高等數(shù)學 函數(shù)的極限.ppt

,第一章,二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,第四節(jié),一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,本節(jié)內容:,函數(shù)的極限,自變量變化過程的六種形式:,定義1.設函數(shù),充分大時有定義,在,則稱常數(shù),時的極限,幾何解釋:,記作,直線y=A為曲線,的水平漸近線.,A為函數(shù),一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限,的過程中，,對應的函數(shù)值,無限接近于一個數(shù)值A，,兩種特殊情況:,設函數(shù),充分大時,在,則稱常數(shù),時的極限,記作,A為函數(shù),的過程中，,對應的函數(shù)值,無限接近于一個確定的數(shù)值A，,當,有定義,或,如果函數(shù),當x在上述變化過程中沒有極限，,的,不能無限接近于數(shù)值A，,即對應,就說函數(shù),在該變化,過程中極限不存在。,當,直線y=A仍是曲線y=f(x)的漸近線.,幾何意義:,例如，,都有水平漸近線,都有水平漸近線,又如，,一般地,若,則直線y=A為函數(shù)y=f(x)的,圖形的水平漸近線.,例如，,不存在.,根據(jù)定義，,二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限,1.,時函數(shù)極限的定義,定義1.設函數(shù),在點,的某去心鄰域內有定義,則稱常數(shù)A為函數(shù),當,時的極限,或,記作,對應的函數(shù)值,無限接近于某一確定數(shù)值A，,且當x無限接近,時，即,時，,極限存在,函數(shù)局部有界,(P22定理1),這表明:,幾何解釋:,2.左極限與右極限,則稱常數(shù)A為函數(shù),當,時的右極限,記作,對應的函數(shù)值,無限接近于某一數(shù)值A，,時，即,時,（左）,（小于）,且當x大于而無限接近,（左）,或,左極限與右極限統(tǒng)稱為單側極限.,定理1.,(充要條件),例1.給定函數(shù),討論,時,的極限是否存在.,解:利用定理1.,因為,顯然,所以,不存在.,存在那么這極限唯一.,二、函數(shù)極限的性質,定理1(函數(shù)極限的唯一性),如果極限,定理2(函數(shù)極限的局部有界性),若,則函數(shù)f(x)在,的某一去心鄰域(|x|充分大)有界.,有,當,時,有,即,定理3.(函數(shù)極限的局部保號性),若,且A0,則存在,(A0,則當|x|充分大時，,(A0,要找d0，使得0|x-x0|d時，有|f(x)-A|e.即A-ef(x)A+e.,哈哈,d找到了!,d,d,d符合要求!這樣的d也能用,看來有一個d符合要求,就會有無窮多個,例2.證明,證:,欲使,取,則當,時,必有,因此,只要,例3.證明,證:,故,取,當,時,必有,因此,證明,的方法：,（1）,取,（2）每一個擴大條件用,（3）取,（4）得出