初高中銜接教材(自己修訂版).doc

第一節(jié) 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 絕對值及零點(diǎn)分段法一、知識點(diǎn)1.絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零即2.絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 3.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離二、例題例1：在下列條件下去掉絕對值（1）； (2)； (3)例2：解絕對值不等式（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；練習(xí)：； ； ； ； ； 例3：解不等式 （1）； （2）例4：（1）求函數(shù)的最小值 （2）求函數(shù)的最大值例5：作出下列函數(shù)圖像 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）例6：（1）方程有4個解，求的取值范圍； （2）不等式的解為一切實(shí)數(shù)，求的范圍。練習(xí)：不等式組 無解，求a的范圍。1.1.2. 乘法公式一、知識點(diǎn)我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三數(shù)和平方公式 ；（4）兩數(shù)和立方公式 ；（5）兩數(shù)差立方公式 對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明二、例題例1 計算：例2 已知，求的值練習(xí)1填空：（1）（ ）；（2） ；（3） 2選擇題：（1）若是一個完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不論，為何實(shí)數(shù)，的值 （ ） （A）總是正數(shù) （B）總是負(fù)數(shù) （C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)例3 （1）已知，求與的值；（2） 已知：，求與的值；（3）已知：，求與的值；（4）已知：，求值：；練習(xí)：1已知：，求的值；2已知：，求的值；3若，求的值；4設(shè)，求的值；5計算：（1）=_；（2）_；(3)_；(4)=_；(5) _；(6)_；6已知：，求的值。7若，求的值；8已知：、是正實(shí)數(shù)，且，求的值；1.1.3二次根式一、知識點(diǎn) 一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式2二次根式的意義二、例題例1 將下列式子化為最簡二次根式：（1）； （2）； （3）例2計算：51例3 試比較下列各組數(shù)的大?。海?）和； （2）和.例4化簡：例 5 化簡：（1）； （2）例 6 已知，求的值 練習(xí)：1填空：（1）_ _；（2）若，則的取值范圍是_ _ _；（3）_ _；（4）若，則_ _2選擇題：等式成立的條件是 （ ）（A） （B） （C） （D）1.1.4分式1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當(dāng)M0時，分式具有下列性質(zhì)：； 上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)2繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1 若，求常數(shù)的值例2（1）試證：（其中n是正整數(shù)）； （2）計算：； （3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n， 有拓展練習(xí):1 解不等式 2 設(shè)，求代數(shù)式的值3 當(dāng)，求的值4 設(shè)，求的值5化簡或計算：(1) (2) 6（1）已知，求的值（2）若，求8.若，則( ) （A） （B） （C） （D）9.計算等于 （ ） （A） （B） （C） （D）10解方程11計算：12試證：對任意的正整數(shù)n，有第二節(jié) 分解因式1公式法常用的乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 45(立方和公式)6 (立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運(yùn)用上述公式可以進(jìn)行因式分解2分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組常見題型：（1）分組后能提取公因式 （2）分組后能直接運(yùn)用公式3十字相乘法（1）型的因式分解 這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：二次項系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)之積； 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和，運(yùn)用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式（2）一般二次三項式型的因式分解由我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添項法例1 （公式法）分解因式：(1) ； (2) 例2 （分組分解法）分解因式：（1） （2）例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2) 例5 （拆項法）分解因式【鞏固練習(xí)】把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 拓展練習(xí):1分解因式 （1） （2） （3） （4）（5） 第三節(jié) 不等式解法1一元二次不等式解的各種情形 或（）圖象解法：判別式一元二次方程的解二次函數(shù)圖象不等式的解、是兩根且或兩條射線無解無解全體實(shí)數(shù)R注：的情形由學(xué)生行討論例1：解下列不等式：（1）； （2）；（3）； （4）；練習(xí)：（1）； （2）； (3)； （4）；2. 分式不等式例2：解不等式：（1） （2）練習(xí)：解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6) ； (7) ；(8) ； (9) 例3：（1）不等式的解為，求的值； (2)函數(shù)的圖像在軸上方，求的值； (3)函數(shù)的自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)R，求的范圍； (4)不等式恒成立，求的范圍；3解高次不等式：例1：解下列不等式：(1)； (2)； (3)；例2：解下列不等式：(1)； (2) ；(3)4.解含參數(shù)的不等式：(1)； (2)；(3)； (4)；拓展練習(xí):1解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 2解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3解下列不等式：(1) (2) 4解關(guān)于的不等式5已知關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍6若不等式的解是，求的值7取何值時，代數(shù)式的值不小于0？