高等幾何講義 第四章二次曲線的射影理論

第四章二次曲線的射影理論1.配極與二次曲線,1.二階曲線與二級曲線,給定配極,其中，aijaji，Aij是(aij)中aij的代數(shù)余子式其對應(yīng)的二階曲線和二級曲線方程為：,1.配極與二次曲線,由于配極有兩種類型，故曲線也如此,1.配極與二次曲線,由于配極與曲線的對應(yīng)，故可將配極的相關(guān)概念移植到曲線下面就雙曲型配極對應(yīng)的曲線討論點(diǎn)、直線與曲線的關(guān)系,1.配極與二次曲線,1.配極與二次曲線,2.極點(diǎn)與極線二次曲線配極的極點(diǎn)和極線，稱為其對應(yīng)二階曲線和二級曲線的極點(diǎn)和極線,1.配極與二次曲線,下述定理表明，二階曲線與二級曲線就其本質(zhì)而言是一樣的,1.配極與二次曲線,定理3不在二次曲線上的點(diǎn)為二切線點(diǎn)其極線是二切點(diǎn)線，且極線與曲線的兩交點(diǎn)與此二切線點(diǎn)所連直線是切線,因上述二相互對偶的定理，二階曲線與二級曲線統(tǒng)一了起來，將二者統(tǒng)稱為二次曲線方程(2)和(2)/分別是二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程和線坐標(biāo)方程由此可知：二級曲線是配極變換的自共軛直線的集合，它與二階曲線是對偶的,1.配極與二次曲線,證明：設(shè)過二切線點(diǎn)x的兩條切線、的切點(diǎn)分別為y、z,從而x的極線與曲線交于y、z兩點(diǎn)即是二切點(diǎn)線反之，設(shè)點(diǎn)x的極線與曲線交于y、z兩點(diǎn)因點(diǎn)x的極線過y、z兩點(diǎn)，故y、z的極線、過x這即是說、就是過x的兩條切線,因y、z的極線、過x，故x的極線過y、z,1.配極與二次曲線,1.配極與二次曲線,推論不在曲線上的點(diǎn)是無切線點(diǎn)其極線是無切點(diǎn)線例1已知二次曲線:x123x22x322x1x24x1x30和點(diǎn)a(1,0,1)，試判定點(diǎn)a是二次曲線的哪一類點(diǎn)解法1：方程可改寫為：,由此可得a關(guān)于的極線:x1x2x30，解得x3x1x2，代入方程得,3x122x1x22x220因22432200，故為的無切點(diǎn)線，從而a是的無切線點(diǎn)解法2：由(*)式可得，與a的線坐標(biāo)方程分別為：:31232223221212134230，a:130，將a的線坐標(biāo)方程代入的線坐標(biāo)方程，得7122122220，其判別式22472520,b30，再作坐標(biāo)變換：yibi1/2xi/(i1,2,3)，則可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：y12y22y320稱為虛二階曲線,3.二次曲線的射影分類,情形2：(aij)的秩為2,此時(shí)，o/(1)和o/(2)都不在上，而o/(3)是的奇點(diǎn)設(shè)經(jīng)坐標(biāo)變換(5)，曲線方程為：a/ijx/ix/j0，a/ija/ji(7),因o/(3)是的奇點(diǎn)，故a/13a/23a/330又o/(1)的極線是(1,0,0)而o/(2)的極線是(0,1,0)，故由此可證：a/11，a/220，a/120即(7)式為：a/11x/12a/22x/220再作坐標(biāo)變換：yi|a/ii|1/2x/i(i1,2)，y3x/3，則方程為以下二標(biāo)準(zhǔn)形式之一：y12y220，(8)y12y220(9)方程(8)表示交于奇點(diǎn)的一對實(shí)直線：y1y20；方程(9)表示唯一奇點(diǎn)，或說其表示一對虛直線：y1iy20,3.二次曲線的射影分類,3.二次曲線的射影分類,情形3：(aij)的秩為1,此時(shí)，o/(1)不在上，而o/(2)和o/(3)是的奇點(diǎn)設(shè)經(jīng)坐標(biāo)變換(5)，曲線方程為(7),由此得a/110，a/22a/33a/12a/13a/230意味著方程可寫為標(biāo)準(zhǔn)形式：y120表示一對重合直線，即奇點(diǎn)軌跡,因形如(0,x/2,x/3)的點(diǎn)都是奇點(diǎn)，故對x/2,x/3，均有下式成立：,3.二次曲線的射影分類,由上述討論，可得二階曲線的射影分類：,一對重合直線：x120,3.二次曲線的射影分類,由對偶原理，可得二級曲線的射影分類：,一對重合實(shí)點(diǎn)：120,3.二次曲線的射影分類,例1求坐標(biāo)變換，將二階曲線x12x22x322x2x32x1x36x1x20化成標(biāo)準(zhǔn)方程,解法一：按前述求新坐標(biāo)系的方法求出三點(diǎn)o/1(1,0,0)，o/2(3,1,0)，o/3(1,1,2)作坐標(biāo)變換：x1x/13x/2x/3，x2x/2x/3，x3x/3，則原方程變?yōu)閤/128x/228x/320再作坐標(biāo)變換y1x1/，y281/2x3/，y381/2x2/，則得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y12y22y320,解法二：經(jīng)配方，原方程可改寫為(x1x2x3)28x1x20作坐標(biāo)變換：x/1x1x