數(shù)學(xué)建模席位分配問題.ppt

2.3 公平的席位分配,某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問三系各有多少個(gè)席位？,按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則,表示某單位的席位數(shù),表示某單位的人數(shù),表示總?cè)藬?shù),表示總席位數(shù),1 問題的提出（美國憲法 1788）,20個(gè)席位的分配結(jié)果,現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,現(xiàn)象1 丙系少了6人，但席位仍為4個(gè)。(不公平?。?Halmiton(1790) 先按整數(shù)分配 再按余數(shù)較大者分配,由于在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。,21個(gè)席位的分配結(jié)果（Halmiton方法）,11,7,3,現(xiàn)象2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。?慣例分配方法（Halmiton方法） ：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。 存在不公平現(xiàn)象（Alabama悖論），能否給出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目標(biāo)：建立公平的分配方案。 反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。,一般地，,當(dāng),席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。,此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。,C,D的不公平程度大為改善！,2） 相對不公平,表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。,則A吃虧,或?qū)是不公平的。,定義“相對不公平度”,對A的相對不公平值；,對B的相對不公平值；,建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo),制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。,3 模型構(gòu)成,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,用相對不公平值討論當(dāng)席位增加1個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A還是B方。,不失一般性，,有下面三種情形。,情形1,說明即使給A單位增加1席，仍對A 不公平，所增這一席必須給A單位。,情形2,說明當(dāng)對A不公平時(shí)，給A單 位增加1席，對B又不公平。,計(jì)算對B的相對不公平值,情形3,說明當(dāng)對A不公平時(shí)，給B單 位增加1席，對A不公平。,計(jì)算對A的相對不公平值,則這一席位給A單位，否則給B單位。,結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A單位，反之，應(yīng)分配給B單位。,記,則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值較大的一方。,這樣的分配席位的方法稱為Q值法。,若A、B兩方已占有席位數(shù)為,4 推廣 有m方分配席位的情況,設(shè),方人數(shù)為,，已占有,個(gè)席位，,當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算,則1席應(yīng)分給Q值最大的一方。,開始，即每方至少應(yīng)得到1席，,（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）,從,5 舉例,甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？,按Q值法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,模型分析,存在公平的分配方法么？ 1）比例加慣例法（H法）悖論 2）Q值法存在不合理 3）其它方法：Dhondt方法 理想化原則不存在完全“合理”的分配方法,練習(xí),dHondt方法,有k個(gè)單位，每單位的人數(shù)為 pi ，總席位數(shù)為n。,做法：,用自然數(shù)1,2,3,分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前 n 個(gè)，（這n 個(gè)數(shù)來自各個(gè)單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n 個(gè)數(shù)中哪個(gè)單位有幾個(gè)所分席位就為幾個(gè)。,構(gòu)造分析方法建模,進(jìn)行量化