 表示 “ 2 只球中 1 只是白球 1 只是黑球 ” 這一事件，則 B (1,5)， (1,6)， (2,5)，(2,6)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)共 16個 所以 P(B) 1630 815. 類型二：數(shù)學(xué)思維方法應(yīng)用錯誤 例 2 有 6 個房間安排 4 個旅客住，每個人可以住進任一房間，且住進各房間是等可能的 (1)指定的 4 個房間中各有 1 人住的事件的概率為 _； (2)指定的房間有 2 人住的事件的概率為 _ 錯解 所有基 本事件的個數(shù)為 6 5 4 3 360. (1)指定的 4 個房間中各有 1 人住，有 4 3 2 1 24 種，故所求的概率為 115； (2)從 4 人中選 2 人去指定的房間，有 6 種方法，余下 2 人每人去 5 個房間中的任一間，有 5 4 20 種方法，故所求的概率為 6 206 5 4 3 13. 錯因分析 本題錯誤地理解了基本事件的個數(shù)，忽視了基本事件可以包含多個人住一個房間的情況 正解 每人可以進住任一房間，且進住各房間都有 6 種等可能的方法，故所有可能的情 況有 64種， (1)指定的 4 個房間中各有 1 人住，有 4 3 2 1 24 種，故所求的概率為 2464 154； (2)從 4 人中選 2 人去指定的房間，有 6 種方法，余下 2 人每人去 5 個房間中的任一間，有 52種方法，故所求的概率為 6 5264 25216. 類型三：審題錯誤 例 3 在等腰直角三角形 ABC 中，過直角頂點 C 在 ACB 內(nèi)部任作一射線 CM，與線段 AB 交于點 M，求 AMAC 的概率 錯解 如圖，點 M 隨機地落在線段 AB 上，故 線段 AB 的長為基本事件的度量，當(dāng) M 位于線段 AC (AC AC)上時， AMAC，故線段 AC 的長為所求事件的度量 故 P(AMAC) P(AMAC ) ACAB ACAB 22 . 答： AM 的長小于 AC 的概率是 22 . 錯因分析 由于本題是在 ACB 作射線 CM，等可能分布的是 CM 在 ACB 內(nèi)的任一位置，因此基本事件的度量應(yīng)是 ACB 的大小而不是線段 AB 的長，這是類似問題由于等可能的視角不同造成的，概率也會不一樣 正解 據(jù)題意知 AMAC 的概率應(yīng)為滿足條件的 ACM 與 ACB 大小的比，即P(AMAC) 67.590 34. 幾點建議 1 重視錯題病例 “ 錯誤是最好的老師 ” ，錯題病例也是財富，它有時暴露我們的知識缺陷，有時暴露我們的思維不足，有時暴露我們的方法不當(dāng)毛病暴露出來了，也就有治療的方向，提供了糾錯的機會，只有認真地追根溯源查找錯因，教訓(xùn)才會深刻建議在復(fù)習(xí)過程中做到建立錯 題集，特別是那些概念理解不深刻、知識記憶錯誤、思維不夠嚴謹、方法使用不當(dāng)?shù)鹊湫湾e誤收集成冊，并加以評注，指出錯誤原因，經(jīng)常翻閱，常常提醒，以絕后患注意收集錯題也有個度的問題，對于那些一時粗心的偶然失誤，或一時情緒波動而產(chǎn)生的失誤應(yīng)另作他論 2 培養(yǎng)良好的審題能力 解題時審題要慢，要看清楚，步步為營，穩(wěn)中求快，立足于一次成功，不要養(yǎng)成唯恐做不完，匆匆忙忙搶著做，寄希望于檢查的壞習(xí)慣，這樣做的后果一則容易先入為主，致使有時錯誤難以發(fā)現(xiàn)；二則一旦發(fā)現(xiàn)錯誤，尤其是起步就錯，又要重復(fù)做一遍，既浪費時間，又造成心理 負擔(dān) 平面向量中的三角形 “ 四心 ” 問題 在三角形中， “ 四心 ” 是一組特殊的點，它們的向量表達形式具有許多重要的性質(zhì)，在近年高考試題中，總會出現(xiàn)一些新穎別致的問題，不僅考查了向量等知識點，而且培養(yǎng)了考生分析問題、解決問題的能力現(xiàn)就 “ 四心 ” 作如下介紹： 1 “ 四心 ” 的概念與性質(zhì) (1)重心：三角形三條中線的交點叫重心它到三角形頂點距離與該點到對邊中點距離之比為 2 1.在向量表達形式中，設(shè)點 G 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點，則當(dāng)點 G 是 ABC的重心時，有 GA GB GC 0 或 PG 13(PA PB PC )(其中 P 為平面內(nèi)任意一點 )反之，若 GA GB GC 0，則點 G 是 ABC 的重心在向量的坐標表示中，若 G，A， B， C 分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為 G(x， y)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3，y3)，則有 x x1 x2 x33 ， y y1 y2 y33 . (2)垂心：三角形三條高線的交點叫垂心它與頂點的連線垂直于對邊在向量表達形式中，若 H 是 ABC 的垂心，則 HA HB HB HC HC HA 或 HA 2 BC 2 HB 2 CA 2 HC 2 AB 2.反之，若 HA HB HB HC HC HA ，則 H 是 ABC 的垂心 (3)內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫內(nèi)心 內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等在向量表達形式中，若點 I 是 ABC 的內(nèi)心，則有 |BC |IA |CA |IB |AB |IC 0.反之，若 |BC |IA |CA |IB |AB |IC 0，則點 I 是 ABC 的內(nèi)心 (4)外心：三角形三條邊的中垂線的交點叫外心外心就是三角形外接圓的圓心，它到三角形的三個頂點的距離相等在向量表達形式中，若點 O 是 ABC 的外心，則 (OA OB )BA (OB OC )CB (OC OA )AC 0 或 |OA | |OB | |OC |.反之，若 |OA | |OB | |OC |，則點 O 是 ABC 的外心 2 關(guān)于 “ 四心 ” 的典型例題 例 1 已知 O 是平面上的一定點， A， B， C 是平面上不共線的三個動點，若動點 P 滿足 OP OA (AB AC )， (0， )，則點 P 的軌跡一定通過 AB