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2 全光譜擬合法測量薄膜光學(xué)常數(shù)的數(shù)學(xué)模型2 全光譜擬合法測量薄膜光學(xué)常數(shù)的數(shù)學(xué)模型2.1光學(xué)薄膜的色散模型我們要求的薄膜光學(xué)常數(shù)是,也就是折射率消光系數(shù)各自與光波波長間的函數(shù)關(guān)系.這種函數(shù)關(guān)系不是簡單的對應(yīng),對于不同的半導(dǎo)體介質(zhì)材料相應(yīng)的制約因素可能就不盡相同了.這種復(fù)雜的對應(yīng)關(guān)系歸結(jié)里起來主要是由于介質(zhì)材料的色散模型所決定,常見的色散模型有:cauchy模型f-b模型sellmeier模型等等。2.1.1 cauchy模型對于大多數(shù)介質(zhì)材料，遠離其吸收區(qū)，都滿足cauchy模型。其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系可由以下方程組得出: (2.1) (2.2)、就是我們進行全局優(yōu)化所需要求解的常數(shù).在可見光譜范圍內(nèi), 非常大,因此對于的整體影響非常小,在精度要求不是特別高的情況下可以忽略不計。根據(jù)通常光學(xué)薄膜介質(zhì)的性質(zhì),預(yù)設(shè)這些參數(shù)的解集范圍: 、。2.1.2 f-b模型f-b色散模型適用于非晶半導(dǎo)體和絕緣體材料，在f-b色散模型中，消光系數(shù)k是復(fù)合折射率的虛部（），它與光子能量e之間滿足： (2.3)根據(jù)kramers-krong關(guān)系，可以推得實部折射率滿足： (2.4)其中，,不是獨立的參數(shù)，它由決定： (2.5) (2.6) (2.7)代表光子能量在無窮大時的折射率；等于導(dǎo)帶與價帶中心距離的兩倍，與通過躍遷時激子壽命聯(lián)系起來；代表吸收最小的光子能量，稱為f-b帶隙，需要特別指出的是它不等于材料的光學(xué)帶寬，一般小于光學(xué)帶寬；是色散公式取的項數(shù)，對于無定型薄膜，而對于多晶薄膜。因此，,薄膜的光學(xué)常數(shù)可以由參數(shù)等決定，待擬合參數(shù)就為這五項。另外，因為，我們就可以建立起折射率、消光系數(shù)和波長之間的關(guān)系，所有程序函數(shù)的待定數(shù)據(jù)和自變量都已明確。備注：在f-b色散模型的參數(shù)中，一些物理限制條件必須被滿足：(1)所有的參數(shù)必須大于0；(2)f-b帶隙，并且和薄膜的材料的禁帶寬度接近；(3)為了保證有意義, 。2.1.3 sellmeier 模型sellmeier方程是描述媒質(zhì)色散的重要公式之一。cauchy色散模型只能描述介質(zhì)正常色散規(guī)律。1871年sellmeier根據(jù)洛倫茲的電子論推出介質(zhì)色散的一般關(guān)系式，修正sellmeier方程的表達式如下： (2.8)式中，表示折射率，是入射光波長，是與吸收能帶有關(guān)的常數(shù)，為介質(zhì)的吸收波長。sellmeier色散公式既能描述在介質(zhì)的吸收區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)的反常色散現(xiàn)象，它與cauchy色散模型相似，能在遠離吸收區(qū)域推出cauchy色散公式。sellmeier 模型適用于無吸收的透明介質(zhì)，即：。由于對于大多數(shù)介質(zhì)材料來說,遠離其吸收區(qū),都滿足cauchy模型對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，因此本課題中以cauchy模型為例建立數(shù)學(xué)模型。2.2全光譜擬合法測量薄膜光學(xué)常數(shù)的數(shù)學(xué)模型光譜擬合的過程其實就是將假設(shè)或者通過一步一步優(yōu)化所得到的光學(xué)常數(shù)和薄膜厚度d值代入評價函數(shù)計算公式,并計算評價函數(shù)的逐漸優(yōu)化的過程。首先考慮折射率為的介質(zhì)垂直入射到拋光的折射率為的材料表面上，如下圖2.1所示，部分光將被反射掉，部分光將入射到材料內(nèi)部。本文主要對單層薄膜的情況進行了分析。對于單層膜的情況，其結(jié)構(gòu)由空氣薄膜基底系統(tǒng)三種介質(zhì)組成，如 圖2.1所示。 基 底 薄 膜 環(huán)境介質(zhì)圖2.1單層膜介質(zhì)系統(tǒng)設(shè)單層膜正入射(即,)為例進行推導(dǎo)： （2.9） （2.10） （2.11）將式（2.9）、（2.10）、（2.11）代入透射率公式如下： (其中,) 其中 、 （令 則：）代入上式： 令則：經(jīng)一系列化簡得： (2.12)本課題中以最小均方差函數(shù)作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，即： (2.13)有了目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)計算式，我們根據(jù)已知的客觀條件或基本常識設(shè)定各個擬合常數(shù)的上下限，在這個區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生一組待測常數(shù)的解代入計算式得出相應(yīng)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，然后