[課件資料]第五章

信號與系統(tǒng),主講：李軍2016.09.01,第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析,5.1拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域三、(單邊)拉普拉斯變換,頻域分析以虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。,本章引入復(fù)頻率s=+j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號，任意信號可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復(fù)頻率s，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。,5.1拉普拉斯變換,一、從傅里葉到拉普拉斯變換,有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實常數(shù)）乘信號f(t)，適當(dāng)選取的值，使乘積信號f(t)e-t當(dāng)t時信號幅度趨近于0，從而使f(t)e-t的傅里葉變換存在。,相應(yīng)的傅里葉逆變換為,f(t)e-t=,Fb(+j)=f(t)e-t=,令s=+j,d=ds/j，有,雙邊拉普拉斯變換對,Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。,二、收斂域,只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。,例1因果信號f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯變換。,解,可見，對于因果信號，僅當(dāng)Res=時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。,收斂域,收斂邊界,例2反因果信號f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯變換。,解,可見，對于反因果信號，僅當(dāng)Res=時，其收斂域為Res2,Res=3,例4求下列信號的雙邊拉氏變換。f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=e-3t(t)e-2t(t)f3(t)=e-3t(t)e-2t(t),解,3-,2、(t)或11/s，0,3、指數(shù)函數(shù)e-s0t,-Res0,cos0t=(ej0t+e-j0t)/2,sin0t=(ej0te-j0t)/2j,4、周期信號fT(t),特例：T(t)1/(1e-sT),五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系,Res0,要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號。,根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況：（1）0-2；則F(j)=1/(j+2),根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況：（2）0=0，即F(s)的收斂邊界為j軸,如f(t)=(t)F(s)=1/s,=()+1/j,根據(jù)收斂坐標(biāo)0的值可分為以下三種情況：（3）00，F(xiàn)(j)不存在。例f(t)=e2t(t)F(s)=1/(s2),2；其傅里葉變換不存在。,作業(yè)：5.1(1),(3),(8)、5.2(a),(f),THANKS,第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析,5.2拉普拉斯變換性質(zhì),一、線性性質(zhì),若f1(t)F1(s)Res1,f2(t)F2(s)Res2則a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2),例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0,二、尺度變換,若f(t)F(s),Res0，且有實數(shù)a0，則f(at),Resa0,例：如圖信號f(t)的拉氏變換F(s)=,求圖中信號y(t)的拉氏變換Y(s)。,解：,y(t)=4f(0.5t),Y(s)=42F(2s),三、時移（延時）特性,若f(t)F(s),Res0,且有實常數(shù)t00,則f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res0,與尺度變換相結(jié)合,f(at-t0)(at-t0),例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。,解：f1(t)=(t)(t-1)，f2(t)=(t+1)(t-1),F1(s)=,F2(s)=F1(s),例2:已知f1(t)F1(s),求f2(t)F2(s),解：f2(t)=f1(0.5t)f10.5(t-2),f1(0.5t)2F1(2s),f10.5(t-2)2F1(2s)e-2s,f2(t)2F1(2s)(1e-2s),例3:求f(t)=e-2(t-1)(t)F(s)=?,四、復(fù)頻移（s域平移）特性,若f(t)F(s),Res0,且有復(fù)常數(shù)sa=a+ja,則f(t)esatF(s-sa),Res0+a,例1:已知因果信號f(t)的象函數(shù)F(s)=,求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。,解：e-tf(3t-2),例2:f(t)=cos(2t/4)F(s)=?,解cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4),五、時域的微分特性（微分定理）,若f(t)F(s),Res0,則f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-),f(n)(t)snF(s),若f(t)為因果信號，則f(n)(t)snF(s),例1:(n)(t)?,例2:,例3:,六、時域積分特性（積分定理）,若f(t)F(s),Res0,則,例1:t2(t)?,例2:已知因果信號f(t)如圖,求F(s),解：對f(t)求導(dǎo)得f(t)，如圖,由于f(t)為因果信號，故,f(0-)=0,f(t)=(t)(t2)(t2)F1(s),例2:已知因果信號f(t)如圖,求F(s),解：,結(jié)論：若f(t)為因果信號，已知f(n)(t)Fn(s)則f(t)Fn(s)/sn,七、卷積定理,時域卷積定理若因果函數(shù)f1(t)F1(s),Res1,f2(t)F2(s),Res2則f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s),復(fù)頻域（s域）卷積定理,例1：已知F(s)=,例2：,作業(yè)：5.3(1),(3),(5),(7),(9),(11),(13),(15)、5.4(2),(4