8.已知函數(shù) (a為常數(shù))在2x1上的最小值為n，試將n用a表示出來9.解關(guān)于x的不等式x22x1a20（a為常數(shù)）10.不等式的解是求不等式的解第四節(jié) 一元二次方程及韋達(dá)定理一、知識點(diǎn)1.根的判別式我們知道，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以將其變形為 因?yàn)閍0，所以，4a20于是（1）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)b24ac0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)b24ac0時，方程的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情況可以由b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判別式，通常用符號“”來表示綜上所述，對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 當(dāng)0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 x1，2；（2）當(dāng)0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 x1x2；（3）當(dāng)0時，方程沒有實(shí)數(shù)根注：(1)使用判別式時要保證二次項系數(shù)；(2)一元二次方程有實(shí)數(shù)根；(3)二次三項式為完全平方式；(4)二次三項式 恒正 或 ；2.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實(shí)數(shù)根 ，則有 ； 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2bxc0（a0）的兩根分別是x1，x2，那么x1x2，x1x2這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2(x1x2)xx1x20二、例題講解例1.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)）（1） （2）（3） （4）x22xa0 練習(xí)：1.當(dāng)為何值時，直線與拋物線，有兩個交點(diǎn)； 有一個交點(diǎn)； 無交點(diǎn)；2. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，求的范圍；3.取何值時，多項式是一個完全平方式；例2.若方程兩根分別為與，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)；例3. 二次函數(shù) 與軸交于A、B兩點(diǎn)，求的最小值；練習(xí)：求二次函數(shù)與直線截得弦長的最小值；例4：已知：實(shí)數(shù)、滿足，求的范圍；例5：設(shè)是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)根、，(1)若，求的值； (2)求的最大值；例6：關(guān)于的一元二次方程， (1)兩根同號，求的范圍； (2)兩根異號，求的范圍；例7：是否存在常數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實(shí)根、滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的值，如果不存在，請說明理由。拓展練習(xí):1若是方程的兩個根，則的值為( )A B C D2若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( )ABC D大小關(guān)系不能確定3若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （ ） A m B.m Cm，且m0 D .m，且m0 4設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ _ ，= _ _ 5已知實(shí)數(shù)滿足，則= _ _ ，= _ ，= _ 6已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根7若是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，且都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值第五節(jié) 一元二次方程實(shí)根分布問題 一元二次方程實(shí)根的分布情況有很多，常見的有6種，見下表。表中的圖像是的圖像，是方程的根。根的分布圖像充要條件根的分布在內(nèi)有且僅有一個根圖像充要條件或且或或例1：已知二次方程有且只有一根在(0,1)內(nèi)，且都不是方程的解求實(shí)數(shù)的取值范圍；例2：已知方程兩根在之間，求的取值范圍；例3：已知二次方程的一根小于，另一根大于1，求的取值范圍；例4：已知：方程的兩實(shí)根都大于1，求的取值范圍； 練習(xí)：1 已知方程有且僅有一個根屬于(1,2)，且都不是方程的解，求的范圍；2 已知：方程有一個大于的負(fù)根，一個小于2的正根，求的范圍；3 已知方程兩個根都屬于，求的范圍；4 已知方程兩根都大于，求的范圍；5 已知方程一根小于1，一根大于1，求的范圍；第六節(jié) 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值知識要點(diǎn)：1.次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時的最值情況(當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值2介紹區(qū)間；3值域；例1：在以下條件下，求函數(shù)的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)；例2：求函數(shù)在時的最大值和最小值；例3：求函數(shù)在上的最大值和最小值；練習(xí)：1 求函數(shù)在上的最大值；2 求函數(shù)在上的最小值；3 函數(shù)的最大值是_，最小值是_；4 求二次函數(shù)在上的最值；5 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；6 求函數(shù)在區(qū)間上的最值；7 求函數(shù)的最大值或最小值；8 求函數(shù)的最小值；9 求函數(shù)的值域；拓展練習(xí):1拋物線，當(dāng)= _ 時，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _ 時，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _ 時，圖象過原點(diǎn)2用一長度為米的鐵絲圍成一個矩形，則其所圍成的最大面積為 _3設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值4已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值5求函數(shù)的最大值和最小值6已知關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)取何值時，的最小值為0？