多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用-期末復(fù)習(xí)題-高等數(shù)學(xué)下冊(cè)-(上海電機(jī)學(xué)院).doc

第八章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分參考答案第八章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、選擇題1.若u=u(x, y)是可微函數(shù)，且 則 A A. B. C. -1 D. 12.函數(shù) D A. 在點(diǎn)(-1, 3)處取極大值 B. 在點(diǎn)(-1, 3)處取極小值 C. 在點(diǎn)(3, -1)處取極大值 D. 在點(diǎn)(3, -1)處取極小值3.二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微的 B A. 充分而非必要條件 B.必要而非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件4. 設(shè)u=+2+3+xy+3x-2y-6z在點(diǎn)O(0, 0, 0)指向點(diǎn)A(1, 1, 1)方向的導(dǎo)數(shù) D A. B. C. D. 5. 函數(shù) B A. 在點(diǎn)(0, 0)處取極大值 B. 在點(diǎn)(1, 1)處取極小值 C. 在點(diǎn)(0, 0), (1, 1)處都取極大值 D . 在點(diǎn)(0, 0), (1, 1)處都取極小值6.二元函數(shù)在點(diǎn)處可微是在該點(diǎn)連續(xù)的 A A. 充分而非必要條件 B.必要而非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件7. 已知, 則= B A. B. C. D. 8. 函數(shù) （x0，y0） D A. 在點(diǎn)(2, 5)處取極大值 B. 在點(diǎn)(2, 5)處取極小值 C.在點(diǎn)(5, 2)處取極大值 D. 在點(diǎn)(5, 2)處取極小值9.二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的是在點(diǎn)處可微的 A A. 必要而非充分條件 B. 充分而非必要條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件10. 曲線x=t, y=, z=所有切線中與平面x+2y+z=4平行的切線有 B A. 1 條 B.2條 C. 3條 D.不存在11設(shè)，則 B A. B. C. D. 12為使二元函數(shù)沿某一特殊路徑趨向的極限為2，這條路線應(yīng)選擇為 B A. B. C. D. 13設(shè)函數(shù)滿足，且，則BA. B. C. D. 14設(shè)，則 C A. B. C. D. 15為使二元函數(shù)在全平面內(nèi)連續(xù)，則它在處應(yīng)被補(bǔ)充定義為 B A.-1 B.0 C.1 D.16已知函數(shù)，則 CA. B. C. D. 17若 ，則B A. B. C. D. 18若，則在點(diǎn) D 處有A. B. C. D. 19設(shè)，則下列結(jié)論正確的是 A A. B. C. D.兩者大小無(wú)法確定20.函數(shù) ，則極限 （ C）.(A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在21.函數(shù)在點(diǎn) ( D ).(A) 有極大值 (B) 有極小值 (C) 不是駐點(diǎn) (D) 無(wú)極值22.二元函數(shù)在原點(diǎn)處（ A）.(A) 連續(xù)，但偏導(dǎo)不存在 (B) 可微(C) 偏導(dǎo)存在，但不連續(xù) (D) 偏導(dǎo)存在，但不可微23設(shè)，而，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則（ B）.(A) (B) (C) (D) 24函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)存在的（ D）.(A) 必要而非充分條件 (B) 充分而非必要條件(C) 充分必要條件 (D) 既非充分又非必要條件25函數(shù)的極大值點(diǎn)是 （ D ）.(A) (B) (C) (D) 26設(shè)，則（B ）.(A) (B) (C) (D) 27極限（ B ）.(A) 等于 (B) 不存在 (C) 等于 (D) 存在且不等于及28若在點(diǎn)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則（B ）.(A) 在點(diǎn)連續(xù) (B) 在點(diǎn)連續(xù) (C) (D) A,B,C都不對(duì)29. 設(shè)函數(shù)，則=（ A ）(A) (B)(C) (D)30. 已知（ C ）（A） （B） （C） （D）31函數(shù)z=的定義域是（ D ）（A.） D=(x,y)|x2+y2=1（B.）D=(x,y)|x2+y21（C.） D=(x,y)|x2+y21（D.）D=(x,y)|x2+y2132設(shè)，則下列式中正確的是（ C ）； ； ； ； 33設(shè)，則（ D ）； ； ； ； 34已知，則（ C ）； ； ； 35. 設(shè)，則（ B ）（A）6 （B）3 （C）-2 （D）2. 36.