2014高考百天仿真沖刺卷（文科數學試卷三）

第 1 頁 共 9 頁 o 3 56 x y 1 1 2014 高考百天仿真沖刺卷 數 學 (文 ) 試 卷 （ 三 ） 第 卷 （ 選擇題 共 40分） 一、本大題共 8小題 ， 每小題 5分 ， 共 40分 。 在每小題 列 出的四個選項中 ，選出符合 題目要求的 一項。 （ 1） 已知復數 z 滿足 (1 i) 2z， 則 z 等于 （ A） 1i （ B） 1i （ C） 1i （ D） 1i （ 2）命題“0xR，20log 0x ”的否定為 （ A）0xR，20log 0x （ B）0xR，20log 0x 0 （ C） xR ，2log 0x 0 （ D） xR ，2log 0x （ 3）已知函數 ()fx是定義在 R 上的偶函數，且當 0x 時， ( ) ln ( 1)f x x，則函數 ()fx 的大致圖像為 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 4） 給定下列四個命題： 若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行， 則 這兩個平面平行； 若兩個平面都垂直于 同一條直線，則這兩個平面平行 ； 若兩個平面互相垂直，則在其中一個平面內的直線垂直另外一個平面 ； 若兩個平面互相平行，則在其中一個平面內的直線平行另外一個平面 其中 為真 命題 的是 （ A） 和 （ B） 和 （ C） 和 （ D） 和 （ 5） 已知函數 sinyx ( 0 , 0 )2 的 部分 圖象如 右 圖所示，則點 P , 的坐標 為 （ A） (2, )3 （ B） (2, )6 （ C） 1( , )23 （ D） 1( , )26 （ 6）若右邊的程序框圖輸出的 S 是 126 ，則條件可為 （ A） n 5 （ B） n 6 （ C） n 7 （ D） n 8 （ 7）已知函數 131( ) ( )2 xf x x，那么在下列區(qū)間中含有函數 ()fx零點的為 （ A） 1(0, )3 （ B） 11( , )32 （ C） 1( ,1)2 （ D） (1,2) （ 8）空間點到平面的距離如下定義：過空間一點作平面的垂線， 該點和垂足之間的距離即為該點 到平面的距離平面 ， ， 兩 兩互相1 O 1 x y 1 x y O O x y O x y 第 2 頁 共 9 頁 ECA BDP垂直，點 A ，點 A 到 ， 的距離都是 3 ，點 P 是 上的動點，滿足 P 到 的距離是到 P 到點 A距離的 2 倍，則點 P 的軌跡上的點到 的距離的最小值為 （ A） 3 （ B） 323 （ C） 36 （ D） 33 第 卷（非選擇題 共 110 分） 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分。 （ 9）拋物線 2 8yx 的焦點坐標為 （ 10） 在等差數列 na中，若1 2 32 , 1 3a a a ，則4 5 6a a a （ 11）已知向量 a ， b ， c 滿足 20a b c ，且 ac， | | 2a ， | | 1c ，則 |b （ 12） 已知 (,)2, 1ta n ( )47 ,則 sin c o s （ 13） 設22 , 1 ,()l o g ( 1 ) , 1 ,xaaxfxxx 且 (2 2 ) 1f ， 則 a ； ( (2)ff （ 14）設不等式組kkxyyx4,0,0 在直角坐標系中所表示的區(qū)域的面積為S ，則當 1k 時，1kkS的最小值為 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （ 15）（本小題共 13分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c 4cos5C ， 2 cosc b A （）求證： AB ； （）若 ABC 的面積 152S，求 c 的值 （ 16）（本小題共 13分） 已知四棱錐 P ABCD 的底面是菱形 PB PD ， E 為 PA 的中點 （ ）求證： PC 平面 BDE ； （）求證：平面 PAC 平面 BDE 第 3 頁 共 9 頁 75 80 85 90 95 100 分數 頻率組距 0.01 0.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05 （ 17）（本小題共 13分） 某高校在 2011年的自主招生考試成績中隨機抽取 100 名學生的筆試成績，按成績分組：第 1組 75， 80)，第 2組 80， 85)，第 3組 85， 90)，第 4組 90， 95)，第 5組 95， 100得到的頻率分布直方圖如圖所示 ( )分別求第 3， 4， 5組的頻率； ( )若該校決定在筆試成績高的第 3， 4， 5組中用分層抽樣 抽取 6名學生進入第二輪面試，求第 3， 4， 5組每組各抽取 多少名學生進入第二輪面試 ? ( )在 ( )的前提下，學校決定在這 6名學生中隨機抽取 2 名學生接受甲考官的面試，求第 4組至少有一名學生被甲考 官面試的概率 (18)（本小題共 14分） 已知函數 32()f x x a x x c ，且 2( )3af （ ）求 a 的值； （）求函數 )(xf 的單調區(qū)間； （）設函數 xexxfxg )()( 3，若函數 )(xg 在 2,3x 上單調遞增，求實數 c 的取值范圍 第 4 頁 共 9 頁 （ 19）（本小題共 14分） 已知橢圓 C 的中心在坐標原點， 焦點在 x 軸上，離心率為 12，橢圓 C 上的點到焦點距離的最大值為 3 （）求橢圓 C 的標準方程； （）若過點 (0, )Pm的直線 l 與橢圓 C 交于不同的兩點 ,AB，且 3AP PB ，求實數 m 的取值范圍 （ 20） (本小題共 13分 ) 對于 )2( nn *N ，定義一個如下數陣：nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211其中對任意的 ni 1 ，nj 1 ， 當 i 能整除 j 時， 1ija ；當 i 不能整除 j 時， 0ija （）當 4n 時，試寫出數陣44A； （）設njjjni ijaaaajt 211)( 若 x 表示不超過 x 的最大整數， 求證：nj jt1 )( ni in1 第 5 頁 共 9 頁 2013 高考百天仿真沖刺卷 數學 (文 )試卷（ 三 ）參考答案 一、選擇題（本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分） （ 1） A （ 2） D （ 3） C （ 4） D （ 5） A （ 6） B （ 7） B （ 8） D 二、填空題（本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分） （ 9） (2,0) （ 10） 42 （ 11） 22 （ 12）51 （ 13） 7 ； 6 （ 14） 32 注：兩個空的填空題第一個空填對得 2分，第二個空填對得 3分 三、解答題（本大題共 6小題，共 80分） （ 15）（共 13分） （）證明：因為 2 cosc b A ，由正弦定理得 s i n 2 s i n c o sC B A， 所以 s i n ( ) 2 s i n c o sA B B A ， sin ( ) 0AB， 在 ABC 中，因為 0 A， 0 B， 所以 AB 所以 AB 6分 （）解：由（ ）知 ab 第 6 頁 共 9 頁 OECDBAP因為 4cos5C ，所以 3sin5C 因為 ABC 的面積 152S，所以 1 1 5s i n22S a b C， 5ab 由余弦定理 2 2 2 2 c o s 1 0c a b a b C 所以 10c 13分 （ 16）（共 13分） （）證明：因為 E ， O 分別為 PA ， AC 的中點， 所以 EO PC 因為 EO 平面 BDE PC 平面 BDE 所以 PC 平面 BDE 6分 （）證明：連結 OP 因為 PB PD ， 所以 OP BD 在菱形 ABCD 中， BD AC 因為 O P A C O 所以 BD 平面 PAC 因為 BD 平面 BDE 所以平面 PAC 平面 BDE 13分 （ 17）（共 13分） 解： ( )由題設可知，第 3 組的頻率為 0.06 5 0.3 ， 第 4 組的頻率為 0.04 5 0.2 ， 第 5 組的頻率為 0.02 5 0.1 3分 ( )第 3 組的人數為 0.3 100 30， 第 4 組的人數為 0 .2 1 0 0 2 0， 第 5 組的人數為 0.1 100 10 因為第 3 ， 4 ， 5 組共有 60 名學生， 所以利 用分層抽樣在 60 名學生中抽取 6 名學生，每組抽取的人數分別為： 第 3 組： 30 6360， 第 4 組： 20 6260， 第 5 組： 10 6160 所以第 3 ， 4 ， 5 組分別抽取 3 人， 2 人， 1 人 8分 ( )設第 3 組的 3 位同學為1A，2A，3A， 第 4 組的 2 位同學為1B，2B， 第 5 組的 1 位同學為1C 則從六位同學中抽兩位同學有： 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A A A A A B A B A C 2 3 2 1 2 2 2 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A A A B A B A C 3 1 3 2 3 1( , ) , ( , ) , ( , ) ,A B A B A C 1 2 1 1 2 1( , ) , ( , ) , ( , ) ,B B B C B C 共 15種可能 第 7 頁 共 9 頁 其中第 4 組的 2 位同學為1B，2B至少有一位同學入選的有： 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A B A B A B A B 3 1 1 2 3 2 1 1 2 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A B B B A B B C B C共 9 種可能， 所以第 4 組至少有一名學生被甲考官面試的概率為 9315 5 13 分 （ 18）（共 14分） 解：（）由 32()f x x a x x c ，得 2( ) 3 2 1f x x a x 當32x時，得 22 2 2 2( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 13 3 3 3a f f ， 解之，得 1a 4分 （）因為 32()f x x x x c 從而 2 1( ) 3 2 1 3 ( ) ( 1 )3f x x x x x ，列表如下： x )31 , ( 31 )1 , 31( 1 ) , 1( )( xf 0 0 )(xf 有極大值 有極小值 所以 )(xf 的單調遞增區(qū)間是 )31,( 和 ),1( ； )(xf 的單調遞減區(qū)間是 )1,31( 9分 （）函數 32( ) ( ( ) ) ( )xxg x f x x e x x c e ， 有 2 ) ( 2 1 ) ( )xxg x x e x x c e （ = 2( 3 1 ) xx x c e ， 因為函數在區(qū)間 2,3x 上單調遞增， 等價于 2( ) 3 1 0h x x x c 在 2,3x 上恒成立， 只要 0)2( h 0，解得 11c 11， 所以 c 的取值范圍是 11c 11 14 分 （ 19）（共 14分） 解：（）設所求的橢圓方程為： 22 1 ( 0 )xy abab 由題意：2 2 2122331caaa c bca b c 所求橢圓方程為： 22143xy 5分 （）若過點 (0, )Pm的斜率不存在，則 32m 若過點 (0, )Pm的直線斜率為 k ，即： 32m 時， 直線 AB 的方程為 y m kx 第 8 頁 共 9 頁 由 2 2 222 ( 3 4 ) 8 4 1 2 03 4 1 2y k x m k x k m x mxy 2 2 2 26 4 4 ( 3 4 ) ( 4 1 2 )m k k m 因為 AB 和橢圓 C 交于不同兩點 所以 0 ， 224 3 0km 所以 2243km 設1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y 由已知 3AP PB ，則 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4k m mx x x xkk 1 1 2 2( , ) , ( , )A P x m y P B x y m 123xx 將代入得： 22224 4 1 23 ( )3 4 3 4k m mkk 整理得： 2 2 2 21 6 1 2 3 9 0m k k m 所以 222931 6 1 2mk m 代入式得 2222934343mkmm 2224 ( 3 ) 043mmm ，解得 23 34 m 所以 332m 或 3 32 m 綜上可得，實數 m 的取值范圍為： 33( 3 , , 3