第七節(jié) 集合7.1 集合的含義和表示一 什么是集合 在數(shù)學(xué)語言里，把一些對象放在一起考慮時，就說這些事物組成了一個集合（set），給這些對象的總的名稱，就是這個集合的的名稱，就是這個集合的名字，這些對象中的每一個，都叫作這個集合的一個元素（）.約定：（1）集合用大寫字母表示，元素用小寫字母表示。如：集合A,B,M,N, 元素（2）同一集合中的元素互不相同的也與順序無關(guān)二集合與元素的關(guān)系 只有屬于和不屬于兩種關(guān)系。 設(shè)是集合，是元素。若是的一個元素，則屬于（ ），記作。 若不是的一個元素，則不屬于，記作。三 常見集合1. 全體整數(shù)組成的集合叫整數(shù)集（set of integer）,記作2. 全體有理數(shù)組成的集合叫有理數(shù)集（set of rational number）,記作3. 全體實(shí)數(shù)組成的集合叫實(shí)數(shù)集（set of real number）,記作4. 全體自然數(shù)數(shù)組成的集合叫自然數(shù)數(shù)集（set of natural number）,記作,用分別表示正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)，類似地有 有時也可臨時取一個，如一副撲克牌有54張，組成一個集合，這個集合不妨叫12種生肖屬相，組成一個集合，這個集合不妨叫四 集合的分類1. 有限集：元素個數(shù)有限。2 無限集：元素個數(shù)無限多個。2. 空集（empty set）：沒有元素的集合,記作 ，如一元二次方程的解組成的集合五 集合的表示方法1. 列舉法：把集合中的元素一個一個地列舉出來，元素之間用逗號隔開，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法叫列舉法。如：小于10的正偶數(shù)組成的集合或 無窮集一般不能用列舉表示.特殊的可以如自然數(shù)集2. 描述法：把集合中元素共有的，也只有該集合才有的屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。基本格式為 代表元素；：公共屬性?；蛉纾海?）一元二次方程的解組成的集合（2）一元二次不等式的解組成的集合（3）一元二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合運(yùn)用舉例：例1用或填空 （1）0 ； ； ； ； ； （2）；0 A； 3 A； 3.5 A 10 A (1,2) A(0,0) B; (1,1) B; 2 B例2.用列舉法表示下列集合.(1) 不大于10的非負(fù)偶數(shù)集;(2) 自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)集;(3)例3.用描述法表示下列集合(1) 使有意義的實(shí)數(shù)的集合;(2) 坐標(biāo)平面上第一,三象限上的點(diǎn);(3) 函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的集合;(4) 方程的解集.例4.用列舉法表示下列集合 (1) ; (2) 例5.設(shè)為滿足下列兩個條件的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合：內(nèi)不含1；若,則（1） 若,則中必有其他兩個數(shù)，求出這兩個數(shù)。（2） 求證：若,則;（3） 集合中元素的個數(shù)能否只有一個？請說明理由。練習(xí):1為非零實(shí)數(shù),則的所有值組成的集合為 .2. 已知集合 (1) 若中有兩個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；3.是否存在實(shí)數(shù)和，使集合與的元素完全相同。4.由正整數(shù)組成的集合滿足：（1）若則；(2) 中有三個元素.試用列舉法表示集合.7.2 集合與集合的關(guān)系一 集合的子集和真子集子集真子集相等符號文字語言如果集合B的每個元素都是集合A的元素， 就說B包含于A,或者說A包含B,記作(或,符號讀作“包含于”，符號讀作“包含”如果B是A的子集，但A不是B的子集，就說B是A的真子集，記作若集合A是集合B的子集，且B也是A的子集，則稱A與B相等符號語言若由，則若且，則圖形語言或二 子集的性質(zhì) （1） （2） （3） （4） （5）三全集與補(bǔ)集全集補(bǔ)集符號文字語言如果集合U含有我們所要研究的各個集合的全部元素，則稱U為全集。若集合A是全集U的一個子集，則稱U中所有的不屬于A的元素所組成的集合為A的補(bǔ)集。符號語言若則為全集圖形語言四 真子集的性質(zhì) （1） （2） （3）舉例：例1 寫出集合的所有子集例2 已知集合，且，求的值。例3 已知全集，求實(shí)數(shù)的值。例4 若集合，求的值。例5 已知集合，求例6 已知，求實(shí)數(shù)的范圍。練習(xí)：1.已知集合，且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。2.已知集合，集合，若,則實(shí)數(shù) .3.已知三元素集合，且,求與的值。4.若不等式成立，則關(guān)于的不等式也成立，求實(shí)數(shù)的范圍。5.求集合的所有子集的元素之和。7.3 交集，并集1. 交集,并集 交集并集符號文字語言由集合A和集合B的公共元素組成的集合叫A與B的交集集合A和集合B的元素合并在一起組成的集合叫A與B的并集符號語言圖形語言2性質(zhì)（1）交集的性質(zhì)：；（2）并集的性質(zhì)： ；3運(yùn)用舉例： 例1已知集合，分別求適合下列條件的的值。 （1）；（2）例2已知集合，求例3設(shè)集合，集合，當(dāng)時，求例4設(shè)（1） 若，求的值。 （2）若，求的值。例5設(shè)集合，全集，求 例6設(shè)集合，求集合A 和B例7向50名學(xué)生調(diào)查對A，B兩事件的態(tài)度有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體人數(shù)的，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成，另外對A，B都不贊成的人數(shù)比對A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的多1人，問A，B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？練習(xí)：1。高一年級學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽集訓(xùn)的有55人，參加物理競賽集訓(xùn)的有52人，其中同時參加數(shù)學(xué)競賽集訓(xùn)和物理競賽集訓(xùn)的有30人，兩個小組都不參加的有463人，求全年級的人數(shù)。2已知集合 且，求實(shí)數(shù)的值。3