設(shè)（ B ）（A） （B） （C） （D）37. 設(shè)由方程確定的隱函數(shù)（ B ）（A） （B） （C） （D）38. 二次函數(shù) 的定義域是（ D ） A. 1 4； B. 1 4； C. 1 4； D. 1 4。39. 在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)是可微分的（ B ） A.充分必要條件； B.充分非必要條件； C.必要非充分條件； D.非充分又非必要條件。40. 拋物面 上點(diǎn)P處的切平面平行于平面 ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ C ） A. ； B. ； C. ； D. 41. 設(shè) ，則（ B ） A. ； B. ； C. ； D. 。42. 設(shè)二元函數(shù) 的極小值點(diǎn)是（ A ）A.（1，0）； B.（1，2）； C.（-3，0）； D.（-3，2）43. 設(shè)（ B ） （A）0 （B） （C）-1 （D）144. 設(shè)是由方程決定的隱函數(shù)，則（ D ）（A） （B） （C） （D）45. 設(shè)( B )（A） （B） （C） （D）二、填空題1. 2. 函數(shù)u=ln ()在點(diǎn)M(1, 2, -2)的梯度gradu= 1, 2, -23. 24. 已知是可微函數(shù)，則5. = 46設(shè)，則 7曲線在點(diǎn)處的切線與Y軸的正向夾角是 8設(shè)，則 9函數(shù)的間斷點(diǎn)是 10函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)是 11. 函數(shù)的定義域是12.二元函數(shù)的定義域是13函數(shù)在原點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為 14.函數(shù)的定義域是15.曲面在點(diǎn)處的法線方程為 16極限 17若，則 18設(shè)有函數(shù)，則 19.函數(shù)的極大值點(diǎn)是 20設(shè)函數(shù)則方向?qū)?shù) 21設(shè)函數(shù) 22曲面上一點(diǎn)（1，-1，3）處的切平面方程為 23. 在點(diǎn)P（0,1,3）處的切平面方程 2y+z=5 ，法線方程 24、設(shè)，則全微分dz= 25、設(shè)z= 26、已知 27. = 28. 已知，則 29. 已知,則 三、計(jì)算與證明1. 設(shè)z=f (x+y, xy)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 求 解：= = 2.求平面和柱面的交線上與xoy平面距離最短的點(diǎn)解：設(shè)(x, y, z)是交線上任一點(diǎn)，由已知，距離函數(shù)f (x, y, z)=z 又設(shè) 令： (1) 與(2)相比，得：，代入(5), 得：；相應(yīng)的有： 從而得交線上的兩點(diǎn)：， 其中：點(diǎn)到xoy平面的距離是 點(diǎn)到xoy平面的距離是比較得：所求點(diǎn)是3.證明極限不存在證明：當(dāng)(x, y)沿著曲線=x趨于(0, 0)時(shí)， 當(dāng)(x, y)沿著曲線2=x趨于(0, 0)時(shí)， 所以，極限不存在 4.設(shè)z=xf (xy, ), 求 解：= = 5. 求曲線x= t-sint, y=1-cost, z=4, 在點(diǎn)M(, 1, )處的切線及法平面方程解：因?yàn)?1-cost, =sint, = 而點(diǎn)M(, 1, )所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t= 點(diǎn)M的切向量=1, 1, 故點(diǎn)M處的切線方程為 點(diǎn)M處法平面方程為: x+y+z= 6. 求曲面在點(diǎn)(2, 1, 0)處的切平面方程及法線方程解：令F(x, y, z)= 則故 因此:點(diǎn)(2, 1, 0)處的切平面方程為x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0 點(diǎn)(2, 1, 0)處的法線方程為7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：， 故：dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dy gradz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y) 8. 設(shè)直線在平面上，而平面與曲面相切于點(diǎn)M(1, -2, 5), 求a,b之值解：點(diǎn)M處曲面的法向量n=2x, 2y, -1=2,-4,-1 點(diǎn)M處切平面方程為2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0 即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面之方程 由直線可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入得: (5+a)x+4b+ab-2=0解得: a=-5, b=-2 9.設(shè)函數(shù)z=f (u, v), 則u, v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中u=3x+2y, v=， 求 解：= = 10.