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1.求證:. 解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而所以 2.求證: 解析: 3. 已知.求證:.4.求證:解析:一方面:(法二) 另一方面: 5.求證:(1) 解析:構(gòu)造函數(shù),得到,再進(jìn)行裂項(xiàng),求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: ,5.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖,取函數(shù),首先:,從而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有6.求證:和.解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明7.求證: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強(qiáng)命題)8.證明: 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以9.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),為其前項(xiàng)和,對于任意,總有成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ,且,求證:對任意實(shí)數(shù)(是常數(shù),2.71828)和任意正整數(shù),總有 2;() 正數(shù)數(shù)列中,.求數(shù)列中的最大項(xiàng). ()解:由已知:對于,總有 成立 (n 2) -得均為正數(shù), (n 2) 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 又n=1時(shí), 解得=1.() ()證明:對任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)n,總有. ()解:由已知 , 易得 猜想 n2 時(shí),是遞減數(shù)列. 令當(dāng)在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.n2 時(shí), 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.又 , 數(shù)列中的最大項(xiàng)為. 10. 已知證明. 解析: ,然后兩邊取自然對數(shù),可以得到然后運(yùn)用和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路:。于是, 即注:題目所給條件()為一有用結(jié)論,可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;當(dāng)然,本題還可用結(jié)論來放縮: ,即11已知函數(shù)若 解析:設(shè)函數(shù) 函數(shù))上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.的最小值為,即總有而即令則 12 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立. (I)求證:函數(shù)上是增函數(shù); (II)當(dāng); (III)已知不等式時(shí)恒成立,求證:解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù) (II)因?yàn)樯鲜窃龊瘮?shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以13定義 如果內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)則(1) 若對則函數(shù)在內(nèi)為凸函數(shù). (2) 若對則函數(shù)在內(nèi)為凹函數(shù).若函數(shù)內(nèi)是凸(或凹)函數(shù)時(shí),對及,有Jensen(琴森)不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 證明下列不等式.分析 上式只要能證明,如果此題用前面所述的幾種方法來證明顯然不合適,因?yàn)閷λ髮?dǎo)后不等式會(huì)更復(fù)雜.而這里的可以看作是同一函數(shù)的多個(gè)不同函數(shù)值,設(shè)那么就可以用Jensen不等式來證明它.然后只要令,同理可得.證明 令因?yàn)?,所以是凹函數(shù)則對有即 又因?yàn)?所以 令 , 則同理可得所以14.(浙江省五校2009屆高三第一次聯(lián)考理科第21題)已知函數(shù),數(shù)列滿足:(1)求證:;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)求證不等式:分析:(1)構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性證明;(2)根據(jù)函數(shù)關(guān)系把數(shù)列的遞推關(guān)系找出來,利用變換的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的關(guān)系解決;(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)果分析探究解析:(1), ,當(dāng)時(shí),即是單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)時(shí),即是單調(diào)遞減函數(shù) 所以,即是極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn) ,當(dāng)時(shí)取到等號(hào) (2)由得, ,即數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng)為,公差為,(3) 又時(shí),有,令,則 15 (1)證明: (2)數(shù)列中. ,且; 證明: 解析:(1)設(shè),則. 所以在內(nèi)是減函數(shù), . 又在處連續(xù),所以. 即(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證之.a.當(dāng)時(shí), ; b.假設(shè)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,結(jié)論成立.綜上,對一切,有.由及已知得,所以 .所以,又由(1)得,所以,.相加,得,故不等式成立.點(diǎn)評:本題是一道改編題,屬于理科數(shù)學(xué)的預(yù)測題.遞推數(shù)列與不等式證明的結(jié)合,是歷年高考命題的常見策略.16.已知用數(shù)學(xué)歸納法證明;對對都成立,證明(無理數(shù))(05年遼寧卷第22題)解析 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件()的結(jié)構(gòu)特征,可得放縮思路:。于是, 即注:題目所給條件()為一有用結(jié)論,可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用;當(dāng)然,本題還可用結(jié)論來放縮: ,即17已知數(shù)列滿足,且。(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(II)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式恒成立。解:(I)顯然,由可得,即,也即,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,從而有,即。 證明:(II)由得,所以有,為證,只需證。 ,猜想有。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=1時(shí), 式顯然成立;假設(shè)當(dāng)時(shí), 式成立,即。那么當(dāng)時(shí),上式表明當(dāng)時(shí), 式也成立。由、可知對一切, 式都成立。利用 式得,故式成立,從而結(jié)論成立。18. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:()()()若則當(dāng)n2時(shí),.解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.(1)當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.4分又由, 得,從而.綜上可知6分()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因?yàn)?所以,即0,從而10分() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 12分由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 = . 14分由 兩式可知: .16分19已知等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明;(3)設(shè),證明:對任意的正整數(shù),均有.【解析】(1).是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.,所以.(2)設(shè),則.故,所以.所以,所以.所以,.(3)因?yàn)椋?當(dāng)時(shí),即;當(dāng)時(shí),即.所以.又因?yàn)闀r(shí),并且,所以.所以對任意的正整數(shù),均有的最大值為,所以對任意的正整數(shù),均有.20.對于函數(shù),若存在,使成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、,且.()試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()已知各項(xiàng)不為1的數(shù)列滿足,求證:;()在(2)中,設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:.解:(1)設(shè) 1分 由 又 3分 于是 由得或; 由得或 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,4分單調(diào)減區(qū)間為和 5分(2)由已知可得, 當(dāng)時(shí), 兩式相減得或6分當(dāng)時(shí),若,則這與矛盾 7分于是,待證不等式即為.為此,我們考慮證明不等式令則,再令, 由知當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增 于是即 9分 令, 由知當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增 于是即 由、可知 所以,即 11分(3)由(2)可知 則 在中令,并將各式相加得 即 14分21. 對于函數(shù),若存在x0R,使f(x0)x0成立,則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)如果函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2()試求b、c滿足的關(guān)系式;()若c2時(shí),各項(xiàng)不為零的數(shù)列an滿足4Snf()1,求證:;()設(shè)bn,Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,求證:T20091ln2009T2008()設(shè) 2分()c2 b2 ,由已知可得2Snanan2,且an1當(dāng)n2時(shí),2 Sn -1an1an12 ,得(anan1)( anan11)0,anan1 或 anan1 1,當(dāng)n1時(shí),2a1a1a12 a11,若anan1,則a21與an1矛盾anan11, ann4分要證待證不等式,只要證 ,即證 ,只要證 ,即證 考慮證不等式(x0) *6分令g(x)xln(1x), h(x)ln(x1) (x0) g (x), h (x),x0, g (x)0, h (x)0,g(x)、h(x)在(0, )上都是增函數(shù),g(x)g(0)0, h(x)h(0)0,x0時(shí),令則*式成立,9分()由()知bn,則Tn在中,令n1,2,3,2008,并將各式相加,得,即T20091ln2009T200812分22.已知函數(shù).()求的單調(diào)區(qū)間和極值;()求證:.解:()定義域?yàn)椋?2分 令,令 故的單調(diào)遞增區(qū)間為,的單調(diào)遞減區(qū)間為 的極大值為 ()證:要證 即證, 即證 即證 令,由()可知在上遞減,故 即,令,故 累加得, 故,得證23已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直
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