2009-2015全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學(xué)類).doc

2009年 第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1計(jì)算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.3曲面平行平面的切平面方程是_.4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.六、（10分）設(shè)拋物線過原點(diǎn).當(dāng)時(shí),又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.八、（10分）求時(shí), 與等價(jià)的無窮大量.2010年 第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。（5）求直線與直線的距離。二、（15分）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，并且且存在一點(diǎn)，使得。三、（15分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線與在出相切，求函數(shù)。四、（15分）設(shè)證明：（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)且時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。五、（15分）設(shè)是過原點(diǎn)、方向?yàn)?，（其中的直線，均勻橢球，其中（密度為1）繞旋轉(zhuǎn)。（1）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡單閉曲線上，曲線積分的值為常數(shù)。（1）設(shè)為正向閉曲線證明（2）求函數(shù)；（3）設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡單正向閉曲線，求。2011年 第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一 計(jì)算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；（2）.求；（3）已知，求。二（本題10分）求方程的通解。三（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得。四（本題17分）設(shè)，其中，為與的交線，求橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值。五（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（）取上側(cè)，是S在點(diǎn)處的切平面，是原點(diǎn)到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦。計(jì)算：（1）；（2）六（本題12分）設(shè)f(x)是在內(nèi)的可微函數(shù)，且，其中，任取實(shí)數(shù)，定義證明：絕對(duì)收斂。七（本題15分）是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足，？請(qǐng)說明理由。2012年 第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、（本大題共5小題，每小題6分共30分）解答下列個(gè)體（要求寫出要求寫出重要步驟）(1) 求極限(2) 求通過直線的兩個(gè)互相垂直的平面和，使其中一個(gè)平面過點(diǎn)。(3) 已知函數(shù)，且。確定常數(shù)和，使函數(shù)滿足方程(4) 設(shè)函數(shù)連續(xù)可微，且在右半平面與路徑無關(guān)，求。(5) 求極限二、（本題10分）計(jì)算三、求方程的近似解，精確到0.001.四、（本題12分）設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，求，其中是曲線上點(diǎn)處的切線在軸上的截距。 五、（本題12分）求最小實(shí)數(shù)，使得滿足的連續(xù)函數(shù)都 有 六、（本題12分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，。區(qū)域是由拋物面 和球面所圍起來的部分。定義三重積分 求的導(dǎo)數(shù)七、（本題14分）設(shè)與為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明： （1）若，則級(jí)數(shù)收斂； （2）若，且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。2013年 第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、 解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.2.證明廣義積分不是絕對(duì)收斂的3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。4.過曲線上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。二、（滿分12）計(jì)算定積分三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明 ：級(jí)數(shù)收斂。四、（滿分12分）設(shè)，證明五、（滿分14分）設(shè)是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。六、（滿分14分）設(shè)，其中為常數(shù)，曲線C為橢圓，取正向。求極限七（滿分14分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。2014年 第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題一、 填空題(共有5小題，每題6分，共30分)1. 已知和是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程是_ _2. 設(shè)有曲面和平面。則與平行的的切平面方程是_3. 設(shè)函數(shù)由方程所確定。求_4. 設(shè)。則_5. 已知。則_二、 （本題12分）設(shè)為正整數(shù)，計(jì)算。三、 （本題14分）設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且有正常數(shù)使得。證明：對(duì)任意，有。四、 （本題14分）（1）設(shè)一球缺高為，所在球半徑為。證明該球缺體積為。球冠面積為；（2）設(shè)球體被平面所截得小球缺為，記球冠為，方向指向球外。求第二型曲面積分五、 （本題15分）設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，嚴(yán)格單增，且存在，使得。求六、 （本題15分）設(shè)。求2015年 第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題6分，共5小題，滿分30分）（1）極限 .（2）設(shè)函數(shù)由方程所決定，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且。則 .（3）曲面在點(diǎn)的切平面與曲面所圍區(qū)域的體積是 .（4）函數(shù)在的傅立葉級(jí)數(shù)在收斂的值是 .（5）設(shè)區(qū)間上的函數(shù)定義域?yàn)榈?，則的初等函數(shù)表達(dá)式是 .二、（12分）設(shè)是以三個(gè)正半軸為母線的半圓錐面，求其方程