是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，說(shuō)明理由。解：不存在。 。 。11.求u關(guān)于x,y,z的一階偏導(dǎo)數(shù)：解：。 12、說(shuō)明函數(shù)在何時(shí)取得極值，并求出該極值：解：函數(shù)定義域。因?yàn)?，故時(shí)極小；無(wú)極大。 解方程組，可知函數(shù)駐點(diǎn)分布在直線上。對(duì)于此直線上的點(diǎn)都有。但是恒成立。所以函數(shù)在直線上的各點(diǎn)取得極小值。13.解：= 而，。故原式=14.求u的一階全微分：解：15、求函數(shù)在點(diǎn)M（1，2，-2）沿曲線在此點(diǎn)的切線方向上的方向?qū)?shù)。解：，。在點(diǎn)（1，2，-2）它們的值分別是 曲線在該點(diǎn)切線方向余弦為。方向?qū)?shù)為16.解：=a17.求由下式?jīng)Q定的隱函數(shù)z關(guān)于x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)：。解：等式兩端對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，得故。利用對(duì)稱性可得18.用拉格朗日法求條件極值：解：設(shè)，解方程組 可得。由于當(dāng)或時(shí)都有。故函數(shù)只能在有限處取得極小值（最?。┲担寒?dāng)時(shí)，函數(shù)取得極?。ㄗ钚。┲?9.求極限解：原式20.設(shè)，求.解： .21. 求拋物面到平面的最近距離。解：設(shè)在上，到的距離為，則記，令解得：.所以 22.求曲面上與平面平行的切平面方程。解：曲面的切平面的法向量為 ，平面的法向量為 要使切平面與平面平行，必有，即 解之得， 從而.因此為23 函數(shù)求.解：因?yàn)?所以 24設(shè)函數(shù)由方程確定，求。解：(方法一) 令則，因此 .(方法二)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，并注意是的函數(shù)，得 解得 .25如何將已知正數(shù)分成兩個(gè)正數(shù)之和，使得為最大，其中、是已知的正數(shù)。解：由拉格朗日乘數(shù)法，令由解得駐點(diǎn).又由題意當(dāng)點(diǎn)趨于邊界或時(shí)，目標(biāo)函數(shù)趨于零，所以連續(xù)函數(shù)在駐點(diǎn)取最大值。因此當(dāng)時(shí)，的值最大26設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：27求曲線在對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的切線及法平面方程。解：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；又參數(shù)方程的切線方向向量為： ，故切線方程為，或.而法平面方程為.28.求函數(shù)在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值。解：在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為：令 則的夾角。要使取最大值，則，即，也就是同向時(shí)，取最大值，即：當(dāng)時(shí)，取最大值同理，要使取最小值，則，即，也就是反向時(shí)，取最小值，即：當(dāng)時(shí)，取最小值29. 設(shè)函數(shù)，求，解：設(shè)，那么，故 =+ =+30. 設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，求它在點(diǎn)（1，2，-1）處的偏導(dǎo)數(shù)的值。 31. 斜邊長(zhǎng)為m的所有直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形直角邊的邊長(zhǎng)解：設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)為x，y，周長(zhǎng)為S，則（1分）并滿足 由（2分）令 （3分）解得 因?yàn)樗兄苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)位于直徑為的半圓周上，最小周長(zhǎng)不存在，從而實(shí)際問(wèn)題只有最大值，此時(shí)有最大周長(zhǎng)的直角三角形的邊長(zhǎng)均是。32.設(shè)，而,求, = =（3分） = =33.設(shè)可微，求。 34求曲面在點(diǎn)處的切平面與法線的方程.則,（3分）切平面方程為即（2分）法線方程為（2分）35.將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)之和，使得為最大.（8分）解：令，則 （3分） 解得唯一駐點(diǎn)（4分），故最大值為36、已知z=arctan，求。 解：37.設(shè),求 ，38. 已知z=arctan，求。 解： 39、設(shè)z=x2lny，而x=，y=3u-2v，求。 解： 40將正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，使它們之乘積為最大。求這三個(gè)數(shù)。解: 設(shè)三個(gè)數(shù)分