),THANKS,5.2拉普拉斯變換性質(zhì),八、s域微分和積分,若f(t)F(s),Res0,則,例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2),t2e-2t(t),例2：,例3：,九、初值定理和終值定理,初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函數(shù)f(t),初值定理,設(shè)函數(shù)f(t)不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，若F(s)為假分式化為真分式），則,九、初值定理和終值定理,初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函數(shù)f(t),終值定理,若f(t)當(dāng)t時存在，并且f(t)F(s),Res0,00，則,例1：,例2：,5.3拉普拉斯逆變換,直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法（1）查表（2）利用性質(zhì)（3）部分分式展開-結(jié)合,若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為,若mn（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。,由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。,下面主要討論有理真分式的情形。,部分分式展開法,若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為,式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。n個特征根pi稱為F(s)的極點。,（1）F(s)為單極點（單根）,例1:,例2:,特例：若F(s)包含共軛復(fù)根時(p1,2=j),K2=K1*,f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t),若寫為K1,2=AjB,f1(t)=2e-tAcos(t)Bsin(t)(t),例3,例4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。,解：A(s)=0有6個單根，它們分別是s1=0，s2=1，s3,4=j1，s5,6=1j1，故,K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1K3=(sj)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2),例4：求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)f(t)。,解：,K5=(s+1j)F(s)|s=-1+j=,K6=K5*,（2）F(s)有重極點（重根）,若A(s)=0在s=p1處有r重根，,K11=(sp1)rF(s)|s=p1，K12=(d/ds)(sp1)rF(s)|s=p1,舉例:,作業(yè)：5.6(1)、5.7(b)、5.8(1),(3),THANKS,第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析,5.4復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)的s域框圖四、電路的s域模型,點擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié),5.4復(fù)頻域系統(tǒng)分析,一、微分方程的變換解,描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。,思路：用拉普拉斯變換微分特性,若f(t)在t=0時接入系統(tǒng)，則f(j)(t)sjF(s),y(t)，yZI(t)，yZS(t),s域的代數(shù)方程,YZI(s),YZS(s),例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y(0-)=-1，激勵f(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),YZI(s),YZS(s),解：方程取拉氏變換，并整理得,y(t)=2e2t(t)e3t(t)-4e2t(t)+,yZI(t),yZS(t),暫態(tài)分量yt(t),穩(wěn)態(tài)分量ys(t),二、系統(tǒng)函數(shù),系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為,它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。,yzs(t)=h(t)*f(t),H(s)=Lh(t),Yzs(s)=Lh(t)F(s),例2已知當(dāng)輸入f(t)=e-t(t)時，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。,解,h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t),微分方程為y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t),s2Yzs(s)+5sYzs(s)+6Yzs(s)=2sF(s)+8F(s),取逆變換yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t)=2f(t)+8f(t),三、系統(tǒng)的s域框圖,時域框圖基本單元,s域框圖基本單元,X(s),s-1X(s),s-2X(s),例3如圖框圖，列出其微分方程,解畫出s域框圖,s-1,s-1,F(s),Y(s),設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖,X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s),s域的代數(shù)方程,X(s),s-1X(s),s-2X(s),例3如圖框圖，列出其微分方程,解,s-1,s-1,F(s),Y(s),Y(s)=X(s)+4s-2X(s),微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t),再求h(t)?,四、電路的s域模型,對時域電路取拉氏變換,1、電阻元件的s域模型,U(s)=RI(s),u(t)=Ri(t),電阻元件的s域模型,2、電感元件的s域模型,U(s)=sLIL(s)LiL(0-),電感元件的s域模型,I(s)=sCUC(s)CuC(0-),電容元件的s域模型,4、KCL、KVL方程,求響應(yīng)的步驟,畫0-等效電路，求初始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換U(s)或I(s)；拉氏反變換求u(t)或i(t)。,例1,(1),(2),(3)列方程,解：,如圖電路，初始狀態(tài)為0，t=